Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
|
|
- Tereza Beránková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění
2 Obsah přednášky Projektivní geometrie projektivní prostor projektivita projektivní transformace zajímavé vlastnosti projektivní geometrie Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 1 / 30
3 Projektivní geometrie Úvod do projektivní geometrie, reprezentace a zápis bod ve 2D prostoru budeme značit x R 2 bod ve 3D prostoru budeme značit X přímka ve 2D prostoru n přímka ve 3D prostoru O rovina ve 3D prostoru φ, ϕ Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 2 / 30
4 Projektivní geometrie Vektorové reprezentace pak budou následující: bod v rovině x = [u, v] T, nebo x = [x, y] T, bod v prostoru X = [x 1, x 2, x 3 ] T nebo X = [x, y, z] T, přímka n = [a, b, c] T Geometrické entity budeme uvažovat jako sloupcový vektor, násobení matice tímto sloupcovým vektorem zprava má výsledek opět sloupcový vektor. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 3 / 30
5 Projektivní prostor P 2 přímka v rovině je reprezentována obecnou rovnicí přímky: ax + by + c = 0 změna parametrů a, b a c nám určuje odlišnou přímku... přirozeně pak přímka může být vyjádřena vektorem n = [a, b, c] T vztah obecná rovnice vektor... rovnice přímky ax + by + c = 0 a (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 jsou stejné ale odlišný vektor k je měřítko všechny vektory lišící se pouze v měřítku představují jednu třídu prvků (přímku) tento vztah ekvivalence je známí jako homogenní vektor množina všech těchto tříd prvků v R 3 [0, 0, 0] T tvoří projektivní prostor P 2 (vektor [0, 0, 0] T nekoresponduje žádné přímce a je z prostoru vyjmut) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 4 / 30
6 P 2 - homogenní reprezentace bodu bod v rovině x = [x, y] T leží na přímce n = [a, b, c] T ax + by + c = 0 podmínka lze zapsat jako skalární součin [x, y, 1][a, b, c] T = 0 původní bod v rovině, definovaný v R 2, je proto reprezentovaný vektorem o velikosti 3 přidáním třetí souřadnice 1 (homogenní souřadnice) pro k, kdy [kx, ky, k] je zmíněná podmínka také splněna [x, y, 1][a, b, c] T = 0 pak bod [x, y, 1] i všechny body k[x, y, 1] v P 2 reprezentují stejný bod v nehomogenních souřadnicích [x, y] T v R 2... získáme ho jako [x 1 /x 3, x 2 /x 3 ] T. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 5 / 30
7 Přímka a bod průsečík dvou přímek n a n je dán vektorovým součinem: n n bod x = [x 1, x 2, 0] T patří do P 2 jeho nehomogenní souřadnice v R 2 tedy [x 1 /0, x 2 /0] T bod, který v rovině má nekonečné souřadnice... bodu říkáme Ideal Point - bod v nekonečnu takovýto bod je vlastně průsečíkem dvou rovnoběžných přímek všechny body v nekonečnu leží na jedné přímce v nekonečnu [0, 0, 1] T Podobné odvození nalezneme pro zápis průsečíků dvou přímek, nebo pro získání přímky spojením dvou bodů. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 6 / 30
8 Shrnutí bod x leží na přímce l pokud x T l = 0 průsečík m dvou přímek n a n (i rovnoběžných) je dán vektorovým součinem: m = n n (rovnoběžné přímky mají průsečík bod v nekonečnu) přímka n spojující dva body m a m je analogicky: n = m m Pozn. Zavedení projektivního prostoru je určení nějakého popisu pro perspektivu Geometrické objekty jako je bod, přímka a rovina jsou zapisovány vektorově Potom vztahy mezi těmito objekty je možné zapisovat jednodušeji než kdyby se zapisovaly v nehomogenních souřadnicích Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 7 / 30
9 Model pro projektivní rovinu a princip duality body v P 2 jsou paprsky v R 3... množina všech vektorů x = k[x 1, x 2, x 3 ] T s měnícím se k formuje paprsek, který směřuje ze středu promítání analogicky přímka v prostoru P 2 odpovídá rovině v R 3 procházející středem projekce obdobně dva odlišné paprsky určují zmíněnou rovinu stejně jako dva odlišné body určují R 2 přímku obráceně... dvě přímky mají společný bod - průsečík a tedy dvě roviny mají společný průsečík... paprsek Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 8 / 30
10 Obsah přednášky Projektivní geometrie projektivní prostor projektivita projektivní transformace zajímavé vlastnosti projektivní geometrie Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 9 / 30
11 Projektivita S p ρ ρ R=R B B A p π A p Poznámka: je projektivní zobrazení roviny do roviny Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 10 / 30
12 S p ρ ρ R=R B B A p π A p Definice Projektivita je invertibilní mapování h bodů v P 2 (tedy homogenních 3 1 vektorů) do samého prostoru P 2 tři body x 1, x 2 a x 3 ležící na společné přímce jsou mapovány na body h(x 1 ), h(x 2 ) a h(x 3 ), které leží také na společné přímce. Poznámka. Projektivita je také někdy nazývána kolineace, projektivní transformace, nebo homografie. Tyto označení jsou synonyma. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 11 / 30
13 Důsledek Mapování h : P 2 P 2 je projektivita pouze a jen, existuje-li nesingulární matice H, 3 3, (det(h) 0), pro kterou platí, že nějaký bod v P 2 reprezentovaný vektorem x lze transformovat jako h(x) = Hx (projektivní transformace). Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 12 / 30
14 Projektivní transformace projektivní transformace je dána jako: x 1 h 11 h 12 h 13 x 1 x 2 = h 21 h 22 h 23 x 2 (1) x 3 h 31 h 32 h 33 x 3 je to lineární transformace homogenního vektoru nesingulární 3 3 maticí H matice H má 8 stupňů volnosti poměrům dvojic 9 prvků matice přenásobení matice konstantou k nemění definovanou transformaci a konstanta představuje pouze měřítko H je jednoznačně určena čtveřicí sobě korespondujících bodů nebo přímek v obecné pozici Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 13 / 30
15 Shrnutí kolineární body (body ležící na společné přímce) jsou opět transformovány na kolineární body několik různoběžných přímek se společným průsečíkem jsou transformovány opět na různoběžné přímky s jedním společným průsečíkem pořadí kolineárních bodů je zachováno (viz později) bod x je transformován na bod x tak, že: x = Hx přímka l je transformován na přímku l tak, že: l = H T l Příkladem takového transformace pořízení stejné scény různým fotoaparátem, nebo přibĺıžení (ZOOM), nebo pootočení kamery (ve středu projekce, viz dále), nebo vše najednou. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 14 / 30
16 Určení 2D projektivní transformace 2D homografie je dána množinou bodů x i v prostoru P 2 a množinou korespondujících bodů ve stejném P 2 nalezení takovéto transformace z x i x i znamená určit matici H tak, že platí Hx i = x i pro každé i. minimální počet potřebných bodů počtu stupňů volnosti hledané transformace... obecná projektivní transformace matice (9 prvků) ale 8 stupňů volnosti 1 bod má dva stupně volnosti, tedy souřadnice (x, y) čtyři body a korespondenty Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 15 / 30
17 pro jeden bod (korespondující pár) vztah Hx i = x i určuje soustavu 3 lineárních rovnic (s pravou stranou) x i a Hx i nejsou stejné vektory, ale mají stejný směr a liší se pouze velikostí, viz obrázek můžeme přepsat jako vektorový součin x i Hx i = 0 a pak: y x i Hx i h3t x i w i h2t x i i = w i h1t x i x i h3t x i (2) x i h2t x i y i h1t x i h 1T je sloupcový vektor odpovídající prvnímu řádku matice H transformovaný bod (tedy x i ) je v homogenních souřadnicích značen x i = (x i, y i, w i ) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 16 / 30
18 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic pak přepisem získáme jako: 0 T w h 1 i xt i y i xt i w i i 0 T x i xt i y i i x i xt i 0 T h 2 = 0 (3) h 3 pro bod i označíme soustavu jako A i h = 0, kde vektor h je sloupcový vektor 9 1 složený ze třech řádků matice H ze 3 rovnic jsou jen dvě lineárně nezávislé; 3. rovnice je pře-násobený součet první a druhé rovnice 3. řádek lze vypustit: [ 0 T w i xt i y i xt i w i xt i 0 T x i xt i ] h 1 h 2 = 0 (4) h 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 17 / 30
19 třetí homogenní souřadnice promítnutého bodu (w i ) může být zvolena w i = 1 jsou měřeny v obraze, jiná volba je také možná řešíme soustavu rovnic Ah = 0 přesně pro 4 body je rank(a) = 8 a existuje jedno řešení odpovídající pravému nulovému prostoru a volitelné měřítko může být zvoleno tak aby h = 1 často voĺıme více bodů (n > 4) a matice A má pak příslušný rozměr 2n 9 0 T w 1 xt 1 y 1 xt 1 w 1 xt 1 0 T x 1 xt 1 h T w nx T n y nx T n w nx T n 0 T x nx T n h 2 h 3 = 0 (5) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 18 / 30
20 v praxi měření obsahují chybu (šum) a tak získaná soustava je přeurčená, tedy neexistuje řešení rank(a) > 8 pak hledáme takové řešení, které minimalizuje chybu Ah pro tento účel použijeme SVD rozklad (singular value decomposition) pak A = UDV T a hledané řešení h je poslední sloupec matice V odpovídající nejmenšímu vlastnímu číslu (pravý nulový prostor matice A) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 19 / 30
21 Obsah přednášky Projektivní geometrie projektivní prostor projektivita projektivní transformace zajímavé vlastnosti projektivní geometrie Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 20 / 30
22 Vlastnosti projektivnı geometrie I I I I I Nevlastnı bod (vanishing point - u be z nı k) nevlastnı body lze nale zt v be z ne m z ivote, napr. dlouhe rovne koleje se v oku (obra zku) sbı hajı koleje jsou rovnobe z ne, v 3D prostoru se protnout nemohou projektivnı transformace vs ak v obraze tyto dve pr ı mky zda nlive pr ibliz uje tento zda nlivy pru sec ı k je obrazem nevlastnı ch bodu te chto pr ı mek Metody Poc ı tac ove ho Vide nı (MPV) - 3D poc ı tac ove vide nı 21 / 30
23 Definice Nevlastnı bod je limit projekce ne jake ho body, ktery se pohybuje po libovolne prostorove pr ı mce do nekonec na. I I I uka zka projekce dvou rovnobe z ny ch prostorovy ch pr ı mek a jejich pru sec ı k je moz ne pouze z informacı z obra zku urc it poc et praz cu odspodu obra zku az ke vlaku? jak urc it vzda lenost vlaku pokud vı me, z e vzda lenost praz cu je 0,806 m? Metody Poc ı tac ove ho Vide nı (MPV) - 3D poc ı tac ove vide nı 22 / 30
24 Nevlastní přímka, (vanishing line - úběžnice) nevlastní přímka je přímka v obraze tzv. průsečnice dvou (všech) rovnoběžných prostorových rovin nebo jako pozice všech nevlastních bodů všech přímek ležící v jedné prostorové rovině např. horizont... pohled na otevřené moře... rovnoběžné prostorové přímky běžící po hladině se na horizontu protínají pak tyto průsečíky jsou obrazy nevlastních bodů a horizont obraz nevlastní přímky Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 23 / 30
25 Dvojpoměr (cross ratio) dvojpoměr je číslo, které charakterizuje poměr délek úseků mezi čtyřmi kolineárními body (body na jedné prostorové přímce) tyto čtyři kolineární prostorové body R,S,T a U definují dvojpoměr jako: [RSTU] = RT SU RU ST (6) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 24 / 30
26 dvojpoměr je invariantní kolineaci dvojpoměr je invariantní perspektivní transformaci Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 25 / 30
27 1D projektivní souřadnice mějme nějaké čtyři (tři) body náležící prostorové přímce jsou promítnuty do obrazové roviny nějaké kamery (kolineace) pak v této kameře platí stejný dvojpoměr, jako v původní přímce předpokládejme, že poslední (čtvrtý) bod je úběžník, který v obraze má konečnou souřadnici tento fakt nám umožňuje měřit o obraze bez dalších znalostí projektivní transformace Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 26 / 30
28 [P] = [P P 0 P I P] = P P I P 0 P P 0 PI P P (7) P 0 - je počátek zvoleného souřadného systému [P 0 ] = 0 P - pracovní bod, jeho souřadnici v prostoru chceme určit P I - je bod určující měřítko, můžeme zvolit [P I ] = 1 nebo z velikosti známého objektu (umístěný v daném směru osy). P - pomocný bod (nevlastní bod dané prostorové přímky - osy) [P ] = ± Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 27 / 30
29 [P] = [P P0 PI P] = Metody Poc ı tac ove ho Vide nı (MPV) - 3D poc ı tac ove vide nı P PI P0 P P0 PI P P (8) 28 / 30
30 2D projektivní souřadnice rozšířením můžeme zavést měření ve dvou na sebe kolmých osách (2D Euklidovský prostor) umožňuje nám měřit podél prostorové roviny (např. podlaha) za pomoci její projekce do obrazu bez další znalostí (kalibrace kamery aj.) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 29 / 30
31 souřadnice (x,y) libovolného bodu této prostorové roviny se analogicky určí jako: [P x ] = [P x P 0 P xi P x ] [P y ] = [P y P 0 P yi P y ] Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 30 / 30
Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceAnalytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Více5 Pappova věta a její důsledky
5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme
Více3 Projektivní rozšíření Ēn prostoru E n
3 Projektivní rozšíření Ēn prostoru E n Projektivním rozšířením eukleidovského prostoru E n rozumíme jeho doplnění o nevlastní body. Výsledný prostor značíme Ēn. Takovéto rozšíření eukleidovského prostoru
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VícePodrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
VíceGeometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceProjektivní geometrie dvou pohledů. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni
Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie dvou pohledů Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceGeometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
VíceGeometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2
Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceObrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceAplikace. Středové promítání. A s. Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování
Aplikace Výpočet pohybu kamery rekonstrukcí videosekvence 3D rekonstrukce objektů 3D modelování Středové promítání σ A S B S...střed promítání ν...průmětna σ...centrální rovina σ π, S σ π A s B σ, neexistuje
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Víceb) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm
b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Více3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceVEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
VíceZpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Analýza pohybu
Zpracování digitalizovaného obrazu (ZDO) - Analýza pohybu Úvod Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Zpracování digitalizovaného obrazu (ZDO)
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceAnalytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceAnalytická geometrie v prostoru
Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207
78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat
VíceDrsná matematika I 13. přednáška Kvadriky a projektivní rozšíření
Drsná matematika I 13. přednáška Kvadriky a projektivní rozšíření Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 12. 12. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Kvadratické formy a kvadriky 3 Projektivní
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceSyntetická geometrie I
Afinita Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Směr Dvě rovnoběžné přímky mají stejný (neorientovaný) směr. Definice (Samodružný směr) Když se při zobrazení f zobrazí přímka p na přímku
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceSPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 4.ročník SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FOTOGRAMMETRII
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 4.ročník SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FOTOGRAMMETRII SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY VE FTM hlavní souřadnicové soustavy systém snímkových souřadnic systém modelových
VíceKolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více