6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68

Transkript

1 Sbírka úloh z matematik 6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úloh k samostatnému řešení Geometrické aplikace Obsah rovinného obrazce Úloh k samostatnému řešení Délka oblouku rovinné křivk... 7 Úloh k samostatnému řešení Objem rotačního tělesa... 7 Úloh k samostatnému řešení Povrch rotačního tělesa... 7 Úloh k samostatnému řešení Nevlastní integrál... 7 Úloh k samostatnému řešení... 7 Výsledk úloh k samostatnému řešení... 7 Nápověda k úlohám k samostatnému řešení... 7 Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami... 7 Délku oblouku rovinné křivk Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané ploch kolem os Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané ploch kolem os Povrch tělesa, které vznikne rotací křivk kolem os

2 Sbírka úloh z matematik 6. URČITÝ INTEGRÁL 6.. Výpočet určitého integrálu Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: a) c) e) g) i) k) + d, b) ( cos sin ) d, d) sin d sin, f) tg d, h) + d, j) + d, l) + Výsledk úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: e d, b) a) ( ) c) e) g) i) k) + d, d, cos d cos, e + d, sin d, + cos d. + e d, sin d, d) ln d, cos d, f) arctg d, e sin d, h) ( + ) sind, e ln d, j) ( ) cos d, cos d, l) ln ( + ) Výsledk úloh k samostatnému řešení d

3 Sbírka úloh z matematik. Vpočítejte integrál: + d a), b) tg d) d cos e ( e + ) g) d, e + e + h) j) + d, k), e) sin ( ) ( ) d, c) + d, f) sin d, i) + cos sin + d, l) cos Výsledk úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte integrál: a) d, b) ( + ) + + d c) d) + d, e) ( + ) Výsledk úloh k samostatnému řešení ( )( ) 5 + d, f) + sin cos d, e 5ln d, d, e d. + + d, 5 d Geometrické aplikace 6... Obsah rovinného obrazce Úloh k samostatnému řešení 5. Vpočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami: a) =, =, + =, b) =, =, = 6, c) = sin +, =,,, d) = e, = e, = e, e) = ln, =, = 5, f) ( ) = +, = 8, g) = rcos t, = rsin t, t,, kružnice h) = acos t, = bsin t, t,, elipsa = r t sin t, = r cos t, t,, ckloida i) ( ) ( ) j) = asintcos t, = asin t, t,. Výsledk úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek

4 Sbírka úloh z matematik 6... Délka oblouku rovinné křivk Úloh k samostatnému řešení 6. Vpočítejte délku oblouku rovinné křivk: a) = ln cos,,, b) = arcsin +,,, c) = ln,,, d) ( ) = ln,,, e) = arccos,,, e + f) = ln,,, e g) = cos t, = sin t, t,, h) = a t = a t t, asteroida cos, sin,, t i) = t, = ( t ), t,, j) t t = e sin t, = e cos t, t,. Výsledk úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek 6... Objem rotačního tělesa Úloh k samostatnému řešení 7. Vpočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané ploch kolem os : a) =, =, b) = ln, =, = e, c) =, =, =, =, d) = sin, =, =, e) =, =, f) = arccos, =, =, g) ( ) ( ) = a t sin t, = a cos t, t,, a>, h) = cos t, = sin t, t,, i) = acos t, = bsin t, t,, j) = a t = a t t. cos, sin,, Výsledk úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek - 7 -

5 Sbírka úloh z matematik 8. Vpočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané ploch kolem os : a) =, =, b) =, =, =, c) =, =, =, d) = sin, =, =. Výsledk úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek 6... Povrch rotačního tělesa Úloh k samostatnému řešení 9. Vpočítejte povrch tělesa, které vznikne rotací křivk kolem os : a) =,,, b) =,,, c) =,,, = e + e,,, = asin t, = asin t, t,, d) ( ) e) = a t sin t, = a cos t, t,, a>, f) ( ) ( ) g) = rcos t, = rsin t, t,, h) t t = e sin t, = e cos t, t,, i) = a t = a t t. cos, sin,, Výsledk úloh k samostatnému řešení Neumím nakreslit obrázek 6.. Nevlastní integrál Úloh k samostatnému řešení. Vpočítejte nevlastní integrál: a) d) d, b) d, e) ( + ) d, c) e ( + ) d, f) ln d, 6 cos d, sin - 7 -

6 Sbírka úloh z matematik g) d, h) + sin d, i) ( ) e d, j) + d, k) d, l) + Výsledk úloh k samostatnému řešení e d

7 Sbírka úloh z matematik. a) Výsledk úloh k samostatnému řešení 7 ln+ ; b) ; c) ln + ; d) 5 ln ; e) 6 7 ; f) ; g) ; h) e ; i) ln ; j) ; k) ln ln + ln ; l).. a) e; b) 5 e ; e c) ; d) 8 ln 7 ; e) ; f) e ; g) + ; h) ; i) e ; j) 8; k) g) b) ln ; l) e ln.. a) ; b) ln ; c) ; d) ; e) ; f) ; + e+ ; h) 5 8 ; i) e + ln ; j) ; k) ; l) ln +.. a) 5 ln + ; 8 ln 5 ; c) ln ; d) 8 e) 8l n, f) c) 5 ; g) ln + ; e) ln +, f) ln r ; h) ab 5+ ln + 5 ; d) ; i) r ; j) h) ; i) ; j) e. 7. a) 5 ln a) 6 ; b) 9 ; c) a. 6. a) ln ( ) ; e), f) ( e e ) 5 ; b) ( e ) + ; d) ; + ; b) ; ln + + ; g) ; ; c) 6 ; d) 5 ; e), f) ; g) 5 a ; h) ; i) ab ; j) 5 5 a. 8. a) 8 ; b) 5 ; c) ; d). 9. a) 5 ; b) ( 7 7 ) 7 e e + ; e) a, ; c) ; d) ( ) f) 6 a ; g) ; h) ( e ) r ; i) a.. a) diverguje; b) ; c) diverguje; d) ; e) diverguje; f) ; g) ; h) diverguje; i) ; j) ; k) ln; l)

8 Sbírka úloh z matematik Nápověda k úlohám k samostatnému řešení Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami a) b) 5 =- + = = c) d) =e =sin+ =e - =e e) f) =- -+ =ln(-) = =

9 Sbírka úloh z matematik g) h) =rcost =rsint =acost =bsint i) j) 8 6 =a(t-sint) =a(-cost) =asintcost =asint Délku oblouku rovinné křivk a) b) =arcsin+ - - =ln(cos) - - =arcsin

10 Sbírka úloh z matematik c) d) =ln =ln(- ) - - e) f) = - -arccos =ln e + e g) h) =rcost =rsint =acos t =asin t

11 Sbírka úloh z matematik i) j) =e t sint =e t cost =t = t (t -) Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané ploch kolem os a) b) = =ln =e = c) d) =sin = = = =

12 Sbírka úloh z matematik e) f) = =arccos = g) h) 8 6 =a(t-sint) =a(-cost) =rcost =rsint i) j) =acost =bsint =acos t =asin t

13 Sbírka úloh z matematik Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané ploch kolem os a) b) = = - = = - -5 c) d = =sin =- = = - Povrch tělesa, které vznikne rotací křivk kolem os a) b) =- =- = = 9 = =

14 Sbírka úloh z matematik c) d) = (e +e - ) = = = = e) f) =asint =asin t 8 6 =a(t-sint) =a(-cost) g) h) =rcost =rsint =e t sint =e t cost

15 Sbírka úloh z matematik i) =acos t =asin t