Masarykova univerzita
|
|
- Emil Kubíček
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta KLÁŘKÁ PRÁ neta Zgodová olné rovnoběžné promítání edoucí práce: RNr. Jan ondra, Ph.. tudijní program: Matematika tudijní obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání, eskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání 2011
2
3 ěkuji RNr. Janu ondrovi, Ph.., vedoucímu mé bakalářské práce, za konzultace a odborné vedení při vypracovávání mé bakalářské práce. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. rně, dne neta Zgodová
4 Název práce: olné rovnoběžné promítání utor: neta Zgodová Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU edoucí diplomové práce: RNr. Jan ondra,ph.. bstrakt: Tato práce je určena především studentům středních škol. Je v ní probrána jak teoretická část, ve které jsou popsány základní principy volného rovnoběžného promítání, tak část praktická, která se zabývá zobrazením základních těles v tomto promítání a aplikací volného rovnoběžného promítání ve stereometrii. Klíčová slova: volné rovnoběžné promítání, zobrazení těles, stereometrie, vzdálenosti, odchylky. Title: ree parallel projection uthor: neta Zgodová epartment of Mathematics and tatistics, aculty of cience, MU upervisor: RNr. Jan ondra,ph.. bstract: Primarily, this work is intended for high school students. It is discussed both the theoretical part which describes the basic principles of free parallel projection, and the practical part which deals with the depiction of basic solids in this projection and with application of free parallel projection in solid geometry. Keywords: free parallel projection, basic solids, solid geometry, distances, deviations.
5 Obsah Úvod 6 1 olné rovnoběžné promítání 7 2 Pomocné konstrukce 10 3 Zobrazení základních těles Zobrazení hranatých těles Zobrazení rotačních těles tereometrické úlohy Polohové úlohy Metrické úlohy vzdálenosti Metrické úlohy odchylky Závěr 54 Literatura 55 5
6 Úvod ílem mé bakalářské práce je seznámit čtenáře se základními principy volného rovnoběžného promítání (dále jen RP) a předvést jeho využití v praktických úlohách. První dvě kapitoly jsou zaměřeny hlavně na teorii. první kapitole je vysvětleno, co to vlastně RP je a čím je zadáno. Je zde popsáno, jak postupovat při zobrazení bodů, přímek a těles, a jsou zde vyjmenovány základní vlastnosti RP. ruhá kapitola se věnuje pomocným konstrukcím a doplňující teorii (afinita a kolineace), které budu potřebovat v následujících částech textu. těchto dvou kapitolách jsem čerpala z knih [1] až [4] a [6] až [8]. Třetí kapitola, která je jádrem této práce, se zabývá zobrazením základních těles ve RP. Kapitola je rozdělena na tyto podkapitoly: zobrazení hranatých těles (krychle, pravidelný čtyřboký a pětiboký jehlan, čtyřstěn a pravidelný šestiboký hranol) a zobrazení rotačních těles (válec, kužel a koule). e čtvrté kapitole se věnuji stereometrickým úlohám, ve kterých se RP využívá. Kapitola je rozdělena na tyto podkapitoly: polohové úlohy, metrické úlohy vzdálenosti a metrické úlohy odchylky. Na začátku každé této podkapitoly je nejprve uvedena teorie k dané problematice, za kterou následují řešené příklady. této kapitole jsem čerpala z knih [5] a [8]. U čtenáře předpokládám znalost pojmů jako jsou incidence a dělící poměr a také znalost základních vlastností elipsy (ve druhé kapitole jsou zopakované jen některé z nich). elá práce je vysázena v pdfl TXu. Obrázky jsou vytvořeny v programu eogebra. 6
7 Kapitola 1 olné rovnoběžné promítání Promítání: rovnoběžné (paralelní) promítací paprsky jsou navzájem rovnoběžné kolmé (ortogonální) kosoúhlé (klinogonální) středové (centrální) promítací paprsky procházejí jedním bodem olné rovnoběžné promítání K zobrazení prostorových útvarů do roviny je možné použít různých způsobů. Při řešení stereometrických úloh, kdy je důležitá hlavně názornost, se nejčastěji používá volné rovnoběžné promítání. olné rovnoběžné promítání je typem kosoúhlého promítání na pevně zvolenou svislou rovinu, ve kterém nejsou znázorněny souřadnicové osy. Zobrazení bodů a přímek: Necht je dána libovolná pevná rovina a směr s: ν = s b a p p ν.... průmětna s.... směr promítání a, b.... promítací paprsky,.... rovnoběžné průměty (obrazy) bodů, =.... samodružný bod p.... rovnoběžný průmět (obraz) přímky p odem proložíme přímku a rovnoběžnou se směrem s. Kde tato přímka protne průmětnu ν, tam je jeho obraz. tejný postup použijeme i pro bod, dostaneme bod. od leží v průmětně, je tedy samodružný a splývá se svým obrazem. Rovnoběžné promítání zachovává incidenci, tudíž obraz p přímky p prochází body,,. 7
8 Na tomto místě je nutno podotknout, že přímka se může promítnout také jako bod, a to v případě, kdy je daná přímka rovnoběžná se směrem promítání. Můžeme si také všimnout, že poměr úseček na téže přímce se rovnoběžným promítnutím nezmění. Je tedy : = : (rovnoběžné promítání zachovává dělící poměr). hodné a navzájem rovnoběžné úsečky, které nejsou rovnoběžné se směrem promítání, se promítají do úseček, které jsou také shodné a navzájem rovnoběžné. Zobrazení těles: Při zobrazování těles postupujeme takto: těleso umístíme tak, aby některá jeho část (stěna, hrana,... ) byla v tzv. průčelné rovině (což je každá rovina rovnoběžná s průmětnou). Úsečky kolmé k průmětně se zobrazí jako úsečky, které s obrazem vodorovných úseček svírají úhel ω a jejichž délka je závislá na parametru q (o parametrech ω a q viz. níže). Pokud ve volném rovnoběžném promítání zobrazíme krychli, dostaneme vždy jeden z těchto typů obrázků: Jedná se o: - pravý nadhled (viditelné jsou: pravá, horní a přední stěna) - levý nadhled (viditelné jsou: levá, horní a přední stěna) - pravý podhled (viditelné jsou: pravá, dolní a přední stěna) - levý podhled (viditelné jsou: levá, dolní a přední stěna) Z toho vyplývá, že volné rovnoběžné promítání není jednoznačně určeno pouze volbou parametrů ω a q, ale musí být rozhodnuto i o pohledu, kterým se na dané těleso díváme. e většině případů se používá zobrazení těles v pravém nadhledu. Jako podhled zobrazujeme některé stavební prvky, jako jsou klenby, římsy, balkony atd. Parametry volného rovnoběžného promítání: měr promítacích paprsků určujeme tak, že zvolíme úhel zkosení ω a poměr zkrácení q. Podle volby úhlu zkosení (uvedeno v kladném smyslu) dostáváme: - pro 0 < ω < 90 pravý nadhled - pro 90 < ω < 180 levý nadhled - pro 180 < ω < 270 pravý podhled - pro 270 < ω < 360 levý podhled Nejčastější volbou je ω = 45 nebo ω = 60. Poměr q je libovolné číslo, které udává, jak se změní délka úsečky kolmé k průmětně. Např. pokud bude q = 2, bude výsledná úsečka dvakrát delší. 8
9 Obvykle volíme q 1 (proto poměr zkrácení). Pokud totiž volíme q > 1, obrázky jsou značně zkreslené. Nejčastější volby pro q: 1 2, 2 3, 1 2 nebo 1. olné rovnoběžné promítání se používá především ve stereometrii k řešení polohových úloh a v analytické či deskriptivní geometrii k názorným obrázkům při rozboru prostorových úloh. 9
10 Kapitola 2 Pomocné konstrukce této kapitole se věnuji některým konstrukcím, které budu potřebovat v následujících částech textu. Jedná se o konstrukci pětiúhelníku, konstrukci hyperoskulačních kružnic elipsy, o Rytzovu konstrukci a konstrukci tečen k elipse rovnoběžných s daným směrem nebo jdoucí daným bodem. Na konci kapitoly se snažím objasnit základní principy afinity a kolineace. Konstrukce pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kružnice k se středem : k d l K O M L Popis konstrukce. Na kružnici k zvolíme průměr KL. tředem vedeme k tomuto průměru kolmici, která zadanou kružnici k protne v bodě. třed úsečky K označme jako bod O. bodě O sestrojíme kružnici l o poloměru O, která průměr KL protne v bodě M. élka úsečky M odpovídá velikosti strany pětiúhelníku. 10
11 Konstrukce hyperoskulačních kružnic elipsy: l k K Popis konstrukce. lipsa je zadána hlavními a vedlejšími vrcholy, a,. ody, a doplníme bodem na obdélník. Z bodu vedeme kolmici na úhlopříčku. Kde tato kolmice protne hlavní osu, tam je bod K, kde protne osu vedlejší, tam je bod L. od K je středem hyperoskulační kružnice k o poloměru K, bod L je středem hyperoskulační kružnice l o poloměru L. L Rytzova konstrukce: K m Y k K O M X L a N b p Popis konstrukce. lipsa je zadána středem a sdruženými průměry KL a MN. Jako první sestrojíme bodem kolmici k průměru KL, na kterou naneseme délku úsečky K. zniklý bod označíme K. Tento bod spojíme s bodem M (je to vždy ten bližší z bodů sdruženého průměru) vzniklou přímku označíme p. Na přímce p najdeme střed úsečky KM, který pojmenujeme O. Nyní sestrojíme kružnici m se středem O a poloměrem r = O. Průsečíky přímky p a kružnice m označíme jako body X a Y. Oba tyto body spojíme se středem vzniknou přímky a a b. elikost úsečky XK je rovna délce hlavní poloosy elipsy. Naneseme ji tedy od bodu na přímku a (hlavní osa leží vždy v ostrém úhlu sevřeném sdruženými průměry), získáme hlavní vrcholy, hledané elipsy. elikost úsečky K Y je rovna délce vedlejší poloosy, naneseme ji od bodu na přímku b a tím získáme vedlejší vrcholy, hledané elipsy. ůkaz této konstrukce nalezneme např. v knize [2, strana 145]. 11
12 Konstrukce tečen k elipse e rovnoběžných se směrem s: l s k t 1 Q 1 T 1 P 1 e q 1 T 2 q 2 P 2 t 2 Q 2 Popis konstrukce. lipsa e je zadána hlavními a vedlejšími vrcholy, a,. Jako první najdeme její ohniska a. e vrcholu sestrojíme kružnici o poloměru r =. Kde tato kružnice protne hlavní osu elipsy, tam jsou hledaná ohniska. tejnou kružnici (pojmenujeme ji k) opíšeme i kolem bodu tato kružnice se nazývá hlavní vrcholová kružnice, protože prochází hlavními vrcholy elipsy. Ohniskem vedeme k danému směru s kolmici l. Kde tato kolmice protne vrcholovou kružnici k, tam jsou body P 1 a P 2. Těmito body sestrojíme rovnoběžky t 1 a t 2 se směrem s, které jsou hledanými tečnami. ody Q 1 a Q 2 jsou po řadě obrazy ohniska v osové souměrnosti podle tečen t 1 a t 2. od Q 1 spojíme s ohniskem. Kde tato spojnice protne tečnu t 1, tam je bod dotyku T 1. To samé provedeme s bodem Q 2, získáme bod dotyku T 2. 12
13 Konstrukce tečen z bodu k elipse e: t 2 Q 2 t 1 Q 1 q 2 T 1 q 1 T 2 v g e Popis konstrukce. lipsa e je zadaná hlavními a vedlejšími vrcholy, a,. Ohniska elipsy nalezneme stejným způsobem, jako v předchozím příkladě. ohnisku sestrojíme kružnici g o poloměru r 1 =, v bodě sestrojíme kružnici v o poloměru r 2 =. Tyto dvě kružnice se protnou v bodech Q 1 a Q 2. Získané body spojíme s ohniskem. ledaná tečna t 1 je osou souměrnosti úsečky Q 1, tečna t 2 je osou souměrnosti úsečky Q 2. pojnice ohniska s bodem Q 1 protne tečnu t 1 v dotykovém bodě T 1, spojnice bodů a Q 2 protne tečnu t 2 v bodě dotyku T 2. 13
14 finita Necht jsou dány dvě různoběžné roviny ρ a π a směr s, který není rovnoběžný s žádnou ze zadaných rovin. Jestliže promítneme útvar U ležící v rovině ρ ve směru s do roviny π, získáme útvar U, který je s útvarem U ve vztahu osové afinity. Na obrázku je znázorněn průmět trojúhelníku ρ ve směru s do roviny π: o ρ s π b a c s.... směr afinity o.... osa afinity a, b, c.... promítací paprsky -, -, dvojce odpovídajících si bodů ěta 2.1. pojnice odpovídajících si bodů jsou vzájemně rovnoběžné a mají směr afinity. ěta 2.2. Odpovídající si přímky se protínají na ose afinity. ěta 2.3. Každý bod osy afinity je samodružný. finita v rovině je jednoznačně určena osou afinity a párem odpovídajících si bodů (čímž je stanoven i směr afinity). Je-li směr afinity kolmý k ose afinity, jedná se o afinitu kolmou. Příklad 1. osové afinitě, která je dána osou o a dvojcí odpovídajících si bodů -, zobrazte čtverec. a d b c o Popis konstrukce. Jako první použijeme ětu 2.1., tedy sestrojíme rovnoběžky a, b, c, d. Nyní použijeme ětu 2.2. ody a vedeme přímku, která protíná osu afinity v bodě 1. Tento bod spojíme s bodem. zniklá přímka protíná paprsek d v bodě. tejnou konstrukci provedeme i s ostatními body. Tak vznikne čtyřúhelník. 14
15 Kolineace Necht jsou dány dvě různoběžné roviny ρ a π a bod, který neleží v žádné ze zadaných rovin. Jestliže promítneme útvar U ležící v rovině ρ ze středu do roviny π, získáme útvar U, který je s útvarem U ve vztahu středové kolineace. Na obrázku je znázorněn průmět trojúhelníku ρ ze středu do roviny π: ρ π c.... střed kolineace o.... osa kolineace a, b, c.... promítací paprsky -, -, dvojce odpovídajících si bodů o a b ěta 2.4. pojnice odpovídajících si bodů procházejí jediným bodem, a to středem kolineace. ěta 2.5. Odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace. ěta 2.6. Každý bod osy kolineace je samodružný. Kolineace v rovině je jednoznačně určená osou kolineace, středem kolineace a párem odpovídajících si bodů. Příklad 2. e středové kolineaci, která je dána osou o, středem a dvojcí odpovídajících si bodů -, zobrazte pravidelný pětiúhelník c o d e a Popis konstrukce. Jako první použijeme ětu 2.4., tedy sestrojíme paprsky a, b, c, d, e, které procházejí středem. Nyní použijeme ětu 2.5. ody a vedeme přímku, která protíná osu kolineace v bodě 1. Tento bod spojíme s bodem. zniklá přímka protíná paprsek d v bodě. tejnou konstrukci provedeme i s ostatními body. Tím vznikne pětiúhelník. 15
16 Kapitola 3 Zobrazení základních těles této kapitole se věnuji zobrazení základních těles: krychli, pravidelnému čtyřbokému a pětibokému jehlanu, čtyřstěnu, pravidelnému šestibokému hranolu, válci, kuželi a kouli. šechna tělesa považuji za neprůhledná, musím tedy určovat i viditelnost hran. e většině případů používám volné rovnobězné promítání s parametry ω = 45 a q = 1/2. některých příkladech je ale vhodnější (pro větší přehlednost) použít parametry ω = 60 a q = 2/3. zadání příkladu nebo v popisu konstrukce bude vždy uvedeno, kterou metodu jsem si zvolila. šechna tělesa zobrazuji jako pravý nadhled. 16
17 3.1 Zobrazení hranatých těles Příklad 3. e volném rovnoběžném promítíní (45 ; 1/2) zobrazte krychli o hraně délky 6 cm. Popis konstrukce. Krychli umístíme tak, aby stěny a byly v průčelné rovině. Zobrazení krychle je potom velice jednoduché. Začneme dolní podstavou. Úsečka leží v průčelné rovině, takže se zobrazí ve skutečné velikosti. Úsečky a jsou na úsečku kolmé. Z obou krajních bodů, i, tedy vedeme pod úhlem 45 polopřímku, na kterou naneseme polovinu délky strany a 3 cm. Tím získáme body a. Nyní přejdeme k bodům horní podstavy. Z bodu vedeme k úsečce kolmou přímku, na kterou naneseme skutečnou velikost strany a (hledaná hrana totiž také leží v průčelné rovině). Tu samou konstrukci provedeme i v ostatních bodech dolní podstavy. Získáme tedy chybějící body,, a. Jako poslední určíme viditelnost jednotlivých hran. ody,,,, a leží na obryse, budou tedy všechny spojeny viditelnými čarami. Zbývá jen rozhodnout, který z bodů a bude vidět. úvodu kapitoly jsem se rozhodla, že budu všechna tělesa zobrazovat jako pravý nadhled. od leží za stěnou, je tedy v neviditelné části. šechny hrany, které z něj vycházejí jsou tedy neviditelné. Z bodu vedeme čáry viditelné. 17
18 Příklad 4. e volném rovnoběžném promítání (60 ; 2/3) zobrazte krychli o hraně délky 6 cm. Popis konstrukce. Postupujeme téměř stejně jako v předchozím příkladě. Jediným rozdílem je, že při hledaní bodů a vedeme z bodu a polopřímky pod úhlem 60 a nanášíme na ně dvě třetiny délky strany a, tedy 4 cm. Poznámka. Příkladu 3 si můžeme všimnout, že pokud bychom chtěli zobrazit tělesovou úhlopříčku, tak některé její části splývají s hranami krychle. Proto je v některých případech vhodnější použít volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3. 18
19 Příklad 5. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan o délce podstavné hrany a = 6 cm a výšce v = 7 cm. Popis konstrukce. Jehlan si umístíme tak, aby jeho podstava byla ve vodorovné rovině, která je kolmá na průmětnu. Začneme opět konstrukcí podstavy. Tou je v tomto případě opět čtverec, takže postupujeme stejně jako v Příkladu 3. K nanesení výšky potřebujeme najít střed dolní podstavy. Ten určíme jako průsečík úhlopříček a. Z tohoto bodu nyní vedeme k podstavě (tedy např. k úsečce, která v ní leží) komici, na kterou naneseme od bodu výšku v. Tím získáme vrchol. Pospojujeme jej s vrcholy podstavy a určíme viditelnost (v neviditelné části je pouze bod ). 19
20 Příklad 6. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte pravidelný pětiboký jehlan, jehož podstava je vepsána do kružnice o poloměru r = 5 cm a jehož výška je v = 9 cm. O Popis konstrukce. Při sestrojování pravidelného pětibokého jehlanu je nezbytné zkonstruovat si skutečný obraz dolní podstavy s některými pomocnými body, jak je provedeno na další straně. Přesná konstrukce pravidelného pětiúhelníku je uvedena v Kapitole 2 na straně 10. Začneme tedy se samotnou konstrukcí jehlanu. Jehlan si umístíme opět tak, aby rovina podstavy byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Úsečka se tedy zobrazí ve skutečné velikosti. Najdeme střed úsečky, který pojmenujeme jako bod O. Tímto bodem vedeme pod úhlem 45 polo- 20
21 přímku, na kterou naneseme od bodu O polovinu skutečné velikosti úseček O a O (zde využijeme pomocný obrázek podstavy). od je jedním z vrcholů podstavy, bod je pomocným bodem konstrukce. íme o něm, že půlí úsečku, kterou vidíme ve skutečné velikosti. tačí tedy bodem vést rovnoběžku s úsečkou a na každou stranu od bodu nanést polovinu velikosti úsečky. Tím jsme získali všechny body podstavy. využitím pomocného obrázku najdeme střed podstavy. Z něj vedeme k rovině podstavy (tedy např. k úsečce, která v ní leží) komici, na kterou naneseme od bodu výšku v. Tím získáme vrchol. Ten spojíme se všemi vrcholy podstavy a určíme viditelnost (v neviditelné části je opět pouze bod ). k O 21
22 Příklad 7. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte čtyřstěn o hraně délky a = 6 cm. T T v Popis konstrukce. této úloze je nezbytné si zkonstruovat nejen podstavu ve skutečné velikosti, ale i vhodný řez tělesa, jehož rovina je kolmá na rovinu podstavy. Tuto konstrukci potřebujeme k tomu, abychom určili výšku tělesa. našem případě to bude řez procházející vrcholy a a středem úsečky. Čtyřstěn si umístíme tak, aby podstava byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Úsečka se zobrazí ve skutečné velikosti. tředem úsečky vedeme pod úhlem 45 přímku, na kterou naneseme polovinu skutečné velikosti úsečky. od volíme pro větší přehlednost směrem k nám. Tím je podstava čtyřstěnu hotová. Nyní určíme těžiště T podstavného trojúhelníka, ze kterého vedeme kolmici na rovinu podstavy (tedy např. kolmici k úsečce, která v ní leží). Na tuto kolmici naneseme od bodu T výšku v, kterou jsme získali při konstrukci pomocného řezu. Tím získáme vrchol. Zbývá už jen spojit všechny vrcholy a určit viditelnost tělesa (všechny vrcholy leží na obryse, neviditelná je pouze hrana ). 22
23 Příklad 8. e volném rovnoběžném promítání (45 ; 1/2) zobrazte pravidelný šestiboký hranol s podstavnou hranou a = 5 cm a výškou v = 10 cm. 23
24 Popis konstrukce. I v tomto příkladě je vhodné zkonstruovat si podstavu ve skutečné velikosti, kterou je pravidelný pětiúhelník, s některými pomocnými body. ranol umístíme tak, aby stěna ležela v průčelné rovině. Začneme opět podstavou. Úsečka se zobrazí ve skutečné velikosti, bude mít tedy délku 5 cm. ody a získáme tak, že z bodu a vedeme pod úhlem 45 polopřímky, na které naneseme polovinu skutečné vzdálenosti bodu, resp.,. třed podstavy nalezneme jako průsečík uhlopříček a. Tímto bodem vedeme rovnoběžku s úsečkou. Na každou stranu od bodu naneseme na tuto přímku délku 5 cm. Tím získáme body a. Máme tedy všech šest bodů dolní podstavy. K sestrojení horní podstavy potřebujeme jako první nalézt jeden její bod, např.. ten najdeme tak, že k úsečce vedeme kolmici, na kterou z bodu naneseme výšku v = 10 cm. Jakmile tento bod nalezneme, stačí všechny body dolní podstavy posunout ve směru o již zmíněnou délku 10 cm (horní podstava je shodná s dolní). ody pospojujeme a určíme viditelnost (v neviditelné části jsou jen body a ). 24
25 3.2 Zobrazení rotačních těles Příklad 9. e volném rovnoběžném promítání (60, 2/3) zobrazte rotační válec s podstavou o poloměru r = 6 cm a výškou v = 8 cm. T 2 T 1 e v M T 1 K L T 2 e N 25
26 Popis konstrukce. Pro větší přehlednost volíme volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3. Kružnice se ve volném rovnoběžném promítání zobrazí jako elipsa (pokud leží kružnice v průčelné rovině, zobrazí se jako kružnice, poloměr se zachovává). álec umístíme tak, aby rovina podstavy byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Průměr KL podstavné kružnice, který leží v průčelné rovině se zobrazí ve skutečné velikosti. Průměr MN, který je na něj kolmý, se zobrazí jako úsečka (procházející a půlená středem ) dlouhá 8 cm a svírající s úsečkou úhel ω = 60. estrojili jsme tak dva sdružené průměry, na které ted aplikujeme tzv. Rytzovu konstrukci (přesný postup je uveden v Kapitole 2 na straně 11). Tím získáme hlavní a vedlejší osu a elipsu e vyrýsujeme. Nyní nalezname střed horní podstavy. K rovině dolní podstavy, tedy např. k úsečce KL, vedeme kolmou přímku procházející bodem. Od tohoto bodu naneseme výšku v = 8 cm, máme bod. olní podstava je s horní podstavou totžná. tačí tedy jen dolní podstavu posunout ve směru o výšku v. Obrys válce je tvořen dvěma polovinami těchto elips a dvěma schodnými úsečkami T 1 T 1 a T 2 T 2, které jsou tečnami k těmto elipsám rovnoběžnými se směrem (konstrukce tečen k elipse rovnobežných se směrem s je uvedena v Kapitole 2 na straně 12). ody dotyku T 1 a T 2 těchto tečen jsou zároveň body přechodu viditelnosti dolní podstavy. 26
27 Příklad 10. e volném rovnoběžném promítání (60, 2/3) zobrazte rotační kužel s podstavou o poloměru r = 6 cm a výškou v = 10 cm. M T 1 K L T 2 e N Popis konstrukce. Opět volíme pro větší přehlednost volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3 a těleso umist ujeme tak, aby jeho rovina podstavy byla vodorovná, kolmá na průmětnu. Podstava tvaru kružnice, která přejde opět v elipsu, má stejný poloměr jako v Příkladu 9. Při její konstrukci tedy postupujeme úplně stejně. e středu setrojíme kolmici k rovině podstavy, tedy např. k úsečce KL, a naneseme na ni od bodu výšku v = 10 cm. Tím získáme vrchol. Z něj vedeme k elipse e tečny (konstrukce tečen z bodu k elipse je uvedena v Kapitole 2 na straně 13). ody dotyku jsou zároveň body přechodu viditelnosti podstavné elipsy e. 27
28 Příklad 11. e volném rovnoběžném promítání (60, 2/3) zobrazte kouli se středem o poloměru r = 6 cm. T 3 Z t 3 U 1 k f M t 1 2 W L T 2 T 1 K X 1 t 2 N e 2 Y T 4 t 4 28
29 Popis konstrukce. I při konstrukci koule je vhodnější zvolit volné rovnoběžné promítání s parametry ω = 60 a q = 2/3. Koule se ve volném rovnoběžném promítání zobrazí vždy jako elipsa. bychom takovouto elipsu mohli sestrojit, potřebujeme najít její hlavní a vedlejší osu nebo alespoň pět bodů, kterými tato elipsa prochází. Ukážeme si oba způsoby. K oběma řešením nám poslouží tři navzájem kolmé řezy procházející středem zadané koule. Tím prvním a nejjednodušším je řez, který leží v průčelné rovině. Zobrazí se jako kružnice k(; r = 6 cm). alším řezem je řez vodorovný, kolmý na průmětnu tzv. rovníkový. Tento řez se zobrazí jako elipsa e, se kterou jsme se setkali již v Příkladech 9 a 10. Posledním řezem (elipsa f) je řez svislý, kolmý na průmětnu tzv. poledníkový. Jedním z jeho průměrů je průměr MN, který už v obrázku máme. K němu sdružený je průměr U, který se zachová ve skutečné velikosti. Pomocí Rytzovy konstrukce (Kapitola 2, strana 11) sestrojíme hlavní osu Y Z a vedlejší osu W X a elipsu f vyrýsujeme. lipsy e a f můžeme chápat i jako řezy válcových ploch, které obalují zadanou kouli (je jasné, že osy těchto válcových ploch procházejí středem koule a jsou kolmé na roviny řezů). ody přechodů viditelnosti elips e a f T 1, T 2, T 3 a T 4 jsou hledanými body, které leží na obrysu zadané koule. lipsy e a f se protnou v bodech M a N. Tyto body jsou podle Quetelet andelinovy věty (více např. v knize [2, strana 177]) ohniska hledané obrysové elipsy. Kolmice vedena středem na přímku danou ohnisky M a N protne kružnici k ve dvou bodech. Označme jeden z těchto bodů jako bod. od je vedlejším vrcholem hledané obrysové elipsy. Jelikož známe i ohniska, lze z obecně známých vlastností elipsy najít hlavní vrchol. Nyní už zbývá si jen vybrat, jestli elipsu vyrýsujeme pomocí hlavních a vedlejších os (jednodušší způsob), nebo jako kuželosečku danou pěti body. 29
30 Kapitola 4 tereometrické úlohy této kapitole se zabývám základními stereometrickýni úlohami probíranými na středních školách. Nejprve se věnuji úlohám polohovým. nich řeším vzájemnou polohu bodů, přímek a rovin, popisuji zde, jak sestrojit průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou a s povrchem tělesa, hledám zde roviny a přímky splňující nějakou podmínku a věnuji pozornost řezům tělesa rovinou. Nakonec se zabývám úlohami metrickými, ve kterých počítám vzdálenosti a odchylky. eškeré definice uvedené v této kapitole jsem čerpala z knihy [8]. 4.1 Polohové úlohy Incidence: Incidence: bod leží na přímce = přímka prochází bodem; bod leží v rovině = rovina prochází bodem; přímka leží v rovině = rovina prochází přímkou. Je-li bod icidentní s přímkou p a přímka p incidentní s rovinou ρ, pak je i bod incidentní s rovinou ρ (tranzitivní zákon). od leží v rovině, jestliže leží na některé její přímce. zájemná poloha dvou přímek: totožné přímky mají nekonečně mnoho společných bodů; různoběžné přímky mají právě jeden společný bod průsečík, leží v téže rovině; rovnoběžné přímky nemají žádný společný bod, leží v téže rovině; mimoběžné přímky nemají žádný společný bod, neleží v téže rovině. zájemná poloha přímky a roviny: přímka leží v rovině přímka a rovina mají nekonečně mnoho společných bodů; přímka a rovina jsou různoběžné přímka a rovina mají jeden společný bod průsečík; 30
31 přímka a rovina jsou rovnoběžné přímka a rovina nemají žádný společný bod. zájemná poloha dvou rovin: totožné roviny mají nekonečně mnoho společných bodů; různoběžné roviny se protínají ve společné přímce průsečnici; rovnoběžné roviny nemají žádný společný bod. zájemná poloha tří rovin: každé dvě roviny jsou rovnoběžné (Obrázek 1.); každé dvě roviny jsou různoběžné, průsečnice každých dvou rovin jsou rovnoběžné různé střecha (Obrázek 2.); každé dvě roviny jsou různoběžné, všechny tři průsečnice splynou v jedinou přímku svazek (Obrázek 3.); každé dvě roviny jsou různoběžné, všechny tři průsečnice jsou různé a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin trs (Obrázek 4.); dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná v rovnoběžných přímkách (Obrázek 5.). γ p β α q r α β γ Obrázek 1. Obrázek 2. α β p γ β α γ q r p Obrázek 3. Obrázek 4. β p α q Obrázek 5. 31
32 zájemná poloha Příklad 12. Na krychli vyznačte dvojici přímek, které jsou: a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné Příklad 13. Na krychli vyznačte přímku a rovinu, pro které platí: a) jsou různoběžné b) jsou rovnoběžné c) přímka leží v rovině Příklad 14. Na krychli vyznačte dvojici rovin, které jsou: a) různoběžné b) rovnoběžné 32
33 Příklad 15. Na krychli vyznačte trojici rovin, pro které platí: a) každé dvě roviny jsoub) každé dvě roviny jsouc) roviny tvoří svazek rovnoběžné různoběžné p p r q d) roviny tvoří trs e) dvě rovnoběžné roviny protíná rovina třetí p q Příklad 16. Na jehlanu rozhodněte o vzájemné poloze: a) přímek a b) rovin a c) přímky a roviny - mimoběžné přímky - různoběžné roviny - přímka a rovina jsou rovnoběžné 33
34 Průsečnice rovin Příklad 17. Na krychli nalezněte průsečnici rovin α a β. α P a b β p b P a Řešení. Roviny α a β se protínají v přímce p. bychom tuto přímku mohli zkonstruovat, musíme najít alespoň dva její body. K jejich nalezení použijeme stěny zadané krychle. Rovina α protíná stěnu v přímce a, rovina β v přímce b. Tyto dvě přímky se protínají v bodě P. tejný postup použijeme se stěnou vzniknou přímky a a b, které se protínajá v bodě P. pojnice bodů P a P je hledaná přímka p. Příklad 18. alší příklady na průsečnici dvou rovin: - řešené příklady na krychli - řešené příklady na pravidelném čtyřbokém jehlanu 34
35 Rovnoběžnost Příklad 19. Na krychli ved te bodem rovinu rovnoběžnou s rovinou. Řešení. ledanou rovinu nalezneme tak, že bodem proložíme 2 různé přímky, které jsou se zadanou rovinou rovnoběžné. Tak bude hledaná rovina určená. První z těchto přímek je např. přímka. Přímka je rovnoběžná s přímkou, tedy je rovnoběžná s rovinou. ruhou přímkou je přímka, která je rovnoběžná s přímkou, tedy s rovinou. Přímky a určují rovinu. Příklad 20. Na krychli ved te bodem přímku rovnoběžnou s rovinami a. Řešení. Průsečnicí rovin a je přímka. ledaná přímka bude procházet bodem a bude rovnoběžná s průsečnicí. Jedná se tedy o přímku. 35
36 Průsečík přímky s rovinou Příklad 21. Na krychli určete průsečík přímky p s rovinou α. p P r α β Řešení. Přímkou p proložíme pomocnou rovinu β. Ta se s rovinou α protíná v průsečnici r (postup hledání takovéto průsečnice je popsán v Příkladě 17). Kde se přímka r protíná se zadanou přímkou p, tam je hledaný průsečík P. Příklad 22. alší příklady na průsečík přímky s rovinou: - řešené příklady na krychli p P r p r P p r P - řešené příklady na pravidelném čtyřbokém jehlanu p r P p P r P r p 36
37 Řezy Řezem tělesa rovinou je průnik tělesa a roviny. Je to rovinný útvar, jehož hranice se skládá z průniku roviny řezu se stěnami zadaného tělesa. estrojit řez znamená sestrojit průsečnice dané roviny s rovinami jednotlivých stěn tělesa. Některé důležité věty a jejich důsledky potřebné při konstrukci řezů (převzato z knihy [8]): ěta 4.1. Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. ůsledek: Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině některé stěny, leží v rovině této stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu. ěta 4.2. vě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. ůsledek: Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. ěta 4.3. Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice. ůsledek: Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě. a) Řezy na hranolu: Na obrázku je znázorněn řez kolmého trojbokého hranolu (s podstavou v půdorysně π) obecnou rovinou ρ. Řezem je trojúhelník XY Z. π ν 3 Z X Y 2 1 o p ρ n ρ ρ x π.... půdorysna ν.... nárysna p ρ.... půdorysná stopa roviny ρ n ρ.... nárysná stopa roviny ρ XY Z.... řez zadaného hranolu rovinou ρ Rovina podstavy, která leží v půdorysně π, rovina stěny hranolu a sečná rovina ρ se protínají v bodě 1, jímž procházejí jejich průsečnice p ρ, a XY. 37
38 Podobně je tomu pro: π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 2 a π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 3. šechny tyto body leží na průniku sečné roviny ρ s půdorysnou π, tedy na stopě p ρ. Řezy těchto dvou rovin se zadanou hranolovou plochou (tedy XY Z a podstava ) jsou ve vztahu afinním (Kapitola 2, strana 14). Osou afinity je jejich průsečnice půdorysná stopa p ρ, směr afinity je rovnoběžný s pobočnou hranou hranolu. b) Řezy na jehlanu: Na obrázku je znázorněn řez trojbokého jehlanu (s podstavou v půdorysně π) obecnou rovinou ρ (předpokládáme, že tato rovina neprochází vrcholem ). Řezem je trojúhelník XY Z. ν π 3 2 Z o p ρ 1 Y X n ρ ρ x π.... půdorysna ν.... nárysna p ρ.... půdorysná stopa roviny ρ n ρ.... nárysná stopa roviny ρ XY Z.... řez zadaného hranolu rovinou ρ Rovina podstavy, která leží v půdorysně π, rovina stěny zadaného jehlanu a sečná rovina ρ se protínají v bodě 1, jímž procházejí jejich průsečnice p ρ, a XY. Podobně je tomu tak pro: π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 2 a π, rovinu stěny, ρ dostaneme bod 3. šechny tyto body leží na průsečnici sečné roviny ρ s půdorysnou π, tedy na půdorysné stopě p ρ. Řezy těchto dvou rovin se zadaným jehlanem (tedy XY Z a podstava ) jsou ve vztahu kolineárním (Kapitola 2, strana 15). Osou kolineace je půdorysná stopa p ρ, středem kolineace je vrchol. 38
39 Příklad 23. Na krychli určete řez rovinou P QR, kde: P : P = 3 P, Q =, R : R = 3 R. 3 T P = 1 p 2 Q U R Řešení. ody Q, R leží ve stejné stěně krychle, můžeme je tedy spojit úsečkou, která je jednou stranou řezu. Pro nalezení dalších bodů je vhodné najít průsečnici p roviny dolní podstavy s rovinou řezu. Jedním bodem této průsečnice je bod P. ruhým bodem je průsečík přímek QR a, označme jej 2. Průsečnice p je tedy přímka jdoucí bodem P a bodem 2. Tato přímka protne stěnu v bodě nalezli jsme další bod řezu. odem P ved me nyní rovnoběžku s přímkou QR. Tato rovnoběžka protne hranu v dalším bodě řezu T. Přímka protne průsečnici p v bodě 3. Když tento bod spojíme s bodem T, dostaneme přímku, která hranu protne v bodě U. ýsledným řezem je šestiúhelník P QRUT. Řešené příklady na řezy krychle rovinou: a) P QR: P : 3 P = P Q : Q = 3 Q R = b) P Q: P : 3 P = P Q = P R Q Q 2 3 R 3 P = 1 p = 2 1 p 39
40 Příklad 24. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu určete řez rovinou P QR, kde: P =, Q : Q = 3 Q, R =. 3 T P = 1 p 2 Q R Řešení. ody Q a R leží ve stejné stěně jehlanu, spojíme je tedy úsečkou, která tvoří jednu stranu řezu. Pro nalezení dalších bodů je i zde vhodné nejprve najít průsečnici p roviny dolní podstavy s rovinou řezu. Jedním bodem této průsečnice je bod P. ruhým bodem je průsečík přímek QR a 2. Průsečnice p je tedy určena body P a 2. místě, kde tato průsečnice protne stěnu, tam je další bod řezu, bod. Přímka protne průsečnici p v bodě 3. Když nyní tento bod spojíme s bodem R, dostaneme přímku, která protne hranu v bodě T. ýsledným řezem je špětiúhelník P QRT. Řešené příklady na řezy jehlanu rovinou: a) P QR: P = Q : 3 Q = Q R : R = 3 R b) P Q: P : 3 P = P Q : 3 Q = Q R = R 3 p T P = 1 Q 2 p 3 P = 1 R Q = 2 40
41 Průsečík přímky s povrchem tělesa Příklad 25. Na krychli určete průsečík přímky p P Q s povrchem těles, kde = P a = Q. P X p Y Q P Řešení. Přímkou p proložíme libovolnou rovinu a určíme řez tělesa touto rovinou. Průsečíky přímky p s řezem tělesa jsou body X a Y, které nám určují, ve kterých místech přímka p protne krychli. Průnik přímky s povrchem tělesa: je-li těleso hranol, je vhodné proložit přímkou rovinu rovnoběžnou s pobočnými hranami hranolu, tzv. směrovou rovinu; je-li těleso jehlan, proložíme přímkou rovinu, která obsahuje hlavní vrchol jehlanu, tzv. vrcholovou rovinu. Příklad 26. Řešený příklad na pravidelném čtyřbokém jehlanu: = 2 Q, P = P, kde je střed podstavy. X P p Y Q 41
42 Mimoběžky Příklad 27. Na krychli sestrojte příčku mimoběžek a procházející bodem. X Y Řešení. odem a mimoběžkou proložíme rovinu. Ta protne druhou mimoběžku v bodě X. Polopřímka X protne mimoběžku v bodě Y. pojnice XY je hledanou příčkou mimoběžek a. Příklad 28. Na krychli sestrojte příčku mimoběžek a, která je rovnoběžná se směrem s. s Y = X s Řešení. Mimoběžkou proložíme rovinu rovnoběžnou se směrem s =. Ta protne mimoběžku v bodě X (v tomto případě splývá bod X s bodem ). Z bodu X nyní vedeme rovnoběžku se směrem s, která protne mimoběžku v bodě Y. pojnice XY je hledanou příčkou mimoběžek a. Příklad 29. Na krychli sestrojte všechny příčky mimoběžek a, které jsou určeny vrcholy krychle. Řešení. Z obrázku ihned vidíme, že takovéto příčky jsou celkem čtyři, a to:,, a. 42
43 4.2 Metrické úlohy vzdálenosti zdálenost dvou bodů X a Y je rovna velikosti úsečky XY. zdálenost bodu X od přímky p je rovna vzdálenosti bodu X od bodu P, kde bod P je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p ; pokud bod X leží na přímce p, pak je vzdálenost rovna 0. zdálenost bodu X od roviny ρ je rovna vzdálenosti bodu X a jeho pravoúhlého průmětu X do roviny ρ; pokud bod X leží v rovině ρ, pak je vzdálenost rovna 0. zdálenost dvou rovnoběžných přímek je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. zdálenost dvou rovnoběžných rovin je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné roviny od roviny druhé. zdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné je rovna vzdálenosti libovolného bodu této přímky od zadané roviny; pokud přímka leží v rovině, pak je vzdálenost rovna 0. zdálenost mimoběžných přímek p a q je rovna délce úsečky P Q, kde body P, Q jsou po řadě průsečíky mimoběžek p, q s takovou příčkou mimoběžek, která je k oběma z nich kolmá. 43
44 Příklad 30. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost bodů a. Řešení. ody a proložíme rovinu. Nyní vypočítáme velikost úsečky. Ta je rovna: d = = = ,5 2 = 9 + 2,25 = 11,25 = = 1,5 5 cm zdálenost bodů a je tedy rovna: d = = = = ( 11,25) = 11, = = 20,25 = 4,5 cm Příklad 31. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost bodů a. d Řešení. ody a proložíme rovinu. Nyní vypočítáme velikost úsečky. íme, že úhlopříčka podstavného čtverce má velikost u = 3 2 cm. Úsečka je tedy rovna = 1,5 2 cm a úsečka je rovna: = = = 3,5 2 + (1,5 2) 2 = 12,25 + 4,5 = = 16,75 cm zdálenost bodů a je tedy rovna: d = = 2 2 = = ( 16,75) 2 1,5 2 = = 16,75 2,25 = 14,5 cm 44
45 Příklad 32. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost bodu od přímky. d Řešení. Zadanými body proložíme rovinu. zdálenost bodu od přímky určujeme tak, že z daného bodu spustíme k dané přímce kolmici. ledanou vzdáleností je pak vzdálenost zadaného bodu od paty této kolmice. Rovina protíná krychli v rovnostranném trojúhelníku, jehož strany jsou stěnové úhlopříčky. Pata kolmice tedy splývá s bodem. íme, že stěnová úhlopříčka je rovna u = 3 2 cm. našem případě tedy: d = = 2 2 = = (3 2) 2 (1,5 2) 2 = 18 4,5 = = 13,5 cm Příklad 33. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost bodu od přímky. d α Řešení. Zadanými body proložíme rovinu. Tato rovina protne jehlan v rovnoramenném trojúhelníku, kolmice spuštěná z bodu na zadanou přímku tedy prochází středem podstavy. ledaná vzdálenost bude tedy rovna velikosti úsečky. Nejprve ale musíme určit velikost úsečky. K tomu potřebujeme znát cos α (jeho velikost získáme z trojúhelníku, délku strany známe z Příkladu 31): cos α = = 1,5 16,75 = 1,5 16,75 16,75 Podle kosinové věty: = cos α = = ,75 16, ,5 16,75 = ,75 4,5 = ,75 4 ledaná vzdálenost je tedy: d = = ( 34,75 ) 2 ( ) = = , ,75 = = cm ,75 cm 2 45
46 Příklad 34. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost rovnoběžných přímek a. d Řešení. zdálenost rovnoběžných přímek určíme tak, že k nim vedeme libovolnou kolmou přímku. Ta dané přímky protne v bodech, které nám určují hledanou vzdálenost. našem případě je to např. kolmice jdoucí body a. K výpočtu použijeme rovnostranný trojúhelník. trana trojúhelníku je rovna polovině stěnové úhlopříčky, má tedy velikost 1,5 2 cm. zdálenost zadaných rovnoběžek je rovna: = 2 (1,5 2) 2 (0,75 2) 2 = = 2 4,5 1,125 = 13,5 cm Příklad 35. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost mimoběžných přímek a, kde je střed podstavy. d Řešení. našem případě si můžeme všimnout, že dané mimoběžky jsou navzájem kolmé. Pokud mimoběžkou proložíme rovinu, tak ihned vidíme, že hledanou příčkou je úsečka. Příklad nyní přechází na výpočet vzdálenosti dvou bodů, který je popsán na straně 44. Z obrázku ihned vidíme, že hledaná vzdálenost je rovna: d = = 1,5 cm 46
47 Příklad 36. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost bodu od roviny. P Ze vzorce pro obsah trojúhelníku je tedy: d Řešení. zdálenost bodu od roviny určujeme tak, že daným bodem vedeme k dané rovině kolmici a počítáme vzdálenost zadaného bodu od paty této kolmice. našem případě je to přímka, která protne zadanou rovinu v bodě P. Pro výpočet vzdálenosti bodů P a použijeme vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku. Nejprve ale musíme určit velikost přepony tohoto trojúhelníku: = = = (1,5 2) 2 = 9 + 4,5 = 13,5 cm d = P = = 3 1,5 2 13,5 = 4, ,5 = 3 cm Příklad 37. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost bodu od roviny. d P Řešení. odem vedeme k rovině kolmici. Tato kolmice protne tuto rovinu v bodě P. Úloha nyní přechází na výpočet vzdálenosti dvou bodů. Z Příkladu 31 víme, že = 14,5 cm. Ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku dostáváme: d = P = = 10,5 14,5 10,5 = cm 14,5 14,5 = 3 3,5 14,5 = 47
48 Příklad 38. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné. d P p Řešení. Přímkou proložíme rovinu, která je na rovinu kolmá. Tyto dvě roviny se protnou v průsečnici p. Úloha nyní přechází na výpočet vzdálenosti dvou rovnoběžných přímek. Ta je např. rovna vzdálenosti bodů P a, což je polovina velikosti stěnové úhlopříčky: d = P = 1,5 2 cm Příklad 39. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete vzdálenost rovnoběžných rovin a. P d Řešení. rovině si zvolíme jeden bod např.. Jeho pravoúhlý průmět do roviny označme jako bod P. ledaná vzdálenost je rovna délce úsečky P. Z Příkladu 31 víme, že úsečka je dlouhá 14,5 cm. Ze vzoce pro obsah trojúhelníku je tedy: d = P = = 5,25 14,5 cm 14,5 = 1,5 3,5 14,5 = 48
49 4.3 Metrické úlohy odchylky Za odchylku považujeme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které dva útvary (přímky a roviny navzájem) svírají. Pokud jsou tyto útvary rovnoběžné, odchylka je rovna 0. Odchylky měříme ve stupních nebo v radiánech. Odchylka dvou různoběžných přímek je rovna menšímu z těch úhlů, které tyto dvě přímky svírají. Odchylka dvou mimoběžných přímek je rovna odchylce různoběžných přímek, které procházejí libovolným bodem prostoru a jsou rovnoběžné s danými mimoběžkami. vě přímky jsou kolmé, když je jejich odchylka rovna 90 ( π 2 rad). Přímka a rovina jsou navzájem kolmé právě tehdy, když je přímka kolmá ke každé přímce zadané roviny. vě roviny jsou kolmé právě tehdy, když jedna rovina obsahuje přímku, která je na druhou rovinu kolmá. Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá, nebo je to odchylka dvou kolmých přímek vedených k těmto rovinám. Není-li přímka kolmá k rovině, pak je odchylka přímky a roviny rovna odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do této roviny. 49
50 Příklad 40. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ různoběžných přímek a. ϕ Řešení. Odchylku ϕ přímek a určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku : cos ϕ = = = 3 ϕ = Příklad 41. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ mimoběžných přímek a. ϕ Řešení. bychom mohli přemístit mimoběžku do vhodného bodu mimoběžky, musíme nad zadanou krychlí zkonstruovat krychli. Nyní můžeme mimoběžku rovnoběžně posunout do bodu. ledanou odchylkou bude velikost úhlu, který svírají přímky a. Tu snadno určíme z trojúhelníku. Nejprve vypočítáme velikost úsečky. Ta je rovna: = = = = 45 = 3 5 cm Podle kosinové věty je tedy: cos ϕ = = (3 3) 2 + (3 2) 2 (3 5) = 9 ( ) 18 6 Tedy ϕ = 90. = 0 = = 50
51 Příklad 42. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ různoběžných přímek a. ϕ Řešení. Z pravoúhlého trojúhelníku nejprve určíme polovinu úhlu ϕ. (z Příkladu 31 víme, že = 16,75 cm): cos ϕ 2 = = 3,5 = 3,5 16,75 16,75 16,75 ϕ 2 = Odchylka různoběžných přímek a je tedy rovna: ϕ = Příklad 43. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ mimoběžných přímek a. ϕ Řešení. Mimoběžku rovnoběžně posuneme do bodu. ledaná odchylka ϕ je rovna velikosti ostrého úhlu, který svírají různoběžné přímky a. Při výpočtu vyjdeme z rovnoramenného trojúhelníku. Úsečka je rovna polovině úhlopříčky podstavného čtverce, tedy = 1,5 2 cm. Z Příkladu 31, víme, že = 14,5 cm. Podle kosinové věty je tedy: cos ϕ = = 4, = 1, Tedy: ϕ = = ( 14,5) 2 + (1,5 2) 2 ( 14,5) 2 2 ( 14,5) (1,5 2) = 51
52 Příklad 44. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ přímky od roviny. ϕ Řešení. Přímku kolmo promítneme do roviny. Odchylka ϕ je rovna ostrému úhlu mezi přímkami a. Z obrázku je ale patrné, že se tyto přímky protnou až v prostoru nad krychlí. Proto bude výhodnější, když přímku rovnoběžně posuneme do bodu. Odchylku ted snadno vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku. Neprve určíme délku strany : = = ,5 2 = 9 + 2,25 = 11,25 = 1,5 5 cm Nyní přejdeme k výpočtu odchylky ϕ: tg ϕ = = 1,5 5 1,5 5 = 5 Tedy ϕ = Příklad 45. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ přímky od roviny. ϕ Řešení. ledaná odchylka je rovna odchylce přímky od jejího pravoúhlého průmětu do roviny, tedy od přímky. Z pravoúhlého trojúhelníku dostáváme: tg ϕ = = 3,5 1,5 2 = 3,5 2 3 Tedy: ϕ =
53 Příklad 46. Na krychli, kde hrana a = 3 cm, určete odchylku ϕ rovin a. p q ϕ Řešení. Zadanými rovinami proložíme takovou rovinu, která je na obě kolmá např. rovinu. Ta protne rovinu v průsečnici p a rovinu v průsečnici q. ledaná odchylka je nyní určena přímkami p a q. Z pravoúhlého trojúhelníku dostáváme: tg ϕ = = 3 1,5 2 = 2 Tedy: ϕ = Příklad 47. Na pravidelném čtyřbokém jehlanu, kde podstavná hrana a = 3 cm a výška v = 3,5 cm, určete odchylku ϕ rovin a. X p ϕ ω Y q Řešení. Zadanými rovinami proložíme rovinu, která je na obě kolmá. Ta protne rovinu v průsečnici p a rovinu v průsečnici q. ledaná odchylka je nyní určena přímkami p a q. třed úsečky označme jako bod X a střed úsečky jako bod Y. ledanou odchylku určíme z trojúhelníku X. Nejprve určíme cos ω a sin ω (pomocný úhel, viz. obrázek) z trojúhelníku XY (z Příkladu 31 víme, že = 14,5 cm): cos ω = Y X = 0,75 2 = 1,5 14,5 14,5 14,5 sin ω = XY X = 1,75 2 = 3,5 14,5 14,5 14,5 Nyní vypočítáme pomocí kosinové věty délku úsečky X: X 2 = 2 + X 2 2 X cos ω = ( ) 2 14,5 14,5 = ,5 14,5 = 9 + 3, = 8,125 cm ,5 X = 8,125 cm Podle sinové věty je nyní: sin ϕ = sin ω = 3,5 14,5 3 X 14,5 8,125 tedy ϕ =
54 Závěr Podle mého názoru je volné rovnoběžné promítání (dále jen RP) velice názorné. tudent si jen musí dát pozor, který typ (myšleno jaké parametry ω a q) si pro zobrazení daného tělesa zvolí. převážné většině to bude asi RP(45, 1). 2 Jak už jsem ale uvedla dříve, není to vždy to nejvhodnější. Například při zobrazení tělesové úhlopříčky krychle dochází při volbě těchto parametrů ke splynutí některých hran s danou úhlopříčkou. Pro větší přehlednost je tedy vhodnější zvolit RP(60, 2). 3 Také při zobrazování rotačních těles se doporučuje volit RP(60, 2 ). lipsa 3 (která je obrazem kružnice) se totiž při volbě RP(45, 1 ) značně deformuje (je 2 úzká a tím i nenázorná). Jistou nevýhodou by ve RP mohlo být, že i obrazem koule je elipsa, což může být pro některé studenty těžké si představit. Jedním z požadavků při tvorbě mé práce byla také srozumitelnost pro běžného středoškolského studenta. Proto jsem se snažila text psát jednoduše (většinou s odkazy na příslušné obrázky). části, ve které se věnuji stereometrii, jsem vybírala příklady, které nejsou příliš složité, ale ani úplně triviální. 54
55 Literatura [1] J. Kounovský,. yčichlo: eskriptivní geometrie. Praha: Č 1956 [2]. Kraemer: Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné) I. díl. Praha: PN 1991 [3]. Kraemer: Zobrazovací metody: (promítání rovnoběžné) II. díl. Praha: PN 1991 [4] M. Menšík,. Pospíšil: Technické kreslení eskriptivní geometrie. Praha: PN 1962 [5] J. Petáková: Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus 2005 [6]. Piják a kol.: Konštrukčná geometria: pre matematicko-fyzikálne a pedagogické fakulty. ratislava: lovenské pedagogické nakladatel stvo 1985 [7] R. Piska,. Medek: eskriptivní geometrie I. Praha: NTL 1972 [8] :. Pomykalová: Matematika pro gymnázia tereometrie. Praha: Prometheus
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceSTEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceSBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
VíceBA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr
BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VícePravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
VíceMetrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
VíceZobrazení a řezy těles v Mongeově promítání
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání
VíceAXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol STEREOMETRIE
VíceRELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.
RELIÉF Lineární (plošná) perspektiva ne vždy vyhovuje pro zobrazování daných předmětů. Například obraz, namalovaný s osvětlením zleva a umístěný tak, že je osvětlený zprava, se v tomto pohledu "nemodeluje",
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný
VíceMongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
VíceDalší polohové úlohy
5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
VíceKonstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text
VíceZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
VíceC. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU
36. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky s hranicí jehlanu. Pro body, platí: = S, = S SV, bod S je střed podstavy.. TRIÉ VSTOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Odchylky přímek a rovin V odchylka
VíceZobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.
Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1
VíceVyužití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu
Více= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty
STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
Více5.2.1 Odchylka přímek I
5..1 Odchylka přímek I Předpoklady: 5110 Metrické vlastnosti určování měřitelných veličin (délky a velikosti úhlů) Výhoda metrické vlastnosti jsme už určovali v planimetrii můžeme si brát inspiraci Všechny
VíceMongeova projekce - úlohy polohy
Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova
Vícepůdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
VíceDvěma různými body prochází právě jedna přímka.
Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VícePrùniky tìles v rùzných projekcích
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
VíceFotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.
FOTLOÝ MÍČ Popis aktivit ýpočt odchlek přímek a rovin v tělese, resp. velikostí úhlů, které svírají stěn a hran v mnohostěnu. Předpokládané znalosti Odchlka rovin a přímk, odchlka dvou rovin. Definice
VíceMongeovo zobrazení. Řez jehlanu
Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice
VíceKatedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0
Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceMendelova univerzita. Konstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceKonstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].
Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
VíceSTEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114
STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5.2.4 Kolmost přímek a rovin II Předpoklady: 5203 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty analogické k planimetrické větě: aným bodem lze v rovině k dané přímce vést jedinou kolmici. Věta: aným bodem lze
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
VíceZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné
Více3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
VíceDalší servery s elektronickým obsahem
Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceFotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012
Fotogrammetrie zpracovala Petra Brůžková Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie je geometrický postup, který nám umožňuje určení tvaru, velikosti a polohy reálných objektů na základě fotografického
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Vícetečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí
Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází
Více5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II
5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 5103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie Bakalářská práce BRNO 2008 Roman Machain Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil pouze
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
Více