Pravděpodobnost nejen kvantová

Transkript

1 MFF UK, Pravděpodobnost nejen kvantová Mirko Navara Centum strojového vnímání katedra kybernetiky Elektrotechnická fakulta ČVUT v Praze navara 22

2 Jak nevyšly volební předpovědi v ČR domaci jw Volby Factum Median STEM CVVM Sanep Médea Aisa Rozsah ČSSD ANO KSČM TOP ODS Úsvit KDU SZ SPOZ ostatní Účast χ 2 -test Tučně jsou vyznačeny předpovědi, které se vejdou do 95% symetrického intervalového odhadu. χ 2 -test dobré shody ukazuje, že u nejúspěšnější agentury lze hypotézu o shodě rozdělení zamítnout na hladině významnosti , tj. takový výsledek bychom při shodě rozdělení dostali s pravděpodobností 1/ , u ostatních agentur ještě menší. 22

3 Klasický prostor jevů σ-algebra množin, L 2 U : U L A L = U \ A L {A i i N} L = i N A i L Stav (=pravděpodobnostní míra) s: L [0, 1]: s(u) = 1 ( ) {A i i I} L, A i A j = pro i j = s A i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou i I 22

4 Klasický prostor jevů σ-algebra množin, L 2 U : U L A L = U \ A L {A i i N} L = i N A i L Stav (=pravděpodobnostní míra) s: L [0, 1]: s(u) = 1 ( ) {A i i I} L, A i A j = pro i j = s A i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou Stavový prostor (konečně aditivních stavů): S(L) [0, 1] L kompaktní, konvexní, Choquetův simplex i I 22

5 Klasický prostor jevů σ-algebra množin, L 2 U : U L A L = U \ A L {A i i N} L = i N A i L Stav (=pravděpodobnostní míra) s: L [0, 1]: s(u) = 1 ( ) {A i i I} L, A i A j = pro i j = s A i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou Stavový prostor (konečně aditivních stavů): S(L) [0, 1] L kompaktní, konvexní, Choquetův simplex Čisté stavy: extremální body S(L) Dvouhodnotové stavy: S(L) {0, 1} L = body Stoneova prostoru i I 22

6 Klasický prostor jevů σ-algebra množin, L 2 U : U L A L = U \ A L {A i i N} L = i N A i L Stav (=pravděpodobnostní míra) s: L [0, 1]: s(u) = 1 ( ) {A i i I} L, A i A j = pro i j = s A i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou Stavový prostor (konečně aditivních stavů): S(L) [0, 1] L kompaktní, konvexní, Choquetův simplex Čisté stavy: extremální body S(L) Dvouhodnotové stavy: S(L) {0, 1} L = body Stoneova prostoru Zde: dvouhodnotové = čisté i I 22

7 Klasický prostor jevů σ-algebra množin, L 2 U : U L A L = U \ A L {A i i N} L = i N A i L Stav (=pravděpodobnostní míra) s: L [0, 1]: s(u) = 1 ( ) {A i i I} L, A i A j = pro i j = s A i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou Stavový prostor (konečně aditivních stavů): S(L) [0, 1] L kompaktní, konvexní, Choquetův simplex Čisté stavy: extremální body S(L) Dvouhodnotové stavy: S(L) {0, 1} L = body Stoneova prostoru Zde: dvouhodnotové = čisté Potřebujeme jen disjunktní sjednocení σ-třída množin, L 2 U : U L A L = U \ A L {A i i N} L, A i A j = pro i j = A i L i N i I 22

8 Příklad 1 (průhledné bariéry) V/P = Výhry/Prohry s bez hráče JJ U = {V V, V P, P V, P P } A = {, {V V, V P }, {P V, P P }, U} }{{}}{{} a a V V V P B = {, {V V, P V }, {V P, P P }, U} }{{}}{{} b b P = A B = {, a, a, b, b, U} a A P V P P L je (nedistributivní modulární) svaz zvaný M O2 b B 22

9 Příklad 1 (průhledné bariéry) 1 1 a b A B a b b a

10 Příklad 1 (průhledné bariéry) Čisté stavy: s : L {0, 1} (S0) s(u) = 1 (S1) s(x ) = 1 s(x) Všechny stavy: s : L [0, 1], splňují (S0), (S1) s(a) = p, s(b) = q, p, q [0, 1] libovolná s(b) 1 0 s(a) s(b) s(a) 22

11 Příklad 2 (průhledné bariéry) Příklad 1 s dalším výsledkem c = zápas zkontumován A = {0, a, c, (a c), a c, a, c, 1} B = {0, b, c, (b c), b c, b, c, 1} A B = {0, c, c, 1} L = A B = {0, a, b, c, a c, b c, (a c), (b c), a, b, c, 1} a A 1 1 c 1 1 B 1 b a 1 2 c c 2 a b 0 b 22

12 Příklad 2 (průhledné bariéry) Čisté stavy: s(a) s(b) s(c) Všechny stavy: s(a) = p, s(b) = q, s(c) = r, r [0, 1] libovolné, p, q [0, 1 r] s(b) 1 s(c) s(a) 22

13 Příklad 3 (neprůhledné bariéry) D C d c a b A a 1 B b d b c 2 2 d 2 a c 0 a a d C c D B a A b 22

14 Čisté stavy: Příklad 3 (neprůhledné bariéry) s(a) s(b) s(c) s(d)

15 Ortomodulární posety Definice: Ortomodulární poset (OMP) je poset s mezemi 0, 1 a unární operací : L L (ortocomplementace) takovou, že pro všechna a, b L, a = a a b = b a a a = 0 a b = b = a (a b) (ortomodulární zákon, existence pravé strany se předpokládá) Je-li navíc svaz, je to ortomodulární svaz (OML). 22

16 Ortomodulární posety Definice: Ortomodulární poset (OMP) je poset s mezemi 0, 1 a unární operací : L L (ortocomplementace) takovou, že pro všechna a, b L, a = a a b = b a a a = 0 a b = b = a (a b) (ortomodulární zákon, existence pravé strany se předpokládá) Je-li navíc svaz, je to ortomodulární svaz (OML). Ortogonalita: a b a b (Tato podmínka je silnější než obvyklé a b = 0.) Obvykle navíc předpokládáme uzavřenost na spočetná suprema posloupností po dvou ortogonálních prvků. 22

17 Ortomodulární posety Definice: Ortomodulární poset (OMP) je poset s mezemi 0, 1 a unární operací : L L (ortocomplementace) takovou, že pro všechna a, b L, a = a a b = b a a a = 0 a b = b = a (a b) (ortomodulární zákon, existence pravé strany se předpokládá) Je-li navíc svaz, je to ortomodulární svaz (OML). Ortogonalita: a b a b (Tato podmínka je silnější než obvyklé a b = 0.) Obvykle navíc předpokládáme uzavřenost na spočetná suprema posloupností po dvou ortogonálních prvků. Příklad: σ-třída podmnožin je ortomodulární poset. 22

18 Stavy na ortomodulárních posetech Stav: s: L [0, 1] takový, že s(1) = 1 ( ) {a i i I} L, a i a j pro i j = s a i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou i I 22

19 Stavy na ortomodulárních posetech Stav: s: L [0, 1] takový, že s(1) = 1 ( ) {a i i I} L, a i a j pro i j = s a i = s(a i ) i I konečně, resp. spočetně aditivní pro I konečnou, resp. spočetnou dvouhodnotové čisté, ale nikoli naopak i I 22

20 Struktura ortomodulárních posetů Booleova podalgebra: M L taková, že 0, 1 M, a M = a M, (M, M, M ) je Booleova algebra. 22

21 Struktura ortomodulárních posetů Booleova podalgebra: M L taková, že 0, 1 M, a M = a M, (M, M, M ) je Booleova algebra. Věta: Každý OMP je sjednocením maximálních Booleových podalgeber. 22

22 Struktura ortomodulárních posetů Booleova podalgebra: M L taková, že 0, 1 M, a M = a M, (M, M, M ) je Booleova algebra. Věta: Každý OMP je sjednocením maximálních Booleových podalgeber. Kompatibilita: a b Booleova podalgebra M: a, b M Atom: a L \ {0} takový, že neexistuje b splňující 0 < b < a A(L) := množina všech atomů L 22

23 Charakterizace stavových prostorů konečně aditivní případ Tvrzení: Prostor všech konečně aditivních stavů je konvexní kompakt (v součinové topologii). Věta: [Shultz 74, MN 92] Každá kompaktní konvexní podmnožina lokálně konvexního topologického lineárního prostoru je afinně homeomorfní s prostorem konečně aditivních (jakož i všech) stavů nějakého OML. 22

24 Charakterizace stavových prostorů konečně aditivní případ Tvrzení: Prostor všech konečně aditivních stavů je konvexní kompakt (v součinové topologii). Věta: [Shultz 74, MN 92] Každá kompaktní konvexní podmnožina lokálně konvexního topologického lineárního prostoru je afinně homeomorfní s prostorem konečně aditivních (jakož i všech) stavů nějakého OML. Speciálně, stavový prostor může být prázdný. 22

25 Charakterizace stavových prostorů konečně aditivní případ Tvrzení: Prostor všech konečně aditivních stavů je konvexní kompakt (v součinové topologii). Věta: [Shultz 74, MN 92] Každá kompaktní konvexní podmnožina lokálně konvexního topologického lineárního prostoru je afinně homeomorfní s prostorem konečně aditivních (jakož i všech) stavů nějakého OML. Speciálně, stavový prostor může být prázdný. To je matematická kuriozita, fyzikální interpretace vyžaduje dostatek stavů: Definice: OMP L je bohatý a, b L, a b stav s : s(a) = s(b) = 1. Věta: Všechny ortomodulární svazy tvoří varietu a všechny bohaté ortomodulární svazy tvoří její podvarietu. 22

26 Problem jednoznačnosti pro omezené pozorovatelné Problém [Gudder 66]: Jsou všechny omezené pozorovatelné (=kvantové náhodné veličiny) jednoznačně určeny svými středními hodnotami ve všech spočetně aditivních stavech? (Předpokládáme bohatý OML; jinak by problém byl triviální.) 22

27 Problem jednoznačnosti pro omezené pozorovatelné Problém [Gudder 66]: Jsou všechny omezené pozorovatelné (=kvantové náhodné veličiny) jednoznačně určeny svými středními hodnotami ve všech spočetně aditivních stavech? (Předpokládáme bohatý OML; jinak by problém byl triviální.) Motivace: Měřit můžeme jen střední hodnoty. 22

28 Problem jednoznačnosti pro omezené pozorovatelné Problém [Gudder 66]: Jsou všechny omezené pozorovatelné (=kvantové náhodné veličiny) jednoznačně určeny svými středními hodnotami ve všech spočetně aditivních stavech? (Předpokládáme bohatý OML; jinak by problém byl triviální.) Motivace: Měřit můžeme jen střední hodnoty. Odpověď [MN 95]: Ne! 22

29 Bellovy nerovnosti s(a) + s(b) s(a b) 1 0 s(a b) + s(b c) + s(c d) s(a d) s(b) s(c) s(a) + s(b) + s(c) s(a b) s(a c) s(b c) 1 s(a b) + s(b c) + s(c d) s(a d) s(b) s(c) 1 První požadavek je valuace: s(a b) + s(a b) = s(a) + s(b) Bohatý OML, který není Booleova algebra, porušuje všechny Bellovy nerovnosti. 22

30 Klíčový příklad kvantové struktury: hilbertovský svaz H... separabilní Hilbertův prostor (reálný nebo komplexní) L(H)... množina všech uzavřených podprostorů H (ekvivalentně, všech projektorů v H) kde Lin uzávěr lineárního obalu 0 = {0}, 1 = H, A B A B, A B = A B, A = {x H y A : y x}, A B = Lin(A B), Pro projektory je kompatibilita ekvivalentní komutativitě, P Q = QP, proto též nekomutativní teorie míry Problém [Birkhoff, von Neumann, Mackey]: Najděte (dobře motivované, ověřitelné) vlastnosti chrakterizující hilbertovské svazy mezi OML. Dílčí výsledky: [Pulmannová], [Bunce, J.D.M. Wright]... 22

31 Stavy na hilbertovském svazu L(R 2 ) Jediná omezení stavů pro dim P = 1: s(p ) = 1 s(p ) Dovoluje mnoho dvouhodnotových stavů = obarvení nenulových vektorů dvěma barvami (modrá, červená) tak, že každá ortogonální báze obsahuje právě jeden červený vektor 22

32 Stavy na hilbertovském svazu L(R 3 ) 1. Pro q H, q = 1, definujeme vektorový stav n s q (Lin({y 1,..., y n })) = (q y i ) 2 = i=1 pro každou ortonormální bázi (y 1,..., y n ) prostoru H n cos 2 (q, y i ) i=1 22

33 Stavy na hilbertovském svazu L(R 3 ) 1. Pro q H, q = 1, definujeme vektorový stav n s q (Lin({y 1,..., y n })) = (q y i ) 2 = i=1 pro každou ortonormální bázi (y 1,..., y n ) prostoru H Důsledek: s q (q) = 1 n cos 2 (q, y i ) i=1 22

34 Stavy na hilbertovském svazu L(R 3 ) 1. Pro q H, q = 1, definujeme vektorový stav n n s q (Lin({y 1,..., y n })) = (q y i ) 2 = cos 2 (q, y i ) i=1 i=1 pro každou ortonormální bázi (y 1,..., y n ) prostoru H Důsledek: s q (q) = 1 2. Směs vektorových stavů s(p ) = c i s qi (P ), kde c i > 0, c i = 1. i i 22

35 Stavy na hilbertovském svazu L(R 3 ) 1. Pro q H, q = 1, definujeme vektorový stav n s q (Lin({y 1,..., y n })) = (q y i ) 2 = i=1 n cos 2 (q, y i ) i=1 pro každou ortonormální bázi (y 1,..., y n ) prostoru H Důsledek: s q (q) = 1 2. Směs vektorových stavů s(p ) = c i s qi (P ), kde c i > 0, i i 3. Co ještě? c i = 1. 22

36 Stavy na hilbertovském svazu L(R 3 ) 1. Pro q H, q = 1, definujeme vektorový stav n s q (Lin({y 1,..., y n })) = (q y i ) 2 = i=1 n cos 2 (q, y i ) i=1 pro každou ortonormální bázi (y 1,..., y n ) prostoru H Důsledek: s q (q) = 1 2. Směs vektorových stavů s(p ) = c i s qi (P ), kde c i > 0, i i c i = Co ještě? Nic! Gleasonova věta [Gleason 57]: Pro dim H 3, všechny stavy jsou směsi vektorových stavů. 22

37 Gleasonova věta Klíčový případ: H = R 3 (zjednodušeno v [Cooke, Keane, Moran 85]). Důsledek 1: Zúžení stavů na 1D podprostory je spojité (dokázal [von Neumann 1932] dokonce pro R 2, chybu odhalil [Hermann 1935]). Důsledek 2: Konečněhodnotový stav je konstantní na 1D podprostorech, tj. dimenze. 22

38 Gleasonova věta Klíčový případ: H = R 3 (zjednodušeno v [Cooke, Keane, Moran 85]). Důsledek 1: Zúžení stavů na 1D podprostory je spojité (dokázal [von Neumann 1932] dokonce pro R 2, chybu odhalil [Hermann 1935]). Důsledek 2: Konečněhodnotový stav je konstantní na 1D podprostorech, tj. dimenze. Klíčový důsledek: Neexistuje dvouhodnotový stav (=skrytá proměnná) (odpověď na [Einstein, Podolsky, Rosen 35], zjednodušené důkazy [Bell 64, Bell 66], [Kochen, Specker 67],..., [Peres 95]). 22

39 Gleasonova věta Klíčový případ: H = R 3 (zjednodušeno v [Cooke, Keane, Moran 85]). Důsledek 1: Zúžení stavů na 1D podprostory je spojité (dokázal [von Neumann 1932] dokonce pro R 2, chybu odhalil [Hermann 1935]). Důsledek 2: Konečněhodnotový stav je konstantní na 1D podprostorech, tj. dimenze. Klíčový důsledek: Neexistuje dvouhodnotový stav (=skrytá proměnná) (odpověď na [Einstein, Podolsky, Rosen 35], zjednodušené důkazy [Bell 64, Bell 66], [Kochen, Specker 67],..., [Peres 95]). Neexistuje obarvení nenulových vektorů dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje právě jeden červený vektor. 22

40 Konstrukce dokazující neexistenci dvouhodnotových stavů na L(R 3 ) BGL MGL 22

41 Konstrukce dokazující neexistenci dvouhodnotových stavů na L(R 3 ) Existují konečné množiny vektorů, jejichž ortogonalita vylučuje existenci dvouhodnotového stavu. Nejmenší známý používá 31 vektorů, následující jich má 33: 22

42 Konstrukce dokazující neexistenci dvouhodnotových stavů na L(R 3 ) Existují konečné množiny vektorů, jejichž ortogonalita vylučuje existenci dvouhodnotového stavu. Nejmenší známý používá 31 vektorů, následující jich má 33: Otevřený problém: Existuje dvouhodnotový stav na L(Q 3 )? 22

43 Konstrukce dokazující neexistenci dvouhodnotových stavů na L(R 4 ) Theorem: [Cabello] Neexistuje dvouhodnotový stav na L(R 4 ). Vezměme 36 vektorů v R 4 ( 1 značí 1): Každý z 9 sloupců reprezentuje ortogonální bázi v R 4 a každý vektor je použit 2. Počet vektorů, na nichž je stav jednotkový, musí být současně sudý i lichý (9) spor. 22

44 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). 22

45 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). Otevřený problém: Existuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R 3 )? 22

46 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). Otevřený problém: Existuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R 3 )? Existuje obarvení nenulových vektorů na R 3 dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje lichý počet červených vektorů? 22

47 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). Otevřený problém: Existuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R 3 )? Existuje obarvení nenulových vektorů na R 3 dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje lichý počet červených vektorů? Míry nesplňující s(1) = 1? 22

48 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). Otevřený problém: Existuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R 3 )? Existuje obarvení nenulových vektorů na R 3 dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje lichý počet červených vektorů? Míry nesplňující s(1) = 1? Pro n 5 takové míry neexistují v důsledku předchozích výsledků. 22

49 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). Otevřený problém: Existuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R 3 )? Existuje obarvení nenulových vektorů na R 3 dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje lichý počet červených vektorů? Míry nesplňující s(1) = 1? Pro n 5 takové míry neexistují v důsledku předchozích výsledků. Otevřený problém: Existují netriviální Z 2 -hodnotové míry na L(R 4 )? 22

50 Důsledky pro groupověhodnotové stavy Theorem: ([Pták, MN 04], navázali [Harding, Jager, Smith]) Pro n 4 neexistuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R n ). Otevřený problém: Existuje netriviální Z 2 -hodnotový stav na L(R 3 )? Existuje obarvení nenulových vektorů na R 3 dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje lichý počet červených vektorů? Míry nesplňující s(1) = 1? Pro n 5 takové míry neexistují v důsledku předchozích výsledků. Otevřený problém: Existují netriviální Z 2 -hodnotové míry na L(R 4 )? Existuje obarvení nenulových vektorů na R 4 dvěma barvami (modrá, červená) takové, že každá ortogonální báze obsahuje sudý počet červených vektorů? 22

51 Proč kvantová logika nemůže být klasická Správná dedukce v klasické logice: 16 formulí v 11 proměnných d 1 b 2 d 1 b 3 d 2 a 2 b 2 d 2 b 3 d 3 b 2 d 3 (a 1 a 2 b 3 ) d 4 a 2 b 2 d 4 (a 1 a 2 b 3 ) (a 2 c 1 ) (b 3 d 1 ) (a 2 c 2 ) (a 1 b 1 d 1 ) c 2 b 3 d 2 c 1 b 1 d 2 (a 2 c 1 ) ((a 1 a 2 b 3 ) d 3 ) (a 2 c 2 ) (b 1 d 3 ) c 2 ((a 1 a 2 b 3 ) d 4 ) c 1 (a 1 b 1 d 4 ) implikuje (a 1 a 2 ) b 1 22

52 Proč kvantová logika nemůže být klasická Tato dedukce nefunguje v kvantové logice: V hilbertovském svazu L(R 3 ) vezměme a 1 = (1, 0, 0) a 2 = (0, 1, 0) b 1 = (0, 1, 1) b 2 = (1, 0, 1) b 3 = (1, 1, 0) c 1 = (1, 0, 2) c 2 = (2, 0, 1) d 1 = ( 1, 1, 1) d 2 = (1, 1, 1) d 3 = (1, 1, 1) d 4 = (1, 1, 1) Pak (a 1 a 2 ) b 1 = (1, 0, 0) 22

53 Zjednodušení dle [Hyčko 05] Stačí 3 proměnné a 9 formulí (a c) b (b c) (a b) c (a b) a (a c) (b c) (a b) c (a b) a (a c) b (b c) (a b) c b b (c (a c) ) (a b) (c (a b) ) (a c) (b (b c) ) b b (c c (a b)) (a c) (a c) (b (b c) ) b c (c (a b) ) (a b) (c (a b) ) (b c) (a (a c) ) b c (a c) a (a c) (b c) (a (a c) ) b b (c (a c) ) c (a b) (a (a c) ) (b (b c) ) b b (c c (a b)) a (a c) (a (a c) ) (b (b c) ) 22

54 Zjednodušení dle [Hyčko 05] Stačí 3 proměnné a 9 formulí (a c) b (b c) (a b) c (a b) a (a c) (b c) (a b) c (a b) a (a c) b (b c) (a b) c b b (c (a c) ) (a b) (c (a b) ) (a c) (b (b c) ) b b (c c (a b)) (a c) (a c) (b (b c) ) b c (c (a b) ) (a b) (c (a b) ) (b c) (a (a c) ) b c (a c) a (a c) (b c) (a (a c) ) b b (c (a c) ) c (a b) (a (a c) ) (b (b c) ) b b (c c (a b)) a (a c) (a (a c) ) (b (b c) ) Implikují a jen v klasické logice (stejný protipříklad v hilbertovských svazech). 22

55 Literatura [Bell 64] Bell, J.S.: On the Einstein Podolsky Rosen paradox. Physics 1 (1964), [Bell 66] Bell, J.S.: On the problem of hidden variables in quantum theory. Rev. Mod. Phys. 38 (1966), [Birkhoff, vonneumann 36] Birkhoff, G., von Neumann, J.: The logic of quantum mechanics. Ann. Math. 37 (1936), [Cooke, Keane, Moran 85] Cooke, R., Keane, M., Moran, W.: An elementary proof of Gleason s theorem. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 98 (1985), [Dvurečenskij 93] Dvurečenskij, A.: Gleason s Theorem and Its Applications. Kluwer, Dordrecht/Boston/London & Ister Sci., Bratislava, [Einstein, Podolsky, Rosen 35] Einstein, A., Podolsky, B., Rosen, N.: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47 (1935),

56 Literatura [Gleason 57] Gleason, A.M.: Measures on the closed subspaces of a Hilbert space. J. Math. Mech. 6 (1957), [Greechie 71] Greechie, R.J.: Orthomodular lattices admitting no states. J. Comb. Theory 10 (1971), [Gudder 66] Gudder, S.P.: Uniqueness and existence properties of bounded observables. Pacific J. Math. 19 (1966), [Harding, Jager, Smith] Harding, J., Jager, K., Smith, D.: Group-valued measures on the lattice of closed subspaces of a Hilbert space. Internat. J. Theoret. Phys. 44, no. 5 (2005), [MN 95] Navara, M.: Uniqueness of bounded observables. Ann. Inst. H. Poincaré Theor. Physics 63 (1995), no. 2, [Kalmbach 83] Kalmbach, G.: Orthomodular Lattices. Academic Press, London, [MN 92] Navara, M.: Descriptions of state spaces of orthomodular lattices. Math. Bohem. 117 (1992),

57 Literatura [MN 00] Navara, M.: State spaces of orthomodular structures. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 31 (2000), Suppl. 1, [MN 04] Navara, M.: Piron s and Bell s geometrical lemmas. Internat. J. Theoret. Phys. 43 (2004), No. 7, [MN 08] Navara, M.: Small quantum structures with small state spaces. Internat. J. Theoret. Phys. 47 (2008), No. 1, [Pták, MN 04] Navara, M., Pták, P.: For n 5 there is no nontrivial Z 2 -measure on L(R n ). Internat. J. Theoret. Phys. 43 (2004), No. 7, [Pták, Pulmannová 91] Pták, P., Pulmannová, S.: Orthomodular Structures as Quantum Logics. Kluwer, Dordrecht/Boston/London, [Riečanová 07] Riečanová, Z.: The existence of states on every Archimedean atomic lattice effect algebra with at most five blocks. Preprint, [Shultz 74] Shultz, F.W.: A characterization of state spaces of orthomodular lattices. J. Comb. Theory A 17 (1974),

58

59

60

61

62