a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti.

Transkript

1 Vyováváí dat Naše pozoováí jsou dáa tabulkou čísel, kde y y y i často bývají časové údaje, a my chceme data položit ějakou hladkou fukcí, kteá by vystihovala hlaví vlastosti dat, ale igoovala malé fluktuace a epřesosti Metoda ejmeších čtveců Zde volíme tva hladké fukce předem, apříklad jako přímku a + b ebo paabolu a + b + c Paamety křivky a, b, c, učíme jako ty, kteé miimalizují součet čtveců odchylek mezi křivkou a daty Předpokládejme tedy, že chceme data položit fukcí tvau a f + + a k f k, k, kde a, a jsou ezámé koeficiety, kteé potřebujeme alézt Vyovaá data budeme začit ŷ i = a f i + + a k f k i, i =,, Pokud použijeme vektoový zápis y := y,, y T R, esp ŷ := ŷ,, ŷ T R, můžeme defiičí ovost po vyovaá data přepsat do maticového tvau ŷ = F a, kde F = f j i,k i,j=, a kde a = a,, a k T R k Rozepsáo po složkách: ŷ ŷ = f f k f f k a a k Koeficiety a budeme hledat jako ty, kteé miimalizují eziduálí součet čtveců Sa = i= y i ŷ i Te je možé vyjádřit ve tvau Sa = y i ŷ i = i= y i i= j= k a j f j i = y ŷ T y ŷ = y F a T y F a Předpokládejme po jedoduchost, že matice F má plou hodost, tj hf = k Potom po zdeivováí Sa podle a dostaeme a Sa = F T y F T F a, a položíme-li deivaci ovou 0, zjistíme, že â řeší soustavu k lieáích ovic o k ezámých F T F a = F T y Této soustavě říkáme soustava omálích ovic Řešeí â musí být bodem globálího miima fukce Sa, potože ta je koveí v a

2 Potože F má plou hodost, matice F T F čtvecová k k má také plou hodost a eistuje její iveze Poto a vyovaá data obdžíme ze vztahu Matici H se říká pojekčí matice â = F T F F T y, ŷ = F â = Hy, kde H := F F T F F T Pozámka Obecě eí uté předpokládat, že i jsou čísla, mohou to být apř dvojice či l-tice čísel Příklad: Pokládáí přímkou a + a V tomto případě f =, f = F =, =, kde = a kde = Pak F T F = T T T T, = T T = i= i i= i i= i Příslušá iveze je pak tvau F T F = i= i i= i i= i i= i Matice F T y je tvau T T T y y = T y = i= y i i= iy i Příslušé koeficiety â, â pak získáme â â y = i= i i= iy i i= i i= iy i y Odtud plye â = i= iy i y i= i, a â = y i= i i= iy i y i= i = y â

3 Pavděpodobostí itepetace: egesí model Předpokládáme, že posloupost y := y,, y T je ealizací áhodého vektou Y := Y,, Y T vyhovující lieáímu modelu Y = F a + e, kde áhodý vekto e = e,, e T má složky s ulovou středí hodotou a va e = σ I, kde I je -ozměá jedotková matice a σ > 0 Pozámka: Zápis říká, že vekto Y má středí hodotu F a a vaiačí matici σ I Pávě tato lieáí závislost středí hodoty EY = EY,, EY T a vektou paametů a = a,, a k T je důvodem, poč se modelu říká lieáí Ze základí předášky z matematické statistiky víme, že za předpokladů egesího modelu mají odhaduté koeficiety a data vyovaá metodou ejmeších čtveců ěkteé pěké vlastosti Platí apříklad ásledující věta Věta Odhad paametu a v egesím modelu je estaý, jeho ozptyl je ove σ F T F Jsou-li avíc y i, e i ezávislé a stejě ozděleé, pak â je kozistetí odhad vektou a Spliy po částech paametické vyováváí Zatím jsme vyovávali data pomocí předem daé křivky, závislé a ěkolika málo paametech apř paabola Nyí budeme vyovávat pomocí křivek, kteé jsou fleibilější V jedotlivých předem zvoleých itevalech je křivka defiovaá ůzě, ale jako celek si stále zachovává učitou hladkost, vyjádřeou pomocí spojitosti deivací až do učeého řádu Defiice Buď dáa posloupost bodů {u j } m j=, ty azveme uzly Spliem řádu k azveme fukci f, kteá je v každém itevalu [u j, u j+ ] polyomem stupě k a kteá má v celém defiičím obou spojité deivace až do řádu k včetě Po částech paametické vyováváí si ukážeme a případu kubického spliu spliu řádu Zaměříme se a případ dvouobloukového spliu Nejpve zvolíme ide k {,, } a tím i odpovídající uzel k Vyovaé hodoty ŷ i budeme defiovat jako f i po i {,, }, kde f = c 0 + c + c + c, pokud k = c 0 + c + c + c + d k, pokud > k Fukce f má tím pádem spojitou duhou deivaci i v bodě k ověřeí přeecháváme čteáři Hodoty paametů c 0,, c, d volíme tak, abychom miimalizovali hodotu k yi c 0 c i c i c i + yi c 0 c i c i c i d i k i= i=k+ Jiá lieáí závislost a vektou a = a,, a k T ež závislost tvau a F a kde F matice s k sloupci eeistuje pokud má být výsledkem této závislosti koečě ozměý vekto čísel

4 Zřejmě jde o metodu ejmeších čtveců s maticí 0 F = k+ k+ k+ k+ k k Zbývá tedy řešit soustavu omálích ovic i i i i k + i i i i i i k + i i i i i i k + i i i 6 i i i k i + k + i i k + i i k + i i k + i k + 6 yi i y i i y i i y i i k +y i, kde i k + = I i k >0 i k začí kladou část čísla i k Po obecý p-obloukový kubický splie postupujeme obdobě, volíme p uzlů a p + paametů c 0, c, c, c, d, d p Klouzavé půměy Klouzavé půměy KP jsou schopy postihout ted v datech, tedy smě a míu pohybu pozoovaých hodot, bez toho, že bychom měli po ted ějaký specifický model Data vyovávají pouze lokálě, tj v daém bodě se vyovaá hodota počítá pouze z ěkolika okolích hodot, ikoli z celé pozoovaé řady Na základě dat y = y,, y T získáme vyovaé hodoty ŷ i předpisem ŷ i := a j y i+j, po i = +,,, j:= kde váhy a,, a splňují j= a j = Číslo + azveme délkou klouzavého půměu Klouzavé aitmetické půměy Všechy váhy a,, a jsou stejé a jsou ovy hodotě + Vyovaá hodota je tedy opavdu je postý půmě z + okolích hodot Výhodou klouzavých aitmetických půměů je, že všechy váhy jsou ezápoé, evýhodou, že eí vyová počátečí a kocový úsek dat Kostukce KP vyováváím úseků polyomy Váhy klouzavých půměů volíme tak, že apoimujeme + čleů řady y t,, y t, y t+ vhodým polyomem řádu k a hodotu tohoto polyomu v bodě t použijeme jako vyovaou hodotu ŷ t Číslo k azýváme řád klouzavého půměu

5 K tomu, abychom dospěli k příslušým vahám po klouzavé půměy délky + a řádu k, budeme uvažovat model y t+u = c 0 + c u + c u + + c k u k po u =,, Maticově to lze zapsat ve tvau y t = y t y t+ = k k Skutečé vyovaé hodoty pak obdžíme dosazeím u := 0, c 0 c k ŷ t = c 0 + c u + c u + + c k u k u=0 = c 0 Paamety c 0,, c k získáme metodou ejmeších čtveců Příklad: Kubický polyom k = délky = Uvažovaý model je tvau y t+u = c 0 + c u + c u + c u K volbě paametů c 0, c, c, c použijeme metodu ejmeších čtveců Nejpve sestavíme matici 8 F = Paamet c = c 0,, c T dostaeme jako řešeí soustavy omálích ovic F T F c = F T y t, kde y t = y t, y t, y t, y t+, y t+ T po t =,, Pojekčí matici H obdžíme pomocí vzoce H = F F T F F T = Vyovaá hodota ŷ t = c 0 je ova součiu postředího řádku H a sloupcového vektou y t, ŷ t =,, 7,, y t, po t =,, Po klouzavé půměy zkostuovaé vyováváím úseků polyomy obecě platí, že součet vah je ove, váhy jsou symetické kolem postředí hodoty, po sudé k je klouzavý půmě řádu k a k + stejý

6 Počátečí a kocové úseky řady tedy t a t + emůžeme položit pomocí vzoce, potože emáme k dispozici odpovídající y t Použijeme poto pokládáí pvím a posledím možým polyomem, a ŷ ++u = c 0 + c u + c u + + c k u k, u =,,, ŷ +u = c 0 + c u + c u + + c k u k, u =,, Koeficiety spočítáme opět metodou ejmeších čtveců Dosazeím u = + do ovice s odhadutými koeficiety dostaeme předpověď a jede kok dopředu Teto postup lze ovšem použít je po kátkodobé předpovědi Pozámka: Počátečí, kocové a předpovědí klouzavé půměy se liší po řády k a k + Příklad - pokačováí: Hodoty y, y lze vyovat pokládáím polyomu ŷ +u = c 0 + c u + c u + c u, u =,, 0,, Uvědomme si, že metodou ejmeších čtveců dojdeme ke stejé pojekčí matici H jako v a tedy ŷ =, 8,, 7, y, ŷ =,, 6,, 69y Obdobě dojdeme ke vzocům po začátek řady ŷ =, 7,, 8, y, ŷ = 69,, 6,, y Předpověď o jede kok dopředu získáme použitím hodoty u = Příslušé koeficiety lze získat ásledujícím způsobem,,, F T F F T =,,,, 6 Předpověď o jede kok dopředu pak vychází ve tvau ŷ + =,,,, 6y Whittacke-Hedesoova metoda Při vyhlazováí jsou většiou v potikladu dva požadavky: dosáhout dobé shody mezi původími a vyovaými daty tedy co ejmeší půměá kvadatická odchylka vyovaých hodot ŷ i od původích hodot y i, vyovaá data by měla být co ejvíce hladká tedy co ejmeší vaiace vyovaých hodot Whittacke-Hedesoova metoda umožňuje hledat kompomis mezi těmito dvěma požadavky tím, že jim přiděluje ozdílou váhu 6

7 Vyovaé hodoty učíme tak, aby miimalizovaly hodotu M = y i ŷ i + h ŷ i, 6 i= i=+ kde h > 0 je paamet, kteý eodhadujeme, ale volíme Symbol ŷ i = ŷ i ŷ i ozačuje ekuzivě defiovaou -tou zpětou difeeci poslouposti ŷ i, kde 0 ŷ i = ŷ i a ŷ i = ŷ i = ŷ i ŷ i Tuto zpětou difeeci lze zapsat pomocí biomické fomule ŷ i = ŷ i ŷ i ŷ i Pví čle ve vzoci 6 tedy měří shodu mezi y i a ŷ i a duhý čle hladkost vyováí pomocí difeecí -tého řádu se většiou volí, ebo Paamet h > 0 volíme podle toho, jestli klademe větší důaz a shodu ebo a hladkost Abychom byli schopi vyjádřit hodotu M maticově, defiujeme matici K ozměu, 0 K = 0 Pak lze psát M = ŷ y T ŷ y + h ŷ T K T Kŷ Matice duhých deivací M podle ŷ i je I + hk T K, což je pozitivě defiití matice, tedy bod, ve kteém ŷmŷ = 0, je bod lokálího miima fukce M Deivováím podle ŷ dostaeme M,, M = ŷmŷ = ŷ y + hk T Kŷ ŷ ŷ Bod ŷ = I + hk T K y je tak bodem miima M a R 7