Numerické metody: aproximace funkcí

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické metody: aproximace funkcí"

Transkript

1 Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a října 2018 Podmínky zápočtu Adekvátní docházka na cvičení v počítačové laboratoři (mnohé lze dělat i jinde, Maple si můžete instalovat) Zápočtové úlohy 5 6 bodů Z toho postačuje 18 bodů Literatura Navara, M., Němeček, A.: Numerické metody. Skriptum ČVUT, Praha, dotisk Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., Flannery, B.P.: Numerical Recipes in C++ (The Art of Scientific Computing). 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, Knuth, D.E.: Fundamental Algorithms. Vol. 1 of The Art of Computer Programming, Addison-Wesley, Reading, MA, 3rd ed Motivace Úloha: Polynom rozložíme na kořenové činitele, jenže to umíme jen do řádu 4. Na řadu přichází přibližné numerické řešení, jenže pak vydělení kořenovým činitelem nevyjde beze zbytku. Úloha: (Čistý) matematik: Soustava lineárních rovnic ve tvaru Ax = b má jediné řešení x = A 1 b, právě když det A 0. Programátor: Reálná čísla nesmíme testovat na rovnost! Numerický matematik: Nepřesnost ve znalosti koeficientů se přenáší do nepřesnosti ve výsledku, která pro det A 0 roste nade všechny meze. Tomu říkáme špatně podmíněná úloha. Úloha: (Čistý) matematik: det A je součet součinů ( 1) sign(p) a 1,p(1) a 2,p(2)... a n,p(n) = ( 1) sign(p) a i,p(i), p p i n kde sčítáme přes všechny permutace p indexů 1,..., n. Programátor i numerický matematik: Jenže to je přibližně n n! operací. n počet operací Stará dobrá Gaussova metoda má složitost úměrnou n 3. 1

2 APROXIMACE FUNKCÍ Úloha: Odhadněte rychlost růstu průmyslové výroby v posledním období a nejlépe i v blízké budoucnosti. Úloha: Ze známých hodnot burzovních indexů do dnešního dne odhadněte jejich zítřejší hodnoty. Úloha: Náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením je popsána distribuční funkcí Φ(u) = 1 u ( ) t 2 exp dt. 2π 2 (Čistý) matematik: To je transcendentní funkce. Numerický matematik: Numerická integrace dá přibližný výsledek s požadovanou přesností. (Ve skutečnosti i exponenciální funkce je počítána jen numericky, procesor sám umí jen 4 základní početní úkony.) Pro rychlejší opakovaný výpočet si připravíme tabulku Gaussova integrálu. Úloha: Ze známého napětí baterie (v mobilu, v počítači) odhadněte zbývající kapacitu. Vycházíme z konečně mnoha hodnot, ale aproximaci chceme použít na celém intervalu. Zde navíc chceme, aby byla monotónní. Úloha: Digitální obrázek zvětšíme, popř. otočíme. Změní se počet pixelů, popř. i jejich orientace. Motivační úloha Máme nakreslit V-A charakteristiku diody na základě naměřených dat: Motivační úlohy na aproximaci 1. Úloha 1: Závislost směnného kursu na čase na základě údajů z burzy. 2. Úloha 2: Rychlý odhad Gaussova integrálu (distribuční funkce normálního rozdělení) s využitím tabulkových hodnot. 3. Úloha 3: V-A charakteristika diody na základě naměřených hodnot. 4. Úloha 4: Teploty naměřené na meteorologické stanici. Základní úloha aproximace Dáno: n různých bodů x 0,..., x n 1 R (uzlové body) y 0,..., y n 1 R množina funkcí F, definovaných alespoň v bodech x 0,..., x n 1 2

3 Úkol: najít funkci ϕ F, která minimalizuje rozdíly y i ϕ(x i ), i = 0,..., n 1 Předpoklad: F je lineární obal k známých, tzv. aproximačních funkcí ϕ 0,..., ϕ k 1, k n: { } F = Lin{ϕ 0,..., ϕ k 1 } = c j ϕ j : c j R. j<k Zbývá určit reálné koeficienty c j, j = 0,..., k 1, lineární kombinace ϕ = j<k c j ϕ j. Linearita aproximační úlohy Většinou předpokládáme linearitu výstupu (princip superpozice), to souvisí s nezávislostí řešení na zvoleném lineárním měřítku. Pak jakékoli řešení aproximační úlohy musí lineárně záviset na složkách aritmetického vektoru y = (y 0,..., y n 1 ) R n. Výsledná aproximace je ϕ = j<k c j ϕ j, kde ϕ = (ϕ(x 0 ),..., ϕ(x n 1 )) R n, ϕ j = (ϕ j (x 0 ),..., ϕ j (x n 1 )) R n, j = 0,..., k 1. (Jiné hodnoty v aproximační úloze nefigurují.) Vektorová formulace aproximační úlohy: K danému vektoru y hledáme co nejbližší vektor ϕ z lineárního obalu známých vektorů ϕ j, j = 0,..., k 1. Linearita aproximační úlohy Vektor y má souřadnice (y 0,..., y n 1 ) vzhledem ke standardní bázi ψ 0 = (1, 0,..., 0), ψ1 = (0, 1, 0,..., 0),..., ψn 1 = (0,..., 0, 1), 1. Můžeme pro j = 0,..., n 1 položit y = ψ j a najít aproximaci funkcí ϱ j, resp. vektorem ϱ j. 2. Pro obecný vstupní vektor y je aproximace lineární kombinaci výsledků speciálních případů: ϕ = j<n y j ϱ j. Funkce ϱ j, j = 0,..., n 1, nám poskytují plnou informaci o řešení úlohy pro libovolné y = (y 0,..., y n 1 ). Interpolace Speciální případ aproximace, kdy požadujeme přesnou shodu v uzlových bodech Dáno: n různých uzlových bodů x 0,..., x n 1 R y 0,..., y n 1 R množina funkcí F, definovaných alespoň v bodech x 0,..., x n 1, z níž máme vybrat takovou funkci ϕ F, že ϕ(x i ) = y i, i = 0,..., n 1 Prostá interpolace 3

4 Předpoklad: Dosazením dostáváme { } F = Lin{ϕ 0,..., ϕ n 1 } = c j ϕ j : c j R. j<n c j ϕ j (x i ) = y i, i = 0,..., n 1, j<n což je soustava n lineárních rovnic pro neznámé c j, j = 0,..., n 1. Pro jednoznačnost řešení jsme položili k = n a navíc potřebujeme, aby aritmetické vektory ϕ j = (ϕ j (x 0 ),..., ϕ j (x n 1 )), j = 0,..., n 1, byly lineárně nezávislé. Složitost výpočtu úměrná n 3, u speciálních úloh dosáhneme menší. Interpolace polynomem Interpolujeme polynomem stupně menšího než n, tj. nejvýše n 1. Má právě n koeficientů, což potřebujeme pro existenci a jednoznačnost řešení. Interpolační funkce můžeme volit ϕ j (t) = t j, j = 0,..., n 1. Výhodná může být i jiná volba báze n-rozměrného lineárního prostoru všech polynomů stupně menšího než n. Polynomy lze snadno integrovat, derivovat... Výhody interpolace polynomem Řešitelnost: Věta: Interpolační úlohu s n uzlovými body řeší právě jeden polynom stupně menšího než n. Univerzálnost: Weierstrassova věta: Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu I a nechť je dáno číslo ε > 0. Pak existuje polynom ϕ takový, že t I : f(t) ϕ(t) ε. Nevýhody interpolace polynomem Weierstrassova věta neříká nic o potřebném stupni polynomu, takže výsledek nemusí být použitelný. Velmi málo skutečných závislostí je polynomiálních. Lze řešit prostou interpolací, ale ukážeme si výhodnější postupy. Lagrangeova konstrukce interpolačního polynomu 1. Vyřešíme speciální případy, kdy j-tá složka vektoru y je jednotková, ostatní nulové; výsledky jsou polynomy ϱ j, j = 0,..., n 1, { 1 pro i = j, ϱ j (x i ) = δ ij = 0 pro i j. (δ ij je tzv. Kroneckerovo delta) Polynom ϱ j stupně n 1 má n 1 kořenů x 0,..., x j 1, x j+1,..., x n 1 ; ϱ j (t) = e j (t x 0 )... (t x j 1 )(t x j+1 )... (t x n 1 ) = e j (t x i ), i<n,i j 4

5 kde e j určíme ze vztahu ϱ j (x j ) = 1: 1 e j = (x j x i ), ϱ j(t) = i<n,i j i<n,i j i<n,i j 2. Obecné řešení úlohy interpolace polynomem je lineární kombinace ϕ = y j ϱ j, j<n (t x i ) (x j x i ). Kontrola: ϕ(t) = y j ϱ j (t) = y j j<n j<n (t x i ) i<n,i j i<n,i j (x j x i ). ϕ(x i ) = y j ϱ j (x i ) = y j δ ij = y i. j<n j<n Složitost úměrná n 2. Myšlenka Lagrangeovy konstrukce interpolačního polynomu je použitelná i pro obecnější úlohy. Motivace pro nespokojenost: Při aproximaci vývoje na burze dostáváme průběžně nová data. Musíme kvůli tomu počítat vše znova? Některé mezivýsledky lze použít, pokud jsme si je nezapomněli zaznamenat. Lze však vyjít z předchozího výsledku a jen jen opravit o určitý polynom: Newtonova konstrukce interpolačního polynomu Jedná se stále o stejný polynom Konstantní polynom c 0 = y 0 má správnou hodnotu v uzlovém bodě x 0. Hledaný polynom ϕ dostaneme přičtením vhodného polynomu ω 0 nulového v x 0 : t (t x 0 ) ω 0 (t), kde ω 0 je polynom stupně n 2: ϕ(t) = c 0 + (t x 0 ) ω 0 (t), c 0 = y 0, ω 0 (t) = ϕ(t) c 0 t x 0 (zbývá vykrátit). Hodnoty v uzlových bodech: ω 0 (x i ) = y i c 0 x i x 0. Indukce: Polynom ω 0 je tvaru (ω 1 je polynom stupně n 3): ω 0 (t) = c 1 + (t x 1 ) ω 1 (t), c 1 = ω 0 (x 1 ), ω 1 (t) = ω 0(t) c 1 t x 1, ω 1 (t) = c 2 + (t x 2 ) ω 2 (t), c 2 = ω 1 (x 2 ), ω 2 (t) = ω 1(t) c 2 t x 2, ω 2 (t) = c 3 + (t x 3 ) ω 3 (t), c 3 = ω 2 (x 3 ), ω 3 (t) = ω 2(t) c 3 t x 3,... ω n 2 (t) = c n 1 = ω n 3 (x n 2 ). 5

6 Zpětným dosazením dostaneme ϕ(t) = c 0 + (t x 0 ) [c 1 + (t x 1 ) [c (t x n 3 ) [c n 2 + (t x n 2 ) c n 1 ]...]]. ϕ(t) = c 0 + (t x 0 ) c 1 + (t x 0 ) (t x 1 ) c c n 1 (t x i ) = c j (t x i ). j<n i<j i<n 1 Složitost výpočtu koeficientů n 2, výpočtu jedné funkční hodnoty n. Fyzikální rozměr koeficientů? Nevillův algoritmus Zajímá nás hodnota interpolačního polynomu pouze pro jediný argument t, nikoli koeficienty. Jedním bodem (x i, y i ) proložíme konstantní polynom s hodnotou y i. Dvěma body (x i, y i ), (x i+1, y i+1 ) proložíme lineární polynom, jeho hodnota v t je lineární kombinací hodnot y i, y i+1, konkrétně y i,i+1 = (t x i+1) y i + (x i t) y i+1 x i x i+1, atd. y i,i+1,...,i+m 1... hodnota interpolačního polynomu s m uzlovými body x i, x i+1,..., x i+m 1 v bodě t y i+1,...,i+m 1,i+m... hodnota interpolačního polynomu s m uzlovými body x i+1,..., x i+m 1, x i+m v bodě t Interpolační polynom s m + 1 uzlovými body x i, x i+1,..., x i+m má v bodě t hodnotu y i,i+1,...,i+m = (t x i+m) y i,i+1,...,i+m 1 + (x i t) y i+1,...,i+m 1,i+m x i x i+m Postupujeme od hodnot y 0, y 1,..., y n 1 k hodnotě y 0,1,...,n 1 = ϕ(t) = výsledek. Numerické chyby uvedeného algoritmu lze omezit, budeme-li místo hodnot interpolačních polynomů počítat s jejich rozdíly, které lze počítat podle rekurentních vzorců C i,m = y i,...,i+m y i,...,i+m 1, D i,m = y i,...,i+m y i+1,...,i+m, C i,m = (x i t) (C i+1,m 1 D i,m 1 ) x i x i+m, D i,m = (x i+m t) (C i+1,m 1 D i,m 1 ) x i x i+m a výsledek např. jako y 0,1,...,n 1 = y 0 + n 1 m=1 C 0,m. Chyba aproximace interpolačním polynomem V uzlových bodech chyba metody nulová, pouze chyba zaokrouhlovací. Chyba metody v ostatních bodech, nahrazujeme-li funkci f výsledkem její interpolace. 6

7 Odvození chyby aproximace interpolačním polynomem Chyba metody f ϕ je v uzlových bodech nulová, zkoumáme její hodnotu f(u) ϕ(u) v u / {x 0,..., x n 1 }. Polynom W (t) = (t x i ) stupně n je rovněž nulový v uzlových bodech a nenulový v u; od chyby metody i<n odečteme jeho P u -násobek, kde P u je zvoleno tak, že funkce g u = f ϕ + P u W je navíc nulová v u: 0 = g u (u) = P u = chyba v u {}}{ f(u) ϕ(u) P u W (u), f(u) ϕ(u) W (u). g u = f ϕ P u W má kořeny u, x 0,..., x n 1 ; pokud má spojitou derivaci, pak mezi každými dvěma kořeny leží kořen její derivace n + 1 kořenů funkce g u n kořenů funkce g u, n 1 kořenů funkce g u,... 1 kořen funkce g u (n), označme jej ξ u (závisí na u) (potřebovali jsme spojité derivace do řádu n) S využitím W (n) (t) = (t n ) (n) = n!, 0 = g u (n) (ξ u ) = f (n) (ξ u ) P u n! = f (n) f(u) ϕ(u) (ξ u ) n! W (u) f(u) ϕ(u) = f (n) (ξ u ) n! f(u) ϕ(u) = f (n) (ξ u ) n! W (u) W (u) f (n) (ξ u ) nahradíme horním odhadem na intervalu I {u, x 0,..., x n 1 }: M n max f (n) (t) t I f(u) ϕ(u) M n n! W (u) Pomocí horního odhadu W max W (t) dostaneme odhad chyby nezávislý na u: t I f(u) ϕ(u) M n n! Předpoklad: f má spojité derivace do řádu n na uzavřeném intervalu I {u, x 0,..., x n 1 }. Volíme 1. počet uzlových bodů = koeficient M n n! 2. jejich rozložení = W W Co můžeme ovlivnit 7

8 Ad 1: I = 0.1, 3 f exp ln f (n) (u) exp(u) (n 1)! u n argmax M n n! exp(3) n! 10 n n M 2 2! M 4 4! M 8 8! M 16 16! Chyba aproximace interpolačním polynomem (Červeně odhad chyby, modře skutečná chyba.) Rozlišujeme: extrapolaci, kdy aproximujeme mimo interval I(x 0,..., x n 1 ) vymezený uzlovými body interpolaci (v užším smyslu), kdy aproximujeme na intervalu I(x 0,..., x n 1 ) 8

9 Čebyševovy polynomy Počítají se z rekurentního vztahu γ n (t) = cos(n arccos t), n = 0, 1, 2,... γ 0 (t) = 1 = cos(0 arccos t), γ 1 (t) = t = cos(1 arccos t), γ n (t) = 2tγ n 1 (t) γ n 2 (t), n 2, cos α + cos β = 2 cos α β cos α + β, α := nθ, β := (n 2)θ, 2 2 cos nθ + cos(n 2)θ = 2 cos θ cos(n 1)θ, cos(n arccos t) }{{} γ n(t) cos nθ = 2 cos }{{} θ cos(n 1)θ cos(n 2)θ, θ := arccos t, t = 2t (cos(n 1) arccos t) } {{ } γ n 1(t) Obor hodnot funkcí γ n, n 1, na intervalu 1, 1 je 1, 1. Kořeny z 0,..., z n 1 jsou řešení rovnice cos(n arccos z k ) = 0, cos((n 2) arccos t). }{{} γ n 2(t) n arccos z k = π 2 + kπ, arccos z k = 1 ( π ) n 2 + kπ 0, π, ( ( π z k = cos k + 1 )), k = 0, 1,..., n 1. n 2 To je doporučené kosinové rozdělení uzlových bodů na intervalu 1, 1 ; obecně na a, b x k = b + a 2 + b a 2 z k = b + a 2 + b a 2 cos π(k ) n Chyba aproximace při kosinovém rozdělení uzlových bodů 9

10 (Červeně odhad chyby, modře skutečná chyba.) Motivační úloha - interpolační polynom Vliv lokálních změn na interpolační polynom 10

11 Příklad: Dáno: x 0 = 0, x 1 = 1, y 0,0, y 1,0, y 0,1, y 1,1 R Hledáme polynom ϕ stupně nejvýše 3, splňující Hermitův interpolační polynom ϕ(x 0 ) = y 0,0, ϕ(x 1 ) = y 1,0, ϕ (x 0 ) = y 0,1, ϕ (x 1 ) = y 1,1 Stejně jako u Lagrangeovy konstrukce interpolačního polynomu sestrojíme nejdříve polynomy η, ϱ, σ, τ stupně 3: Polynom η má dvojnásobný kořen 1, je tedy tvaru kde a, b určíme z hodnot v bodě 0: ψ ψ(0) ψ(1) ψ (0) ψ (1) η ϱ σ τ η(t) = (at + b)(t 1) 2, ϱ má dvojnásobný kořen 0, je tedy tvaru kde a, b určíme z hodnot v bodě 1: η(0) = b = 1 η (0) = a 2b = 0 a = 2, b = 1, η(t) = (2t + 1)(t 1) 2 ϱ(t) = (a t + b ) t 2, ϱ(1) = a + b = 1 ϱ (1) = 3a + 2b = 0 a = 2, b = 3, ϱ(t) = ( 2t + 3)t 2 11

12 σ má dvojnásobný kořen 1 a jednoduchý kořen 0, je tedy tvaru σ(t) = c t (t 1) 2, kde c určíme z hodnoty derivace v bodě 0: σ (0) = c = 1 σ(t) = t(t 1) 2 τ má dvojnásobný kořen 0 a jednoduchý kořen 1, je tedy tvaru τ(t) = c t 2 (t 1), kde c určíme z hodnoty derivace v bodě 1: τ (1) = c = 1 τ(t) = t 2 (t 1) ϕ dostaneme jako lineární kombinaci η, ϱ, σ, τ, ϕ = y 0,0 η + y 1,0 ϱ + y 0,1 σ + y 1,1 τ Aproximace Taylorovou řadou (přesněji Taylorovým polynomem) Speciální případ Hermitova interpolačního polynomu s jediným uzlovým bodem, v němž je zadáno prvních n derivací (včetně nulté). Úloha: Dáno: Uzlový bod x 0 n hodnot y 0,0, y 0,1,..., y 0,n 1 R Hledáme polynom ϕ stupně menšího než n takový, že ϕ (j) (x 0 ) = y 0,j, j = 0,..., n 1. Řešení je ve tvaru ϕ = y 0,j ψ j, j<n ψ (i) j (x 0 ) = δ ij, ψ j (t) = 1 j! (t x 0) j ϕ(t) = j<n y 0,j j! (t x 0 ) j. Pokud jsou y 0,0, y 0,1,..., y 0,n 1 hodnoty derivací nějaké funkce f v bodě x 0, tj. y 0,j = f (j) (x 0 ), pak ϕ je konečná Taylorova řada se středem x 0 : ϕ(t) = j<n f (j) (x 0 ) j! (t x 0 ) j. 12

13 Pokud f má na intervalu I(u, x 0 ) spojitou derivaci řádu n, pak kde ξ u I(u, x 0 ) f(u) ϕ(u) = f (n) (ξ u ) n! (u x 0 ) n, f(u) ϕ(u) M n (u x 0 ) n. n! Jediný rozdíl od chyby interpolačního polynomu je, že polynom W (u) s kořeny x 0,..., x n 1 je nahrazen polynomem (u x 0 ) n (stejného stupně) s n-násobným kořenem x 0. Aproximace Taylorovou řadou je velmi přesná v okolí x 0, na úkor chyby ve vzdálenějších bodech. Aproximace exponenciály (zeleně) Taylorovými polynomy stupňů 5, 10, 15 pro kladné argumenty. Aproximace exponenciály (zeleně) Taylorovými polynomy stupňů 5, 10, 15 pro záporné argumenty. 13

14 Aproximace exponenciály (zeleně) Taylorovými polynomy stupňů 5, 10, 15 pro kladné i záporné argumenty. Interpolace spliny Nevýhoda interpolace polynomem: malá změna vstupní hodnoty v jednom uzlovém bodě může zásadně ovlivnit výsledné hodnoty v místech značně vzdálených. Spline je funkce po částech polynomiální. (Je dána různými polynomy nízkého stupně na jednotlivých intervalech.) Nejjednodušším případem je náhrada po částech lineární funkcí, lomenou čarou, lineární spline. Kubický spline Úloha: Dáno: n vzestupně uspořádaných uzlových bodů x 0,..., x n 1, n hodnot y 0,..., y n 1. Hledáme funkci ϕ, definovanou na intervalu x 0, x n 1, splňující: ϕ(x i ) = y i, i = 0,..., n 1, ϕ se na intervalu x i 1, x i shoduje s nějakým polynomem ϕ i stupně nejvýše 3, i = 1,..., n 1, ϕ má na intervalu x 0, x n 1 spojitou první a druhou derivaci. (Toto zadání bude nutné ještě upřesnit.) Spojitost derivací stačí zajistit v bodech x 1,..., x n 2 : ϕ i(x i ) = ϕ i+1(x i ), i = 1,..., n 2, ϕ i (x i ) = ϕ i+1(x i ), i = 1,..., n 2. Předpokládejme, že známe hodnoty ϕ (x i ) = ϕ i (x i) = ϕ i+1 (x i), i = 0,..., n 1. Tím je zajištěna spojitost ϕ. Polynomy ϕ i, i = 1,..., n 1 lze najít stejně jako Hermitův interpolační polynom v předchozí úloze, pouze uzlové body jsou x i 1, x i místo 0, 1. Obecný případ dostaneme lineární transformací t = x i 1 + (x i x i 1 ) u, u = t x i 1 x i x i 1. Na intervalu x i 1, x i, i = 1,..., n 1, dostáváme ϕ i (t) = y i 1 η i (t) + y i ϱ i (t) + ϕ (x i 1 )σ i (t) + ϕ (x i )τ i (t), kde η i, ϱ i, σ i, τ i jsou polynomy stupně nejvýše 3 (určené stejně jako polynomy η, ϱ, σ, τ v úloze na Hermitův interpolační polynom). Zbývá určit ϕ (x i ), i = 0,..., n 1: y i 1 η i (x i ) + y i ϱ i (x i ) + ϕ (x i 1 )σ i (x i ) + ϕ (x i )τ i (x i ) = = y i η i+1(x i ) + y i+1 ϱ i+1(x i ) + ϕ (x i )σ i+1(x i ) + ϕ (x i+1 )τ i+1(x i ), kde i = 1,..., n 2 (n 2 lineárních rovnic o n neznámých). Zbývají 2 volitelné parametry. Obvykle se volí ϕ (x 0 ) = ϕ (x n 1 ) = 0, tzv. přirozený spline. To znamená, že u první a poslední rovnice nahradíme jednu stranu nulou. Tato volba se projeví pouze na okrajích intervalu. 14

15 Výpočet má dvě části: 1. Výpočet koeficientů ϕ (x i ), i = 0,..., n Výpočet funkčních hodnot. Matice soustavy je třídiagonální (lze využít pro efektivnější řešení). Spliny nelze extrapolovat! Přesto to většina implementací dovoluje. Poznámka: Volba rozdělení má v případě interpolace splinem výrazně menší vliv. Vliv lokálních změn na spline 15

16 Motivační úloha - spline Úloha: Dáno: n uzlových bodů x 0,..., x n 1 příslušné hodnoty y 0,..., y n 1 k funkcí ϕ 0,..., ϕ k 1, k n, definovaných alespoň ve všech uzlových bodech. Hledáme: koeficienty c 0,..., c k 1 R lineární kombinace funkcí ϕ j ϕ = j<k c j ϕ j takové, abychom minimalizovali výraz H 2 = (ϕ(x i ) y i ) 2 = i<n i<n ( ) 2 c j ϕ j (x i ) y i j<k Modifikovaná kritéria H 2w = w i (ϕ(x i ) y i ) 2 i<n řeší se analogicky, H 1 = i<n ϕ(x i ) y i 16

17 nevede na jednoznačné řešení, neužívá se, řeší se (tzv. Čebyševova aproximace), ale je obtížnější. H 0 = max i<n ϕ(x i) y i Řešení aproximace podle kritéria nejmenších čtverců V R n zavedeme skalární součin vektorů u = (u 0,..., u n 1 ), v = (v 0,..., v n 1 ): u v = i<n u i v i. Máme aproximovat vektor y lineární kombinací ϕ = c j ϕ j, kritérium je H 2 = ( ϕ y) ( ϕ y) = ϕ y 2. Řešení: Kolmý průmět splňuje soustavu podmínek (pro m = 0,..., k 1) j<k ( ϕ y) ϕ m, ( ϕ y) ϕ m = 0, ϕ ϕ m = y ϕ m. ϕ se vzhledem ke skalárním součinům s vektory ϕ m chová stejně jako y. ( ) c j ϕ j ϕ m = y ϕ m, j<k c j ( ϕ j ϕ m ) = y ϕ m, m = 0,..., k 1; j<k soustava lineárních rovnic pro neznámé c 0,..., c k 1 (soustava normálních rovnic). Speciální případ: aproximujeme polynomem stupně menšího než k, můžeme volit ϕ j (t) = t j, ϕ j ϕ m = i<n x j i xm i = i<n x j+m i. Motivační úloha - metoda nejmenších čtverců Aproximace V-A charakteristiky diody lineární kombinací konstanty a dvou exponenciál s vhodnými základy. V podprostoru P = Lin{ ϕ 0,..., ϕ k 1 } najdeme ortogonální bázi ( ψ 0,..., ψ k 1 ), ψ j ψ m = 0 pro j m. 17

18 Ortogonalita závisí nejen na funkcích ϕ 0,..., ϕ k 1, ale i na volbě uzlových bodů! Hledáme řešení ve tvaru ϕ = d j ψ j, kde d j, j = 0,..., k 1 jsou souřadnice vzhledem k nové bázi. Matice j<k soustavy normálních rovnic je diagonální: d j ( ψj ψ j ) = y ψ j, j = 0,..., k 1, d j = y ψ j ψ j ψ = y ψ j j ψ, j = 0,..., k 1. j 2 Navíc lze volit vektory ψ j jednotkové, pak vyjde jednotkový i jmenovatel. Gramova-Schmidtova ortogonalizace Způsob, jak najít ortogonální bázi ψ 0 = ϕ 0 ψ 1 = ϕ 1 + α 1,0 ψ0 ψ 1 ψ 0 = 0 ϕ 1 ψ 0 + α 1,0 ψ0 ψ 0 = 0 α 1,0 = ϕ 1 ψ 0 ψ 0 ψ 0 ψ 2 = ϕ 2 + α 2,0 ψ0 + α 2,1 ψ1 ψ 2 ψ 0 = 0 ϕ 2 ψ 0 + α 2,0ψ0 ψ 0 + α 2,1 ψ1 }{{ ψ } 0 = 0 0 α 2,0 = ϕ 2 ψ 0 ψ 0 ψ 0 ψ 2 ψ 1 = 0 ϕ 2 ψ 1 + α 2,0 ψ0 }{{ ψ } 1 +α 2,1ψ1 ψ 1 = 0 0 α 2,1 = ϕ 2 ψ 1 ψ 1 ψ 1... ψ j = ϕ j + m<j α j,m ψm p, p < j : ψj ψ p = 0 = ϕ j ψ p + m<j α j,m ψm ψ p = ϕ j ψ p + α j,p ψp ψ p ψ 0 ψ 1 ψ 2 ψ 3. ψ n 1 = α j,p = ϕ j ψ p ψ p ψ p α 1, α 2,0 α 2, α 3,0 α 3,1 α 3, α n 1,0 α n 1,1 α n 1,2 1 φ 0 φ 1 φ 2 φ 3. φ n 1 (Komu vadí maticový zápis pro vektory, může je nahradit řádky matice.) 18

19 Aproximace goniometrickým polynomem (konečnou Fourierovou řadou) Aproximace metodou nejmenších čtverců, přičemž aproximační funkce jsou 1, cos 2π t T, sin 2π t T, cos 4π t T, sin 4π t T,... Pro ekvidistantní uzlové body na intervalu délky T, x i = a + i T n, i = 0,..., n 1 jsou vektory ϕ j (kterých smí být nejvýše n) ortogonální. Pro ortogonální funkce je složitost úměrná k n. Pro k = n dostáváme n 2. Rychlá Fourierova transformace (Fast Fourier Transform, FFT) dále snižuje složitost na n ln n. K tomu vyžaduje navíc n = 2 m, jinak efektivita klesá. Použití: Aproximace periodických a téměř periodických průběhů, zejména akustických, ale např. i obrazových; komprese mp3 a jpeg. Rozklad na frekvence dovoluje další zpracování, digitální filtraci, rozpoznávání atd. Čebyševova aproximace polynomem Úloha: Dáno: omezený interval I, spojitá funkce f na I, k N Hledáme: polynom ϕ stupně menšího než k takový, abychom minimalizovali výraz H 0 = max ϕ(t) f(t) t I To se také dělá, ale je to mnohem pracnější. Častěji se používá modifikovaná aproximace metodou nejmenších čtverců: Pro jednoduchost na intervalu I = 1, 1 ; zobecnění na interval a, b dostaneme lineární transformací inverzní transformace je x = b + a 2 z = x b+a 2 b a 2 + b a 2 z, Za bázi prostoru všech polynomů stupně menšího než k volíme Čebyševovy polynomy. Pokud můžeme, volíme n k uzlových bodů x 0,..., x n 1 1, 1 jako kořeny Čebyševova polynomu stupně n, tj. s kosinovým rozdělením: ( ( π x i = cos i + 1 )), i = 0,..., n 1. n 2. 19

20 Pro k = n dostaneme interpolační polynom (s doporučeným kosinovým rozdělením uzlových bodů). Řešení pro k < n se od interpolačního polynomu liší zanedbáním členů vyššího řádu. Koeficienty c k,..., c n 1 bývají malé. (Závisí ovšem na vyšších derivacích aproximované funkce!) Chyba v uzlových bodech je proto omezena výrazem n 1 ϕ(x i ) f(x i ) c j. j=k Poznámky o Čebyševově aproximaci Neoptimalizujeme přesně kritérium H 0, ale výsledek se od optimálního řešení příliš neliší. O chybě mimo uzlové body nelze říci mnoho, přesto lze postup doporučit. Rekurentní vzorec lze použít nejen ke stanovení Čebyševových polynomů, ale i přímo k výpočtu jejich hodnot v daném bodě. Nedoporučuje se výsledek roznásobovat do standardního tvaru ϕ(t) = j<k b j t j. Metodu lze zobecnit i na případ, kdy hledáme aproximaci ve tvaru součinu známé funkce a neznámého polynomu. Úloha: Odhadnout f (x) pomocí funkčních hodnot v konečně mnoha bodech. Z definice f f(x + h) f(x) (x) = lim, h 0 h dostaneme odhad f(x + h) f(x) d(x, h) =. h Směrnici tečny ke grafu funkce nahrazujeme směrnicí sečny vedené body ( x, f(x) ) a ( x + h, f(x + h) ) Symetrický odhad d s (x, h) = je směrnice sečny, vedené body (x h, f(x h)) a (x + h, f(x + h)). d(x, h) + d(x, h) 2 = f(x + h) f(x h), 2h Taylorův rozvoj funkce f a odhadů derivace podle h v okolí 0: f(x + h) = f(x) + hf (x) + h2 2 f (x) + h3 6 f (x) + h4 24 f (4) (x) + h5 120 f (5) (x) +..., d(x, h) = f (x) + h 2 f (x) + h2 6 f (x) + h3 24 f (4) (x) + h4 120 f (5) (x) +..., d(x, h) = f (x) h 2 f (x) + h2 6 f (x) h3 24 f (4) (x) + h4 120 f (5) (x)..., d s (x, h) = f (x) + h2 6 f (x) + h4 120 f (5) (x)

21 Řád metody numerické derivace je exponent u h v prvním obecně nenulovém členu Taylorova rozvoje chyby. Odhad d(x, h) je řádu 1, d s (x, h) řádu 2. Typická závislost chyby numerické derivace na kroku (odhady derivace funkce sin v bodě 1): Chyba numerické derivace krok nesymetrický odhad symetrický odhad Typická závislost chyby numerické derivace na kroku (nesymetrický odhad derivace funkce sin v bodě 1, měřítko kroku logaritmické se základem 10). Pro nesymetrický odhad: d(x, h) = f (x) + h 2 f (ξ), kde ξ I(x, x + h), pokud f má na intervalu I(x, x + h) spojitou druhou derivaci. Pak existuje M 2 takové, že Pro symetrický odhad: t I(x, x + h) : f (t) M 2. d(x, h) f (x) M 2 2 h. d s (x, h) = f (x) + h2 6 f (ξ), kde ξ I(x h, x + h), pokud f má na intervalu I(x h, x + h) spojitou třetí derivaci. Pak existuje M 3 takové, že t I(x h, x + h) : f (t) M 3. d s (x, h) f (x) M 3 6 h2. 21

22 Vyjdeme z odhadu chyby metody tvaru M p+1 c kde p je řád metody, M p+1 je odhad f (p+1), c je konstanta pro danou metodu (nejčastěji (p + 1)!). Zaokrouhlovací chybu odhadneme výrazem h p, b r M 0 1 h, kde M 0 je odhad f, r je relativní přesnost numerického výpočtu funkčních hodnot, b je konstanta pro danou metodu (většinou řádu jednotek, určená počtem sčítanců v čitateli použitého výrazu). Odhad celkové chyby: e(h) = M p+1 h p 1 + b r M 0 c h minimum nastane pro h dop : e (h dop ) = 0 Pro d(x, h): p = 1, c = 2, b = 2, p M p+1 c h p 1 dop b r M 0 h 2 = 0 dop h dop = p+1 b c r M 0 p M p+1 h dop = 2 r M0 M 2 odhad chyby metody M 2 2 h dop = M 0 M 2 r r To je špatná zpráva! (Zaokrouhlovací chyba je podobná.) Pro d s (x, h): p = 2, c = 6, b = 1 (v čitateli máme dva členy, ale dělíme dvěma), h dop = 3 3r M0 M 3 odhad chyby metody M 3 6 h2 dop = M 2/3 0 M 1/3 3 r 2/3 Příklad: r = 10 10, funkční hodnoty i hodnoty derivací zhruba stejné (jako např. u funkce x e x ): Pro odhad d(x, h): h dop = = s odhadem relativní chyby M 0 M 2 M 1 r = r = 10 5, Pro odhad d s (x, h): h dop = = s odhadem relativní chyby 1 r 2/ = /3 Pro funkci x e 100x (pouze změna měřítka na ose x) je M k = 100 k M 0, pro odhad d(x, h): h dop = = s odhadem relativní chyby r = 10 5, 2 3 1/3 M 2/3 0 M 1/3 3 M 1 r 2/3 = pro odhad d s (x, h): h dop = = s odhadem relativní chyby /3 r 2/3. = Pro odhad derivace ln v bodě x = 10 6 (předchozí délky kroků nelze použít): M 0. = 14, M1. = 10 6, M 2. = 10 12, M 3. = , pro odhad d(x, h): h dop = = s odhadem relativní chyby r. = , pro odhad d s (x, h): h dop = = s odhadem relativní chyby r 2/3. = 2 3 1/3 14 2/3 ( ) 1/3 22

23 Upřesnění: Dosud jsme uvažovali jen chybu vyhodnocení funkce f pro přesný argument, odhadnutou výrazem r M 0. Nepřesnost r x v argumentu se projeví ve funkční hodnotě chybou přibližně r x M 1, která může být značná, bude-li velká (absolutní hodnota) derivace funkce f. Proto je žádoucí volit čísla h, x, x + h tak, aby byla v počítači zobrazena přesně, tedy nikoli např. h = 10 3 v binární reprezentaci. Odvození optimální délky kroku by se mělo modifikovat podle toho, která z chyb r M 0, r x M 1 je větší. (Ještě lépe by bylo uvažovat obě chyby najednou, ale tím by se řešení zkomplikovalo, ani by nemuselo být jednoznačné.) Úloha: Správný výsledek nějakého výpočtu je g(0) = lim g(h). Předpokládáme, že g má v okolí bodu 0 h 0 Taylorův rozvoj g(h) = g(0) + hp p! g(p) (0) + hr r! g(r) (0) +..., kde p (řád metody) známe a r > p. Z hodnot funkce g v konečně mnoha nenulových bodech máme odhadnout g(0). Zanedbáme členy řádů vyšších než p a aproximujeme g polynomem ϕ(h) = s+c h p, s, c R. Ke stanovení s, c zvolíme 2 uzlové body h, h/q, kde q 1: ϕ(h) = s + c h p = g(h), ( ) ( ) h ϕ q = s + c hp h q p = g q. To je regulární soustava dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé s, c, z nichž nás zajímá pouze s = ϕ(0): ( ) (q p 1) s = q p g g(h), h q ( ) q p h g q g(h) s = q p. 1 Odhad s hodnoty g(0) je zatížen pouze chybami vyšších řádů než p (zde řádu r). Často q = 2, pak s = 2p g ( ) h 2 g(h) 2 p. 1 Odhad d(x, h) má chybu řádu 1; z hodnot d(x, h), d(x, h/q) vypočteme odhad s chybou řádu 2. Pro q = 2: e(x, h) = e(x, h) = 2 d(x, h/2) d(x, h) = Ze symetrických odhadů d s (x, h), d s (x, h/q): s chybou řádu 4. Pro q = 2: q d(x, h/q) d(x, h), q 1 f(x + h) + 4 f(x + h/2) 3 f(x). h e s (x, h) = q2 d s (x, h/q) d s (x, h) q 2, 1 e s (x, h) = 4 d s(x, h/2) d s (x, h) 3 f(x + h) + 8 f(x + h/2) 8 f(x h/2) + f(x h) =. 6 h Symetrický odhad d s (x, h) lze též dostat Richardsonovou extrapolací z odhadu d(x, h) s q = 1. 23

Numerické metody: aproximace funkcí

Numerické metody: aproximace funkcí Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Aproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze

Aproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Kombinatorická minimalizace

Kombinatorická minimalizace Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Interpolace pomocí splajnu

Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Arnoldiho a Lanczosova metoda Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat

Více

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Aproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +...

Aproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +... Aproximace funkcí 1 Úvod Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry) Příklady funkcí používaných pro aproximaci

Více

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva

Více

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic Mirko Navara http://cmpfelkcvutcz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 04a http://mathfeldcvutcz/nemecek/nummethtml

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)

Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017) Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu

Více

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Hledání extrémů funkcí

Hledání extrémů funkcí Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.) Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

Aplikovaná matematika I

Aplikovaná matematika I Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálníc rovnic Mirko Navara ttp://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojovéo vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a ttp://mat.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.tml

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více