MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek

Transkript

1 MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ arametrický ois křivek 1 Jedánakřivka k(t)=[t t+ ; t 3 3t], t R. Nakresletečástkřivk kro t 3 ;3.Naišterovnicetečenkřivkvbodech k( 1), k(1) a k(). Dosazením několika hodnot arametru t získáme souřadnice bodů křivk k. Dále vočteme souřadnice růsečíků s osami a. růsečík křivk s osou je bod, jehož -ová souřadnice je nulová. Řešíme rovnici : t 3 3t=0. jsoutři, t {0, 3, 3}.růsečíksosou jsoubodk(0)=[ ;0],k( 3)=[5 3 ;0],k( 3)= [5+ 3 ;0]. růsečík křivk s osou je bod, jehož -ová souřadnice je nulová. Řešíme rovnici : t t+=0. Tato rovnice nemá reálné kořen, ted křivka nerotíná osu. Směrové vektor tečen křivk k získáme derivováním křivk k o souřadnicích: u(t)=k (t)=(t 1 ;3t 3). Vbodě k(1)=[ ; ]mákřivkatečnu sesměrovým vektorem u(1) =(1 ; 0) a arametrickým ředisem: 18 q l : = +s =, becnárovniceřímk je =. s R. Vbodě k( 1)=[ ;]mákřivkatečnu qse směrovýmvektorem u( 1)=( 3 ;0)aarametrickým ředisem: -18 Vbodě k()=[ ;]mákřivkatečnu lsesměrovýmvektorem u()=(3 ;9)aarametrickým ředisem: q: = 3s =, s R. l: = +s = +3s, s R. becnárovniceřímk qje =. becnárovniceřímk lje 3+10=0.

2 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek Jedánakřivka(elisa) k(t)=[cos(t) ;3sin(t)], t 0 ;π. Nakreslete elisu k. Naište rovnice tečen ve vrcholech elis. Křivka[cos(t) ; sin(t)]jekružnicese středemvbodě[0 ;0]aoloměrem. Křivka[3cos(t) ; 3sin(t)]jekružnicese středemvbodě[0 ;0]aoloměrem3. Bod zadané elis k ro konkrétní hodnotu arametru t(zde orientovaný úhel) ted můžeme sestrojit trojúhelníkovou konstrukcí elis. Tečné vektor křivk k jsou u(t)=( sin(t) ;3cos(t)), t 0 ;π 3 3sint t cost Vrchol elis a rovnice tečen v těchto bodech: t=0 k(0)=[ ;0] =, t= π k( π )=[0 ;3] =3, t=π k(π)=[ ;0] =, t= 3π k( 3π )=[0 ; 3] = Naište arametrické vjádření elis o středu S[ ; ], hlavní osou rovnoběžnou s osou, velikosthlavníoloos a=,velikostvedlejšíoloos b=. Vočítejte souřadnice růsečíků elis s osou a dále vočítejte souřadnice růsečíku tečen elis v těchto bodech. Elisa má arametrický ředis k(t)=[+cos(t) ; +sin(t)], t 0 ;π. Hodnot arametru t růsečíků elis s osou získáme vřešením rovnice +sin(t) = 0. Dosazenímřešenírovnice(nadanémintervalu) t 1 = π 6 a t = 5π 6 do ředisu křivk získáme růsečík sosou : k( π 6 )=[+ 3 ;0]ak( 5π 6 )=[ 3 ;0]. Tečné vektor elis jsou u(t)=( sint ;cost), t 0 ;π. Tečna elis v bodě k( π ) má směrový vektor 6 u( π)=( 1 ; 3)aarametrickévjádření: 6 : = + 3 s = 3 s, s R. - S Tečn elis v jejích růsečících s osou se rotínají nahlavníoseelis,cožjeřímka =.Stačíted určit souřadnice růsečíku tečn a hlavní os elis. růsečík tečen má souřadnice[ ; 6]. q

3 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek 3 Jedánakřivka k(t)=[t 1 ; t+1], t R. Nakresletečástkřivkro t ;. Křivka je arabola, naište rovnici os o a řídící římk d této arabol. saaraboljeřímka o: =1,vrchol jebod V[ 1 ;1]. Řídící římku lze získat z geometrických vlastností arabol. Věta o subtangentě a subnormále říká, že ohnisko ůlí součet subtangent a subnormál. Určíme rovnici tečn a normál arabol vezvolenémbodě k()=[3 ;3]. Tečné vektor arabol mají ředis u(t)=(t ;1),normálovévektormají ředis n(t)=( 1 ;t). Tečnaarabolvboděk()másměrovývektor u()=( ;1)aarametrickýředis d m F M Normála marabolvbodě k()másměrový vektor n()=( 1 ;)aarametrickýředis o : = 3+s = 3+s, s R. m: = 3 r = 3+r, r R. růsečíktečn sosouaraboljebod [ 5 ;1],růsečíknormál msosouaraboljebod M[ 7 ;1]. hnisko F arabol je střed úsečk určené růsečíkem tečn s osou a růsečíkem normál s osou: F= +M = [ 3 ] ;1. Řídící římka arabol je od vrcholu vzdálena stejně jako ohnisko, ted rovnice řídící římk dje = 5.

4 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek 5 Jedánašroubovice k(t)=[cos(t), sin(t),t], t R.sašroubovicejeosa z,šrouboviceje levotočivá,redukovanávýškazávituje v 0 =. Vočítejtesouřadnicerůsečíkutečnšroubovicevbodě A=k( π )sůdorsnou(souřadnicovou rovinou(,)). Tečné vektor šroubovice mají ředis: u(t)=( sin(t) ; cos(t) ;), t R. Tečna šroubovicevbodě k( π )=[0 ; ; π] má směrový vektor u( π ) = ( ; 0 ; ) arovnice: : = s = z = π+s, s R. Hodnotu arametru s, která odovídá růsečíku římk s ůdorsnou (,) zjistíme vřešením rovnice π+s=0. mje s= π arůsečík Rřímk sůdorsnoumásouřadnice[π ; ;0]. R A A z 6 Jedánakřivka k(t)=[t ; t 3 ], t R. Zjistěte, zda jsou na křivce singulární bod. okud ano, naište jejich souřadnice. Singulární bod křivk je takový bod, ve kterém neeistuje tečna tečný vektor křivk je nulový nebo neeistuje. 8 Tečnévektordanékřivkmajíředis u(t)=(t ;3t ), t R. rohodnotuarametru t=0je u(0)=(0 ;0).Jezřejmé,žerojiné hodnot arametru tečné vektor eistují a nejsou nulové. Ted jediným singulárnímbodemkřivkjebod S= k(0)=[0 ;0]. S oznámka: křivka se nazývá semikubická arabola. 8

5 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek 5 7 Jedánakřivka k(t)=[cos(t) cos(t) ;sin(t) sin(t)], t π ; π. Zjistěte zda má křivka singulární bod. okud ano, naište jejich souřadnice. Naišteobecnérovnicetečenanormálkřivkvbodech[1 ;?]. Tečné vektor dané křivk mají ředis u(t)= ( sin(t)+sin(t) ; cos(t) cos(t)), t π ; π. q m ro určení singulárních bodů křivk musíme řešit rovnice sin(t)+sin(t) = 0, cos(t) cos(t) = 0. Q m rvní rovnice na daném intervalu jsou t { π, π } 3,0,π 3,π. m{ druhé rovnice na daném intervalu jsou t π } 3,0,π. 3 3 S Solečným řešením obou rovnic je ouze t = 0, ted jediným singulárním bodem křivkje S= k(0)=[1 ;0]. Chbějící souřadnici bodů[1 ;?] dourčíme vřešenímrovnicecos(t) cos(t)=1. { mjsouhodnot t π },0,π. n Tečna křivkvbodě = k( π )=[1 ; ]márovnici 3=0,normála nvbodě má rovnici ++1=0. Tečna qkřivkvbodě Q=k( π )=[1 ;]márovnici + 3=0,normála mvbodě Qmárovnici +1=0. Vbodě Skřivkatečnunemá. oznámka: křivka se nazývá kardioida.

6 6 FA C VUT, MATEMATIKA R I KLADY NA RCVIC ENI, arametrick ois kr ivek 8 Je dána křivka k(t) = [1 + t ; t ; 1 + t3 ], t R. Naište rovnice tečn křivk v bodě A = k(1). Dále naište rovnici rovin α, která tímto bodem rochází a je kolmá k tečně křivk v tomto bodě (tzv. normálová rovina křivk k v bodě k(1)). R es enı Tečné vektor křivk k mají ředis u(t) = (1 ; t ; 3t ), t R. z Tečna křivk v bodě A[ ; 1 ; ] má směrový vektor u(1) = (1 ; ; 3) a arametrický ředis: : = +s = 1 s z = + 3s, s R. A Rovina α je kolmá na římku, ted směrový vektor římk je normálovým vektorem rovin α. Ted lze snadno odvodit obecnou rovnici rovin α: 1 A1 + 3z + d = 0, A α : d = 0 d = 10, α : + 3z 10 = 0. 9 Je dána křivka k(t) = [t ; t ; et ], t R. Naište rovnici normálové rovin α křivk v růsečíku křivk s osou z. Dále naište rovnice růsečnice této rovin s ůdorsnou π(,). R es enı Nejdříve určíme růsečík křivk s osou z. Bod A = k z má souřadnice [0 ; 0 ;?]. Z ředisu křivku je zřejmé, že to je bod k(0) = [0 ; 0 ; 1]. z Tečné vektor křivk mají ředis u(t) = (1 ; t ; et ), t R. Tečný vektor křivk v bodě A je u(0) = (1 ; 0 ; 1) a je to zároveň normálový vektor rovin α. dvodíme ted obecnou rovnici normálové rovin: +z+d = 0 A α: 1 + d = 0 d = 1, α: +z 1 = 0 A =1 Dále hledáme růsečnici rovin α : + z 1 = 0 a π : z = 0. růsečnice má arametrické vjádření: q: = 1 = s z = 0, s R. q=q 1

7 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek 7 [ 10 Jedánakřivka k(t)= cost 1+sin t ;sintcost 1+sin t ], t Určete souřadnice všech růsečíků křivk s osou. Naište obecné rovnice tečen křivk v těchto bodech. růsečíksosou jsoubod [? ;0]. ro určení říslušných hodnot arametru t řešíme rovnici sintcost 1+sin t =0. π ;7π sintcost=0 sint=0 cost=0 t růsečíkkřivk ksosou jsoubod. { 0, π,π,3π } 1 = k(0)=[1 ;0], = k( π )=[0 ;0], 3= k(π)=[ 1 ;0], = k( 3π )=[0 ;0]. Tečnévektorkřivk kjsou u(t)= ( sint (+cos t) (1+sin t) ; becné rovnice tečen v růsečících s osou jsou: 1 : 1=0, : =0, 3 : +1=0, : +=0. ) 3cos t (1+sin, t π t) ;7π oznámka: Křivka se nazývá Bernoulliho lemniskata. brázek není součástí řešení v testu.. =

8 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek 8 11 Jedánakřivka k(t)= [ t ; 8t ;1lnt ], t (0 ; ). Zjistěte,vekterýchbodechmákřivka ktečnrovnoběžnésrovinou α(a,b,c), A[1 ;0;0], B[0 ;1;0], C[0 ;0;1]. římka je rovnoběžná s rovinou, okud je její směrový vektor kolmý na normálový vektor rovin. Nejrveurčímenormálovývektorrovin α.směrovévektorrovin αjsou u= AB=( 1 ;1;0) a v= AC=( 1 ;0;1).Normálovývektorrovin αje n=u v =(1 ;1;1). ( Směrovévektroutečenkřivk kjsou u(t)= t 3 ; 16t ; 1 ), t (0 ; ). t Dva nenulové vektor jsou kolmé rávě tehd, kdž je jejich skalární součin nulový, ted řešíme rovnici ( (1 ;1;1) t 3 ; 16t ; 1 ) = 0, t t 3 16t+ 1 = 0. t mtétorovnicezintervalu(0 ; )jsou t { 1 ; 3 }.Tedbodřivk k,vekterýchjejejí tečna rovnoběžná s rovinou α jsou k(1)=[1 ; 8 ;0] a k( 3)=[9 ; ;6ln(3)]. 1 Jedánakřivka k(t)=[sin(t) ;1 cos(t) ;cos(t)], t 0 ;π. Naištesouřadnicevektoru,kterýjekolmýkroviněurčenétečnamikřivkvbodě A[0 ;;0]. Nejrve určíme hodnot arametru t, ro které je k(t) = A. Řešíme rovnice sin(t) = 0, 1 cos(t) =, cos(t) = 0. Solečným řešením těchto rovnic jsou hodnot arametru t { π ; } 3π.Tedbod A=k( π )=k(3π). Tečné vektor křivk k jsou u(t)=(cos(t) ;sin(t) ; sin(t)), t 0 ;π. Rovina αurčenátečnamikřivk kvbodě Amásměrovévektor u( π)=(1 ;0;1)au(3π )=( 1 ;0;1). Vektor kolmý k rovině α je vektrovým součinem směrových vektorů tečen v bodě A: n=(1 ;0;1) ( 1 ;0;1)=(0 ; ;0). oznámka: Křivka se nazývá Vivianiho okénko. brázek není součástí řešení v testu. z A

9 FA ČVUT, MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ, arametrický ois křivek 9 13 Určetesingulárníbodkřivk k(t)= [ sin t ;(sin t) tgt ], t ( π ; π ). Dále určete souřadnice růsečíku tečen v bodech[1 ;?]. Zjistěte, zda má křivka asmtotu. okud ano, naište její rovnici. Singulární bod křivk jsou takové bod, ve kterých je tečný vektor křivk buď nulový, nebo neeistuje. Tečné vektor křivk k jsou ( u(t)= sintcost ; (sin t)(cos t+1) cos t ), t ( π ; π ). q (sin Řešímetedrovnice: sintcost=0 a t)(cos t+1) =0. cos t mobourovnicnadanémintervalujejedináhodnotaarametru t=0.jedninýmsingulárnímbodemkřivk kjetedbod S= k(0)=[0 ;0]. Bods-ovousouřadnicí1zjistímevřešenímrovnicesin t=1.mjsou hodnotarametru t { π ; π }.Hledanébodjsouted = k( π)=[1 ; 1] a Q=k(π )=[1 ;1]. Tečna křivk kvbodě [1 ; 1]má směrovývektor u( π )=( 1 ;)a arametrický ředis Tečna qkřivk kvbodě Q[1 ;1]má směrovývektor u( π )=(1 ;)aarametrický ředis 1 S 1 1 Q a : = 1 s = 1+s, s R. q: = 1+r = 1+r, r R. růsečíkemtečen aqjebod R[ 1 ;0]. ro určení eistence asmtot řešíme limit souřadnicových funkcí: lim t= lim t) tgt= π +sin π +(sin lim t= lim t) tgt=+ π sin π (sin Asmtotoukřivk kjeřímka a: =. oznámka: Křivka se nazývá Dioklova kisoida. brázek není součástí řešení v testu.