Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze
|
|
- Františka Zdenka Němcová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze
2 Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na počítači V tradiční teorii lineární algebry podobné problémy neexistovaly Rozvoj numerické lineární algebry v minulém století Vedlo ke vzniku řady důmyslných algoritmů a překvapivých důsledků: třeba dekompozice LDU, QR a SVD Problémy s rychlostí a přesností výpočtu
3 Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na počítači V tradiční teorii lineární algebry podobné problémy neexistovaly Rozvoj numerické lineární algebry v minulém století Vedlo ke vzniku řady důmyslných algoritmů a překvapivých důsledků: třeba dekompozice LDU, QR a SVD Problémy s rychlostí a přesností výpočtu
4 Problematické soustavy Příklad (Špatná matice) Soustava A = ( ) ( ) Mezi pivoty matice jsou obrovské rozdíly I nepatrná změna pravé strany obrovsky změní výsledek: ( ) ( ) ( ) ( ) pro b = je x =, ale pro b 2 0 = je x = 1 Žádná numerická metoda se není schopná podobným chybám vyhnout!
5 Problematické soustavy Příklad (Špatná matice) Soustava A = ( ) ( ) Mezi pivoty matice jsou obrovské rozdíly I nepatrná změna pravé strany obrovsky změní výsledek: ( ) ( ) ( ) ( ) pro b = je x =, ale pro b 2 0 = je x = 1 Žádná numerická metoda se není schopná podobným chybám vyhnout!
6 Problematické soustavy Příklad (Špatná matice) Soustava A = ( ) ( ) Mezi pivoty matice jsou obrovské rozdíly I nepatrná změna pravé strany obrovsky změní výsledek: ( ) ( ) ( ) ( ) pro b = je x =, ale pro b 2 0 = je x = 1 Žádná numerická metoda se není schopná podobným chybám vyhnout!
7 Problematické soustavy Příklad (Špatná matice) Soustava A = ( ) ( ) Mezi pivoty matice jsou obrovské rozdíly I nepatrná změna pravé strany obrovsky změní výsledek: ( ) ( ) ( ) ( ) pro b = je x =, ale pro b 2 0 = je x = 1 Žádná numerická metoda se není schopná podobným chybám vyhnout!
8 Problematické soustavy Příklad (Špatný algoritmus) Soustava ( ) B = 1 1 ( ) ( ) Opět nejsme schopni pracovat s obrovskými rozdíly pivotů Dostáváme proto velice nepřesná řešení: ( ) ( ) 1 1 Pro b = je x = ( ) 1, ale dostáváme x = 1 ( ) 0 1 Pro dobré matice existuje řešení: částečná pivotace
9 Problematické soustavy Příklad (Špatný algoritmus) Soustava ( ) B = 1 1 ( ) ( ) Opět nejsme schopni pracovat s obrovskými rozdíly pivotů Dostáváme proto velice nepřesná řešení: ( ) ( ) 1 1 Pro b = je x = ( ) 1, ale dostáváme x = 1 ( ) 0 1 Pro dobré matice existuje řešení: částečná pivotace
10 Problematické soustavy Příklad (Špatný algoritmus) Soustava ( ) B = 1 1 ( ) ( ) Opět nejsme schopni pracovat s obrovskými rozdíly pivotů Dostáváme proto velice nepřesná řešení: ( ) ( ) 1 1 Pro b = je x = ( ) 1, ale dostáváme x = 1 ( ) 0 1 Pro dobré matice existuje řešení: částečná pivotace
11 Problematické soustavy Příklad (Špatný algoritmus) Soustava ( ) B = 1 1 ( ) ( ) Opět nejsme schopni pracovat s obrovskými rozdíly pivotů Dostáváme proto velice nepřesná řešení: ( ) ( ) 1 1 Pro b = je x = ( ) 1, ale dostáváme x = 1 ( ) 0 1 Pro dobré matice existuje řešení: částečná pivotace
12 O čem bude řeč Budeme se snažit s těmito a dalšími problémy vypořádat: Problémy se zaokrouhlováním a nepřesností výpočtu Rychlejší řešení soustav lineárních rovnic pomocí iterativních metod Musíme nejprve probrat teorii vlastních čísel
13 Diferenciální rovnice Příklad (Soustava lineárních diferenciálních rovnic) Chceme řešit soustavu lineárních diferenciálních rovnic: d v d t d w d t neboli v maticovém zápisu ( ) v(t) u(t) =, u w(t) 0 = = 4v 5w, v 0 = 8, = 2v 3w, w 0 = 5, ( ) 8, A = 5 ( ) 4 5, Au = d u 2 3 d t Z analýzy víme, že řešením jsou exponenciely v(t) = e λt y, u(t) = e λt z, tedy u(t) = e λt x Potřebujeme dopočítat konstantu λ a k ní vektor x
14 Diferenciální rovnice Příklad (Soustava lineárních diferenciálních rovnic) Chceme řešit soustavu lineárních diferenciálních rovnic: d v d t d w d t neboli v maticovém zápisu ( ) v(t) u(t) =, u w(t) 0 = = 4v 5w, v 0 = 8, = 2v 3w, w 0 = 5, ( ) 8, A = 5 ( ) 4 5, Au = d u 2 3 d t Z analýzy víme, že řešením jsou exponenciely v(t) = e λt y, u(t) = e λt z, tedy u(t) = e λt x Potřebujeme dopočítat konstantu λ a k ní vektor x
15 Diferenciální rovnice Po dosazení dostáváme: λe λt y = 4e λt y 5e λt z, λe λt z = 2e λt y 3e λt z Tedy po vykrácení e λt dostáváme soustavu lineárních rovnic: λy = 4y 5z, λz = 2y 3z, neboli v řeči matic Ax = λx
16 Diferenciální rovnice Po dosazení dostáváme: λe λt y = 4e λt y 5e λt z, λe λt z = 2e λt y 3e λt z Tedy po vykrácení e λt dostáváme soustavu lineárních rovnic: λy = 4y 5z, λz = 2y 3z, neboli v řeči matic Ax = λx
17 Diferenciální rovnice Číslu λ se říká vlastní číslo matice A a vektor x je příslušný vlastní vektor, smysl mají pouze nenulové vlastní vektory Má smysl uvažovat jen pro čtvercové matice Pokud je x vlastní vektor, potom platí (A λi)x = 0, tedy kernel matice A λi obsahuje netriviální vektor x Fakt: Kernel matice je netriviální, právě když je matice singulární To lze testovat například pomocí determinantu: det(a λi) = 0, právě když A λi je singulárni
18 Diferenciální rovnice Číslu λ se říká vlastní číslo matice A a vektor x je příslušný vlastní vektor, smysl mají pouze nenulové vlastní vektory Má smysl uvažovat jen pro čtvercové matice Pokud je x vlastní vektor, potom platí (A λi)x = 0, tedy kernel matice A λi obsahuje netriviální vektor x Fakt: Kernel matice je netriviální, právě když je matice singulární To lze testovat například pomocí determinantu: det(a λi) = 0, právě když A λi je singulárni
19 Diferenciální rovnice Vlastní čísla matice A = ( ) splňují λ 2 λ 2 = 0, tedy jsou to λ 1 = 1 a λ 2 = 2 Dopočteme vlastní vektory x 1 a x 2 : ( ) ( ) ( ) =, ( )( ) 5 = 2 ( ) 0 0 Řešením soustavy diferenciálních rovnic je nějaká lineární kombinace u = c 1 e λ 1t x 1 + c 2 e λ 2t x 2, po dopočítání konstant dle počátečního stavu: v(t) = 3e t + 5e 2t, w(t) = 3e t + 2e 2t
20 Diferenciální rovnice Vlastní čísla matice A = ( ) splňují λ 2 λ 2 = 0, tedy jsou to λ 1 = 1 a λ 2 = 2 Dopočteme vlastní vektory x 1 a x 2 : ( ) ( ) ( ) =, ( )( ) 5 = 2 ( ) 0 0 Řešením soustavy diferenciálních rovnic je nějaká lineární kombinace u = c 1 e λ 1t x 1 + c 2 e λ 2t x 2, po dopočítání konstant dle počátečního stavu: v(t) = 3e t + 5e 2t, w(t) = 3e t + 2e 2t
21 Diferenciální rovnice Vlastní čísla matice A = ( ) splňují λ 2 λ 2 = 0, tedy jsou to λ 1 = 1 a λ 2 = 2 Dopočteme vlastní vektory x 1 a x 2 : ( ) ( ) ( ) =, ( )( ) 5 = 2 ( ) 0 0 Řešením soustavy diferenciálních rovnic je nějaká lineární kombinace u = c 1 e λ 1t x 1 + c 2 e λ 2t x 2, po dopočítání konstant dle počátečního stavu: v(t) = 3e t + 5e 2t, w(t) = 3e t + 2e 2t
22 Geometrický pohled Jiný pohled na rovnici Ax = λx je, že vlastní vektory pevné směry lineárního zobrazení a vlastní čísla jsou koeficienty natažení Příklad (Rovnoměrné zvětšení) A = ( ) Má dvojnásobné vlastní číslo λ 1 = λ 2 = 2, každý vektor je vlastní y x
23 Geometrický pohled Jiný pohled na rovnici Ax = λx je, že vlastní vektory pevné směry lineárního zobrazení a vlastní čísla jsou koeficienty natažení Příklad (Rovnoměrné zvětšení) A = ( ) Má dvojnásobné vlastní číslo λ 1 = λ 2 = 2, každý vektor je vlastní y x
24 Geometrický pohled Jiný pohled na rovnici Ax = λx je, že vlastní vektory pevné směry lineárního zobrazení a vlastní čísla jsou koeficienty natažení Příklad (Rovnoměrné zvětšení) A = ( ) Má dvojnásobné vlastní číslo λ 1 = λ 2 = 2, každý vektor je vlastní y x
25 Geometrický pohled Příklad (Nerovnoměrné zvětšení) B = ( ) y Má vlastní čísla λ 1 = 3 a λ 2 = 2 a vlastní vektory x 1 = (1, 0) a x 2 = (0, 1) x Jednotková kružnice se transformuje na elipsu Osy elipsy jsou ve směru vlastních vektorů
26 Geometrický pohled Příklad (Nerovnoměrné zvětšení) B = ( ) y Má vlastní čísla λ 1 = 3 a λ 2 = 2 a vlastní vektory x 1 = (1, 0) a x 2 = (0, 1) x Jednotková kružnice se transformuje na elipsu Osy elipsy jsou ve směru vlastních vektorů
27 Geometrický pohled Příklad (Zkosení) C = ( ) Má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1 a pouze jeden směr vlastních vektorů x 1 = (1, 0) y x Příklad (Rotace o 90 ) ( ) 0 1 Má komplexní vlastní čísla λ D = 1 = +i a λ 2 = i 1 0 a vlastní vektory x 1 = (1, i) a x 2 = (1, +i)
28 Geometrický pohled Příklad (Zkosení) C = ( ) Má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1 a pouze jeden směr vlastních vektorů x 1 = (1, 0) y x Příklad (Rotace o 90 ) ( ) 0 1 Má komplexní vlastní čísla λ D = 1 = +i a λ 2 = i 1 0 a vlastní vektory x 1 = (1, i) a x 2 = (1, +i)
29 Geometrický pohled Příklad (Zkosení) C = ( ) Má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1 a pouze jeden směr vlastních vektorů x 1 = (1, 0) y x Příklad (Rotace o 90 ) ( ) 0 1 Má komplexní vlastní čísla λ D = 1 = +i a λ 2 = i 1 0 a vlastní vektory x 1 = (1, i) a x 2 = (1, +i)
30 Stabilita lineárních systémů Příklad (Markovský proces) Každý rok se do Kalifornie přistěhuje 10% lidí žijících mimo ní a 20% lidí se z Kalifornie odstěhuje Jak se bude vyvíjet populace v budoucích letech? Počáteční stav: ( y0 z 0 ), vývoj: ( yn+1 z n+1 ) = ( )( yn Nalezneme vlastní čísla, vlastní vektory a SDS 1 rozklad: ( )( )( ) A = SDS 1 2/3 1/ = 1/3 1/ Limitní stav je ( y z ) ( ) 2/3 = (y 0 + z 0 ) 1/3 z n )
31 Stabilita lineárních systémů Příklad (Markovský proces) Každý rok se do Kalifornie přistěhuje 10% lidí žijících mimo ní a 20% lidí se z Kalifornie odstěhuje Jak se bude vyvíjet populace v budoucích letech? Počáteční stav: ( y0 z 0 ), vývoj: ( yn+1 z n+1 ) = ( )( yn Nalezneme vlastní čísla, vlastní vektory a SDS 1 rozklad: ( )( )( ) A = SDS 1 2/3 1/ = 1/3 1/ Limitní stav je ( y z ) ( ) 2/3 = (y 0 + z 0 ) 1/3 z n )
32 Stabilita lineárních systémů Příklad (Markovský proces) Každý rok se do Kalifornie přistěhuje 10% lidí žijících mimo ní a 20% lidí se z Kalifornie odstěhuje Jak se bude vyvíjet populace v budoucích letech? Počáteční stav: ( y0 z 0 ), vývoj: ( yn+1 z n+1 ) = ( )( yn Nalezneme vlastní čísla, vlastní vektory a SDS 1 rozklad: ( )( )( ) A = SDS 1 2/3 1/ = 1/3 1/ Limitní stav je ( y z ) ( ) 2/3 = (y 0 + z 0 ) 1/3 z n )
33 Stabilita lineárních systémů Věta Diferenční rovnice u k+1 = Au k je stabilní, pokud všechna vlastní čísla splňují λ i < 1 neutrálně stabilní, pokud jedno vlastní číslo λ i = 1 a všechna další splňují λ j < 1 nestabilní, pokud alespoň jedno vlastní číslo λ i > 1 Každý vektor u k lze vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních čísel: u k = SD k S 1 u 0 = c 1 λ k 1 x c n λ k nx n c n λ k nx n, pokud λ n je největší vlastní číslo a x n 0
34 Stabilita lineárních systémů Věta Diferenční rovnice u k+1 = Au k je stabilní, pokud všechna vlastní čísla splňují λ i < 1 neutrálně stabilní, pokud jedno vlastní číslo λ i = 1 a všechna další splňují λ j < 1 nestabilní, pokud alespoň jedno vlastní číslo λ i > 1 Každý vektor u k lze vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních čísel: u k = SD k S 1 u 0 = c 1 λ k 1 x c n λ k nx n c n λ k nx n, pokud λ n je největší vlastní číslo a x n 0
35 Stabilita lineárních systémů Příklad (1941, H Bernadelli) Včely se dožívají třetího roku, kdy se rozmnožují První rok přežije polovina včel, druhý rok třetina a ve třetím zplodí každá včela šest potomků a zemře Jak se bude vyvíjet včelí populace? A = Vlastní čísla jsou třetí odmocniny z 1 Stabilní stav je α (6, 3, 1) ! Populace osciluje po třech letech A 3 = I i
36 Stabilita lineárních systémů Příklad (1941, H Bernadelli) Včely se dožívají třetího roku, kdy se rozmnožují První rok přežije polovina včel, druhý rok třetina a ve třetím zplodí každá včela šest potomků a zemře Jak se bude vyvíjet včelí populace? A = Vlastní čísla jsou třetí odmocniny z 1 Stabilní stav je α (6, 3, 1) ! Populace osciluje po třech letech A 3 = I i
37 Stabilita lineárních systémů Příklad (1941, H Bernadelli) Včely se dožívají třetího roku, kdy se rozmnožují První rok přežije polovina včel, druhý rok třetina a ve třetím zplodí každá včela šest potomků a zemře Jak se bude vyvíjet včelí populace? A = Vlastní čísla jsou třetí odmocniny z 1 Stabilní stav je α (6, 3, 1) ! Populace osciluje po třech letech A 3 = I i
38 Stabilita lineárních systémů Příklad Fibonnaciho čísla jsou definována: Jaká je hodnota F n? Platí ( Fn+1 F n+2 F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n ) = ( )( ) 0 1 Fn = 1 1 F n+1 ( ) n ( ) F0 Matice má vlastní čísla λ 1 = a λ 2 = Po dopočítání dostaneme vzorec: ( F n = ) n ( F 1 1 ) n 5 2
39 Stabilita lineárních systémů Příklad Fibonnaciho čísla jsou definována: Jaká je hodnota F n? Platí ( Fn+1 F n+2 F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n ) = ( )( ) 0 1 Fn = 1 1 F n+1 ( ) n ( ) F0 Matice má vlastní čísla λ 1 = a λ 2 = Po dopočítání dostaneme vzorec: ( F n = ) n ( F 1 1 ) n 5 2
40 Stabilita lineárních systémů Příklad Fibonnaciho čísla jsou definována: Jaká je hodnota F n? Platí ( Fn+1 F n+2 F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n ) = ( )( ) 0 1 Fn = 1 1 F n+1 ( ) n ( ) F0 Matice má vlastní čísla λ 1 = a λ 2 = Po dopočítání dostaneme vzorec: ( F n = ) n ( F 1 1 ) n 5 2
41 Několik užitečných vět Věta Pokud je matice symetrická, potom má všechna vlastní čísla reálná a n lineárně nezávislých vlastních vektorů je diagonalizovatelná Druhá podmínka platí přesně pro normální matice (AA T = A T A) Tvrzení Pro libovolnou matici A platí, že λ i = a i,i (stopa matice součet prvků na diagonále) a λ i = det(a)
42 Změna pravé strany Otázka (Matice z úvodu) Proč je matice A citlivější vůči numerickým operacím než B? Jak tuto citlivost charakterizovat? ( ) ( ) A =, B = Jak moc se řešení Ax = b může změnit při malé změně pravé strany na b + b? A(x + x ) = b + b = Ax = b Chceme popsat závislost x na b, třeba pomocí norem x a b
43 Změna pravé strany Otázka (Matice z úvodu) Proč je matice A citlivější vůči numerickým operacím než B? Jak tuto citlivost charakterizovat? ( ) ( ) A =, B = Jak moc se řešení Ax = b může změnit při malé změně pravé strany na b + b? A(x + x ) = b + b = Ax = b Chceme popsat závislost x na b, třeba pomocí norem x a b
44 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
45 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
46 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
47 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
48 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
49 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
50 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
51 První pokus Předpokládejme na chvíli, že matice má kladná reálná vlastní čísla a všechny vlastní vektory Hledáme vektor x, který zobrazení A co nejvíce zkrátí To je vlastní vektor x 1 příslušející k nejmenšímu vlastnímu číslu λ 1 Tedy dostáváme x 1 λ 1 b a této chyby se i nabývá Popsané faktor citlivosti má jednu klíčovou vadu: změnou měřítka se mění i citlivost matice přenásobení matice násobí i vlastní čísla Řešením je uvažovat relativní změnu x x vůči b b Uvažujme pravou stranu b, která je nejhorší: b = x n Dostáváme x 1 λ n b, tedy dohromady je x x λ n λ 1 b b a faktor citlivosti matice je c = λn λ 1
52 První pokus Příklad Jaké jsou faktory citlivosti matic A = ( ) 1 1, C = ? Matice A má vlastní čísla λ a λ 2 2, tedy c Matice C má vlastní čísla λ 1 π2 a λ n 2 n 4, tedy c n 2, chyba drasticky roste s velikostí n
53 První pokus Příklad Jaké jsou faktory citlivosti matic A = ( ) 1 1, C = ? Matice A má vlastní čísla λ a λ 2 2, tedy c Matice C má vlastní čísla λ 1 π2 a λ n 2 n 4, tedy c n 2, chyba drasticky roste s velikostí n
54 První pokus Příklad Jaké jsou faktory citlivosti matic A = ( ) 1 1, C = ? Matice A má vlastní čísla λ a λ 2 2, tedy c Matice C má vlastní čísla λ 1 π2 a λ n 2 n 4, tedy c n 2, chyba drasticky roste s velikostí n
55 Obecné řešení Můžeme povolit libovolná vlastní čísla a ve vzorcích uvažovat absolutní hodnoty Problém je, pokud matice nemá všechny vlastní vektory, třeba D = ( Matice má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1, ale problémy způsobují velké hodnoty mimo diagonálu Snažíme se nalézt vektor x, který maximalizuje Ax x Definice Norma matice A je číslo definované A = max x 0 ) Ax x
56 Obecné řešení Můžeme povolit libovolná vlastní čísla a ve vzorcích uvažovat absolutní hodnoty Problém je, pokud matice nemá všechny vlastní vektory, třeba D = ( Matice má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1, ale problémy způsobují velké hodnoty mimo diagonálu Snažíme se nalézt vektor x, který maximalizuje Ax x Definice Norma matice A je číslo definované A = max x 0 ) Ax x
57 Obecné řešení Můžeme povolit libovolná vlastní čísla a ve vzorcích uvažovat absolutní hodnoty Problém je, pokud matice nemá všechny vlastní vektory, třeba D = ( Matice má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1, ale problémy způsobují velké hodnoty mimo diagonálu Snažíme se nalézt vektor x, který maximalizuje Ax x Definice Norma matice A je číslo definované A = max x 0 ) Ax x
58 Obecné řešení Můžeme povolit libovolná vlastní čísla a ve vzorcích uvažovat absolutní hodnoty Problém je, pokud matice nemá všechny vlastní vektory, třeba D = ( Matice má vlastní čísla λ 1 = λ 2 = 1, ale problémy způsobují velké hodnoty mimo diagonálu Snažíme se nalézt vektor x, který maximalizuje Ax x Definice Norma matice A je číslo definované A = max x 0 ) Ax x
59 Obecné řešení Na normu matice lze nahlížet na obdobu největší vlastní čísla pro nediagonalizovatelné matice Tedy faktor citlivosti obecné matice je c = A A 1 Podobně tento faktor omezuje nepřesnosti vzniklé úpravou přímo matice A: x x + x c A A
60 Obecné řešení Na normu matice lze nahlížet na obdobu největší vlastní čísla pro nediagonalizovatelné matice Tedy faktor citlivosti obecné matice je c = A A 1 Podobně tento faktor omezuje nepřesnosti vzniklé úpravou přímo matice A: x x + x c A A
61 Obecné řešení Na normu matice lze nahlížet na obdobu největší vlastní čísla pro nediagonalizovatelné matice Tedy faktor citlivosti obecné matice je c = A A 1 Podobně tento faktor omezuje nepřesnosti vzniklé úpravou přímo matice A: x x + x c A A
62 Obecné řešení Nepřesnosti při řešení soustavy jsou dvojího typu: Přirozené, způsobené citlivostí matice Způsobené špatným algoritmem, třeba Gaussovou eliminací Wilkinson dokázal, že pokud při Gaussově budeme prohazovat řádky a vždy vybereme největší pivot, chyba způsobená algoritmem bude zanedbatelná B = ( ) ( ) ( )
63 Obecné řešení Nepřesnosti při řešení soustavy jsou dvojího typu: Přirozené, způsobené citlivostí matice Způsobené špatným algoritmem, třeba Gaussovou eliminací Wilkinson dokázal, že pokud při Gaussově budeme prohazovat řádky a vždy vybereme největší pivot, chyba způsobená algoritmem bude zanedbatelná B = ( ) ( ) ( )
64 Metoda obecně Pokud je matice obrovská, může být Gaussova eliminace příliš pomalá Navíc často stačí znát řešení jenom přibližně s dostatečnou přesností Rozdělíme matici: A = S T a místo Ax = b budeme řešit Sx = Tx + b Rešení budeme hledat iterativně, začneme s x 0 a budeme v každém kroku získávat přesnější odhad: Sx k+1 = Tx k + b
65 Metoda obecně Pokud je matice obrovská, může být Gaussova eliminace příliš pomalá Navíc často stačí znát řešení jenom přibližně s dostatečnou přesností Rozdělíme matici: A = S T a místo Ax = b budeme řešit Sx = Tx + b Rešení budeme hledat iterativně, začneme s x 0 a budeme v každém kroku získávat přesnější odhad: Sx k+1 = Tx k + b
66 Metoda obecně Pokud je matice obrovská, může být Gaussova eliminace příliš pomalá Navíc často stačí znát řešení jenom přibližně s dostatečnou přesností Rozdělíme matici: A = S T a místo Ax = b budeme řešit Sx = Tx + b Rešení budeme hledat iterativně, začneme s x 0 a budeme v každém kroku získávat přesnější odhad: Sx k+1 = Tx k + b
67 Metoda obecně Samozřejmě matici nemůžeme rozdělit na S a T úplně libovolně 1 Musí být snadné spočítat x k+1 ze znalosti x k S by měla být jednoduchá invertovatelná matice 2 Posloupnost x k musí konvergovat ke správné hodnotě x a pokud možno co nejrychleji Místo x k lze uvažovat chybu e k = x x k Platí tedy matice S 1 T musí být stabilní Se k+1 = Te k,
68 Metoda obecně Samozřejmě matici nemůžeme rozdělit na S a T úplně libovolně 1 Musí být snadné spočítat x k+1 ze znalosti x k S by měla být jednoduchá invertovatelná matice 2 Posloupnost x k musí konvergovat ke správné hodnotě x a pokud možno co nejrychleji Místo x k lze uvažovat chybu e k = x x k Platí tedy matice S 1 T musí být stabilní Se k+1 = Te k,
69 Metoda obecně Samozřejmě matici nemůžeme rozdělit na S a T úplně libovolně 1 Musí být snadné spočítat x k+1 ze znalosti x k S by měla být jednoduchá invertovatelná matice 2 Posloupnost x k musí konvergovat ke správné hodnotě x a pokud možno co nejrychleji Místo x k lze uvažovat chybu e k = x x k Platí tedy matice S 1 T musí být stabilní Se k+1 = Te k,
70 Metoda obecně Budeme uvažovat tři jednoduché volby S: 1 Jacobiho metoda: S je diagonální část matice A 2 Gauss-Seidelova metoda: S je dolní trojúhelník matice A 3 SOR metoda: S je kombinace obojího Zkusíme tyto metody blíže vysvětlit a porovnat
71 Jacobiho metoda Rozepišme si vztah Sx k+1 = Tx k + b: a 11 (x 1 ) k+1 = ( a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n ) k + b 1 a 22 (x 2 ) k+1 = ( a 21 x 1 a 23 x 3 a 2n x n ) k + b 2 = a nn (x n ) k+1 = ( a n1 x 1 a 23 x 3 a n,n 1 x n 1 ) k + b n Příklad ( 2 1 A = 1 2 S 1 T = ), S = ( ( 2 ), T = 2 ), λ 1 = 1 2, λ 2 = 1 2 ( ) 0 1, 1 0
72 Jacobiho metoda Rozepišme si vztah Sx k+1 = Tx k + b: a 11 (x 1 ) k+1 = ( a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n ) k + b 1 a 22 (x 2 ) k+1 = ( a 21 x 1 a 23 x 3 a 2n x n ) k + b 2 = a nn (x n ) k+1 = ( a n1 x 1 a 23 x 3 a n,n 1 x n 1 ) k + b n Příklad ( 2 1 A = 1 2 S 1 T = ), S = ( ( 2 ), T = 2 ), λ 1 = 1 2, λ 2 = 1 2 ( ) 0 1, 1 0
73 Gauss-Seidelova metoda Opět si rozepíšeme vztah Sx k+1 = Tx k + b: a 11 (x 1 ) k+1 = ( a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n ) k + b 1 a 22 (x 2 ) k+1 = ( a 21 x 1 ) k+1 + ( a 23 x 3 a 2n x n ) k + b 2 = a nn (x n ) k+1 = ( a n1 x 1 a 23 x 3 a n,n 1 x n 1 ) k+1 + b n Příklad A = ( ) 2 1, S = 1 2 S 1 T = ( ) 2 0, T = 1 2 ( ) 0 5, λ = 0, λ 2 = 1 4 ( ) 0 1, 0 0
74 Gauss-Seidelova metoda Opět si rozepíšeme vztah Sx k+1 = Tx k + b: a 11 (x 1 ) k+1 = ( a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n ) k + b 1 a 22 (x 2 ) k+1 = ( a 21 x 1 ) k+1 + ( a 23 x 3 a 2n x n ) k + b 2 = a nn (x n ) k+1 = ( a n1 x 1 a 23 x 3 a n,n 1 x n 1 ) k+1 + b n Příklad A = ( ) 2 1, S = 1 2 S 1 T = ( ) 2 0, T = 1 2 ( ) 0 5, λ = 0, λ 2 = 1 4 ( ) 0 1, 0 0
75 SOR metoda Metoda je určena parametrem ω: (D + ωl) x }{{} k+1 = ( (1 ω)d ωu ) x k + ωb }{{} ωs ωt Chceme zvolit ω optimálně Příklad Pro matici A = ( ) 2 1 dostáváme 1 2 S 1 T = ( ) 1 ( ) 2 0 2(1 ω) ω ω 2 0 2(1 ω)
76 SOR metoda Metoda je určena parametrem ω: (D + ωl) x }{{} k+1 = ( (1 ω)d ωu ) x k + ωb }{{} ωs ωt Chceme zvolit ω optimálně Příklad Pro matici A = ( ) 2 1 dostáváme 1 2 S 1 T = ( ) 1 ( ) 2 0 2(1 ω) ω ω 2 0 2(1 ω)
77 SOR metoda Metoda je určena parametrem ω: (D + ωl) x }{{} k+1 = ( (1 ω)d ωu ) x k + ωb }{{} ωs ωt Chceme zvolit ω optimálně Příklad Pro matici A = ( ) 2 1 dostáváme 1 2 S 1 T = ( ) 1 ( ) 2 0 2(1 ω) ω ω 2 0 2(1 ω)
78 Ostatní metody numerické lineární algebry Vedle řešení soustav rovnic Ax = b se v numerické analýze řeší: Hledání vlastních čísel: Ax = λx Problém nejmenších čtverců: Najít nejbližší řešení x pro soustavu Ax = b, která nemá řešení
79 A to je vše Děkuji za pozornost Prostor pro Vaše otázky Další zdroje: G Strang, Linear Algebra and Its Applications G H Golub, C F Van Loan, Matrix Computations
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceCvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceNumerické metody lineární algebry
Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet
VíceSVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceNumerické řešení soustav lineárních rovnic
Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceModerní numerické metody
Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární
Více2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceSingulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013
Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceNumerické metody lineární algebry
Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Více7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1
7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceSlajdy k přednášce Lineární algebra I
Slajdy k přednášce Lineární algebra I Milan Hladík Katedra Aplikované Matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze, http://kammffcunicz/~hladik 22 října 203 Intro Nejstarší zaznamenaná
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceNěkolik aplikací. Kapitola 12
Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Více