Projektivní geometrie. Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

Transkript

1 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění Projektivní geometrie Ing. Zdeněk Krňoul, Ph.D. Katedra Kybernetiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění

2 Obsah přednášky Projektivní geometrie projektivní prostor projektivita projektivní transformace Perspektivní kamera model kamery kalibrace kamery rozklad matice projekce Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 1 / 55

3 Obsah přednášky Projektivní geometrie projektivní prostor projektivita projektivní transformace Perspektivní kamera model kamery kalibrace kamery rozklad matice projekce Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 2 / 55

4 Projektivní geometrie Úvod do projektivní geometrie, reprezentace a zápis bod ve 2D prostoru budeme značit x R 2 bod ve 3D prostoru budeme značit X přímka ve 2D prostoru n přímka ve 3D prostoru O rovina ve 3D prostoru φ, ϕ Vektorové reprezentace pak budou následující: bod v rovině x = [u, v] T, nebo x = [x, y] T, bod v prostoru X = [x 1, x 2, x 3 ] T nebo X = [x, y, z] T, přímka n = [a, b, c] T Geometrické entity budeme uvažovat jako sloupcový vektor, násobení matice tímto sloupcovým vektorem zprava má výsledek opět sloupcový vektor. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 3 / 55

5 Projektivní prostor P 2 přímka v rovině je reprezentována obecnou rovnicí přímky: ax + by + c = 0 změna parametrů a, b a c nám určuje odlišnou přímku... přirozeně pak přímka může být vyjádřena vektorem n = [a, b, c] T vztah obecná rovnice vektor... rovnice přímky ax + by + c = 0 a (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 jsou stejné ale odlišný vektor k je měřítko všechny vektory lišící se pouze v měřítku představují jednu třídu prvků (přímku) tento vztah ekvivalence je známí jako homogenní vektor množina všech těchto tříd prvků v R 3 [0, 0, 0] T tvoří projektivní prostor P 2 (vektor [0, 0, 0] T nekoresponduje žádné přímce a je z prostoru vyjmut) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 4 / 55

6 P 2 - homogenní reprezentace bodu bod v rovině x = [x, y] T leží na přímce n = [a, b, c] T ax + by + c = 0 podmínka lze zapsat jako skalární součin [x, y, 1][a, b, c] T = 0 původní bod v rovině, definovaný v R 2, je proto reprezentovaný vektorem o velikosti 3 přidáním třetí souřadnice 1 (homogenní souřadnice) pro k, kdy [kx, ky, k] je zmíněná podmínka také splněna [x, y, 1][a, b, c] T = 0 pak bod [x, y, 1] i všechny body k[x, y, 1] v P 2 reprezentují stejný bod v nehomogenních souřadnicích [x, y] T v R 2... získáme ho jako [x 1 /x 3, x 2 /x 3 ] T. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 5 / 55

7 Přímka a bod průsečík dvou přímek n a n je dán vektorovým součinem: n n bod x = [x 1, x 2, 0] T patří do P 2 jeho nehomogenní souřadnice v R 2 tedy [x 1 /0, x 2 /0] T bod, který v rovině má nekonečné souřadnice... bodu říkáme Ideal Point - bod v nekonečnu takovýto bod je vlastně průsečíkem dvou rovnoběžných přímek všechny body v nekonečnu leží na jedné přímce v nekonečnu [0, 0, 1] T Podobné odvození nalezneme pro zápis průsečíků dvou přímek, nebo pro získání přímky spojením dvou bodů. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 6 / 55

8 Shrnutí bod x leží na přímce l pokud x T l = 0 průsečík m dvou přímek n a n (i rovnoběžných) je dán vektorovým součinem: m = n n (rovnoběžné přímky mají průsečík bod v nekonečnu) přímka n spojující dva body m a m je analogicky: n = m m myšlenka zavedení projektivního prostoru je zavedení nějakého popisu pro perspektivu geometrické objekty jako je bod, přímka a rovina jsou zapisovány vektorově pak vztahy mezi těmito objekty je možné zapisovat jednodušeji něž kdyby se zapisovaly v nehomogenních souřadnicích Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 7 / 55

9 Model pro projektivní rovinu a princip duality body v P 2 jsou paprsky v R 3... množina všech vektorů x = k[x 1, x 2, x 3 ] T s měnícím se k formuje paprsek, který směřuje ze středu promítání analogicky přímka v prostoru P 2 odpovídá rovině v R 3 procházející středem projekce obdobně dva odlišné paprsky určují zmíněnou rovinu stejně jako dva odlišné body určují R 2 přímku obráceně... dvě přímky mají společný bod - průsečík a tedy dvě roviny mají společný průsečík... paprsek Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 8 / 55

10 Projektivita Definice Projektivita je invertibilní mapování h bodů v P 2 (tedy homogenních 3 1 vektorů) do samého prostoru P 2 tři body x 1, x 2 a x 3 ležící na společné přímce jsou mapovány na body h(x 1 ), h(x 2 ) a h(x 3 ), které leží také na společné přímce. Poznámka. Projektivita je také někdy nazývána kolineace, projektivní transformace, nebo homografie. Tyto označení jsou synonyma. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 9 / 55

11 Důsledek Mapování h : P 2 P 2 je projektivita pouze a jen, existuje-li nesingulární matice H, 3 3, (det(h) 0), pro kterou platí, že nějaký bod v P 2 reprezentovaný vektorem x lze transformovat jako h(x) = Hx. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 10 / 55

12 S p ρ ρ R=R B B A p π A p Poznámka: jde vlastně o projektivní zobrazení roviny do roviny Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 11 / 55

13 Projektivní transformace projektivní transformace je lineární transformace homogenního vektoru nesingulární 3 3 maticí dána jako: x 1 h 11 h 12 h 13 x 2 = h 21 h 22 h 23 x 3 h 31 h 32 h 33 x 1 x 2 x 3 (1) matice H má 8 stupňů volnosti poměrům dvojic 9 prvků matice přenásobení matice konstantou k nemění definovanou transformaci a konstanta představuje pouze měřítko H je jednoznačně je určena čtveřicí sobě korespondujících bodů nebo přímek v obecné pozici Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 12 / 55

14 Shrnutí kolineární body (body ležící na společné přímce) jsou opět transformovány na kolineární body několik různoběžných přímek se společným průsečíkem jsou transformovány opět na různoběžné přímky s jedním společným průsečíkem pořadí kolineárních bodů je zachováno (viz později) bod x je transformován na bod x tak, že: x = Hx přímka l je transformován na přímku l tak, že: l = H T l Příkladem takového transformace pořízení stejné scény různým fotoaparátem, nebo přibĺıžení (ZOOM), nebo pootočení kamery (ve středu projekce, viz dále), nebo vše najednou. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 13 / 55

15 Určení 2D projektivní transformace 2D homografie je dána množinou bodů x i v prostoru P 2 a množinou korespondujících bodů ve stejném P 2 nalezení takovéto transformace z x i x i znamená určit matici H tak, že platí Hx i = x i pro každé i. minimální počet potřebných bodů počtu stupňů volnosti hledané transformace... obecná projektivní transformace matice (9 prvků) ale 8 stupňů volnosti 1 bod má dva stupně volnosti, tedy souřadnice (x, y) čtyři body a korespondenty Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 14 / 55

16 vztah Hx i = x i určuje soustavu lineárních rovnic (s pravou stranou) x i a Hx i nejsou stejné vektory, ale mají stejný směr a liší se pouze velikostí, viz obrázek můžeme přepsat jako vektorový součin x i Hx i = 0 a pak: y x i Hx i h3t x i w i h2t x i i = w i h1t x i x i h3t x i (2) x i h2t x i y i h1t x i h 1T je sloupcový vektor odpovídající prvnímu řádku matice H transformovaný bod (tedy x i ) je v homogenních souřadnicích značen x i = (x i, y i, w i ) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 15 / 55

17 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic pak přepisem získáme jako: 0 T w h 1 i xt i y i xt i w i i 0 T x i xt i y i i x i xt i 0 T h 2 = 0 (3) h 3 pro i označíme soustavu jako A i h = 0, kde vektor h je sloupcový vektor 9 1 složený ze třech řádků matice H ze 3 rovnic jsou jen dvě lineárně nezávislé; 3. rovnice je pře-násobený součet první a druhé rovnice 3. řádek lze vypustit: [ 0 T w i xt i y i xt i w i xt i 0 T x i xt i ] h 1 h 2 = 0 (4) h 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 16 / 55

18 třetí homogenní souřadnice promítnutého bodu (w i ) může být zvolena w i = 1 jsou měřeny v obraze, jiná volba je také možná řešíme soustavu rovnic Ah = 0 přesně pro 4 body je rank(a) = 8 a existuje jedno řešení odpovídající pravému nulovému prostoru a volitelné měřítko může být zvoleno tak aby h = 1 často voĺıme více bodů (n > 4) a matice A má pak příslušný rozměr 2n 9 0 T w 1 xt 1 y 1 xt 1 w 1 xt 1 0 T x 1 xt 1 h T w nx T n y nx T n w nx T n 0 T x nx T n h 2 h 3 = 0 (5) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 17 / 55

19 v praxi měření obsahují chybu (šum) a tak získaná soustava je přeurčená, tedy neexistuje řešení rank(a) > 8 pak hledáme takové řešení, které minimalizuje chybu Ah pro tento účel použijeme SVD rozklad (singular value decomposition) pak A = UDV T a hledané řešení h je poslední sloupec matice V odpovídající nejmenšímu vlastnímu číslu (pravý nulový prostor matice A) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 18 / 55

20 Obsah přednášky Projektivní geometrie projektivní prostor projektivita projektivní transformace Perspektivní kamera model kamery kalibrace kamery rozklad matice projekce Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 19 / 55

21 Perspektivní kamera obecný model perspektivní kamery slouží k popisu projekce 3D prostoru do 2D prostoru (obrazová rovina) vždy se jedná o středovou projekci speciální případ... střed projekce leží v nekonečnu afinní kamera a jde o zobecnění tzv. paralelní projekce například paprsky slunce je možné považovat za paralelní projekci model perspektivní kamery je reprezentován maticí matice transformuje homogenní souřadnice prostorového bodu (ve 3D - velikost vektoru 4 1) do homogenních souřadnic obrazového bodu (ve 2D - velikost vektoru 3 1). Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 20 / 55

22 projekce bodu X = (x, y, z) do obrazové roviny π souřadné osy (u, v) počátek souřadného systému světových souřadnic je v bode C vzdálenost obrazové roviny od tohoto bodu je tzv. ohnisková vzdálenost f Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 21 / 55

23 kamera je reprezentovaná maticí 3 4 tzv. maticí projekce libovolný bod v prostoru se transformuje do obrazové roviny pouhým násobením maticí projekce: m = PX (6) a maticově x m 1 f m 2 = 0 f 0 0 y z (7) m Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 22 / 55

24 získáme projekci m = PX normalizujeme (na jedničku) třetí homogenní souřadnici [ m 1 m 3, m 2 m 3, 1] T... pak vlastně modeluje výpočet projekce takto: m 1 m 3 = fx z = u, m 2 m 3 = fy z = v, m 3 m 3 = 1 pro m 3 0 (8) říkáme, že vyjádříme bod v obraze Proč to tak je? ukázka přepočtu projekce za pomoci podobnosti trojúhelníků, náhled os (Y,Z) a obdobně platí pro (X,Z) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 23 / 55

25 Model obecné kamery (matice P) má další prvky (5 vnitřních a 6 vnějších parametrů), které poskytují další stupně volnosti projekce: změna souřadného systému obrazu: posun počátku souřadnic obrazové roviny do levého horního rohu kompenzace nepravoúhlosti os senzoru. fk u fk u coth(θ) u 0 0 P = 0 fk v / sin(θ) v 0 0 resp fk u fk u coth(θ) u 0 K = 0 fk v / sin(θ) v 0 je kalibrační matice kamery Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 24 / 55

26 posun a otočení počátku souřadnic světových souřadnic X = R(X C), kde R T R = I je matice rotace kamery oproti světovým souřadnicím + 6 vnějších parametrů (3 krát rotace kolem třech základních os a posun kamery, resp. souřadnice středu promítání) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 25 / 55

27 vše dohromady definuje obecný předpis pro perspektivní kameru, m = KR[I, C]X, kde používáme jednotné označení nebo někdy P = KR[I, C] (9) P = K[R, t] kde t = RC (10) obecná perspektivní kamera má 11 stupňů volnosti 1x ohnisková vzdálenost v pixelech + 1x poměr stran pixelu + 1x zkosení os + 2x počátek obrázku + 3x posun + 3x rotace kamery= 11 DOF (degree of freedom) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 26 / 55

28 Kalibrace kamery z mnoz iny zna my ch bodu - Camera resection Metody Poc ı tac ove ho Vide nı (MPV) - 3D poc ı tac ove vide nı 27 / 55

29 kalibrace kamery je numerická metoda pro určení matice projekce P vyžaduje pozici prostorového bodu a jeho projekci do obrazové roviny z několika těchto dvojic můžeme určit matici projekce pro každý pár X i x i musí být splněna projekce x i = PX i pro i = 1 : N Poznámka 1: Předpokladem je linearita projekce tak jak je zmíněna a neuvažuje se distorze obrazu daná například čočkou objektivu Poznámka 2: Postup hledání projekční matice je velmi podobný hledání matice pro projektivní transformaci (rozdíl je pouze v rozměru matic) P a H Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 28 / 55

30 pro každou dvojici X i x i můžeme napsat vztah: 0 T w i X T i y i X T i p 1 w i Xi T 0 T x i X T i p 2 = 0 (11) y i X T x i X T i 0 T p 3 x i = (x i, y i, w i ) a p T 1 je první řádek matice P, podobně druhý a třetí řádek jsou složeny do sloupcového vektoru neznámých veličin o rozměru 1 12 podobně můžeme uvažovat pouze první dva řádky soustavy rovnic... třetí řádek je lineárně závislý na prvních dvou. Tedy: [ 0 T w i X T i y i X T i w i Xi T 0 T x i X T i ] 1 p p 2 = 0 (12) p 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 29 / 55

31 pro množinu n známých prostorových bodů a jejich projekcí získáváme matici A velikosti (2n) 12 0 T X T 1 y 1 X T 1 X1 T 0 T x 1 X T 1 A =... (13) 0 T X T n y n X T n Xn T 0 T x n X T n řešením této soustavy (Ap = 0) získáme vektor p a tedy potřebné řádky matice projekce P. matice P má 12 prvků a 11 stupňů volnosti (není modelováno měřítko, k-násobek matice je stejná projekce) z každého prostorového bodu získáváme dvě rovnice teoreticky nám stačí pro DOF 11 přesně 5,5 prostorových bodů pak existuje jedno řešení pravý nulový prostor matice A Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 30 / 55

32 však nepřesnosti měření těchto bodů získáváme však pře-určenou soustavu rovnic... rank(a) = 9 hledáme řešení s nejmenší chybou (algebraickou nebo geometrickou) v základu proto použijeme SVD rozklad, nalezneme řešení s nejmenší algebraickou chybou... Ap = ɛ SVD minimalizuje Ap s podmínkou p = 1 tedy ɛ min a pokud A = UDV T a σ 12 σ 11 pak řešení p odpovídá poslednímu řádku matice V a ɛ = σ 12 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 31 / 55

33 Existují jisté degenerativní konfigurace prostorových bodů, pro které nelze určit řešení a tedy matici projekce. Nejzávažnější jsou tyto: střed projekce kamery a prostorové body leží na twisted cubic kalibrační prostorové body leží v jedné rovině a na přímce, která prochází středem projekce aj. Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 32 / 55

34 Radiální zkreslení - Radial distorsion Všechny předchozí vztahy platí pro případ, že projekce je ideální středové promítání skutečný přístroj (fotoaparát nebo kamera) obsahuje čočku, která způsobuje více či méně jev, že prostorové přímky nejsou promítány na přímky v obraze - tzv. radiální zkreslení tento jev narůstá důležitosti s klesající ohniskovou vzdáleností a cenou objektivu Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 33 / 55

35 korekci zkreslení souřadnic obrázku můžeme přespat jako: ˆx = x c + L(r)(x x c ) ŷ = y c + L(r)(y y c ) (x, y) je bod v obraze který je podřízen radiálnímu zkreslení (x c, y c ) střed radiálního zkreslení r je radiální vzdálenost od středu radiálního zkreslení x 2 + y 2 L(r) je funkce popisující zkreslení, parametrem je vzdálenost od středu aproximaci funkce L(r) můžeme zvolit jako Taylorův rozvoj L(r) = 1 + κ 1 r + κ 2 r 2 + κ 3 r parametry popisující radiální zkreslení jsou pak (κ 1, κ 2, κ 3,... ), x c, y c střed radiálního zkreslení může být zvolen principal point... projekce středu projekce do obrazu Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 34 / 55

36 určení funkce L(r) je často provedenou současně s výpočtem projekční matice (je zahrnuta do minimalizačního procesu) chybová veličina pak určuje odchylku skutečných bodů kalibračního obrazce v obraze od bodů popsaných lineární transformací obdobně parametry zkreslení mohou být určeny během výpočtu homografie Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 35 / 55

37 Rozklad matice projekce P metodou kalibrace kamery získáváme přímo projekční matici P jako celek (tedy matici 3 4) matici můžeme použít pro případnou 3D rekonstrukci a není bezprostředně nutné znát jednotlivé vnitřní a vnější parametry kamery pokud však tyto parametry potřebujeme určit, musíme získanou projekční matici rozložit do zmíněného maticového součinu tedy P = KR[I, C] Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 36 / 55

38 dále matici budeme značit jako: P = [Q, q] KR[I, C], kde Q = KR R 3,3 je čtvercová matice, pro perspektivní kameru má plnou hodnost q R 3,1 střed systému světových souřadnic K R 3,3 je čtvercová matice horní trojúhelníková R R 3,3 je čtvercová matice rotace, je ortogonální (R 1 = R T a tedy R T R = I) pozn. vektory sloupců takové matice mají jednotkovou normu a jsou na sebe kolmé Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 37 / 55

39 Pro určení vnitřních parametrů můžeme například použít QR rozklad, resp. variantu RQ z teorie je RQ rozklad je dekompozice nějaké matice A tak, že platí A = RQ za podmínky, že R je horní trojúhelníková matice a Q je ortogonální matice (Nezaměnit s naším označením pro matice Q a R!) jednou z možností takového rozkladu je použití Givensových rotací postupně uvažujeme násobení matice Q (ta naše co vznikla z matice P) zprava maticemi R 1, R 2 a R 3 tak, aby platilo: c s 0 K = QR 1 R 2 R 3, R 1 = s c kde c 2 + s 2 = 1 apod. R 2 a R 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 38 / 55

40 Rotace kamery oproti světovým souřadnicím: c s 0 K = QR 1 R 2 R 3, R 1 = s c chceme tedy na levé straně dostat horní trojúhelníkovou matici postupně tedy, hledám nejprve úhel reprezentovaný maticí R 1 na pozici Q 32 byl nulový. Pak hledám druhý úhel matice R 2 tak, aby prvek na pozici Q 31 byl nulový nakonec najdu třetí úhel v matici R 3, aby i třetí prvek pod diagonálou byl nulový, tedy prvek Q 21 máme tedy 3 vnější parametry... rotaci kamery ve světových souřadnicích Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 39 / 55

41 Ohnisková vzdálenost, posun počátku obrázku a kolmost os obrázku: přenásobením původní matice Q zprava všemi třemi získanými maticemi získávám kalibrační matici K a tedy potažmo i vnitřní parametry kamery: ohnisko, velikost pixelu, posun počátku obrázku a úhel os obrázku tedy K = QR 1 R 2 R 3 Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 40 / 55

42 Optický střed: poslední 3 vnější parametry jsou pro posun kamery od počátku světových souřadnic optický střed má tu vlastnost, že projekce tohoto bodu (C) je nulová pak PC = 0 a C jsou prostorové souřadnice středu projekce můžeme odvodit [ vztah ] pro určení optického středu jako: C 0 = PC = [Q, q] = QC + q C = Q 1 1 q Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 41 / 55

43 Uved me ještě další vlastnosti z odvozené matice projekce, které nejsou vnitřní ani vnější parametry kamery: optický paprsek optická rovina vztah optická rovina a optický paprsek... Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 42 / 55

44 Optický paprsek: optický paprsek je vektor, který směřuje z optického středu (C) směrem k prostorovému bodu (X ) v obrazové rovině pak určuje bod m bod v prostoru je dán jako: X = C + λd = C + λq 1 m d = Q 1 m (14) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 43 / 55

45 Optická rovina: optická rovina je prostorová rovina, procházející optickým středem a určující přímku v obrazové rovině. potom optický paprsek daný bodem m je d = Q 1 m druhý paprsek jako d = Q 1 m Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 44 / 55

46 po dosazení získáme vztah pro normálový vektor optické roviny jako: p = d d = Q T (m m ) = Q T n Poznámka: optický paprsek z tohoto pohledu je si možné představit také jako průsečík dvou optický rovin Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 45 / 55

47 Shrnutí q T 1 q 14 P = [Q, q] = q T 2 q 24 = KR[I, C] q T 3 q 34 fk u fk u coth(θ) u 0 α x s x 0 K = 0 fk v / sin(θ) v 0 = 0 α y y R... orientace kamery, ortogonální matice 3 3 C = rnull(p)... optický střed d = Q 1 m... optický paprsek det(q)q 3... optická osa Qq 3... principal point p = Q T n... optická rovina (n je přímka v obrazové rovině) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 46 / 55

48 Dals ı vlastnosti projektivnı geometrie I I I I I Nevlastnı bod (vanishing point - u be z nı k) nevlastnı body lze nale zt v be z ne m z ivote, napr. dlouhe rovne koleje se v oku (obra zku) sbı hajı koleje jsou rovnobe z ne, v 3D prostoru se protnout nemohou projektivnı transformace vs ak v obraze tyto dve pr ı mky zda nlive pr ibliz uje tento zda nlivy pru sec ı k je obrazem nevlastnı ch bodu te chto pr ı mek Metody Poc ı tac ove ho Vide nı (MPV) - 3D poc ı tac ove vide nı 47 / 55

49 Definice Nevlastnı bod je limit projekce ne jake ho body, ktery se pohybuje po libovolne prostorove pr ı mce do nekonec na. I I I uka zka projekce dvou rovnobe z ny ch prostorovy ch pr ı mek a jejich pru sec ı k je moz ne jen z informacı z obra zku urc it poc et praz cu odspodu obra zku az ke vlaku? jak urc it vzda lenost vlaku pokud vı me, z e vzda lenost praz cu je 0,806 m? Metody Poc ı tac ove ho Vide nı (MPV) - 3D poc ı tac ove vide nı 48 / 55

50 Nevlastní přímka, (vanishing line - úběžnice) nevlastní přímka je přímka v obraze tzv. průsečnice dvou (všech) rovnoběžných prostorových rovin nebo jako pozice všech nevlastních bodů všech přímek ležící v jedné prostorové rovině např. horizont... pohled na otevřené moře... rovnoběžné prostorové přímky běžící po hladině se na horizontu protínají pak tyto průsečíky jsou obrazy nevlastních bodů a horizont obraz nevlastní přímky Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 49 / 55

51 Dvojpoměr (cross ratio) dvojpoměr je číslo, které charakterizuje poměr délek úseků mezi čtyřmi kolineárními body (body na jedné prostorové přímce) tyto čtyři kolineární prostorové body R,S,T a U definují dvojpoměr jako: [RSTU] = RT SU RU ST (15) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 50 / 55

52 dvojpoměr je invariantní kolineaci dvojpoměr je invariantní perspektivní projekci Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 51 / 55

53 1D projektivní souřadnice mějme nějaké čtyři (tři) body náležící prostorové přímce jsou promítnuty do obrazové roviny nějaké kamery (kolineace) pak v této kameře platí stejný dvojpoměr, jako v původní přímce předpokládejme, že poslední (čtvrtý) bod je úběžník, který v obraze má konečnou souřadnici tento fakt nám umožňuje měřit o obraze bez dalších znalostí projektivní transformace Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 52 / 55

54 [P] = [P P 0 P I P] = P P I P 0 P P 0 PI P P (16) P 0 - je počátek zvoleného souřadného systému [P 0 ] = 0 P - pracovní bod, jeho souřadnici v prostoru chceme určit P I - je bod určující měřítko, můžeme zvolit [P I ] = 1 nebo z velikosti známého objektu (umístěný v daném směru osy). P - pomocný bod (nevlastní bod dané prostorové přímky - osy) [P ] = ± Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 53 / 55

55 2D projektivní souřadnice rozšířením můžeme zavést měření ve dvou na sebe kolmých osách (2D Euklidovský prostor) umožňuje nám měřit podél prostorové roviny (např. podlaha) za pomoci její projekce do obrazu bez další znalostí (kalibrace kamery aj.) Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 54 / 55

56 souřadnice (x,y) libovolného bodu této prostorové roviny se analogicky určí jako: [P x ] = [P x P 0 P xi P x ] [P y ] = [P y P 0 P yi P y ] Metody Počítačového Vidění (MPV) - 3D počítačové vidění 55 / 55