Neeuklidovská geometrie

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta EST SCIENTIA POTENTIA UNIVERSITAS MASARYKIANA BRUNENSIS FACULTAS RERU M NATURALIU M Neeuklidovská geometrie Bakalářská ráce Brno 2008 Kristýna Křížová

2 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou ráci zracovala samostatně a oužila ouze uvedené zdroje. Současně souhlasím, aby ráce byla uložena v knihovně Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity a také zřístuněna na internetových stránkách fakulty. VBrnědne Kristýna Křížová

3 Obsah Úvod 3 1 Vznik neeuklidovské geometrie 4 2 Dělení geometrie Absolutnígeometrie Euklidovskágeometrie Hyerbolickágeometrie Elitickágeometrie Modely hyerbolické geometrie 21 Pseudosféra Hyerboloid Beltrami-Kleinůvmodel Polokulovýmodel Poincaréhoolorovinovýmodel Poincaréhomodeldisku Modely elitické geometrie Sférickágeometrie Ortografickárojekce Stereografickárojekce Gnómonickárojekce Kuželovárojekce Válcovárojekce Závěr 44 Literatura 45 1

4 Seznam symbolů R... velikost ravého úhlu <) q... velikostúhlu,kterýsvírajířímky, q <) PQq... úhelsvírajícířímka qsúsečkou PQ r... olořímka r r... oačná olořímka k olořímce r kr... olorovina učená římkou k a olořímkou r (AC, B)... olorovinaučenářímkourocházejícíbody A, Cabodem B σ... defekt trojúhelníka λ... součet úhlů v trojúhelníku... obsah trojúhelníka H 2... dvourozměrnýhyerbolickýrostor H 2... dvourozměrnýhyerbolickýrostorrozšířenýonevlastníbody E 3... třírozměrnýeuklidovskýrostor E 3... třírozměrnýeuklidovskýrostorrozšířenýonevlastníbody δ AB... orientovanávelikostúsečky AB δ AB... velikostúsečky AB δ <) q... orientovanávelikostúhlu <) q δ <) q... velikostúhlu <) q (Q)... úhelsouběžnostiřímky abodu Q (δab )... úhelsouběžnostiodovídajícívzdálenostibodů A, B Λ(PQ)... úhelkolmostiodovídajícívzdálenostibodů P, Q 2

5 Úvod Vznik neeuklidovské geometrie začíná již ve starověkém Řecku, kdy se slavný matematik Euklides snažil ucelit všechny tehdejší oznatky o geometrii. Položil tak základy jejího axiomatického systému, v němž se objevil ozději velmi diskutovaný tzv. 5. Euklidův ostulát, nebo též ostulát o rovnoběžkách. Ten byl očátečním imulsem, který odstartoval velký závod, na jehož konci stála neeuklidovská geometrie. Mezi tím však ulynulo dlouhé období, které sice neřineslo usokojivý závěr k otázce 5. ostulátu, ale jehož výsledkem bylo rohlubování znalostí geometrických zákonů, bez nichž by ani nová geometrie vzniknout nemohla. Za objevitele neeuklidovské geometrie ak ovažujeme tři velké matematiky: N. I. Lobačevského, J. Bolyaie a K. F. Gausse, kteří nezávisle na sobě a řibližně ve stejném časovém období(20. léta 19. století) řišli k rozřešení tohoto více než tisíciletého roblému, když vytvořili geometrický systém nezávislý na 5. ostulátu. Samotným objevem nové discilíny však ještě ráce matematiků ani zdaleka nekončila. Bylo třeba tyto nové teorie rezentovat, ale hlavně, obhájit řed kritickou veřejností. Hlavním roagátorem neeuklidovské geometrie byl N. I. Lobačevskij, který si díky své ráci nejednou vysloužil výsměch a tvrdou kritiku i ze strany vědeckých odborníků, ro které byly jeho myšlenky neochoitelné. To jej naštěstí neodradilo a dále důsledně rozracoval systém své nové geometrie, aby na jeho dílo mohly ozději navázat další jeho následovníci. V dnešní době není neeuklidovská geometrie stále říliš rozšířenou discilínou, ale její rvky můžeme nalézt v nejrůznějších oblastech. O jejích souvislostech se řesvědčíme mino jiné v následující ráci, kde si v jednotlivých modelech naříklad ukážeme, jak omocí euklidovských konstrukcí vytvářet některé objekty neeuklidovské geometrie. Nejrve se však seznámíme s hlavními myšlenkami a uvedeme některé ze základních ojmů této geometrie. Poté si ředstavíme několik rovinných modelů neeuklidovské geometrie a řeneseme do nich jednotlivé objekty i s jejich vlastnosti a vzájemnými vztahy. 3

6 Kaitola 1 Vznik neeuklidovské geometrie PředvíceneždvěmatisíciletímiřeckýmatematikEuklides(asi ř.n.l.)sesal rozsáhlé dílo Základy(řecky Stoicheia). Zřejmě jej vytvořil na základě staršího stejnojmenného textu, ocházejícího od dalšího významného řeckého matematika Hiokrata z Chiu z2.oloviny5.stoletíř.n.l.totovelmirozsáhléaroracovanédíloseakomnoho staletí oužívalo jako učebnice ve školách, a to ještě v době celkem nedávné nař. v Anglii v19.stol. Ve svých Základech Euklides buduje tzv. elementární geometrii logický systém axiomů, ostulátů a tvrzení. V jednotlivých vydáních se očty axiomů a ostulátů navzájem liší. Tozáležína vydavateli,jakcháaltatoeuklidovaoznačení,avšakobsahdílazůstal nezměněn a je latný dodnes. Snaha ucelit a řesně osat celou geometrii byla významným krokem, jehož zásluhou se tato discilína začala velmi rychle rozvíjet. Euklidovým cílem bylo dokázat každé tvrzení omocí jednodušších až k těm nejzákladnějším, která by byla každému zcela zřejmá. Základy jsou tvořeny třinácti knihami ojednávajícími o geometrii(lanimetrii a stereometrii), aritmetice a teorii čísel a o geometrické algebře. Nás z těchto třinácti bude nejvíce zajímat rvní kniha. Ta obsahuje 23 definic základních ojmů, 5 ostulátů a 9 axiomů, o nichž následuje 48 vět s důkazy. Pět Euklidových ostulátů zní[1, strana 15, 16]: 1. Dvěma body lze vždy vést jedinou římku. 2. Úsečku lze neomezeně rodloužit. 3. Z libovolného středu lze libovolným oloměrem sestrojit kružnici. 4. Všechny ravé úhly jsou shodné. 5.Dvěřímkyvrovině,kterérotínajíjinouřímkutétorovinyatvořísníojedné straněvnitřníúhly,jejichžsoučetjemenšídvouravých,sevždyrotínajíatoo 4

7 KAPITOLA 1. VZNIK NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE té straně římky, kde je součet menší. Narvníohledjezřejmé,žeosledníostulátseodředchozíchliší,užjentím,žeje mnohem delší a komlikovanější, a roto se objevila otázka zda na nich není závislý. V růběhu tisíciletí o Euklidovi se mnozí velcí matematikové okoušeli dokázat 5. ostulát omocí ostatních ostulátů a axiomů. Mezi jinými naříklad G.Saccheri, J. H. Lambert( ) nebo A. M. Legendre( ). Až v 19. století se odařilo dokázat, že to nelze. Tyto okusy ale vedly k objevu mnoha logických souvislostí mezi jednotlivými fakty a také mnoha ekvivalentních tvrzení k 5. ostulátu. Prvním významným okrokem v teorii rovnoběžek byly myšlenky italského matematika Girolama Saccheriho( ). Ten uvažuje čtyřúhelník ABCD, který má dva ravé úhly α, βadvěrotějšístrany AD, BCostejnévelikosti(obr.1).Potomobazbývajícíúhly γ, δtohotočtyřúhelníkajsousirovnyamohoubýtbuďravé,tuéneboostré.podletoho Saccheri dále uvažuje hyotézu ravého, tuého nebo ostrého úhlu. Pak, jak dnes již víme, nesrávně dokazuje nelatnost hyotézy tuého i ostrého úhlu. Přesto však ři hledání soru v hyotéze ostrého úhlu odvodil již několik vět ozdější geometrie Lobačevského. Byly to však věty odorující euklidovské geometrii a tedy zažitému zůsobu vnímání, a jelikož Saccheri celou tuto hyotézu dovedl ke soru, nevěděl na rahu jak velkého objevu stojí. I když Saccheri nebyl rvním, kdo se okoušel o důkaz 5. ostulátu omocí tohoto čtyřúhelníka, stal se běžně užívaným ojmem jako tzv. Saccheriho čtyřúhelník. D δ γ C α β A B Obr. 1.: Saccheriho čtyřúhelník Vyvrcholením tohoto rocesu ak bylo v 19. století objevení nové geometrie, tzv. neeuklidovské geometrie. Jejími tvůrci jsou ruský matematik N. I. Lobačevskij( ), maďarský matematik J. Bolyai( ) a německý matematik K. F. Gauss( ). Lobačevskij se nejdříve okoušel, jako mnoho jiných, dokázat 5. Euklidův ostulát neřímo sorem. Jeho myšlenka byla tato: 5

8 KAPITOLA 1. VZNIK NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE Lobačevského důkaz 5. ostulátu Zvolmesivrovinělibovolnouřímku abod Q / (obr.2).bodem Qsestrojíme kolmici knařímku,jejíatuoznačíme P akolmicina kvqoznačme q.najedné zolořímekřímky sočátkem P(označímeji )sizvolmebod M P,olořímku sočátkem Qkolmounařímku kaležícívestejnéolorovinějakobod M označme symbolem qavelikostúhlu <) MQP označme α.kdyžnechámebod M ohybovatse oolořímce tak,abyseneustálevzdalovalodbodu P,atakdosahovalostuně olohy M 1, M 2, M 3,...,bude αneustálerůst,alevždyzůstanemenšínežr. 1 Toznamená, žeoslounost {a i } 0,kde a 0 = αaa i = <) PQM i ro i=1,2,...,jerostoucíashora ohraničenáčíslemr.mátedyjedinoulimitu ρ,kterájemenšíneborovnačíslur(obr.3). Nechť tedy r je olořímka oloroviny km mající očátek Q a svírající s olořímkou QP úhelovelikosti ρ.jestližeje ρ R,nastaneroolořímku r rávějedna z následujících možností: 1.ro ρ=rlatí r= q; 2.ro ρ <R, rležíuvnitřúhlu <)( QP, q),tj.svírásolořímkou qnějaký ostrý úhel. Předokládáme-li, že nastane rvní možnost, snadno zjistíme, že q q je jedinou římkou rocházející bodem Q a nerotínající římku, a tedy latí 5. Euklidův ostulát. V druhém říadě však olořímka r odděluje olořímky(v km s očátkem v Q) rotínající (a tedy i římku ) od olořímek, které ji nerotnou. Přesněji řečeno, každá olořímka asočátkem Qležícíuvnitř <)( QP, r)rotínáolořímku ažádná olořímka bležícíuvnitřúhlu <)( r, q)jinerotíná.nynísestrojímeobraz r olořímky rvosovésouměrnostisosou ka ri r dolnímeooačnéolořímky nařímky r, r.zesymetriemeziolorovinami kra kr vylývá,žežádnázřímek rocházejícíchbodem Qaležícíchmeziřímkami r, r nerotínářímku.jejichhranici tvořířímky r, r,kterésamyřímku takénerotínají. Q α q Q q b r P M M 1 M 2 k Obr. 2. P k Obr. 3. a Kdokázání5.ostulátuužjenstačídokázat,že ρ=raže ρ <Rnemůženastat. Lobačevskij se rozhodl ostuovat cestou neřímého důkazu a tedy ředokládal, že ρ < R. Z tohoto ředokladu začal vyvozovat různé důsledky a doufal, že mezi nimi někde objeví sor a tím bude 5. ostulát dokázán. Ve svých tvrzeních(mnohdy absurdních), která odvodil,všaknalogickýsornikdenenarazil.ataksezrodilamyšlenka novégeometrie. Porvé tyto své oznatky ublikoval v ráci O základech geometrie (O načalech geometrii) 1 R...velikostravéhoúhlu 6

9 KAPITOLA 1. VZNIK NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE v roce 1829, která vycházela jako soubor článků v časoise Věstník Kazaňské univerzity. Lobačevského objev však zůstal v jeho době neochoen, i když se stále snažil vydávat srozumitelnější a dostunější ráce. Geniální matematik Karl Friedrich Gauss, Lobačevského současník, znal také základní rinciytéto novégeometrie,jaksedozvídámezjehokoresondence,alenikdyseje neodvážil zveřejnit nebo vystouit na jejich obhajobu. Obával se výsměchu a neochoení, kterébyhočekalo,stejnějakosehodostalolobačevskému.ikdyžgaussůvnázorměl mezi vědci nesmírnou váhu, řesto se obával ouštět do odobné diskuse se světem, který ještě nebyl řiraven na tak revoluční myšlenky. Posledním z trojice růkoníků neeuklidovské geometrie byl Janos Bolyai. K tomuto roblémusedostaltakéřesdůkaz5.ostulátu,okterýseokoušel.jižjakovelmimladému se mu odařilo, nezávisle na Lobačevském, vytvořit v geometrii, jak jej sám označoval, novýsvět.aroku1832ublikovaltentosvůjobjevjakododatekvknizesvéhootce, matematika Farkase Bolyaie. Tato, ozději nazvaná hyerbolická, geometrie však není jedinou neeuklidovskou geometrií. V Lobačevského úvaze k důkazu 5. ostulátu(obr. 3) existuje ještě třetí možnost: když římka q rotíná římku. Pak neexistuje žádná olořímka r a ani žádná římka, kteráby nerotínala.itatosituacevšakmůženastatatovgeometrii,kterouobjevil německý matematik Bernard Riemann( ). Ten v roce 1854 vystouil se svou řednáškou O hyotézách tvořících základy geometrie. Zde zavedl ojem n-rozměrná varieta(rostor), 2 vnížlzedefinovatkřivostrostoruvkaždémbodě,tzv.riemannůvrostor. Podle této křivosti ak rozlišil tři tyy geometrií, mezi nimi i rávě zmíněnou Riemannovu geometrii, 3 vkterésekaždédvěřímkyrotínají. Míra křivosti Křivost rovinné křivky v daném bodě udává řevrácená hodnota oloměru křivosti R, tedy1/r.ulochyurčujemevkaždémbodědvaoloměrykřivostidvounasebekolmých tzv. hlavních normálních řezů. Pro lochu zavedl K. F. Gauss ojem míra křivosti K, dnes nazývaný Gaussova křivost. Ta je dána řevrácenou hodnotou součinu obou oloměrů křivosti,tedy K=1/(R 1 R 2 ).Mírakřivosti Ksemůževkaždémbodělochyměnit,je-li však hodnota K v každém bodě lochy stejná, říkáme, že locha má konstantní Gaussovu křivost. V množině těchto variet tedy můžeme nalézt euklidovskou rovinu(k = 0), Lobačevskéhorovinu(K <0)iRiemannovurovinu(K >0)sjimříslušnýmigeometriemi. Stejnou klasifikaci geometrií ozději rovedl i další německý matematik Felix Klein ( ) na základě teorie gru. Podle Kleina se ro Lobačevského geometrii užívá také název hyerbolická a ro Riemannovu název elitická geometrie. 2 varieta-jeabstraktnírostor,kterýjelokálněhomeomorfní R n 3 PojemRiemannovageometriemávdnešnídoběoněkudodlišnývýznam,avšakmyjímbudeme v dalším textu z historického hlediska označovat ouze jeden ty neeuklidovské geometrie, tzv. elitickou geometrii. 7

10 KAPITOLA 1. VZNIK NEEUKLIDOVSKÉ GEOMETRIE Ve 20. století se ak dále zobecňovaly a rohlubovaly tyto oznatky o geometrii a vznikaly jejich důsledné axiomatické systémy. Z okračovatelů Lobačevského a tvůrců jednoho ze systémů geometrie jmenujme naříklad německého matematika Davida Hilberta ( ). 8

11 Kaitola 2 Dělení geometrie 2.1 Absolutní geometrie Absolutní geometrií nazýváme axiomatický systém, který tvoří rvní čtyři Euklidovy ostuláty se svými důsledky, to je všemi větami euklidovské geometrie, které se dají dokázat bez oužití 5. ostulátu. Absolutní geometrie tedy tvoří jakési jádro všech geometrií, které se dále secifikují řidáním nových ostulátů. 2.2 Euklidovská geometrie Jak jsme se již zmínili, je to nejstarší axiomatický geometrický systém, který byl o dlouhou dobu ovažován za jediný možný a srávný. Euklidovská geometrie obsahuje k celé absolutní geometrii navíc ještě 5. Euklidův ostulát o rovnoběžkách. S touto geometrií se seznamují žáci již od základních škol, a roto zde nebudeme samostatně uvádět její definice a věty. Avšak dále budeme využívat její názornosti a srovnávat ji s ostatními geometriemi a omocí jejích vlastností zavádět nové ojmy a vlastnosti neeuklidovských geometrií. 2.3 Hyerbolická geometrie Hyerbolická neboli Lobačevského neeuklidovská geometrie je tvořena také absolutní geometrií, k níž je zde dále řidán tzv. Lobačevského axiom. Lobačevského axiom. V rovině rochází bodem mimo římku alesoň dvě různé s ní se nerotínající římky. 9

12 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE Stejně jako v euklidovské geometrii se ro tento axiom užívá mnoho jeho ekvivalentních tvrzení. Nejběžněji bývá užíván následující důsledek. Věta 1. V rovině rochází bodem mimo danou římku nekonečně mnoho římek, které danou římku nerotnou. Vzájemná oloha římek v rovině V euklidovské geometrii v rovině se dvě různé římky buď rotínají nebo nerotínají, tyto druhé římky ak nazýváme rovnoběžné neboli rovnoběžky. V hyerbolické geometrii lze nerotínající se římky nazývat také rovnoběžkami, které můžeme ještě dále rozdělit. Mějmedánuřímku abod P,kterýnaníneleží(obr.4).Všechnyřímkyrocházející bodem P jsourozdělenydodvoutříd:římkyrotínající anerotínající těchje z nelatnosti 5. Euklidova ostulátu nekonečně mnoho. Hranici mezi oběma třídami tvoří dvěřímky s 1, s 2,kterébudemenazývatsouběžkykřímce.Tytořímkyřímku nerotínají,coždokážemesorem.předokládejmetedy,žesouběžnářímka s 1 rotíná římku vnějakémbodě S(obr.5).Naolořímce KSsizabodem Szvolímelibovolný bod T.Potomřímkaurčenábody P, Trotínářímku azároveňležímezisouběžkami s 1, s 2.Tojevšaksor,rotožemeziřímkami s 1, s 2 ležíouzeřímkynerotínající. Hraničnířímky s 1, s 2 římku nerotínajíaatřítedymezirovnoběžky.zbývajícířímky nerůznoběžnés,ležícímeziřímkami s 1 a s 2,budemenazývatrozběžky. P r 1 r 2 P s 2 r 3 s 2 q Obr. 4.: Dělení římek s 1 K k s 1 S T Obr. 5. Kolmice k římce V euklidovské geometrii existovalo k dvěma rovnoběžkám nekonečně mnoho solečných kolmic. Naroti tomu v hyerbolické geometrii k dvěma souběžkám neexistuje žádná solečná kolmice a k dvěma rozběžkám existuje rávě jedna. Nejkratší vzdálenost dvou rozběžek Mějme dán Saccheriho čtyřúhelník ABCD tak, že AB a CD jsou dvě nerotínající se římkykolméktéžeřímce PQ(obr.6),kterájesolečnouosouúseček ABa CD,kde ACjeobrazemúsečky BDkolmékřímce AB.Pakvzdálenost BD bodu Dodřímky AB je větší než vzdálenost P Q. Protože ve čtyřúhelníku QBDP jsou úhly ři vrcholech P, Q, Bravéasoučetúhlůvečtyřúhelníkujevždymenšínež4R, 1 musíbýtzbývající 1 Jakozdějiuvedeme,latítvrzení,žesoučetúhlůvkaždémtrojúhelníkujemenšínež2R.Protože každý čtyřúhelník můžeme jednou jeho úhloříčkou rozdělit na dva trojúhelníky, bude součet úhlů čtyřúhelníky roven součtu úhlů takto vzniklých trojúhelníků, a tedy jistě menší než 2 2R. 10

13 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE úhelostrý(δ <R).Aodlevětyabsolutnígeometrie,žerotivětšímuúhluležívětší strana, je BD > P Q. Odtud tedy lyne tvrzení: Velikost solečné kolmice(pq) dvou nerotínajících se římek(ab, CD) je nejkratší vzdáleností mezi těmito římkami. C δ P δ D A Q B Obr. 6. Pro každou další kolmici vztyčenou k jedné nebo druhé této rozběžce bude latit, že vzdálenost jejích růsečíků s rozběžkami neomezeně vzrůstá solu s rostoucí vzdáleností této kolmice od solečné osy obou daných rozběžek. Úhel souběžnosti Definice1.Nechť, qjsousouběžky,bod Q qabod Pjeatakolmice ksuštěnézq nařímku (obr.7).úhel <) PQqnazvemeúhlemsouběžnostiboduQvzhledemkřímce abudemejejoznačovat (Q). k Q Π(Q) q P Obr. 7. Úhel souběžnosti závisí jen na vzdálenosti bodu Q od římky. Máme-li na kolmici kkřímce dánydvabody Q, O,kde Q < O,akronělatí (Q) > (O). Úhel souběžnosti konverguje k nule, jestliže říslušná vzdálenost(bodu od římky) jde do nekonečna, a konverguje k R jestliže říslušná vzdálenost se blíží nule. lim Π(Q)=0 Q lim Π(Q)=R Q 0 Poznámka. V euklidovské geometrii je úhel souběžnosti ro všechny vzdálenosti roven R. Vidíme, že neeuklidovská geometrie je tím odobnější euklidovské, čím menší část neeuklidovského rostoru uvažujeme. 11

14 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE Lobačevskéhovzorecrofunkci (x),kde x= Q zní: tg 1 2 (x)=e k, x kde k je libovolná konstanta. Konstanta k souvisí s další konstantou c, ro kterou je (x)= 1π.Tatovzdálenost cbýváčastovolenazajednotkuměření.dosadíme-likonstantu 4 c za x, dostaneme: tg 1 2 (c)=e c k vidíme,že kjeúměrnákonstantě c. Pro c akdostaneme k, atedy tg 1 8 π=e c k c k =ln(tg1 8 π) k= c ln(tg 1 8 π), lim x k e k =1 tg 1 2 (x)=1 (x)=2arctg1=2 π = π 4 2 (x)= πrokaždé x, 2 což je vlastnost euklidovské geometrie, kterou tedy můžeme získat jako limitní říad Lobačevského geometrie. Absolutní míra S úhlem souběžnosti souvisí ojem absolutní míra. Prvky mající absolutní míru lze zadat konstrukcí oírající se ouze o axiomy geometrie. V euklidovské geometrii mají absolutní míru naříklad úhly. To znamená, že lze zadat takovou konstrukci úhlu určité velikosti, ři které ať si jednotlivé rvky, které je v konstrukci otřeba volit, zvolíme jakkoli, výsledné úhly budou vždy shodné. Jinak řečeno, mají-li nějaké rvky v geometrii absolutní míru, znamená to, že jejich velikost lze určit bez omoci měřítka udávajícího velikost jednotky. V hyerbolické geometrii mají absolutní míru úhly ale i úsečky, a to rávě díky existenci úhlu souběžnosti, kdy je každému úhlu řiřazena určitá vzdálenost, v níž se nachází kolmice na jedno rameno úhlu, která bude s druhým ramenem tvořit souběžku. 12

15 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE Svazek římek a rovin Zavedením nevlastních bodů neboli bodů v nekonečnu v euklidovském rostoru bylo možné zobecnit ojem svazek římek, tj. množinu všech římek rostoru incidentních s jedním bodem, který nazýváme střed svazku. Máme tedy dva druhy svazků římek: svazek různoběžek se solečným vlastním bodem a svazek rovnoběžek se solečným nevlastním bodem. Podobně jako v euklidovském, můžeme také neeuklidovský rostor rozšířit o nevlastní body a definovat ak každý bod jako růsečík dvou římek. Průsečíky různoběžek budeme nazývat vlastní body a růsečíky nerůznoběžných římek budou nevlastní body. Při tom musíme zavést nevlastní body dvojího druhu. Prvního druhu budou růsečíky dvou souběžek a budeme je nazývat limitní nevlastní body. Body druhého druhu náleží dvěma rozběžkám a nazývat je budeme vnější nevlastní body. Odtud lze vidět, že v hyerbolické geometrii existují tři druhy svazků římek: svazek různoběžek, res. souběžek, res. rozběžek, odle toho zda římky v tomto svazku rochází jedním solečným bodem vlastním, res. nevlastním limitním, res. nevlastním vnějším. Všechny římky svazku rozběžek mají jednu solečnou kolmici, která se nazývá báze svazku. Dále v našem hyerbolickém rostoru zavedeme, obdobně jako v euklidovském, ojem nevlastní římka a nevlastní rovina. Při tom budeme oět rozlišovat nevlastní římku, res. rovinu rvního a druhého druhu odle toho zda římka, res. rovina je incidentní rávě s jedním limitním nevlastním bodem nebo ouze s vnějšími nevlastními body. Vlastní římka, res. rovina obsahuje jak body vlastní tak i body nevlastní. Nyní můžeme definovat ojem svazek rovin jako množinu všech rovin rocházejících jednou solečnou římkou, kterou nazýváme osa svazku. Dostaneme tak tři druhy svazků rovin: různoběžných, res. souběžných, res. rozběžných, odle toho zda osu tohoto svazku tvoří římka vlastní, res. nevlastní 1. druhu(má jeden limitní nevl. bod), res. nevlastní římka 2. druhu(jen vnější nevl. body). Trsřímekarovin Analogicky můžeme zavést ojmy trs římek, res. trs rovin jako množinu všech římek, res. rovin rocházejících jedním solečným bodem, který budeme nazývat střed trsu. Vlastní rovina kolmá na všechny rozběžky jednoho trsu se bude nazývat báze trsu, stejně jako rovina kolmá na všechny roviny trsu rozběžných rovin. Každá vlastní rovina takto určuje rávě jeden trs rozběžných římek a jeden trs rozběžných rovin, tzn. je bází jednoho trsu římek a jednoho trsu rovin. Přitom latí, že takto určené dva trsy mají solečný střed trsu v jednom nevlastním vnějším bodě. Toto tvrzení latí, neboť každé dvě roviny trsu mají jednu solečnou římku rocházející středem trsu rovin. Všechny tyto jejich růsečnice ak tvoří množinu římek rocházejících jedním nevlastním vnějším bodem, což je definice trsu rozběžných římek. A naoak, každými dvěma římkami trsu římek lze roložit rávě jednu rovinu. Jestliže všechny římky trsu byly kolmé k jedné solečné rovině, bude k ní kolmá i každá nově vzniklá rovina. Množinou všech těchto rovin jeoěttrsrovinsestejnoubázíjakoůvodnítrsřímek. 13

16 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE Dále latí, že každým bodem rostoru, kromě bodu slývajícího se středem trsu, rochází rávě jedna římka trsu římek. Každou římkou jdoucí středem trsu rovin rochází svazek rovin, každou zbývající římkou rostoru ak rochází rávě jedna rovina trsu rovin. Cyklasféra Pojem kružnice úzce souvisí s ojmem svazek římek. Zobecněním kružnice v euklidovské geometrii jsme mohli římku cháat jako kružnici o nekonečně velkém oloměru. Stejně tak zobecníme ojem kružnice i v hyerbolické geometrii a budeme ji ak nazývat cykl. Jeho definice sočívá v tom, že sojnice koncových bodů dvou různých růměrů kružnice svírá s těmito růměry shodné úhly. Proto ještě dříve uvedeme dvě omocné definice. Definice 1. Mějme dány 4 různé body A,B,C,D v rovině tak, že (AC, B) (AC, D).Přímka ACsenazýváizogonálníkřímkámABaCD,jestliželatí <) BAC = <) DCA (obr.8). Definice 2. Dva body na dvou různých římkách, q se nazývají koresondující vzhledemkřímkám,q,jestližejejichsojnicejekoběmařímkám, qizogonální. B α A D α C Obr. 8. Cykl je množina bodů určená svazkem římek a bodem A, která má tyto vlastnosti: 1.atřídoníbod A, 2.atří-lidoníbod Xnařímce xsvazku,akdoníatříkaždýbod Y,kterýležína některé římce y svazku, ro který latí, že body X, Y jsou koresondující vzhledem křímkám xay(obr.9). Y α A X α β Y β y x Obr. 9. y 14

17 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE Protože máme tři druhy svazků římek, budou v hyerbolické rovině existovat tři tyy cyklů. Cykl určený svazkem různoběžek je kružnice, jejíž střed leží ve středu svazku. Cykl určený svazkem souběžek budeme nazývat horocykl; můžeme ho cháat jako limitní říad kružnice s nekonečně velkým oloměrem. Cykl určený svazkem rozběžek budeme nazývat hyocykl, nebo také ekvidistanta, rotože je zároveň množinou bodů, které mají konstantní vzdálenost od báze svazku(solečné kolmice). Ve seciálním říadě může být hyocykl rozběžekřímkou,atokdyžjímjerávěbázesvazku. Cykl tvoří křivku kolmou na každou římku svazku, tzn. že tečna v růsečíku křivky s římkou svazku svírá s touto římkou ravý úhel. Analogicky k cyklu můžeme v rostorové geometrii definovat sféru. Sférajemnožinabodůurčenátrsemřímekabodem A,kterámátytovlastnosti: 1.atřídoníbod A, 2.atří-lidoníbod Xnařímce xtrsu,akdoníatříkaždýbod Y ležícínaněkteré římce ytrsu,rokterýlatí,že X, Y jsoukoresondujícívzhledemkřímkám xay. Sféra určená trsem různoběžek je ak kulová locha se středem ve středu trsu římek. Sféru určenou trsem souběžek budeme nazývat horosféra a oět ji můžeme brát jako limitní říad kulové lochy s nekonečně velkým oloměrem. Sféra určená trsem rozběžek se bude nazývat hyosféra nebo ekvidistantní locha, rotože její body mají od báze trsu konstantní vzdálenost. I zde nalezneme seciální říad hyosféry, kdy je sama tato locha bází trsu; hyosférou je ak rovina. Stejně jako v euklidovské geometrii ro kružnici, latí i zde následující tvrzení: Třemi různými body roviny rochází rávě jeden cykl. Důkaz.Mějmedánybody P Q R H 2.Jsou-litytobodykolineární,určujírávě jednuřímku,cožjezvláštníříadhyocyklu,atedybody P, Q, Rurčujírávějeden cykl.neleží-libodynařímce,osyúseček PQaQRurčujísvazekřímek,vzhledemkjehož římkámjsoubody P, Q, Rodvoukoresondující.Svazekřímekalibovolnýztrojice bodůakodledefiniceurčujícykl,nakterémležíizbývajícídvadanébody. Obdobně se ukáže i tvrzení ro sféru: Čtyřmi různými body rostoru rochází rávě jedna sféra. Elementární křivky V euklidovském rostoru jsou řezy na kulové loše kružnice, řezy rovin rocházejících jejím středem ak tzv. hlavní kružnice. V hyerbolické geometrii rovina, která obsahuje alesoň jednu římku trsu určující kulovou lochu, res. horosféru, res. hyosféru, rotíná tuto sféru v kružnici, res. horocyklu, res. hyocyklu. Důkaz je zřejmý z toho, že množina všech římek náležících trsu i rovině incidentní alesoň s jednou jeho římkou je svazek, a to stejného druhu jako trs. V euklidovské geometrii se zavádí ojem geodetika, tj. nejkratší sojnice dvou bodů; 15

18 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE naříklad na kulové loše jí byla hlavní kružnice tedy řez středovou rovinou. Ekvivalentním ojmem ro hyerbolickou sféru je elementární křivka. Tou je každá růsečnice sféry s rovinou roloženou alesoň jednou římkou určujícího trsu. Stejně jako na euklidovské kulové loše latí sférická geometrie, můžeme i v hyerbolickém rostoru hovořit o geometrii sféry. Euklidovskými sférami byly rovina s euklidovskou geometrií a kulová locha se sférickou, tj. obecněji elitickou geometrií. U hyerbolických sfér je tomu z části odobně. Na kulové loše latí sférická, tedy elitická, geometrie; na hyosféře latí Lobačevského rovinná geometrie, neboť mezi hyosféry atří rávě i každá Lobačevského rovina tohoto rostoru. A na horosféře latí řekvaivě geometrie euklidovská, což však lyne z faktu, že horosféra je tvořena trsem souběžných římek. Vybereme-li tedynanídvěelementárníkřivky,mohousetytobuďrotínatnebobýtsouběžné,alenenalezneme mezi nimi žádné dvě rozběžné. To znamená, že každým bodem ůjde ke každé římce rávě jedna souběžka, kterou můžeme oět nazývat rovnoběžkou. Nalezli jsme zde tak latnost 5. Euklidova ostulátu. Součet úhlů trojúhelníka Součetúhlůvtrojúhelníku λjedefinovánstejnějakoveuklidovskégeometrii λ=α+ β+ γ,kde α, β, γjsouvnitřníúhlyřivrcholechtrojúhelníka. Ekvivalentní s 5. Euklidovým ostulátem je tvrzení, že součet vnitřních úhlů v jednom trojúhelníku je 2R. Odtud ak lyne, že součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 2R. V hyerbolické geometrii lze Lobačevského axiom nahradit také odobným tvrzením. Věta 2. Součet vnitřních úhlů v libovolném(res. každém) trojúhelníku je menší než 2R. Dvěsouběžkysolusvírajíúhel0.Veseciálnímříadětedymůžemesestrojittrojúhelníksesoučtemvnitřníchúhlů λ=0,jehostranytvoříodvousouběžnéřímky. Takový trojúhelník nazýváme trojúhelník s nulovými úhly. Obsah trojúhelníka Definice2.Nechťjedántrojúhelník ABCsvnitřnímiúhly α, β, γořaděřivrcholech A, B, C.Pakúhel σ,danývztahem σ = 2R (α+β+ γ),budemenazývatdefekt trojúhelníka ABC. Obsah trojúhelníka je úměrný jeho defektu σ. Zároveň latí, že obsahy libovolných trojúhelníků jsou v témž oměru jako jejich defekty. Z toho vylývá, že oměr obsahu ku defektu trojúhelníka je konstanta závislá na jednotce měření obsahu. Obvykle se tato konstantavolí k 2,kde kjelobačevskéhokonstantazevzorceroúhelsouběžnosti.tedy: σ = k2,ak =k 2 σ.dosazenímza σmůžemevzorecroobsahtrojúhelníkavyjádřit jako 16

19 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE =k 2 (2R (α+β+ γ)). Poznámka. Obsah trojúhelníka je neřímo úměrný součtu jeho úhlů. Čím větší má trojúhelníksoučetúhlů,tímmenšíbudemítobsahanaoak. lim =0 λ 2R Největší obsah má tedy trojúhelník s nulovými úhly: 0 = k 2 (2R 0)=k 2 2R. 2.4 Elitická geometrie V elitické neboli Riemannově geometrii latí oět všechna tvrzení absolutní geometrie a 5. ostulát tentokrát nahradíme následujícím axiomem. Axiom. V rovině neexistuje k dané římce římka, která ji nerotíná. Vzájemná oloha římek Přímo z uvedeného axiomu je jasně vidět, jak se otázka vzájemné olohy římek zjednodušila. V elitické rovině se každé dvě římky rotínají a můžeme je tedy nazývat různoběžkami. Neexistují zde žádné rovnoběžky ani jiné objekty, které by hrály odobnou úlohu jako rozběžky nebo souběžky v hyerbolické geometrii. Saccheriho čtyřúhelník Mějmedánuřímky,nanísizvolmedvalibovolnébody A B(obr.10).Zbodů A, Bvedemekolmicekřímce,nakterýchzvolímebody C, Dtak,aby AC = BD. Nyní body C a D roložíme římku q. Podle konstrukce body ABCD určují Saccheriho čtyřúhelník. Protože se v elitické geometrii každé dvě římky rotínají, také římky, qserotnou.nakaždýchdvourůznoběžkáchlzetedynaléztdvěúsečky AB, CDtakové, které budou tvořit rotilehlé základny Saccheriho čtyřúhelníka. C D q A Obr. 10. B Poznámka. Jak jsme se zmínili v 1. kaitole, již Saccheri dokázal, že úhly ři vrcholech C, D výše osaného čtyřúhelníka jsou shodné. Pokud jsou tyto úhly v dané rovině ravé, 17

20 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE res. ostré, res. tué, budou odovídající úhly ravé, res. ostré, res. tué také v každém dalším Saccheriho čtyřúhelníku této roviny. Podle toho můžeme vyslovit latnost hyotézy ravého úhlu ro euklidovskou a ostrého úhlu ro hyerbolickou geometrii. V elitické geometrii budou úhly ři vrcholech C, D tué(hyotéza tuého úhlu). Kolmice k římce Každé dvě římky mají rávě jednu solečnou kolmici. Máme-li dány dvě různoběžky, q, lze na nich sestrojit Saccheriho čtyřúhelník ABCD (obr.11).označme P středúsečky AB, kkolmicizbodu P na ABaQrůsečík CD skolmicí k.protože AP = BP a <) ACQ = <) BPQ,jsoutrojúhelníky APQaBPQ shodnéatedy AQ = BQ. AC = BD, <) ACQ = <) BDQ a ACQ = BDQak CQ = DQ.Tedy Qůlíúsečku CD, CQP = DQBa <) CQP = <) DQP.Velikost <) CQP = <) DQP =R.Přímka kjesolečnákolmicerůznoběžek, qazároveňijediná. Kdyby totiž existovaly dvě solečné kolmice k římkám, q, určovaly by tyto čtyři římky čtyřúhelníksevšemiravýmiúhly,cožvtétogeometriinenímožné. 2 C Q δ D q A P k Obr. 11. Večtyřúhelníku PBDQ(obr.11)zároveňlatí <) QPB = <) PBD = <) DQP = R < δ.úhelřivrcholu Djenejvětšízvnitřníchúhlůvtomtočtyřúhelníkuatedyvelikost úsečky P Q na kolmici je největší vzdáleností mezi danými římkami, q. B Úhel kolmosti Protože v této geometrii neexistují římky rovnoběžné ani souběžné, nemá smysl zavádět ojem úhlu souběžnosti. Můžeme zde však nalézt odobnou souvislost mezi velikostí úsečky a úhlu jako v hyerbolické geometrii, a to díky kolmým římkám. Definice3.Nechť jeřímka,body P Q libovolněak 1, k 2 jsoukolmicevbodech P, Qnařímku, k 1 k 2 = K(obr.12).Úhel <) PKQbudemenazývatúhlemkolmosti úsečkypqaoznačovatλ(pq). lim Λ(PQ)=0. P Q 0 2 Součetvnitřníchúhlůvkaždémtrojúhelníkujevětšínež2Ratedysoučetúhlůkaždéhočtyřúhelníka jevětšínež4r. 18

21 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE K k 1 Λ(PQ) k 2 P Obr. 12. Q Svazek římek Velitickéroviněmámejedentyřímek,rotobudetakéjenjedendruhsvazku svazek různoběžek. Všechny římky tohoto svazku se vždy rotnou v jednom reálném bodě, který nazveme střed svazku. Kružnice Existuje ouze jeden druh svazku římek a tyto římky rochází reálným bodem. Z toho důvodu lze ojem kružnice definovat stejně jako v euklidovské geometrii. Definice 4. Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od evného bodu roviny tutéž vzdálenost. Tento evný bod nazveme střed kružnice a vzdálenost bodů od středu oloměr kružnice. Součet úhlů v trojúhelníku SoučetúhlůvtrojúhelníkuABCsvnitřnímiúhly α, β, γ jeroven λ=α+β+ γ. Ekvivalentní s axiomem elitické geometrie je také následující tvrzení. Věta3.Součetúhlůvtrojúhelníkujevždyvětšíneždvaravé. Velikost čísla λ můžeme ještě dále omezit shora. Protože velikost každého vnitřního úhlu v trojúhelníku náleží do intervalu(0, 2R), latí Protovždy λ (2R,6R). lim λ=3 2R=6R. α,β,γ 2R Poznámka.Trojúhelníkysesoučtemúhlů λ=2rnebo λ=6rjsoudvalimitníříady, které nemohou nastat. Seciálním říkladem v elitické geometrii je trojúhelník se všemi úhly ravými. 19

22 KAPITOLA 2. DĚLENÍ GEOMETRIE Obsah trojúhelníka Obsahtrojúhelníka jeoětzávislýnajehodefektu σ. 3 Čímmenšíbudemíttrojúhelník defekt(větší součet úhlů), tím větší bude jeho obsah. Defekttrojúhelníkajevelitickégeometriivždyzáorný: λ >2R, σ=2r λ <0. 3 defekttrojúhelníka jeúheldanývztahem sigma=2r (α+β+γ)vlibovolnémtrojúhelníkusúhly řivrcholech α, β, γ. 20

23 Kaitola 3 Modely hyerbolické geometrie Názornými modely ro hyerbolickou geometrii jsou naříklad dvoudílný nebo jednodílný hyerboloid, hyerbolický araboloid(sedlo) atd. Ty však mají tu nevýhodu, že jejich zakřivení lochy není konstantní, směrem od očátku se rychle řibližuje nule. Příkladem lochy se záorným konstantním zakřivením je seudosféra. Označení. Pojmy, jejichž názvy v hyerbolické geometrii slývají s euklidovskými, budeme dále označovat ředonou h-(nař. h-římka, h-kružnice,...). Pseudosféra Nejrve si vysvětlíme ojem křivky zvané traktrix. Traktrix je definována jako křivka v euklidovském rostoru v rovině xy, jejíž každá tečna rotíná osu x v jednotkové vzdálenosti od bodu dotyku(obr. 13). Rotací traktrix kolem své asymtoty(osy x) ak vznikne locha zvaná seudosféra(obr. 14). Stejně jako je z traktrix vyjmut bod[1, 0], rotože vněmnenídefinovánatečnakekřivce,neležínalošeseudosféryanikružnice z 2 +y 2 =1 vrovině yz. Protože se jedná o lochu s konstantní křivostí, budou jejími h-římkami geodetiky, jejichž osání je však, díky složité konstrukci naší lochy, složitější než u dalších modelů, které si zde uvedeme Obr. 13.: Traktrix 2 21

24 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE Obr. 14.: Pseudosféra 3.1 Hyerboloid Jakorvnímodeldvourozměrnéhohyerbolickéhorostoru H 2 budemeuvažovatovrch dvoudílnéhohyerboloiduvrostoru E 3. Body Body hyerbolické roviny zde rozumíme vlastní body hyerboloidu, kde ztotožníme body vzájemně symetrické odle středu hyerboloidu. Rozšířením euklidovského rostoru onevlastníbodymůžemetotorozšířenířenéstrovněžnarostor H 2.Nevlastnímilimitními body ak nazveme nevlastní body hyerboloidu a nevlastními vnějšími body rostoru E 3,kterénalošehyerboloiduneleží. Přímky H-římkou nazveme každou křivku, která vznikne jako růnik hyerboloidu s libovolnou středovou rovinou. Řezy takových rovin mohou být trojího tyu, existují zde tedy tři tyy hyerbolických h-římek. Pokud středová rovina hyerboloid reálně rotíná, je jejím řezem hyerbola. Ztotožněním symetrických bodů nám ostačí uvažovat jen jednu její větev; tuto h-římku nazveme vlastní(obr. 15). Má-li rovina s hyerboloidem solečný rávě jeden reálný nevlastní bod, takovou rovinu nazýváme asymtotickou, jsou řezem 2 komlexně sdružené rovnoběžky; tuto h-římku nazveme nevlastní limitní(nevl. 1. druhu). Posledním říadem, který může nastat, je situace, kdy rovina hyerboloid reálně nerotíná, má s ním tedy solečné rávě dva nevlastní komlexně sdružené body a jeho řezem je imaginární elisa. H-římku ak budeme nazývat vnější nevlastní(nevl. 2. druhu). 22

25 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE Obr. 15.: H-římka na dvoudílném hyerboloidu Různoběžné h-římky určují řezné středové roviny, které mají solečnou jednu římku rotínající hyerboloid. Souběžné h-římky tvoří svazek euklidovských rovin, jejichž osou je asymtotická římka hyerboloidu a rozběžné h-římky jsou tvořeny svazkem euklidovských rovin, jejichž osa reálně hyerboloid nerotíná. 3.2 Beltrami-Kleinův model Beltrami-Kleinův model rovinné Lobačevského geometrie odvodíme z našeho rvního modelu, jako středový růmět hyerboloidu z jeho středu do libovolné roviny π, která neobsahujestředromítáníajekolmákjehohlavníose.nynímůžemeosatjakbude vyadathyerbolickárovina H 2 ajejízákladníobjekty. Body Asymtotická kuželová locha, tedy nevlastní body hyerboloidu, se zobrazí do roviny π jako kružnice. Ta se nazývá základní kružnicí a ředstavuje limitní nevlastní body roviny H 2.Každýreálnýbodhyerboloiduseakromítnedovnitřtétokružnicejakoeuklidovský bod.lobačevskéhorovina H 2 tedybudeouzevnitřekzákladníkružnice.bodyroviny π ležící vně kružnice neatří do Lobačevského rovinné geometrie, ale můžeme je cháat jako vnější nevlastní body. Přímky H-římkami v tomto modelu budou tětivy základní kružnice. Na obrázku(obr. 16) jsou znázorněny všechny tři tyy h-římek jdoucí bodem A ve vztahu k římce. Různoběžné nazvemeřímky(q)rotínajícísesvevnitřnímboděkružnice,souběžné(s 1, s 2 )rotínajícísevboděležícímnakružniciarozběžné(r 1, r 2 )ty,kterémajísolečnýrůsečíkvně kružnice. Stejně jsou určeny také svazky těchto římek(obr. 17). 23

26 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE r 2 s 1 r 1 s 2 A q Obr. 16.: Vztah h-římek jdoucích bodem A kdané římce S S S a) různoběžek b) souběžek c) rozběžek Obr. 17.: Svazek: Vztahy incidence a leží mezi budeme cháat stejně jako v euklidovské geometrii, ale omezíme je ouze na vnitřek základní kružnice. Kolmice Dvě římky jsou kolmé, jestliže jsou navzájem olárně sdružené vzhledem k základní kružnici. Mějmedánuh-římku (obr.18).vrůsečících skružnicísestrojímetečnyktéto kružnici. Jejich solečný bod P je ólem římky vzhledem k základní kružnici. Nyní každářímkajdoucíbodem P budeolárněsdruženasatedykaždátakováh-římka bude její kolmicí. Žádné dvě z těchto kolmic se nerotínají uvnitř základní kružnice, ani na její hranici, roto atří mezi rozběžky. Navíc všechny tyto římky rocházejí jedním solečným bodem P a určují tak svazek rozběžek, jejichž bází je jediná solečná kolmice. Vezmeme-li si svazek souběžek nebo různoběžek(obr. 19), najdeme óly k libovolným dvěma z jeho římek a tyto óly roložíme římkou, vidíme, že římka nerotíná základní kružnici. U svazku souběžek je tato římka vždy tečnou, u svazku různoběžek leží vždy celá vně kružnice. Není tedy hyerbolickou římkou, a roto dvě souběžky ani různoběžky nemají žádnou solečnou kolmici. 24

27 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE t 1 P t 2 Obr.18.:Kolmicekřímce P 1 P 1 t 1 t 2 t P 2 Obr. 19.: Souběžky a rozběžky P 2 Shodnost úseček Nechťmámedányh-římky, ananichúsečky AB, A B (obr.20). Průsečíkyzákladníkružnicesřímkou označíme U, V,sřímkou U, V.Pakh-úsečky AB, A B nazvemeshodné,jestližečtveřicebodů U, A, B, Va U, A, B, V (vtomtoořadí) jsourojektivní. 1 V V P B B U A A Obr.20.:Shodnostúseček ABa A B 1 rojrojektivnost jekaždávzájemnějednoznačnáříbuznostdvoulineárníchjednoarametrických útvarů, která zachovává dvojoměr. U 25

28 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE Přenášení vzdáleností Zatím umíme určit shodnost dvou h-úseček na h-římkách okud jsou odovídající si body na těchto římkách rojektivní. Nyní si ukážeme jak řešit takovou úlohu, jakou je naříklad nanést velikost určité h-úsečky od ředem daného bodu. Mějmetedyřímku ananíúsečku AB,jejížvelikostchcemenanéstnařímku qod jejíholibovolnéhobodu A (obr.21).bodem A vedemekřímce omocnousouběžku l. Nanirojektivněromítnemeúsečku ABtak,abysebod Azobrazilna A.Bod Bseak romítnena B l.h-římky laqjsourůznoběžkysesolečnýmbodem A.Neníužroto obtížnénajítbod B q,abybodytěchtorůznoběžekbylyrojektivní.dostalijsmetak hledanouh-úsečku A B,kterámástejnouvelikostjakoůvodníh-úsečka AB.Protože: δ AB = δ A B AB = A B δ A B = δ A B A B = A B aztranzitivityrovzdálenostiaklyne AB = A B. q l A A B B B Obr. 21. Úhel souběžnosti, shodné úhly Máme-lidánuh-úsečku AB (obr.22),můžemevnašemmodeluznázornitúhel, který jí řísluší úhel souběžnosti. K tomu otřebujeme dvě souběžky, které rochází krajnímibodyúsečky AB,ařitomjednaznichjekolmánatutoúsečku. Zvolmesi jakokolmousouběžku bjdoucíbodem B.Tuzískámenasojnicibodu B sólem P římky. Druhá souběžka a bude rocházet bodem A a růsečíkem římky b se základní kružnicí.úhel α,kterýsvírajíh-římky a, b,jeakúhlemsouběžnostirovzdálenost δ AB ; (δab )=α= <) ab.přímka brotínázákladníkružnicivedvoubodech.místosouběžky ajsmeknímohlizvolittakésouběžku a atímbychomzískalijakoúhelsouběžnostiro δ AB úhel α.úhelsouběžnostijedánjednoznačně,rotoúhly α, α ředstavujíshodné úhly, α=α. 26

29 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE P a A α α B a b Obr.22.:Úhelsouběžnosti (ba) Určení shodnosti dvou úhlů α, β lze díky úhlům souběžnosti řevést na orovnávání úseček AA, BB odovídajícíchúhlům (δ AA ), (δ BB ).Proznázorněníúsečky AA náležející úhlu souběžnosti α jen rovedeme oačný ostu ředchozí konstrukce. Nechť je dánúhel α= <) absramenynah-římkách a, b(obr.23).hledámeh-římku,kterábude k jedné z daných h-římek souběžná a k druhé kolmá. Zvolme si naříklad b. Nalezneme ól Břímky basestrojímekolmici jakosojniciólu Bsrůsečíkemřímky aazákladníkružnice.výslednáúsečka AA,kde A a b, A b,jevzdálenostodovídající úhlusouběžnosti α; α= (δ AA ). B a α A A Obr.23.:Úhelsouběžnosti (A) Poznámka. Názorněji shodnost úhlů odvodíme v následujícím olokulovém modelu. Cykly Cykl je dán svazkem římek a bodem na jedné jeho římce. Přenášením vzdáleností již umíme znázornit všechny tři tyy cylků. Těmi zde budou křivky ředstavující euklidovské elisy oříadě jejich části(obr. 24). b S S S a) kružnice b) horocykl c) hyocykl Obr. 24.: Cykly 27

30 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE Velikost úseček Mějmedánuh-úsečku AB (obr.25).označme U, V body,kdeřímka rotíná základníkružnici.prokrajníbodyh-úsečkytakzískámeoměry: UA roočátečníboda AV UB BV rokoncovýbod.nynízvolmelibovolnoukonstantu kjakojednotkuměření.orientovanouvzdálenostbodůa,b δ AB (někdynazývanouneeuklidovskouvzdáleností)definujeme jako následující libovolně zvolený určitý logaritmus dvojoměru(u; V; B, A): ( UB δ AB = k log BV : UA ). AV U A B V Obr. 25. Protožebody A, Bležíuvnitřúsečky UV,budouzlomky UA, UB AV BV vždy kladné. Proto budeivýrazulogaritmukladnýatedybudemítvždysmysl.prokoncovébodyh-úsečky blížícísenekonečnu,tzn. A U nebo B V,hyerbolickávelikosttétoúsečkyroste nade všechny meze. δ AB = lim k log(u; V; B, A)= BV 0 VelikostíúsečkyABakrozumíme δ AB,absolutníhodnotuzjejíorientovanévzdálenosti. Při určení velikosti úsečky AB tedy nezáleží na ořadí jejích koncových bodů. δ AB = δ BA Protože ( UB δ AB = k log(u; V; B, A)=k log BV : UA ) ( = k log UB ) UA log = AV BV AV ( = k log UA ) ( UB UA log = k log AV BV AV : UB ) = k log(u; V; A, B)= δ BA BV δ AB = δ BA δ AB = δ BA. Dvě h-úsečky ovažujeme za shodné, jsou-li si jejich velikosti rovny: δ AB = δ CD. 28

31 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE Příklad 1. V Beltrami-Kleinově modelu máme dánu základní kružnice a na ní tři nevlastní limitní body A, B, Croviny H 2 (obr.26).sestrojtetrojúhelník ABCajehovýšky. Řešení. Vrcholy trojúhelníka jsou všechny nevlastní limitní, tedy je jimi zadán trojúhelník s nulovými úhly(viz oznámka, strana 9). Strany trojúhelníka budou v tomto modelu tvořit tětivy AB, BC, CA základní kružnice. Výška na stranu trojúhelníka je kolmice na tuto stranu rocházející rotějším vrcholem. To znamená, že ke každé straně trojúhelníka naleznemejejíól(p 1, P 2, P 3 )vzhledemkzákladníkružniciaztohotoóluvedemeřímku do rotějšího vrcholu. Úsečky vytínající na těchto římkách strany a jejich rotější vrcholy jsou hledané výšky trojúhelníka ABC. C P 2 B P 1 A P 3 Obr. 26.: Trojúhelník s nulovými úhly 3.3 Polokulový model PolokulovýmodelzBeltrami-Kleinovaodvodímetak,ženadjehozákladníkružnicivE 3 umístíme kulovou lochu κ tak, aby tato kružnice byla její hraniční kružnicí. Za hyerbolickoulochu H 2 nyníovažujemelochujednézevzniklýcholokoulíbezjejíhraniční kružnice. Na tuto lochu odvodíme celou geometrii ředchozího modelu jeho kolmým růmětem. Základní objekty Vlastními body jsou body ovrchu olokoule. Body ležící na hraniční kružnici zůstanou nevlastními limitními body. H-římkami jsou zde olokružnice ležící v rovinách kolmých k rovině hraniční kružnice. Tyto h-římky tvoří svazek různoběžek, jestliže je jeho středem libovolný reálný bod na olokouli. Pokud je solečným bodem svazku h-římek bod na hraniční kružnici, jde o svazek souběžek. V osledním říadě se žádné dvě olokružnice určující h-římky svazku reálně nerotínají. Roviny jimi určené se rotnou mimo olokouli v římce kolmé k euklidovské rovině π. Tento svazek je tedy tvořen množinou rozběžek(obr. 27). 29

32 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE P a) různoběžek b) souběžek c) rozběžek Obr. 27.: Svazek: Kolmice k h-římce budou olokružnice rocházející ólem její roviny a kolmé k rovině hraniční kružnice. Podobně také všechny další objekty a jejich vlastnosti, jako jsou cykly, shodnosti úseček atd., řeneseme z Beltrami-Kleinova modelu. Podrobněji se zmíníme jen o úhlech a jejich orovnávání, které je v tomto modelu jednodušší. Velikost úhlu, shodné úhly Nejrvekaždémuúhluvnašemmodeluřiřadímeurčitýúhelvrostoru E 3.Mějme dánydvěh-římky, qrotínajícísevbodě Q(obr.28).Úhlu <) q,kterýtytoh-římky určují,řiřadímeúhel <) q tečenkolokružnicím, qvbodě Q.Velikostlibovolnéhoúhlu <) qakoložímerovnueuklidovskévelikostiúhlu <) q : δ <) q = <) q. q q Q Obr. 28. Tím je určena velikost úhlu, který svírají každé dvě různoběžky nebo souběžky. Pro dvěsouběžky, qramena, q euklidovskéhoúhluslývají,tzn. δ <) q = <) q =0.Dvě rozběžky žádný úhel netvoří, tudíž jim neodovídá hodnota žádného reálného úhlu. 30

33 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE Příklad 2. V olokulovém modelu máme dány tři nevlastní limitní body A, B, C(obr. 29). Sestrojte trojúhelník ABC a jeho výšky. Řešení. Strany trojúhelníka jsou olokružnice s růměry AB, BC, CA kolmé k rovině hraniční kružnice. Výškou na stranu trojúhelníka sestrojíme jako olokružnici rocházející rotějším bodem strany, kolmou na rovinu hraniční kružnice olokoule a rocházející ólem roviny, ve které leží strana trojúhelníka. A C B Obr. 29.: Trojúhelník s nulovými úhly 3.4 Poincarého olorovinový model Tento model vznikne středovým romítáním olokulového modelu na rovinu α kolmou k rovině π hraniční kružnice(obr. 30). Středem romítání S je nejvzdálenější bod od roviny α, který leží na hraniční kružnici. A q r A r α π Obr. 30. Hraniční kružnice se tímto romítáním zobrazí do římky, která je růsečnicí rovin α a π. Všechny body olokoule se zobrazí do jedné z takto vzniklých olorovin. Za hyerbolický rostor H 2 tedynyníovažujemetzv.otevřenouolorovinu 2 roviny αurčenouřímkou. H-římky se ak zobrazí buď jako olořímky kolmé na, okud jejich vzor v olokulovém modelu rocházel bodem S, nebo jako olokružnice se středem na římce. Následující obrázky ukazují vztah římek jdoucích bodem A k římce a(obr. 31) a svazky těchto římek(obr. 32). Různoběžné budou h-římky rotínající se v olorovině 2 otevřenáolorovina olorovinabezjejíhraničnířímky. q S 31

34 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE modelu(obr. 32a), souběžné rotínající se na římce (obr. 32b) a rozběžné ty, které nebudou mít reálný růsečík(obr. 32c). r 1 s 1 a s 2 q r 2 Obr. 31. P r a) různoběžek b) souběžek c) rozběžek určený bází r Obr. 32.: Svazek: Celá zbývající geometrie se odvodí z ředchozího modelu. Za zmínku stojí velikost úhlů h-římek, rotože se jedná o model, ve kterém se úhly zobrazují ve skutečné velikosti a lze jetedyřímovmodelumezisebouorovnávataměřit(obr.33,34). q r Obr.33.:Kolmice q, r q r q α r β q Obr. 34.: Skutečná velikost úhlu <) qr r Velikost úsečky Zobrazí-li se h-římka q jako olokružnice(obr. 35a), ak orientovanou ) vzdálenost δ dvoulibovolnýchbodů A, B qdefinujemejako δ AB = k log,kde ϕ 1, ϕ 2 0. ( tg 1 2 ϕ 2 tg 1 2 ϕ 1 Zobrazí-lise qjakoolořímka(obr.35b),akoložíme: δ AB = k log y 2 y 1,rolibovolné body A, B q. 32

35 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE q V B q B ϕ 2ϕ1 A Ay 2 y 1 V U U a) b) Obr. 35. Konstanta kjeoětvolitelnájednotkaměření. δ AB závisínaorientaciúsečky ABna římce q, δ AB = δ BA.Velikosttétoúsečkyseakrovnáabsolutníhodnotějejíorientovanévzdálenosti δ AB.Blíží-lisebod Abodu Unebobod Bbodu V,jejichvzdálenost δ AB rostenadevšechnymeze.každáh-římkaivtomtomodelumátedynekonečněvelkou vzdálenost. Dvě úsečky AB a CD ovažujeme za shodné, jestliže se velikosti vzdáleností jejich krajníchbodůrovnají: δ AB = δ CD. Cykly Zajímavě se v tomto modelu zobrazí cykly. Cykl je křivka, která rotíná každou h-římku ortogonálně. To znamená, že hledáme křivku, která je kolmá na každou olokružnici (h-římku) daného svazku. Cyklem každého svazku v tomto modelu tedy bude kružnice se středemnachordále 3 tohotosvazku,tj.najedinéh-římce,kterásezobrazíjakoolořímka (obr.36). Zároveň, rotože cyklem různoběžek je h-kružnice, která od svého středu na každé h- římce svazku určuje shodné úsečky, a hyocyklem je ekvidistanta, nyní dokážeme v našem modelu řenášet velikosti úseček. S a) h-kružnice b) horocykl c) hyocykl(ekvidistanta) Obr. 36.: Cykly Zvláštnímříademjehrocyklsouběžek q i rocházejícíchstředemromítání S(obr.37). V tomto říadě se každý horocykl h svazku zobrazí jako římka rovnoběžná s. 3 chordála dvoukružnic jeřímkatvořenábody,kterémajívzhledemkoběmakružnicímstejnou mocnost.(když z jejího libovolného bodu vedeme tečny k daným kružnicím, úseky vyťaté na tečnách chordálou a bodem dotyku se sobě rovnají. r 33

36 KAPITOLA 3. MODELY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE q 1 q 2 q 3 h Obr. 37. Horocykl h, který je římo hyerbolickou římkou, je oět báze svazku rozběžek(obr. 38). Obr. 38. h Příklad 3. V Poincarého olorovinovém modelu máme dány nevlastní limitní body A, B, C na hraniční římce (obr. 39). Sestrojte trojúhelník ABC a jeho výšky. Řešení. Stranami trojúhelníka jsou olokružnice nad římkou s růměry AB, BC, CA. Nyní rovedeme konstrukci výšky na stranu AB. Výškou bude kolmice na AB rocházející bodem C, která se zde zobrazí jako ortogonální olokružnice. Výšku na stranu AB tedy můžemesestrojitnaříkladjakoolokružnicinadrůměrem CC,kde C jebododovídající bodu C v kruhové inverzi odle kružnice nad růměrem AB. Zbývající výšky získáme obdobnou konstrukcí. A C B C Obr. 39.: Trojúhelník s nulovými úhly 34