b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

Transkript

1 Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá vzdáleost tam i zpět, aiž bude uto tuto svíčku měit? N(µ,σ ) µ σ σ P(X > 50) P(U > ) P(U >,9) 3000 φ(,9) [ φ(,9)] φ(,9) 0,98 Příklad : Při provozu balícího automatu vzikají během směy áhodé poruchy Ze zkušeostí víme, že během směy dochází v průměru ke poruchám Jaká je pravděpodobost, že během 4 hodi (třísměého provozu) edojde ai jedou k poruše? Po(λ) poruchy za směu za 3 směy 3 6 poruch očekávaá hodota λ 6 - e λ k -6 0 λ e 6-6 P(X k) P(X 0) e 0, 0048 k! 0! Příklad 4: Pravděpodobost, že hasící systém továry (jev A) selže, je 0%, pravděpodobost, že selže poplachové zařízeí (jev B), je 0% a pravděpodobost, že selžou oba ajedou (A průik B), je 4% Jaká je pravděpodobost, že: a) Alespoň jede bude fugovat? (Doplěk jevu "selžou oba současě") b) Oba dva budou fugovat? B P(A) a + c 0% 0,0 A P(B) b + c 0% 0,0 b c a P(A B) c 4% 0,04 d a) P( A B ) P(A B) a + b + d c 0,04 0,96 b) P( A B ) - P(A B) d 0, 0, + 0,04 0,4

2 Příklad 5: Je zámo, že 90% výrobků odpovídá stadardu Byla vypracováa zjedodušeá kotrolí zkouška, která u stadardího výrobku dá kladý výsledek s pravděpodobostí 0,95, kdežto u výrobku estadardího s pravděpodobostí 0,0 Jaká je pravděpodobost, že výrobek, u ěhož zkouška dopadla kladě, je stadardí? Výrobek je Stadardí 0,9 je Nestadard 0, oz za Sta 0,95 oz za Nest 0,05 oz za Sta 0, oz za Nest 0,8 A je ozače za stadardí B je Stadardí B je Nestadardí P(B ) 0,90 P(A B ) 0,95 P(A B ) 0,0 P(B P(A B ) P(B ) 0,95 0,9 0,855 A) 0,9 P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) 0,95 0,9 + 0, 0, 0,85 Příklad 3: Určitý typ součástek je dodává v sériích po 00 kusech Při přejímací kotrole je z každé série áhodě vybráo 5 výrobků Série je přijata, jestliže mezi kotrolovaými výrobky eí žádý zmetek Jaká je pravděpodobost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 0 zmetků? Hy(;M;N) N 00 M 0 N 5 M N - M k - k P(X k) N P(X 0) 0, 00 5

3 Příklad 6: Aby sloužila lépe svým izeretům podikla rozhlasová staice zaměřeá a hudebí pořady u 500 posluchačů průzkum za účelem zjištěí, zda dávají předost klasické ebo populárí hudbě Výsledky pozorováí roztříděé podle věku byly ásledující: věk vážá populárí hudba hudba pod 5 let ad 50 let Sestrojte 99% iterval spolehlivosti pro podíl mládeže do 5 let, která dává předost populárí hudbě (v rámci celé populace) N x 08 α 0,0 u 0,995,58,58 0,0564 0, P(- P) 08 p ± u - α p 0, P ( - P) p(- p) 0,06 0,94 0,0564 0,60% z ; 9,49% z 500 4; 353 ± 4 (306; 400) Příklad : Podle aalýzy receptů ze stejého emocičího odděleí provedeého v lékárě vyplyulo, že lékař A apsal 0% receptů, z ichž % bylo předepsáo chybě a lékař B apsal 30% receptů, z ichž chybě předepsáa byla % a) Jaká je pravděpodobost chybě apsaého receptu v daém odděleí? b) Je-li recept předepsá chybě, jaká je pravděpodobost, že ho apsal lékař B? Odděleí A 0, B 0,3 Chybě 0,0 Dobře 0,99 Chybě 0,0 Dobře 0,98 A recept je apsá chybě B recept apsal lékař B B recept apsal lékař A a) P(A) 0, 0,0 + 0,3 0,0 0,03 b) P(B P(A B ) P(B ) 0,3 0,0 0,006 A) 0,465 P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) 0,0 0,3 + 0,0 0, 0, ,00 3

4 Příklad : Oil Exploratio podikla zoufalý hazardí pokus veškeré zbylé fody vložila a pokusých vrtů Šace, že vrt arazí a ropu, je u všech vrtů 0% a jedotlivé vrty jsou avzájem ezávislé Před bakrotem může firmu zachráit je úspěch tří a více vrtů Jaké je šace? Bi(,π) π 0, k 3 i -i P(X k) π ( π ) i k i P(X 3) (P(X0)+ P(X) + P(X)) 0,5583 0,44 Příklad : Uiverzálí peumatiky mají průměrou životost mil se směrodatou odchylkou mil a ormálí rozděleí a) Jaká je pravděpodobost, že daá peumatika vydrží mil a více? b) Kolik procet peumatik vydrží méě ež mil? c) Jaká je pravděpodobost, že peumatika bude mít životost od do mil? d) Jaká je pravděpodobost, že peumatika vydrží více ež mil? N(µ,σ ) µ σ a) P(X > 50000) P(U > ) P(U > 0,5) φ ( 0,5) φ(0,5) 0, b) P(X < 50000) 0,33 0,663,% c) P(50000 < X < 60000) P < U < φ(0,5) φ( 0,5) φ(0,5) ( φ(0,5)) 0,33 + 0,6946-0, d) P(X > 80000) P(U > ) P(U > 3) φ (3) 0, ,

5 Příklad 8: Pojišťova uzavřela 00 životích pojistek s osobami určitého věku, o ichž je v úmrtostích tabulkách zjištěa pravděpodobost dožití dalších deseti let 0,85 Jedorázové pojisté čií 600 Kč a v případě úmrtí do deseti let vyplatí pojišťova pozůstalým Kč Jaký zisk z těchto pojistek může za daých podmíek pojišťova očekávat? zisk E(X) pro P(X) x x P(X) 600,- 0, ,- 0,5-60 suma: 00 Zisk zisk pro * počet pojistek ,- Kč Příklad 4: Pracovík pro odbyt u velké firmy a výrobu léčiv avštíví ročě 3 velkoprodejy s farmaky s 80% pravděpodobostí, že sjedá kotrakt Nechť X je součet všech prodejů za rok (0,, ebo 3) a) Sestavte tabulku rozděleí pravděpodobostí p(x) b) Jaká je pravděpodobost, že sjedá aspoň dva kotrakty? Bi(,π) P(X k) π k ( π ) -k k a) sjedaých P(x) obchodů 0 0,008 0,096 0, ,5 suma: b) P(x ) P(x) + P(x3) 0, ,5 0,896 Příklad 3: Z časového símku určité motáží operace vyplývá, že bylo provedeo pozorováí, zjištěý průměr doby trváí operace je průměr x 44 sec a směrodatá odchylka s 4 sec Sestrojte 95% iterval spolehlivosti pro očekávaou délku motáže x 44 σ 4 α 0,05 x ± u α - σ ± u 0,95 44 ±,96 44 ±,63 (4,3; 46,63) 3 5

6 Příklad 9: Při průjezdu přes most byla kotrolováa rychlost jízdy 00 vozidel Bylo zjištěo, že 4 vozidel překročilo povoleou rychlost Sestrojte 95% iterval spolehlivosti pro podíl vozidel překračujících a mostě povoleou rychlost 00 x 4 α 0,05 p ± u - α P(- P) 4 p 00 0,4 ( - P) p(- p) 0,4 0,6 0,84 P u 0,95,96 0,84 4 ±,96 4 ± 8,3% 4 ± 8,3 4 ± 8 00 (6; 3) Příklad 6: Z populace USA v roce 980 bylo: 0% z Kaliforie 6% špaělského původu % špaělského původu a z Kaliforie Jaká je pravděpodobost, že áhodě vybraý Američa bude: a) z Kaliforie ebo špaělského původu b) ai z Kaliforie, ai špaělského původu c) špaělského původu, ale e z Kaliforie? A je z Kaliforie B je špaělského původu A a c b B d a) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) a + c + b 0, + 0,06 0,0 0,4 b) A B P(A) P(B) + P(A B) d (A B) - 0,- 0,06 + 0,0 0,86 c) P(B A) P(B) - P(A B) b 0,06-0,0 0,04 6

7 Příklad : Autobusy městské dopravy odjíždějí ze staice v sedmimiutových itervalech Cestující může přijít a staici v libovolém okamžiku a) Jaká je pravděpodobost, že bude čekat méě ež miuty? b) Jaká je středí hodota a rozptyl doby jeho čekáí a odjezd ze staice? 0 < x < f(x) a) P(X 5) dx [ x] 5 5 0, 85 5 x b) E(X) x P(x) x f (x)dx x dx 3, 5 x Ω x ( Ω ) 0 D(X) E x 0 {[ X - E(X) ] } E(X ) - [ E(X) ] 6,333,5 4, x E(X ) x dx 3 0 [ E(X) ] 3,5, ,333 3 Příklad : Předpokládáme, že měsíčí výdaje domácosti a určité potraviářské zboží mají ormálí rozděleí se středí hodotou 90 Kč a směrodatou odchylkou 4 Kč Staovte pravděpodobost překročeí hraice 00 Kč a) pro výdaje áhodě vybraé domácosti, b) pro průměré výdaje třiceti áhodě vybraých domácostí (Věta Lideberg - Lévy o výběrovém průměru) N(µ,σ ) E(X) µ 90 D(X) σ 4 a) N(90,4 ) P(X > 00) P U > φ (0,485) 0,65 0, b) x ~ N(90, ) P(X > 00) P U > φ (3,94) 0, ,