3D rekonstrukce a SLAM
|
|
|
- Miloslav Viktor Vítek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 3D rekonstrukce a SLAM LUKÁŠ POLOK Zdroje: Pollefeys, přednášky MVG a VGE, hodní kolegové Viorela Ila, Marek Šolony a Broněk Přibyl
2 Motivace 3D rekonstrukce Vizuální navigace v robotice Zábava: výpočet pozice kamery je klíčem Rozšířená realita
3 Motivace
4 Motivace
5 Motivace
6 Motivace
7 Literatura
8 Homogenní souřadnice (opakování) Slide sprostě okopírován z přednášky VGE dobrého borce Broňka Přibyla (se svolením)
9 Maticové transformace (opakování) Slide sprostě okopírován z přednášky VGE dobrého borce Broňka Přibyla (se svolením)
10 Geometrické transformace (opakování) Slide sprostě okopírován z přednášky VGE dobrého borce Broňka Přibyla (se svolením)
11 x y 1 é ë ê ê ê ù û ú ú ú = f p x f p y 1 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú é ë ê ê ê ù û ú ú ú R t 0 3 T 1 é ë ê ê ù û ú ú X Y Z 1 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú or x = P.X Jak kamera promítá reálný svět? střed projekce obrazová rovina osa projekce
12 Kalibrovaná kamera známá neznámá střed projekce obrazová rovina osa projekce.x λ x or t λ 3 P R Z Y X p f p f y x y x T
13 Jak funguje 3D rekonstrukce? 3D body leží někde na paprscích skrz zájmové body, detekované v obraze: p1 c1 p1 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
14 Jak funguje 3D rekonstrukce? Ty samé 3D body P jdou vidět ze dvou různých pozic kamery. (p1,p2) P P c1 p1 p2 c2 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
15 Jak funguje 3D rekonstrukce? Ty samé 3D body P jdou vidět ze tří různých pozic kamery. (p1,p2,p3) P P c1 p1 p2 c2 p3 c3 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
16 Jak funguje stereo 3D rekonstrukce? Opačný problém známe pozice kamer a zajímají nás jen body.
17 Jak funguje stereo 3D rekonstrukce? Opačný problém známe pozice kamer a zajímají nás jen body. Disparita d = v 1 v 2 D = b f d
18 Jak funguje stereo 3D rekonstrukce? Opačný problém známe pozice kamer a zajímají nás jen body. Nutně nemusí jít o dvě kamery. Disparita d = v 1 v 2 D = b f d
19 Jak funguje stereo 3D rekonstrukce? Opačný problém známe pozice kamer a zajímají nás jen body. Nutně nemusí jít o dvě kamery. Disparita d = v 1 v 2 D = b f d
20 Structured light kamery Celá třída kamer, založená na promítání světelných vzorů a v principu stereo 3D rekonstrukci.
21 Structured light kamery
22 Structured light kamery
23 Párování zájmových bodů Detekce pomocí SIFT, SURF, Angl. feature matching, na základě vizuální podobnosti stanovíme korespondence bodů ve snímcích v čase t a t-1. Předpokládá se malý pohyb mezi snímky. c1 p1 p2 c2 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
24 Odhad první pozice kamery Geometrie pohybu kamery: Při dané množině odpovídajících si bodů {x i x i }, i=1,,n, jaké jsou matice kamer P a P pro dva snímky? P c1 p1 p2 c2 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
25 Epipolární geometrie x = PX x' = P' X X l' ( P' C) x' l' x'[ e] P' P P' P x x 0 Fundamentální matice Skew operátor, výsledkem je anti-symetrická matice, odpovídající levé části vektorovému součinu. Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
26 Fundamentální matice Algebraická reprezentace epipolární geometrie X Nezávislá na struktuře Výpočet pouze ze 2D korespondencí RANSAC (8 pt algorithm, existuje i 5 pt) F [ e] P' P x' T Fx = 0 x je bod na přímce l Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
27 Fundamentální matice Zjednodušuje hledání korespondencí X Můžeme vyřadit špatné korespondence Vyjadřuje vzájemnou polohu dvou kamer x' T Fx = 0 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
![Od fundamentální k esenciální matici Pokud známe kalibraci kamery a fundamentální matici, můžeme vypočítat esenciální matici P = K [ I 0] P' = K' [ R t] F [ e] P' P 1.](/docs-images/71/65794944/images/28-0.jpg "895 10 22 úprav později: F K' T [ t] RK 1 P = K [R t] xˆ ' E T Exˆ -1 T -1 xˆ T t E K E R x; K' 0 T R[R xˆ' K' FK KFK t] x' xˆ ' T P = K[I 0] T Exˆ E 0 K' FK MVG, strana 244 Esenciální matice E K' T")
28 Od fundamentální k esenciální matici Pokud známe kalibraci kamery a fundamentální matici, můžeme vypočítat esenciální matici P = K [ I 0] P' = K' [ R t] F [ e] P' P úprav později: F K' T [ t] RK 1 P = K [R t] xˆ ' E T Exˆ -1 T -1 xˆ T t E K E R x; K' 0 T R[R xˆ' K' FK KFK t] x' xˆ ' T P = K[I 0] T Exˆ E 0 K' FK MVG, strana 244 Esenciální matice E K' T FK Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
29 Dekompozice esenciální matice E = [t] R = SR, kde S je anti-symetrická a R je rotační matice Hartley, Zisserman: MVG, strana 257, rozklad pomocí SVD Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
30 Rekapitulace stavu Známe P a P! c1 p1 p2 c2 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
31 3D triangulace Geometrie scény (struktura): Pro korespondující obrazové body x i x i a kamery P, P, jaká je pozice X v prostoru? X x PX x' P' X Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
32 3D triangulace x PX x PX x' P' X 0 AX 0 x y x 3T 1T p X p X 0 3T 2T p X p X 0 2T 1T p X y p X 0 A xp yp x' p' y' p' 3T 3T p p p' p' 3T 3T 1T 2T 1T 2T Lineární metoda triangulace, MVG strana 312 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
33 3D triangulace - demo
34 Odhad pozice kamery 2D - 3D P c1 p1 inicializace p2 c2 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
35 Odhad pozice kamery 2D - 3D P další kamera c1 p1 inicializace p2 p Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
36 Pozice z 2D - 3D korespondencí 2D - 3D korespondence jsou známy z korespondencí zájmových bodů Pro odhad pozice kamery použijeme P3P algoritmus Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
37 P3P algoritmus ve zkratce Založeno na kosinové větě, vede na řešení rovnice 4. řádu. U PU 2 +PV 2 2. PU. PV. cos α u,v = UV 2 PU 2 +PW 2 2. PU. PW. cos α u,w = UW 2 PV 2 +PW 2 2. PV. PW. cos α v,w = VW 2 U V W α u,v P V NASA používá k výpočtu rotací pro dokování raketoplánů k ISS. Gao et al., Complete Solution Classification for the Perspective Three-Point Problem, 2003 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
38 P3P algoritmus ve zkratce Když máme PU, PV, PW, můžeme prostě vypočítat rigidní [R t] transformaci mezi PU, PV, PW a odpovídajícími 3D body, které už jsme rekonstruovali V W U camera [R t] world Gao et al., Complete Solution Classification for the Perspective Three-Point Problem, 2003 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
39 Kabschův algoritmus Výpočet rotace dvou množin bodů Vstupem jsou dvě odpovídající si množiny bodů, P a Q Translace je posun středů množin. Vypočteme 3 3 kovarianční matici Provedeme dekompozici Rotace je, ale směr rotace není zřejmý. Korekce pomocí Konečná rotace je potom Alternativně lze použít Hornovu metodu (podobná, ale používá 4 4 Eigen dekompozici, je tedy pomalejší, a výsledkem je quaternion).
40 Kabschův algoritmus - demo Zarovnání jedné množiny 3D bodů na druhou. Vstupem páry 3D bodů. Výstupem transformace [R t].
41 Postupné přidávání kamer
42 Postupné přidávání kamer Pokud pracujeme s náhodným souborem fotek, je potřeba je seřadit Tzv. camera tracks Matice počtu korespondencí BFS / DFS / Spanning tree
43 Optimalizace Bundle Adjustment Opraví chyby v odhadech pozic kamer a 3D bodů. l1 l3 l2 l4 l5 l6 c1 c3 c2 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
44 Optimalizace Bundle Adjustment
45 Chyba reprojekce Minimalizujeme chybu reprojekce d( x ij, ˆP ( )) 2 j ˆXi Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
46 Proměnné a pozorování Proměnné: 7D pozice kamer c 1, c 2, c 3, c nc 3D body l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6, l np Pozorování: z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, z m l1 l3 z1 z2 l2 z3 z4 l5 l4 z5 l6 z6 c1 c3 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením) c2
47 Metoda nejmenších čtverců
48 Metoda nejmenších čtverců l1 nc np min l3 j1 i1 d ˆ ˆ 2 x P X ij j i z1 z2 l2 z3 z4 z5 l5 l4 l6 z6 c1 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením) c2 c3
49 Metoda nejmenších čtverců stacionární bod Newtonova metoda jde použít k nalezení stacionárního bodu. Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
50 Newtonova metoda Hledá průsečík mezi tangentou funkce v daném bodě a osou x. x kořen Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
51 Newtonova metoda Hledá průsečík mezi tangentou funkce v daném bodě a osou x. x Newtonovská iterace kořen Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
52 Newtonova metoda a nejmenší čtverce V našem případě máme nelineární funkci, aplikujeme tedy Newtonovu metodu na její první derivaci. vyžaduje druhou derivaci Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
53 Nelineární reziduál * min m k 1 r k 2 m počet všech pozorování, jež máme r k = -d ( k x ij, ˆP ( )) j ˆXi Sada nelineárních chyb (reziduí): Linearizované: korekce Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
54 Lineární nejmenší čtverce 1. derivace: Jakobián Hesián 2. derivace: Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
55 Jakobiány a Hesiány Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
56 Jakobiány a Hesiány Každé pozorování ovlivňuje jen dvě proměnné: pozici kamery c j a promítaný 3D bod p i Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
57 Gauss-Newtonova metoda pro MNČ Minimum je v bodě, kde je první derivace nulová. dává while 1 linearizace F (θ) v θ 0 L(δ) řešením L(δ) = 0 dostaneme δ * if norm(δ * ) < limit done update θ i+1 = θ i + δ *
58 Šum v pozorování Naše dosavadní počínání předpokládá, že naměřená data jsou přesná. Bohužel, v praxi jsou zatížena chybou (šumem)! Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
59 Gaussovský předpoklad Pozorování jsou zatížené šumem, a budeme je tedy modelovat jako Gaussovské distribuce popsané průměrem a kovariancí. σ x μ x Ke každému pozorování tedy přidáme distribuci jeho pravděpodobnosti. Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
60 Metoda maximální věrohodnosti Angl. Maximum Likelihood Estimation l1 l3 V robotice použité v metodě SLAM a v počítačovém vidění metody BA, SfM l2 p(c1,l1) p(c1,l2) p(c1,l3) p(c1,l4) p(c1,l5) p(c1,l6) l5 l4 l6 c1 c3 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením) c2
61 Metoda maximální věrohodnosti Angl. Maximum Likelihood Estimation Gaussovský předpoklad Metoda Nejmenších Čtverců Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením)
62 Řešení MNČ while 1 linearizace F (θ) in θ 0 L(δ) řešením L(δ) = 0 dostaneme δ * if norm(δ * ) < limit done update θ i+1 = θ i + δ *
63 Řešení Každou iteraci řešíme lineární systém Jakobiány! [Dellaert06ijrr] 63
64 Řešení Minimum je v nulové první derivaci! 64
65 Varianty Newtonovy Metody Levenberg-Marquardt Přidává tlumící argument α který ovlivňuje velikost kroku δ Kontroluje zda optimalizační krok nevedl ke zhoršení řešení Pokud ano, zvětší α (zmenší krok) a zkusí znova L δ = A T b + A T A + αi δ = 0 (Iteratively) Reweighted Least Squares (IRLS) Přidává váhy na každé pozorování, umožňuje odstranit outliery Umožňuje simulovat jinou loss funkci než čtverec chyby (např. L 1 chybu) L δ = A T Wb + A T WAδ = 0
66 IRLS s L 1 loss funkcí L 2 (least squares) L 1 (pěkná ale nepoužitelná) Huber loss
67 IRLS s L 1 loss funkcí - Demo
68 Složitost l1 l3 6DOF kamery (x, y, z, roll, pitch, yaw) 3DOF body (x, y, z) nc počet kamer nl počet 3D bodů z1 z2 l2 z3 z4 z5 z6 l5 l4 l6 z c1 y x A T A is of size (6 nc + 3 nl) x (6 nc + 3 nl) c2 c3 Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením) 68
69 Složitost 871 kamer D bodů Systémová matice A T A má v paměti MB
70 A T A Systémová matice Pro 30 kamer a cca 1000 bodů bude celkem velká: ( ) 2 = Naštěstí je většina prvků nulových: matice je řídká. 70
71 A T A Systémová matice - řešení A T A δ -A T b x = 71
72 Maticové faktorizace A T A Choleského Factor chol( ) = Pak už je snadné řešit pomocí dvojího zpětného dosazení k získání δ 72
73 Schurův Komplement 73
74 Co když máme vyřešeno? Inkrement δ obsahuje posun ke správnému řešení prostě jej přičteme k pozicím bodů a kamer.
75 Co když máme vyřešeno?
76 Pipeline l1 l2 l3 l4 l5 l6 Camera Initialization c1 c2 c3 Matching Camera pose est. Structure comp. Refinement Input Images Feat.+Desc. Extraction Visualization Slide sprostě okopírován z talku dobrého borce Marka Šolonyho (s tichým svolením) 76
77 Závěr Prvotní odhad pozic 3D points a póz kamery vypočteny na základě modelu kamery, projektivní a epipolární geometrie. 3D rekonstrukce se dá zlepšit použitím optimizace Newtonovské metody se dají použít k řešení MNČ Gaussovský předpoklad nám to zjednodušuje () MLE se převede na obyčejné nejmenší čtverce Řídké matice jsou dobré matice! 77
2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
Úvod do mobilní robotiky AIL028
md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 20. prosince 2007 1 2 3D model světa ProMIS Cvičení hledání domečku Model štěrbinové kamery Idealizovaný jednoduchý model kamery Paprsek světla vychází
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Projektivní geometrie dvou pohledů. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie dvou pohledů Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového
Aplikace. Středové promítání. A s. Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování
Aplikace Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování Středové promítání σ A S B S...střed promítání ν...průmětna σ...centrální rovina σ π, S σ π A s B σ, neexistuje
Odhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Eva Fišerová a Karel Hron. Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci.
Ortogonální regrese pro 3-složkové kompoziční data využitím lineárních modelů Eva Fišerová a Karel Hron Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci
Princip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
SIFT: Scale Invariant Feature Transform Automatické nalezení korespondencí mezi dvojicí obrázků
SIFT: Scale Invariant Feature Transform Automatické nalezení korespondencí mezi dvojicí obrázků lukas.mach@gmail.com Přílohy (videa, zdrojáky, ) ke stažení na: http://mach.matfyz.cz/sift Korespondence
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
Regresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Zpráva o zahraničním pobytu
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION Zpráva o zahraničním pobytu CZECH TECHNICAL UNIVERSITY IN PRAGUE Michal Polic policmic@fel.cvut.cz CTU CMP 2016 08 3. Srpna, 2016 ZPRÁVA O ZAHRANIČNÍM POBYTU ISSN 1213-2365
ROZ1 CVIČENÍ VI. Geometrická registrace (matching) obrazů
ROZ1 CVIČENÍ VI. Geometrická registrace (matching) obrazů REGISTRACI OBRAZU (IMAGE REGISTRATION) Více snímků téže scény Odpovídající pixely v těchto snímcích musí mít stejné souřadnice Pokud je nemají
Klasifikace a rozpoznávání. Lineární klasifikátory
Klasifikace a rozpoznávání Lineární klasifikátory Opakování - Skalární součin x = x1 x 2 w = w T x = w 1 w 2 x 1 x 2 w1 w 2 = w 1 x 1 + w 2 x 2 x. w w T x w Lineární klasifikátor y(x) = w T x + w 0 Vyber
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE PRINCIPY KLASIFIKACE pomocí diskriminačních funkcí funkcí,
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Paralelní grafové algoritmy
Paralelní grafové algoritmy Značení Minimální kostra grafu Nejkratší cesta z jednoho uzlu Nejkratší cesta mezi všemi dvojicemi uzlů Použité značení Definition Bud G = (V, E) graf. Pro libovolný uzel u
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: 18101 Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha
Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením
Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením J. Machalová, P. Ženčák, R. Kučera Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky PřF UP Olomouc Katedra matematiky a deskriptivní
4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany
![Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany](/thumbs/44/23250842.jpg "Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany")
3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění
Numerické metody a programování. Lekce 8
Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:
Robustní odhady statistických parametrů
Robustní odhady statistických parametrů ěkdy pracují dobře, jinde ne. Typická data - pozorování BL Lac 100 mag 40 0 0.41 0.40 JD date 0.39 0.38 0.38223-1.586 0.017 0.40550-1.530 0.019 0.39453-1.610 0.024
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Hledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Náhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Newtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
LWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
Zpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Popisy III
Zpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Popisy III Statistické popisy tvaru a vzhledu Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Zpracování
Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Měření závislosti statistických dat
5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců
AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Momenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Kalibrační proces ve 3D
Kalibrační proces ve 3D FCC průmyslové systémy společnost byla založena v roce 1995 jako součást holdingu FCC dodávky komponent pro průmyslovou automatizaci integrace systémů kontroly výroby, strojového
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Úvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Numerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr
Měření dat Filtrace dat, Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAMY čtvrtek 28. února 2018 verze: 2018-03-21 16:45 Obsah
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Odhad stavu matematického modelu křižovatek
Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
AVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor