Pravděpodobnost a matematická statistika cvičení

Transkript

1 Pravděpodobnost a matematická statistika cvičení Mirko Navara a kol Centrum strojového vnímání katedra kybernetiky FEL ČVUT navara/psi 7 února 03 Obsah I Teorie pravděpodobnosti 3 Motivační příklady 3 Kombinatorické pojmy a vzorce 3 3 Vlastnosti pravděpodobnosti 4 4 Geometrická pravděpodobnost 4 5 Kolmogorovův model pravděpodobnosti 5 6 Nezávislé jevy 5 6 Nezávislost dvou jevů 5 6 Nezávislost více jevů 6 7 Podmíněná pravděpodobnost 6 8 Náhodné veličiny 9 9 Směs náhodných veličin 0 0 Druhy náhodných veličin 0 Diskrétní náhodné veličiny 0 Spojité náhodné veličiny 03 Náhodné veličiny se smíšeným rozdělením Nezávislost náhodných veličin 3 Operace s náhodnými veličinami 3 3 Základní charakteristiky náhodných veličin 5 4 Náhodné vektory (vícerozměrné náhodné veličiny) 5 5 Čebyševova nerovnost, centrální limitní věta 6 II Základy matematické statistiky 8 6 Bodové odhady charakteristik rozdělení 8

2 7 Intervalové odhady charakteristik rozdělení 8 7 Intervalové odhady normálního rozdělení N(µ, σ ) 8 7 Odhad střední hodnoty při známém rozptylu σ 8 7 Odhad střední hodnoty při neznámém rozptylu 9 73 Odhad rozptylu a směrodatné odchylky 9 8 Odhad parametrů (metoda momentů, metoda maximální věrohodnosti) 9 8 Odhady diskrétních rozdělení 9 8 Odhady spojitých rozdělení 9 Testování hypotéz 0 Testy střední hodnoty a rozptylu 0 Testy střední hodnoty normálního rozdělení 0 Při známém rozptylu σ 0 Při neznámém rozptylu 0 Testy rozptylu normálního rozdělení 3 03 Porovnání dvou normálních rozdělení 3 03 Test rozptylů dvou normálních rozdělení 3 03 Testy středních hodnot dvou normálních rozdělení se známým rozptylem σ Testy středních hodnot dvou normálních rozdělení se (stejným) neznámým rozptylem 3 04 Testy středních hodnot dvou normálních rozdělení párový pokus 4 04 Pro známý rozptyl σ 4 04 Pro neznámý rozptyl 4 χ -test dobré shody 4 χ -test dobré shody dvou rozdělení 5 χ -test nezávislosti dvou rozdělení 5 Korelace, její odhad a testování 5 Test nekorelovanosti dvou výběrů z normálních rozdělení 5 3 Neparametrické testy 5 3 Znaménkový test 5 3 Wilcoxonův test (jednovýběrový) 5 III Přílohy 5 4 Příklady pro opakování 5

3 Část I Teorie pravděpodobnosti Motivační příklady Příklad (Monty Hall Problem) Hráč má uhádnout, za kterými z trojích dveří se skrývá výhra Řekne svůj tip, poté mu moderátor (který ví, kde výhra je) otevře jiné dveře, za kterými výhra není Poté dá hráči možnost změnit svůj tip Má to hráč udělat? Řešení Pokud hráč trvá na svém prvním odhadu, je pravděpodobnost výhry /3 Pokud změní tip, volí ze možností, ale jeho šance se zvýší na /3: S pravděpodobností /3 byl první odhad správný a druhý chybný S pravděpodobností /3 byl první odhad chybný a druhý správný Příklad (4 PINy) Banka poslala ke 4 kontům přístupová hesla (PIN), ale neuvedla, které heslo patří ke kterému účtu Ke každému účtu lze vyzkoušet 3 kódy, po 3 chybách se zablokuje Navrhněte postup, který dovolí zpřístupnit (v průměru) co nejvíce kont Řešení První heslo zkoušíme postupně k jednotlivým kontům, dokud neuspějeme Pak postupujeme stejně s druhým heslem V nejnepříznivějším případě (pokud jsme správné konto našli vždy až na poslední pokus) nyní máme pravděpodobnost /, že zablokujeme jedno konto, všechna ostatní se podaří otevřít (Toto není jediný postup s tímto výsledkem) Kombinatorické pojmy a vzorce Příklad 3 (druhy náhodných výběrů) Kolika způsoby lze z populace velikosti n vybrat finalistek soutěže krásy, 4-členné družstvo na závod Dolomitenmann, výherců spotřebitelské soutěže? U těch probíraných druhů náhodných výběrů, které zde nejsou zastoupeny, najděte vlastní příklad Řešení finalistek soutěže krásy: neuspořádaný výběr bez vracení, ( n ) n! 4-členné družstvo na závod Dolomitenmann: uspořádaný výběr bez vracení, výherců spotřebitelské soutěže: neuspořádaný výběr s vracením, ( ) n (n 4)! Není zde zastoupen uspořádaný výběr s vracením, např výherci prvních tří cen v literární soutěži, n 3, a permutace s opakováním, např počet možných způsobů rozmístění osmi bílých šachových figur (bez pěšců) na řadě šachovnice, 8!!!!! 5040 Příklad 4 (hypergeometrické rozdělení) Mezi M výrobky je K vadných Jaká je pravděpodobnost, že mezi m náhodně vybranými výrobky je právě k vadných? Řešení Všechny možné výběry m z M výrobků představují ( M m) elementárních jevů Z K vadných vybereme k výrobků ( ) K k způsoby, z M K dobrých vybereme m k výrobků ( ) M K m k způsoby, celkový počet možností je ( )( K M K ) k m k Výsledná pravděpodobnost je ( K )( M K ) k m k ( M, k {0,,,, m} m) Odvodili jsme tzv hypergeometrické rozdělení Autorem úlohy je V Smutný, a ač to zní neuvěřitelně, je to skutečný příběh 3

4 Příklad 5 (pravděpodobnosti zařazení do průzkumu) Alice a Bob žijí ve státě, který má n 0 7 obyvatel Do statistického průzkumu bude vybráno k respondentů Pro všechny čtyři typy výběrů vypočtěte počet všech možností výběru a pravděpodobnost, že do výběru bude vybrána (a) Alice aspoň jednou, (b) Alice i Bob, (c) Alice více než jednou Řešení Uspořádaný výběr bez vracení: n! Celkový počet možností (n k)! (a) Alice (stejně jako Bob) není vybrána v (n )! (n k)! (n k)! n! n k n 0999, je vybrána s pravděpodobností (n )! (n k)! (n )! (n k)! (n k)! n! n k případech, tj s pravděpodobností n k n 000 (n )! případech, tj s pravděpodobností (b) Alice ani Bob nejsou vybráni v (n )! (n k)! (n k) (n k ) (n k)! (n k)! n! n (n ) Od jednotky odečteme pravděpodobnost, že není vybrána Alice, a také, že není vybrán Bob, tj n k n To jsme ale dvakrát odečetli výběry bez Alice i Boba, a musíme je jednou přičíst Pravděpodobnost, že bude vybrána Alice i Bob, je n k n (n k) (n k ) + n (n ) k (k ) n (n ) Alternativní řešení: Alice bude vybrána s pravděpodobností k n s pravděpodobností k n Neuspořádaný výběr bez vracení: Celkový počet možností ( ) n k n! (n k)! k! (a) Alice je vybrána v ( ) n k (n )! (n k)! (k )! k n 000 (b) Alice i Bob jsou vybráni v ( n k , ze zbývajících obyvatel do zbytku výběru Bob případech, tj s pravděpodobností ) případech, tj opět s pravděpodobností (n )! (n k)! (k )! (n )! (n k)! k! (n k)! (k )! n! (n k)! k! n! k (k ) n (n ) Uspořádaný výběr s vracením: Celkový počet možností n k (a) Alice není vybrána v (n ) k případech, tj s pravděpodobností ( ) n k n 0999, je vybrána s pravděpodobností ( ) n k n 000 (b) Alice ani Bob nejsou vybráni v (n ) k případech, tj s pravděpodobností ( ) n k n Obdobně jako u výběru bez vracení, pravděpodobnost, že bude vybrána Alice i Bob, je ( ) n k ( n + n ) k n k (k ) n (n ) (c) Pokud je Alice vybrána právě jednou, může se to stát při k příležitostech; zbývajících k respondentů je vybráno z n obyvatel, možností je k (n ) k Pravděpodobnost, že Alice bude vybrána více než jednou, je ( ) n k n k (n ) k n k (U výběrů bez vracení byla nulová) Neuspořádaný výběr s vracením: Celkový počet možností ( ) n+k k , ale nejsou stejně pravděpodobné Počty možností bychom mohli vypočítat, ale pravděpodobnosti z nich nelze snadno určit Pravděpodobnosti jsou stejné jako pro uspořádaný výběr s vracením 3 Vlastnosti pravděpodobnosti 4 Geometrická pravděpodobnost Příklad 6 (Buffonova úloha) Na linkovaný papír hodíme jehlu, jejíž délka je rovna vzdálenosti mezi linkami Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne nějakou linku? Řešení BÚNO: Délka jehly (a vzdálenost linek) je jednotková Označme x 0, π/ úhel mezi linkou a jehlou a y 0, / vzdálenost středu jehly od nejbližší linky (za jednotku bereme vzdálenost mezi linkami) Předpokládáme, že tyto náhodné veličiny jsou nezávislé a mají rovnoměrná rozdělení na příslušných intervalech Za množinu elementárních jevů vezmeme dvojrozměrný interval 4

5 (obdélník) Ω 0, / 0, π/, na kterém máme rovnoměrné rozdělení Jev A protnutí linky nastane, pokud y < sin x, A { (y, x) 0, / 0, π/ y sin x} Hledaná pravděpodobnost je poměr obsahů množin A a Ω, přičemž A je plocha pod křivkou, jejíž integrací dostaneme obsah, a Ω je obdélník: P (A) π π 0 sin x dx π Příklad 7 Na rovnoměrnou nekonečnou čtvercovou mřížku, kde vzdálenost průsečíků je a, hodíme minci o průměru b, b < a Jaká je pravděpodobnost, že mince zakryje část některé z linek této mřížky? Příklad 8 Házíme mincí na čáru; náhodná veličina X udává vzdálenost hozené mince od čáry Její rozdělení pravděpodobnosti je dáno hustotou: { x f X (x) pokud x 0,, 0 pokud x > Náhodná veličina Y X veličiny Y? udává výhru (zisk) z jednoho hodu Jaké je rozdělení (střední hodnota, rozptyl) náhodné 5 Kolmogorovův model pravděpodobnosti 6 Nezávislé jevy 6 Nezávislost dvou jevů Příklad 9 (vylepšení náhodného generátoru) Alice a Bob chtějí spravedlivě vybrat jednoho z nich Mohou si hodit mincí, ale ta je zdeformovaná, takže jsou pochyby, zda padají oba výsledky se stejnou pravděpodobností Dohodnou se, že hodí mincí dvakrát Alice vyhrává, pokud padnou stejné výsledky, Bob při různých výsledcích Kdo z nich má větší naději na výhru? Řešení Líc padá s pravděpodobností / + ε, rub s pravděpodobností / ε, kde ε ( /, /) líc s pravděpodobností (/ + ε), rub s pravděpodobností (/ ε) Alice vyhrává s pravděpodobností Bob s pravděpodobností ( + ε) + ( ε) + ε >, ( + ε) ( ε) ε < Pravděpodobnost se od / liší od / o h(ε) ε namísto ε Např pro ε 00 Alice vyhrává s pravděpodobností /+ ε 0500 Udělali jsme ze špatného náhodného generátoru lepší Příklad 0 (vylepšení náhodného generátoru ) Vylepšete předchozí příklad Řešení Potřebujeme více než dva hody Např při sudém počtu líců vyhrává Alice, při lichém Bob Pro 3 hody vyhrává Alice s pravděpodobností Pro ε 00 je to Pro 4 hody ( ε) ( ε) ( + ε) 4 ε3 ( ε) ( ε) ( + ε) + ( + ε) ε

6 Pro velmi špatnou minci, u níž líc padá s pravděpodobností 09, tj ε 04, provedeme např 5 3 pokusů Pravděpodobnost, že počet líců je sudý, se liší od / o h (h (h (h (h (ε))))) Takto lze vytvořit z velmi špatného náhodného generátoru libovolně dobrý (byt pomalejší) 6 Nezávislost více jevů Příklad Nezávislé jevy A, B, C mají po řadě pravděpodobnosti 0, 03, 04 Určete pravděpodobnost jevu X (A B) C Řešení Pro nezávislé jevy P (A B) P (A) + P (B) P (A) P (B) , P (X) P ((A B) C) P (A B) P (C) Příklad Hladina je kontrolována 4 spínači dle obrázku Při nízké hladině mají být všechny sepnuty, při vysoké vypnuty Každý z nich (nezávisle) je s pravděpodobností 0 % v opačném stavu, než by měl být Jaká je pravděpodobnost poruchy celého zapojení v sepnutém, resp vypnutém stavu? Porovnejte s použitím jednoho spínače Řešení Označme p pravděpodobnost, že spínač je sepnutý Paralelní spojení dvou nezávislých spínačů je spojené s pravděpodobností q ( p), sériové spojení dvou takových obvodů s pravděpodobností r q Sepnutý stav: p 09, q 099, r 0980, pravděpodobnost poruchy je r 0099 Vypnutý stav: p 0, q 09, r 0036, což je i pravděpodobnost poruchy V obou stavech se pravděpodobnost poruchy několikanásobně snížila 7 Podmíněná pravděpodobnost Příklad 3 U 0% řidičů, kteří způsobili dopravní nehodu, bylo prokázáno požití alkoholu Rozsáhlý průzkum ukázal, že riziko nehody se požitím alkoholu zvyšuje 7 Odhadněte, kolik procent řidičů požilo alkohol Řešení Jevy: A požil alkohol, H způsobil nehodu P (A H) 0, P (H A) 7 P ( H Ā) 0 P (A H) P (H A) P (A) P (H A) P (A) + P ( H Ā) P ( Ā ) 7 P (A) 7 P (A) + ( P (A)), P (A) 64 Příklad 4 Požití alkoholu bylo prokázáno u % všech řidičů a u 0% řidičů, kteří způsobili dopravní nehodu Kolikrát se požitím alkoholu zvyšuje riziko nehody? Řešení Jevy: A požil alkohol, H způsobil nehodu P (A) 00, P (A H) 0 0 P (A H) P (H A) P (A) P (H A) P (A) + P ( H Ā) P ( Ā ) P (H A) 00 P (H A) 00 + P ( H Ā) P(H Ā), P (H A) 99 6

7 P (H A) ( P H Ā) Příklad 5 Když je Egon střízlivý, udělá v průměru jednu gramatickou chybu na 00 slov, když je opilý, tolik V semestrální práci o 000 slovech měl 6 chyb Alice soudí, že ji musel psát opilý, Bob tvrdí, že Egon byl střízlivý Co vše můžete k jejich sporu říci, můžete-li si dovolit riziko 5 %, že váš úsudek bude chybný? Příklad 6 V populaci je infikována /4 jedinců, ale jen u /3 infikovaných se nákaza projevuje (a u žádných neinfikovaných) Jaká je pravděpodobnost, že jedinec bez příznaků není infikovaný? Příklad 7 Pravděpodobnost onemocnění cukrovkou je 5% u těch, jejichž rodiče tuto nemoc neměli, 0% tam, kde ji měl jeden z rodičů, a 30%, pokud měli cukrovku oba rodiče Jaký je rovnovážný podíl nemocných cukrovkou v populaci (stejný u generace rodičů i dětí) za předpokladu, že onemocnění otce a matky jsou nezávislé jevy? Jestliže pacient onemocněl cukrovkou, jaká je pravděpodobnost, že tuto nemoc měl aspoň jeden z jeho rodičů, pokud předpokládáme, že v populaci je rovnovážný výskyt dle bodu? Řešení c 005( c) + 03c + 0c( c) c P (R 0 C) 005( c) c P ( R 0 C) 005( c) c Příklad 8 Jazykový korektor změní 99 % chybných slov na správná a 00 % správných na chybná Změnil % slov Odhadněte množství chybných slov v jeho výstupu Řešení Předtím pravděpodobnost chybného slova p Opraveno 099 p+0 4 ( p) 00, p Po opravě chybně 00 p ( p) Příklad 9 Z 60 žijících členů klubu vysloužilých námořních kapitánů jich 5 zažilo ztroskotání (jednou) Podle statistiky při ztroskotání lodi v této oblasti třetina kapitánů zahyne Odhadněte pravděpodobnost, že kapitán zažije ztroskotání (aspoň jednou za život možnost opakovaného ztroskotání téhož kapitána i předčasného úmrtí z jiné příčiny zanedbáváme) Řešení A žije, B zažil ztroskotání, P (A B) 3, P (A B), P (B A) 5 60 (odhad) Bayesova věta: P (B A) P (B) P (A B) P (B) P (A B) + P ( B) P (A B) 3 P (B) 3P (B) + ( P (B)) P (B) Alternativní řešení: Na 5 přeživších námořníků připadá v průměru účastníků ztroskotání, z toho 5 nepřežilo, celkový počet je a pravděpodobnost, že se jedná o účastníka ztroskotání, je (tyto četnosti nám jen názorněji nahrazují pravděpodobnosti, proto není nutné, aby byly celočíselné, pokud vycházíme z toho, že statistika úmrtnosti při ztroskotáních je založena i na dalších případech kromě zde uvažovaných; z těch by nemohla vyjít 3 ) Příklad 0 (pozitivní test na nemoc) Test nemoci je u % zdravých falešně pozitivní a u 0% nemocných falešně negativní Nemocných je v populaci 000 Jaká je pravděpodobnost, že pacient s pozitivním testem je nemocný? 7

8 Řešení T pozitivní test, N nemocný P (N) 000, P (T N) 00, P (T N) 0 P (T ) P (T N) P (N) + P (T N) P (N) }{{} P (N T ) 00 ( 000) + ( 0) , P (N T ) P (N T ) P (T ) 009 Příklad (výskyt nemoci v populaci) Modifikace předchozího příkladu: Nevíme, kolik nemocných je v populaci, ale víme, že pravděpodobnost pozitivního testu je 00 (Test nemoci je u % zdravých falešně pozitivní a u 0% nemocných falešně negativní) Odhadněte podíl nemocných je v populaci Řešení T pozitivní test, N nemocný P (T ) 00, P (T N) 00, P (T N) 0 P (T ) P (T N) P (N) + P (T N) P (N), }{{} P (N T ) ( P (N)) + ( 0) P (N) 089 P (N) + 00, P (N) Příklad (bayesovský odhad vstupu informačního kanálu) Na vstupu informačního kanálu mohou být znaky 0,, na výstupu jsou přečteny s nezávislou pravděpodobností chyby 0 Určete podmíněné pravděpodobnosti vstupu při známém výstupu, je-li apriorní pravděpodobnost jedničky (a) 04, (b) 0, (c) 005 Řešení Označme jevy: B 0, B : vyslán znak 0, resp, A 0, A : přijat znak 0, resp (a) [ P (A0 ) P (A ) ] [ P (B 0 ) P (B ) ] [ ] P (A0 B 0 ) P (A B 0 ) P (A 0 B ) P (A B ) [ ] [ ] 09 0 [ ], 0 09 P (B 0 A 0 ) P (A 0 B 0 ) P (B 0 ) P (A 0 ) P (B A 0 ) P (A 0 B ) P (B ) P (A 0 ) P (B 0 A ) P (A B 0 ) P (B 0 ) P (A ) P (B A ) P (A B ) P (B ) P (A ) , , 04 86, (b) [ P (A0 ) P (A ) ] [ 09 0 ] [ ] 09 0 [ ],

9 P (B 0 A 0 ) P (A 0 B 0 ) P (B 0 ) , P (A 0 ) 08 P (B A 0 ) P (A 0 B ) P (B ) P (A 0 ) P (B 0 A ) P (A B 0 ) P (B 0 ) P (A ) P (B A ) P (A B ) P (B ) P (A ) , 05, 05 (c) [ P (A0 ) P (A ) ] [ ] [ ] 09 0 [ ], 0 09 P (B 0 A 0 ) P (A 0 B 0 ) P (B 0 ) P (A 0 ) P (B A 0 ) P (A 0 B ) P (B ) P (A 0 ) P (B 0 A ) P (A B 0 ) P (B 0 ) P (A ) P (B A ) P (A B ) P (B ) P (A ) , , , Závěr: Je-li výstup, pak v případě (b) je stejně pravděpodobné, že vstup je 0 nebo ; v případě (c) je dokonce pravděpodobnější, že vstup je 0 (takže bayesovské rozhodování vede k závěru, že na vstupu jsou samé nuly) Příklad 3 A Rodina má dvě děti, starší je dcera Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? B Rodina má dvě děti, (aspoň) jedno z nich je dcera Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Řešení A Jde o pravděpodobnost, že mladší z dětí je dcera, což nastává s pravděpodobností q blízkou /, přesněji asi 05 (Předpokládáme, že pohlaví dětí jsou nezávislá, což je přibližně správně) B Pozor, nejde o stejnou úlohu jako A! Pokud pro jednoduchost předpokládáme q /, pak předpoklad J, že rodina má aspoň dceru, je splněn s pravděpodobností P (J) ( q) 3/4, ale to, že má dcery, je podjev D J s pravděpodobností P (D) q /4 P (D J) Podmíněná pravděpodobnost je P (D J) Obecněji pro pravděpodobnost narození dívky q P (D J) P (J) P (D J) P (D) P (J) /4 3/4 3 q ( q), pro q 05 P (D J) q ( q) Náhodné veličiny Příklad 4 (rodiny s jedním chlapcem) V zemi je rodinám povoleno mít pouze jednoho chlapce a všechny rodiny usilují o to, aby ho měly Jaký je podíl dívek? (Pro jednoduchost zanedbáváme úmrtnost a vícečetné porody a předpokládáme, že pravděpodobnost narození chlapce i dívky je stejná) Řešení Může se stát, že rodina má samé dívky a na chlapce dosud čeká Prozatím to ignorujme a uvažujme rodiny, které mají chlapce (jako poslední dítě) Počet dívek v náhodně vybrané rodině z tohoto souboru je náhodná veličina X, jejíž hodnoty jsou nezáporná celá čísla Dle David Grudl: Mozek se vzpouzí uvěřit Jako autoři jsou uvedeni Pixy a Arthur 9

10 S pravděpodobností / se narodil chlapec jako první dítě a X 0 S pravděpodobností /4 se narodil chlapec jako druhé dítě a X S pravděpodobností /8 se narodil chlapec jako třetí dítě a X Průměrný počet dívek na jednoho chlapce je dán střední hodnotou Alternativa: Lze říci, že / chlapců má nejstarší sestru, /4 chlapců má druhou sestru, /8 chlapců má třetí sestru, celkem EX n P [X n] n (n+) n0 n0 (n+) n0 Alternativa: Podle předpokladu se rodí stejně chlapců jako dívek, to vede přímo ke správnému závěru Problém: Zanedbávali jsme rodiny, ve kterých není chlapec Ten se narodí skoro jistě, tj s pravděpodobností, ale budoucí chlapci mají již ted sestry bez bratrů Je to jen problém definice počátku a konce pokusu, s rostoucí délkou pokusu jeho vliv klesá k nule Problém: Vliv by neklesal k nule, kdyby docházelo k velkému populačnímu růstu nebo poklesu Podmínky úlohy vylučují velký nárůst, nikoli však velký pokles 9 Směs náhodných veličin Příklad 5 Máme hrací kostky, na jedné padají pouze lichá čísla, 3, 5, na druhé pouze sudá,, 4, 6, všechna se stejnou pravděpodobností /3 Najděte rozdělení a střední hodnotu výsledků následujících pokusů: (a) hodíme oběma kostkami a vezmeme aritmetický průměr obou čísel, (b) náhodně (s pravděpodobností /) vybereme jednu kostku a tou hodíme Řešení (a) Rozlišíme 9 stejně pravděpodobných možností, vedoucích k následujícím výsledkům: Možné výsledky a jejich pravděpodobnosti: /9 /9 3/9 /9 /9 Střední hodnota je (b) S pravděpodobností / určuje výsledek první kostka, se stejnou pravděpodobností druhá; dostáváme 6 stejně pravděpodobných výsledků, rozdělení je stejné jako u normální hrací kostky Střední hodnota je stejná, 6 ( ) 35 Příklad 6 V urně je 5 hracích kostek, z toho 0 správných, na nichž padají všechna čísla se stejnou pravděpodobností, a 5 vadných, na nichž padá šestka s pravděpodobností /, ostatní čísla s pravděpodobností /0 Náhodně vybereme jednu kostku a hodíme; jaká je pravděpodobnost možných výsledků? 0

11 Řešení Označme náhodné veličiny: U výsledek na správné kostce, V výsledek na vadné kostce, X výsledek celého pokusu (směs náhodných veličin U, V s koeficientem c 0/5 /3) P [X t] 3 P [U t] + P [V t] 3 P [X ] P [X 6] t P [U t] /6 /6 /6 /6 /6 /6 P [V t] /0 /0 /0 /0 /0 / P [X t] 3/90 3/90 3/90 3/90 3/90 5/8 0 Druhy náhodných veličin 0 Diskrétní náhodné veličiny 0 Spojité náhodné veličiny 03 Náhodné veličiny se smíšeným rozdělením Příklad 7 Náhodná veličina X má distribuční funkci 0 pro t < 0 F X (t) + 4 t 3 pro 0 t < / 4 ( t) 3 pro / t < pro t Vyjádřete ji jako směs náhodných veličin U, V, z nichž U je diskrétní a V spojitá; popište a znázorněte jejich rozdělení Řešení Nespojitosti distribuční funkce jsou v bodech 0, /,, F X (0) F X (0 ) F X () F X ( ), F X (/) F X (/ ) 6, c F U (t) 0 pro t < 0, pro 0 t <, 4 pro t <, 3 pro t, c lim F U (t) t 3, 0 pro t < 0, F U (t) p U (t) 4 pro 0 t <, 3 4 pro t <, pro t, 4 pro t {0, }, pro t, 0 jinde

12 ( c) F V (t) F X (t) c F U (t) F V (t) f V (t) 0 pro t < 0 4 t 3 pro 0 t < / 3 4 ( t) 0 pro t < 0 t pro 0 t < / ( t) pro / t < pro t 4 t pro 0 t < /, 4 ( t) pro / t <, 0 jinak 3 pro / t < 3 pro t Příklad 8 Náhodná veličina X má alternativní rozdělení (s hodnotami 0, ), P [X ] /3 Náhodná veličina Y má spojité rovnoměrné rozdělení na intervalu 0, Popište rozdělení jejich směsi Z Mix /3 (X, Y ) Řešení F X (t) F Y (t) 0 pro t < 0, 3 pro 0 t <, pro t, 0 pro t < 0, t pro 0 t <, pro t, F Z (t) 3 F X(t) + 3 F Y (t) 0 pro t < 0, 9 + t 6 pro 0 t <, 3 + t 6 pro t <, pro t, Příklad 9 Náhodná veličina X má distribuční funkci 0 pro t < 0, 5 F X (t) 6 3 exp( t) pro 0 t <, 3 exp( t) pro t Vyjádřete její rozdělení jako směs diskrétního a spojitého rozdělení Řešení X Mix c (U, V ), U diskrétní, V spojitá Nespojitosti distribuční funkce jsou v bodech 0,, obě stejné velikosti F X (0) F X (0 ) F X () F X ( ) 6, c F U (t) 0 pro t < 0, 6 pro 0 t <, 3 pro t, c lim F U (t) t 3, 0 pro t < 0, F U (t) pro 0 t <, pro t, { p U (t) pro t {0, }, 0 jinde

13 0 pro t < 0, ( c) F V (t) F X (t) c F U (t) 3 3 exp( t) pro 0 t <, 3 3 exp( t) pro t, { 0 pro t < 0, F V (t) exp( t) pro t 0, { 0 pro t < 0, f V (t) exp( t) pro t 0 Nezávislost náhodných veličin Operace s náhodnými veličinami Příklad 30 Náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení na intervalu 3, 5 Zobrazte ji funkcí pro x <, h(x) x/ pro x,, pro x >, výsledné rozdělení popište a znázorněte Řešení Výstup odpovídá vstupu v intervalu 3,, a má tedy pravděpodobnost /8, P [h(x) ] /8 Výstup odpovídá vstupu v intervalu, 5, a má tedy pravděpodobnost 3/8, P [h(x) ] 3/8 Zbývající hodnoty vedou na spojité rovnoměrné rozdělení na, (jako složku směsi, která tvoří rozdělení výstupu a má váhu /), distribuční funkce je 0 pro t <, F h(x) (t) 3/8 + t/4 pro t, ), pro t Snazší je řešení přes kvantilovou funkci; původní kvantilová funkce q X (a) 8 a 3 složená s funkcí h dá kvantilovou funkci pro a /8, q h(x) (a) h(q X (a)) 4 a 3/ pro a (/8, 5/8), pro a 5/8 3

14 Příklad 3 Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé, X má spojité rovnoměrné rozdělení na intervalu 0,, Y má alternativní rozdělení, { / pro t {0, }, p Y (t) 0 jinak Popište a znázorněte rozdělení náhodných veličin X + Y, Mix / (X, Y ) (směs X a Y ), 3 X + EY Příklad 3 Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé, mají spojité rovnoměrné rozdělení; X na intervalu 0,, Y na intervalu, Popište a znázorněte rozdělení náhodných veličin X + Y, Mix / (X, Y ) (směs X a Y ), 3 X + EY Příklad 33 Náhodná veličina X má distribuční funkci { F X (t) e x pokud x, 0 jinak Určete a znázorněte rozdělení náhodných veličin X +, X/, 3 X 4

15 3 Základní charakteristiky náhodných veličin Příklad 34 Náhodný vektor (X, Y ) má následující parametry: EX 0, σ X 5, EY 50, σ Y 0, ϱ(x, Y ) 05 (korelace) Stanovte střední hodnotu a rozptyl náhodných veličin T X + 3, U 00 Y, V X + Y Příklad 35 Nezávislé náhodné veličiny X, X,, X n, n N mají (stejné) rovnoměrné rozdělení na intervalu ( a, a), a (0, ) Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Y 5 n n X i Příklad 36 V písemce jsou různě obtížné otázky, studenti z nich v průměru získají p i celkový počet bodů za otázku, p i (0,, i, Nabízejí se tři bodovací systémy: všechny otázky mají stejný počet bodů, počet bodů za i-tou otázku je úměrný p i 3 počet bodů za i-tou otázku je nepřímo úměrný p i (Celkový počet bodů je ve věech případech stejný) Při kterém systému získají studenti v průměru více bodů? Příklad 37 Náhodná veličina U má hustotu danou grafem Určete a znázorněte hustoty a distribuční funkce náhodných veličin (a) U, (b) U, (c) exp U i Příklad 38 Náhodná veličina X má distribuční funkci 0 pro t < 0 +5 t F X (t) pro 0 t < / 5 ( t) pro / t < pro t < pro t Najděte její střední hodnotu Řešení Integrací kvantilové funkce vyjde 05 + / Náhodné vektory (vícerozměrné náhodné veličiny) Příklad 39 Dvojrozměrný náhodný vektor (X, Y ) má pravděpodobnosti hodnot dané tabulkou: X Y 0 /3 /3 0 /3 Vypočtěte korelaci náhodných veličin X, Y Řešení EX 5 3, EY 3, DX DY 9, E (X Y ) 3, ϱ (X, Y ) E (X Y ) EX EY σ X σ Y 5

16 Příklad 40 Náhodný vektor má rovnoměrné rozdělení na trojúhelníku s vrcholy (0, 0), (, 0), (, ) Popište a znázorněte distribuční funkce jeho složek (marginální rozdělení) Řešení postup: Marginální hustoty jsou { t pro 0 t, f X (t) 0 jinak, { ( t) pro 0 t, f Y (t) 0 jinak, distribuční funkce dostaneme jejich integrací: F X (u) F Y (u) u u f X (t) dt f Y (t) dt 0 pro u < 0, u pro 0 u, pro u >, 0 pro u < 0, u u pro 0 u, pro u > postup: Distribuční funkce je podle definice dána poměrem obsahů ploch (vesměs se jedná o trojúhelníky nebo lichoběžníky, takže nepotřebujeme integrovat a vystačíme s geometrií ze základní školy); vždy je nutno dělit obsahem celého daného trojúhelníka, což je / Pro 0 u vychází F X (u) F Y (u) u u, ( u) u u Příklad 4 Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé Určete korelaci ϱ(u, V ) náhodných veličin U X + Y, V X Y Příklad 4 Známe korelace náhodných veličin ϱ(x, Y ) 05, ϱ(y, Z) / Můžeme něco říci o korelaci ϱ(x, Z) (a její existenci)? 5 Čebyševova nerovnost, centrální limitní věta Příklad 43 Ryby mohou si vybrat ze cest, z nichž jedna je správná (vede k potravě) Každá ryba nezávisle pozná správnou cestu s pravděpodobností q 06 Jaká je pravděpodobnost, že většinové hlasování v hejnu n ryb vybere správnou cestu? Řešení Rozhodnutí jednotlivých ryb popisují nezávislé náhodné veličiny X j, j,, n s alternativním rozdělením s parametrem q 06 (Správnou cestu vyhodnocujeme jako, špatnou 0) Z vlastností alternativního rozdělení EX j q, DX j q ( q) 6

17 Pro výběrový průměr q ( q) EX q, DX, n jeho rozdělení pro velká n( můžeme) podle centrální limitní věty přibližně nahradit normálním rozdělením se stejnými parametry, tj N q, q ( q) n Odchylku střední hodnoty od 50 %, 05 q budeme měřit směrodatnou odchylkou výběrového průměru q ( q) 06 ( 06) σ X 049, n n n poměr n bude argumentem distribuční funkce normovaného normálního rozdělení Pravděpodobnost, že se hejno rozhodne chybně, je P [ X 05 ] FN(q, q ( q) n ( 0 Φ 049 ) (05 q) Φ Pravděpodobnost správného rozhodnutí hejna je k ní doplňková, P [ X > 05 ] FN(q, q ( q) n ( ) 05 q σ X n ) Φ ( n ) ) (05 q) Φ ( ) 0 ( ) Φ n Φ 004 n 049 Číselné hodnoty pro několik hodnot n udává tabulka: n 004 n P [ X > 05 ] ( ) ( ) 05 q q 05 Φ Příklad 44 Ve vzorku je mg uhlíku, tj asi / atomů Z nich je přibližně /0, tj asi 5 0 7, atomů radioaktivního izotopu C4 Určete symetrický 95 %-ní intervalový odhad počtu atomů, které se rozpadnou za rok, tj za /5730 poločasu rozpadu Co o tom říká Čebyševova nerovnost? σ X σ X Řešení Odhadujeme náhodnou veličinu X s rozdělením Bi (n, p), n 5 0 7, p / /5730 (pravděpodobnost, že se atom v daném čase rozpadne), 0 4 EX n p 6048, DX n p ( p) 6047, σ X n p ( p) 78 Při aproximaci normálním rozdělením vyjdou meze EX ± σ X Φ (0975) 6048 ± ± 53, interval přibližně 5895, 60, relativní chyba zhruba 53/ % Exaktní výpočet z binomického rozdělení by byl pracný a vedl by k velmi podobným výsledkům Čebyševova nerovnost nezohledňuje znalost rozdělení (přibližně normální) a vede na intervalový odhad s tolerancí ε splňující nerovnost DX ε 005, DX ε 005 σ X , meze 6048 ± , interval přibližně 5699, 6397, relativní chyba zhruba 349/ % Příklad 45 Životnost baterie má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 3 hodiny Určete pravděpodobnost, že 00 baterií zajistí alespoň 5 hodin provozu 7

18 Příklad 46 Na oboru má studovat 600 studentů, avšak fakulta smí stanovit pouze počet přijatých Z dlouhodobé zkušenosti se ukazuje, že z přijatých studentů se zapíše asi /3 Jaké se má stanovit směrné číslo pro přijetí, aby počet zapsaných byl co největší, ale aby překročil 600 s pravděpodobností nejvýše 5 %? Jaký bude průměrný počet zapsaných studentů? Jak se úloha změní pro obor, na který má být přijato 60 studentů? Uved te použité předpoklady Příklad 47 Alice nabídla Bobovi sázku : 000, že nedokáže z 500 hodů mincí aspoň v 60 % hodit líc Bob váhá, proto Alice navíc nabízí, že Bob má 0 pokusů (po 500 hodech) a stačí, když aspoň v jednom z nich uspěje Kurs zůstává : 000 Má Bob sázku přijmout? Řešení Je-li mince regulérní a n 500 je počet pokusů, pak výběrový průměr má podle centrální limitní věty rozdělení přibližně N (, ( 4 n) Počet líců je n větší, má tedy rozdělení přibližně N n, ) n 4 Pravděpodobnost, že Bob v jednom kole dosáhne o 0 % víc než polovinu líců, je ( ) 0 n Φ n Φ ( 0 n ) Φ (4 47) Při 0 opakovaných pokusech se pravděpodbonost úspěchu zvýší méně než 0, sázka zůstává pro Boba velmi nevýhodná Příklad 48 Počet X ryb, které rybář uloví za den, je popsán Poissonovým rozdělením, p X (k) λk k! e λ, k {0,,, }, s parametrem λ 3 Na ryby jde n 00 za rok Najděte (co nejmenší) symetrický interval, v němž se počet ulovených ryb za rok nachází s pravděpodobností aspoň 95 % Řešení 300 ± , Část II Základy matematické statistiky 6 Bodové odhady charakteristik rozdělení 7 Intervalové odhady charakteristik rozdělení 7 Intervalové odhady normálního rozdělení N(µ, σ ) 7 Odhad střední hodnoty při známém rozptylu σ Příklad 49 Rozvodné závody dodávaly elektřinu, jejíž napětí ve voltech mělo normální rozdělení N(30, 5) Nyní se jim podařilo snížit rozptyl na 0 O kolik mohou zvýšit střední hodnotu při zachování horní meze, která je překročena jen s pravděpodobností 0 4? Příklad 50 Oštěpařky Anna a Barbora mají střední hodnoty hodů po řadě 67 a 75 m a směrodatné odchylky 6 a 3 m Předpokládejme nezávislá normální rozdělení Odhadněte pravděpodobnost, že při jednom hodu hodí Anna dál Řešení Náhodná veličina A má rozdělení N (67, 36), B má N (75, 9), A B má N (67 75, ) N ( 8, 45), kladných hodnot nabývá s pravděpodobností ( ) 0 ( 8) F N( 8,45) (0) Φ Φ ( 9 6)

19 7 Odhad střední hodnoty při neznámém rozptylu 73 Odhad rozptylu a směrodatné odchylky Příklad 5 Opakovaná měření stejné koncentrace látky vedla k následujícím výsledkům: (0, 03, 0, 06, 08, 09, 04, 08, 0) Najděte symetrické oboustranné 90 %-ní odhady střední hodnoty, rozptylu a směrodatné odchylky Řešení Odhadujeme parametry náhodné veličiny X z realizace rozsahu n 9, jejíž statistiky jsou realizace výběrového průměru x 089, realizace výběrového rozptylu s x , realizace výběrové směrodatné odchylky s x s x 76 0 Intervalový odhad střední hodnoty: x s x q t(n ) (095), x + s x q t(n ) (095) n n Intervalový odhad rozptylu: , q t(8) (095), }{{} (n ) s x q χ (n ) (095), (n ) s x q χ (n ) (005) , q χ (8) (095) }{{} q χ (8) (005) }{{} , 0 3 Intervalový odhad směrodatné odchylky (odmocnina z předchozího): (n ) s x q χ (n ) (095), (n ) s x q χ (n ) (005) q t(8) (095) , Všimněte si, že inervalové odhady výběrového rozptylu, resp směrodatné odchylky nejsou symetrické kolem jejich bodových odhadů s x , resp s x Odhad parametrů (metoda momentů, metoda maximální věrohodnosti) 8 Odhady diskrétních rozdělení Příklad 5 Gen se vyskytuje ve 4 variantách A, B, C, D Model předpokládá, že B se vyskytuje 3 častěji než A a D 3 častěji než C Odhadněte jejich pravděpodobnosti na základě zjištěných četností v tabulce varianta A B C D četnost Příklad 53 V urně je mnoho hracích kostek, z nichž některé jsou správné, některé falešné Na falešných padá šestka s pravděpodobností /, zbývající čísla mají stejnou pravděpodobnost Opakovaně jsme vytáhli kostku, hodili s ní a vrátili ji zpět Četnost výsledků udává tabulka: hodnota četnost Odhadněte, kolik procent kostek je falešných Řešení Podíl falešných kostek označme p 0, Metoda momentů: 9

20 Střední hodnota výsledku pro správnou kostku je 35, pro falešnou 45, pro směs s koeficientem p vychází 35 ( p) + 45 p 35 + p Realizace výběrového průměru je 354 Srovnáním těchto dvou hodnot vyjde odhad ˆp 004 0,, což vyhovuje zadání Metoda maximální věrohodnosti: Ve směsi rozdělení má šestka pravděpodobnost 6 ( p)+ p + p 6 a padla 5, ostatní čísla 6 ( p)+ 0 p 5 p 30 a padla 75 (není třeba mezi nimi rozlišovat) Maximum nastává pro ˆp takové, že ( ) 75 ( ) 5 5 p + p L (p), 30 6 l (p) 75 ln (5 p) + 5 ln ( + p) 75 ln 30 5 ln 6 50 l (ˆp) ˆp 5 ˆp ˆp 0, ˆp 0, 4 Příklad 54 Náhodná veličina X je směsí náhodných veličin Y, Z, jejichž pravděpodobnostní funkce jsou dány tabulkou: hodnota 3 4 p Y p Z pozorovaná četnost Poslední řádek udává četnosti hodnot v realizaci náhodného výběru s rozdělením, které má náhodná veličina X Odhadněte z nich neznámý koeficient směsi Řešení Metoda momentů: EX w EY + ( w) EZ w ( ) + + ( w) ( ) 9 w + 3 ( w) 3 w w , 40 Vyhovuje zadání Metoda maximální věrohodnosti: 04 w + 0 ( w) 03 w + 0, 0 w + 04 ( w) 04 03w hodnota 3 4 p X w w 04 03w 04 03w pozorovaná četnost L (w) ( w) +3 (04 03w) 9+6 ( w) 5 (04 03w) 5, l (w) ln (L (w)) 5 ln ( w) + 5 ln (04 03w), l 7 5 (w) w w 0, w

21 Příklad 55 Náhodná veličina může nabývat hodnot 0,, Její rozdělení, závislé na parametrech p, q, a četnost hodnot v realizaci uvádí tabulka: hodnota 0 teoretická pravděpodobnost p q q pozorovaná četnost 6 Odhadněte parametry p, q Řešení p q q Metoda momentů: µ X q + q, m X , µ X m X q (nevyhovuje), q (vyhovuje), p q q Metoda maximální věrohodnosti: L(q) ln p + ln q + 6 ln q ln ( q q ) + 4 ln q, L 4 q (q) q + q q q 0 q 3 (nevyhovuje), q (vyhovuje), p q q Příklad 56 V osudí jsou druhy kostek, na prvních jsou čísla,, 6, na druhých pouze, 3, 5, u obou druhů jsou všechny možné výsledky stejně pravděpodobné Vytáhli jsme 0 kostek a jednou jimi hodili; četnost výsledků udává tabulka Odhadněte, kolik z těchto kostek bylo prvního druhu hodnota četnost Příklad 57 Náhodná veličina nabývá výsledky,, 3 Tabulka uvádí jejich pravděpodobnosti a pozorované četnosti Odhadněte parametry a, b hodnota 3 teoretická pravděpodobnost a + b a + b a + 3b četnost Odhady spojitých rozdělení Příklad 58 Předpokládáme, že náhodná veličina X má (po částech lineární) hustotu dle obrázku f X a 0 a Na základě realizace x (,, ) x (,, ) odhadněte parametr a > 0 Příklad 59 Předpokládáme, že náhodná veličina X má posunuté exponenciální rozdělení s hustotou { f X (t) τ exp ( ) t T τ pro t T, 0 jinak, kde τ > 0 Z realizace x (, 3, 8, 4, 0, 3, 5) odhadněte parametry T, τ Řešení Metoda maximální věrohodnosti: ( n ( L (T, τ) ln τ exp x ) ) i T n ln τ n x i + τ τ τ n T, i i

22 pokud T min x i (jinak 0) To je rostoucí funkce T, takže ˆT min x i i i 0 L τ V našem případě ˆT, ˆτ 5 3 Metoda momentů: µ X t f X (t) dt R T + τ, µ X t f X (t) dt R T t T ( ˆT, ˆτ ) ṋ τ + ˆτ n i x i }{{} n x ˆτ x ˆT x min i x i ˆτ n ˆT, ( t τ exp t T ) ( dt ( t τ) exp t T ) τ τ tt τ exp ( t T τ ( t T τ ) ) dt ( t τ t τ ) exp tt T + τ T + τ (T + τ) + τ µ X + τ K těmto výsledkům lze dojít bez integrování, nebot X Y + T, kde T je konstanta a Y je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením, µ Y τ, σy τ ; µ X µ Y + T, σx σ Y, µ X µ X + σ X V našem případě m X n x i 5, m X n x i 7 n n 7 349, soustava rovnic i i ˆT + ˆτ m X 5 m X + ˆτ m X 7 7 má kladné řešení ˆτ , ˆT 74 5, které ovšem neodpovídá zadání, nebot ˆT > x, takže nalezený model nepřipouští pozorovanou hodnotu x (ta by měla nulovou hustotu pravděpodobnosti) 9 Testování hypotéz 0 Testy střední hodnoty a rozptylu 0 Testy střední hodnoty normálního rozdělení 0 Při známém rozptylu σ 0 Při neznámém rozptylu Příklad 60 Z 0 měření krevního tlaku u jednoho pacienta jsme obdrželi výběrový průměr 50 a výběrovou směrodatnou odchylku 0 Rozhodněte na hladině významnosti 5%, zda je střední hodnota krevního tlaku nejvýše 40 Za jakých předpokladů výsledek platí? Příklad 6 Voltmetr vykázal následující četnosti chyb měření Otestujte na hladině významnosti % hypotézu, že má nulovou stálou chybu Diskutujte použité předpoklady chyba [mv ] četnost chyby 0 0 5

23 0 Testy rozptylu normálního rozdělení Příklad 6 Do laboratoře bylo odesláno 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu Výsledky byly: 08,, 06, 4, 09 promile Posud te na hladině významnosti 5 %, zda směrodatná odchylka měření je nejvýše 0 promile Uved te použité předpoklady Řešení Z výběrového rozptylu vypočítáme testovací statistiku t (n ) s x DX , 0 kterou porovnáme s kvantilem q χ (n )( α) q χ (4)(095) 949, hypotézu zamítáme Vycházíme z předpokladu, že chyby jednotlivých měření jsou nezávislé a mají všechny stejné normální rozdělení; potom má testovací statistika rozdělení χ (n ) Příklad 63 Z 0 měření stejného napětí nám vyšla výběrová směrodatná odchylka voltmetru 3 mv Posud te na hladině významnosti 5%, zda směrodatná odchylka voltmetru je nejvýše mv, jak uvádí výrobce Uved te použité předpoklady Řešení Z výběrového rozptylu vypočítáme testovací statistiku t (n ) s x DX , kterou porovnáme s kvantilem q χ (n )( α) 69, hypotézu zamítáme Vycházíme z předpokladu, že chyby jednotlivých měření jsou nezávislé a mají všechny stejné normální rozdělení; potom má testovací statistika rozdělení χ (n ) 03 Porovnání dvou normálních rozdělení 03 Test rozptylů dvou normálních rozdělení Příklad 64 Jeden vzorek byl rozdělen na mnoho stejných částí a zaslán opakovaně k měření dvěma laboratořím Výsledky jsou v tabulce Posud te na hladině významnosti 5%, zda rozptyl jejich výsledků je stejný Uved te použité předpoklady laboratoř laboratoř Testy středních hodnot dvou normálních rozdělení se známým rozptylem σ 033 Testy středních hodnot dvou normálních rozdělení se (stejným) neznámým rozptylem Příklad 65 U testovací skupiny 0 pacientů, kterým byl podáván lék na snížení krevního tlaku, byla naměřena realizace výběrového průměru 40 torr, realizace výběrové směrodatné odchylky 0 torr U srovnávací skupiny 50 pacientů, kterým lék nebyl podáván, byl naměřena realizace výběrového průměru 50 torr, realizace výběrové směrodatné odchylky 5 torr Posud te, zda je tím prokázána účinnost léku na hladině významnosti % Uved te použité předpoklady Řešení x 40, s x 0, m 0, ȳ 50, s y 5, n 50, H 0 : s x s y, H : s x s y 778 porovnáme s s x s 6 y 9 q F (9,49) (0995) 47, q F (9,49) (0005) hypotézu o rovnosti rozptylů nezamítáme q F (49,9) (0995) , H 0 : x ȳ, H : x < ȳ s (m ) s x + (n ) s y m + n 739, s , 3

24 t x ȳ s m + n porovnáme s q t(68) (00) q t(68) (099) 38 a hypotézu, že lék nesnižuje krevní tlak, nezamítáme na na hladině významnosti % (Mohli bychom ji zamítnout na hladině významnosti 5%, pro tu je q t(68) (005) q t(68) (095) 66) Předpoklady: normální rozdělení (stejné uvnitř každého souboru), nezávislost, stejné rozptyly Příklad 66 Stejnou veličinu jsme měřili dvěma metodami, každou 0 Výsledky shrnuje následující tabulka výběrový průměr výběrová směrodatná odchylka metoda 0 3 metoda 5 Posud te na hladině významnosti 5 %, zda lze považovat obě metody za stejně přesné a jejich střední hodnoty za stejné Diskutujte použité předpoklady Příklad 67 V řetězcích A a B jsme koupili balíčků cukru a jejich zvážením jsme dospěli k těmto hodnotám: A B výběrový průměr 095 kg 09 kg výběrový rozptyl 00 kg 0067 kg výběrová směrodatná odchylka 044 kg 058 kg Je možné na základě těchto dat zamítnout na hladině významnosti 5 % hypotézu, že střední hodnoty hmotnosti balíčků cukru v těchto dvou řetezcích jsou stejné? 04 Testy středních hodnot dvou normálních rozdělení párový pokus 04 Pro známý rozptyl σ 04 Pro neznámý rozptyl Příklad 68 U dvou benzínových stanic byly vždy v tutéž dobu sledovány ceny benzínu, výsledky jsou v tabulce: X Y Posud te na hladině významnosti 5% hypotézu, že benzín u stanice X není levnější Uved te použité předpoklady Řešení Rozdíly cen jsou δ ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 06, 04,, 04), n, δ 05, s δ 053, s δ 039, t δ s δ n 07, porovnáme s kvantilem q t() (005) q t() (095) 80 a nulovou hypotézu nezamítáme Předpoklady pro párový pokus: střední hodnoty náhodných veličin v obou výběrech kolísají stejně, odchylky od nich mají normální rozdělení a jsou nezávislé χ -test dobré shody Příklad 69 Realizací náhodného výběru jsme dostali následující četnosti hodnot: hodnota pozorovaná četnost Posud te na hladině významnosti 5% hypotézu, že výběr pochází z binomického rozdělení Bi (5, p), kde p neznáme Řešení Odhad p metodou momentů: EX 5 p x 5, p 045 Stejný výsledek dává i metoda maximální věrohodnosti, viz Navara, M: Pravděpodobnost a matematická statistika Skriptum FEL ČVUT, Praha, 007, str 80 hodnota k pozorovaná četnost teoretická četnost ( 5 k) p k ( p) 5 k

25 Pro k {0, 5} vychází teoretická četnost příliš malá, musíme sdružit třídy: hodnota k pozorovaná četnost teoretická četnost příspěvek ke kritériu Hodnota kritéria je , porovnáme s kvantilem q χ () (095) 599 a hypotézu nezamítáme Příklad 70 Sportovec 5 prohrál (0 bodů), 8 remizoval ( bod) a 3 vyhrál ( body) Posud te na hladině významnosti 5 %, zda tato data vyhovují binomickému rozdělení Bi(, q), kde q 0, je neznámý parametr Příklad 7 Tabulka uvádí, kolik z respondentů odpovědělo v průzkumu na otázku kladně, v závislosti na vzdělání Máme důvod se domnívat, že odpověd závisí na vzdělání? ukončené vzdělání počet respondentů počet kladných odpovědí žádné 5 základní 95 0 střední vyšší střední 50 0 vysokoškolské 00 5 celkem Příklad 7 Posud te na hladině významnosti 5 %, zda data v tabulce odpovídají následujícímu pravděpodobnostnímu modelu: Každý rok je přijímán stejný počet studentů (00), z každého ročníku do dalšího postoupí 80 %, ostatní fakultu opustí ročník počet studentů χ -test dobré shody dvou rozdělení χ -test nezávislosti dvou rozdělení Korelace, její odhad a testování Test nekorelovanosti dvou výběrů z normálních rozdělení 3 Neparametrické testy 3 Znaménkový test 3 Wilcoxonův test (jednovýběrový) Část III Přílohy 4 Příklady pro opakování Příklad 73 Vysvětlete rozdíly mezi následujícími pojmy: (a) střední hodnota, (b) výběrový průměr, (c) realizace výběrového průměru Řešení Střední hodnota nemusí existovat Pokud existuje, je to číslo, které nám může zůstat utajeno; projevuje se pouze zprostředkovaně v realizacích náhodné veličiny a je limitou některých odhadů Výběrový průměr je náhodná veličina vypočítaná z náhodného výběru, na rozdíl od střední hodnoty vždy existuje (pro numerické náhodné veličiny) Pokud původní rozdělení má rozptyl, je výběrový průměr nestranným konzistentním odhadem střední hodnoty, takže k ní v jistém smyslu konverguje pro rozsah výběru jdoucí do nekonečna Realizace výběrového průměru je číslo získané z realizace náhodného výběru, sloužící k (realizaci) odhadu neznámé střední hodnoty 5

26 Příklad 74 K úspěšnému absolvování zkoušky je potřeba nadpoloviční počet bodů z písemky Každý příklad je hodnocen 0,, nebo body a student odhadl, že všechna bodová hodnocení jsou stejně pravděpodobná a nezávislá na výsledcích v ostatních příkladech Kdy má větší šanci na úspěch, pokud bude mít zkouška příklady, nebo 3? Příklad 75 Najděte příklad nezáporné náhodné veličiny, která má střední hodnotu a směrodatnou odchylku 0, nebo dokažte, že taková náhodná veličina neexistuje Příklad 76 Semena mají klíčivost p (0, ) Jaký je optimální počet n semen v jamce, aby byla co nejvyšší pravděpodobnost, že vyklíčí právě jedno? Řešte obecně a pro p /3 Příklad 77 Náhodná veličina X má binomické rozdělení Bi(, 3 ), náhodná veličina Y má spojité rovnoměrné rozdělení R(0, ) Popište a znározněte rozdělení náhodných veličin Y + EX, X EY, 3 X, 4 Y, 5 Mix /3 (X, Y ) Příklad 78 Náhodná veličina X má distribuční funkci { 0 pro t < 0, F X (t) exp( t) pro t 0 Popište rozdělení náhodné veličiny Y X a stanovte její střední hodnotu a rozptyl Řešení Jedná se o exponenciální rozdělení s parametrem τ /, EX τ /, DX τ /4, { f X (t) F X(t) 0 pro t < 0, exp( t) pro t 0, Změna znaménka: q X (α) F X (α) ln( α) { exp( t) pro t < 0, F X (t) F X ( t) 0 pro t 0, { exp( t) pro t < 0, f X (t) f X ( t) 0 pro t 0, q X (α) q X ( α) ln(α) Lineární zobrazení (nyní již násobíme X kladným číslem ): q Y (α) + q X (α) + ln(α), ( ) { t F Y (t) q exp(t ) pro t <, Y (α) F X 0 pro t, { f Y (t) F Y exp(t ) pro t <, (t) 0 pro t EY EX, DY DX Příklad 79 Náhodná veličina X má alternativní rozdělení; nabývá hodnot 0, s pravděpodobností / Náhodná veličina Y má rovnoměrné rozdělení na intervalu 0, Určete a znázorněte rozdělení náhodných veličin (a) Y +, (b) Mix /3 (Y, X), (c) X + Y (návod: X je směsí dvou konstatních náhodných veličin) 6

27 Příklad 80 Náhodná veličina X má hustotu { c u pro u 0,, f X (u) 0 jinak, kde c R Vypočtěte střední hodnotu, určete a znázorněte distribuční funkce veličin X a X Příklad 8 Nezávislé náhodné veličiny X, Y, Z mají po řadě rozdělení N(, 3), N(0, ), N(0, ) Určete rozdělení náhodné veličiny X + Y, střední hodnotu směsi náhodných veličin Mix / (X, Y ), 3 rozdělení náhodné veličiny Y + Z Příklad 8 Nezávislé náhodné veličiny X, Y, Z mají po řadě rozdělení N(, 3), N(5, ), N(0, ) Určete rozdělení náhodné veličiny X Y, střední hodnotu náhodné veličiny X Y, 3 rozdělení náhodné veličiny Z Příklad 83 Spojitá náhodná veličina je frekvence v Hz Jaký fyzikální rozměr má její rozptyl, směrodatná odchylka, medián, dále argumenty a výsledky distribuční a kvantilové funkce a hustoty? Řešení Rozptyl Hz, směrodatná odchylka i medián Hz, distribuční funkce Hz, kvantilová funkce Hz, hustota Hz Hz s Příklad 84 Stykač má být zapnut 8 hodin denně Má-li být vypnutý, je s pravděpodobností 0 % zapnutý, má-li být zapnutý, je s pravděpodobností 5 % vypnutý (a) S jakou pravděpodobností nepracuje správně? Jaká bude tato pravděpodobnost, pokud použijeme dva nezávislé stykače a spojíme je (b) sériově, (c) paralelně? Příklad 85 Předpokládejme, že politická strana má volební preference 3 % Jaká je pravděpodobnost, že v průzkumu odhad jejích preferencí dosáhne aspoň 5 %, je-li rozsah výběru (a) 500, (b) 000? Příklad 86 Na stejném místě měříme teplotu dvěma nezávislými teploměry se směrodatnými odchylkami C Ukazují 3 C, resp 5 C Jaké je riziko, že mrzne? Uved te použité předpoklady Řešení Aritmetický průměr obou údajů je 75 C se směrodatnou odchylkou C, ( ) 75 Φ Φ (944 54) Příklad 87 Náhodná veličina X je počet dětí ve školním věku v jedné rodině Předpokládáme, že má Poissonovo rozdělení s parametrem λ 08, tj p X (k) λk k! e λ, k {0,,, }, EX λ, DX λ Ve městě bydlí n rodin Jaký počet míst ve školách bude postačovat s pravděpodobností aspoň 95 %? (Předpokládáme, že všechny děti chodí do školy v obci, ve které bydlí) Uved te použité předpoklady Řešení postup: Použijeme centrální limitní větu; počet dětí má přibližně normální rozdělení N(n λ, n λ) N(8 000, 8 000) Výsledkem je kvantil q N(n λ,n λ) (095) n λ + n λ Φ (095) Zaokrouhlíme nahoru; potřebujeme aspoň 848 míst postup: Součet nezávislých Poissonových rozdělení má Poissonovo rozdělení, zde s parametrem n λ Pro intervalový odhad je nahradíme normálním rozdělením N(8 000, 8 000), další postup je stejný Předpokládáme nezávislost počtu dětí v jednotlivých rodinách Existence rozptylu je zaručena předpoklady Dále považujeme počet rodin za dostatečně velký na to, abychom mohli zanedbat chybu v náhradě výsledného (Poissonova) rozdělení normálním 7

28 Příklad 88 Za první účast na zkoušce se platí 30 EUR, za každý opravný pokus více než za předešlý Student má v každém pokusu pravděpodobnost úspěchu p Na kolik ho v průměru zkouška přijde (v závislosti na p)? Řešení Pokus je popsán binomickým rozdělením Bi(n, p), maximalizujeme hodnotu ( n ) p ( p) n n p ( p) n v závislosti na n V reálném oboru vychází n ln ( p + ) Funkce je unimodální (do maxima rostoucí, pak klesající), takže optimum v oboru celých čísel nastává pro jedno ze dvou celých čísel, která jsou nejblíže této hodnotě Pro p /3, n ln 3 n 0 n p ( p) n 0 n n p ( p) n 3 n n p ( p) n 4 9 n 3 n p ( p) n 4 9 n 4 n p ( p) n 3 8 n n p ( p)n p ( p) n + np (ln ( p)) ( p) n 0, řešení: C if p 0 { } ln( p+) { ln( p+) C \ {0} } if p if p 0 p Příklad 89 Posud te, který z pravděpodobnostních modelů v tabulce nejlépe odpovídá pozorovaným četnostem známek: známka 3 4 pravděpodobnost dle modelu A /4 /4 /4 /4 pravděpodobnost dle modelu B /6 /6 /3 /3 pravděpodobnost dle modelu C /8 /8 /4 / četnost Příklad 90 Jaké jsou vztahy mezi nezávislostí a nekorelovaností náhodných veličin? Uved te jeden příklad u každé kombinace těchto vlastností, která může nastat Řešení Nezávislé náhodné veličiny jsou nekorelované, příkladů je mnoho Příklady ostatních případů: Závislé a korelované: X Y libovolné kromě konstatních Závislé a nekorelované: (X, Y ) nabývá hodnot (, ), (, ), (, ), (, ) s pravděpodobnostmi /4 Pak EX EY E(X Y ) 0, P [X, Y ] 0 P [X ] P [Y ] 4 8 Příklad 9 Po /3 dní neprší V ostatní dny má srážkový úhrn v mm přibližně logaritmickonormální rozdělení LN(0, 5), tj rozdělení náhodné veličiny tvaru X exp(y ), kde Y má rozdělení N(0, 5) Její hustota je { ( ) f X (u) u exp (ln u) 5 π 5 pro u > 0, 0 jinak Odhadněte, jak velký denní úhrn srážek je překročen za 00 let 8