Diferenciální geometrie

Transkript

1 Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005

2 Obsah 1 Křivky Vyjádření křivky Transformace parametru Délka křivky, oblouk jako parametr Tečný vektor a tečna křivky Oskulační rovina Frenetovy vzorce, křivosti Kanonické a přirozené rovnice křivky Oskulační vlastnosti křivek Obálky systému křivek Spádové křivky, evoluty a evolventy

3 Předmluva Tento text je záznamem přednášek, které jsem připravil pro Fakultu aplikovaných věd v akademickém roce 2002/03 pro předmět Diferenciální geometrie. Ochotným přístupem dvou studentů byl záznam přednášek vysázen v systému L A TEX. Později jsem provedl autorizaci a doplnění tohoto záznamu. Velké poděkování patří studentům Petru Märzovi a Marku Byrtusovi, kteří pro budoucí generaci studentů připravili základ záznamu přednášek. Budu Vám vděčný za případné připomínky k textu. Řadu podnětů v roce 2004 a 2005 poslali Josef Otta a Martina Sitková, za což jim patří dík. Většinu námětů jsem akceptoval. František Ježek 3

4 Kapitola 1 Křivky 1.1 Vyjádření křivky Definice 1. Regulární křivkou třídy C n v E 3 rozumíme množinu K E 3, pro níž existuje vektorová funkce P (t), t I, tak, že (a) P : I K, I je otevřený interval, (b) P je třídy C n, (c) P (t 0 ) 0 pro všechna t 0 I, (d) t 1 t 2 P (t 1 ) P (t 1 ). Poznámka 1. Rozepsáním do složek dostaneme parametrické vyjádření. Příklad 1. Uvažujme dvě různé parametrizace přímky (a) P (t) = (t, t, t), t R, toto vyjádření přímky vyhovuje definici regulární křivky, (b) P (t) = (t 3, t 3, t 3 ), t R, stejná přímka jako v (a), ale tato parametrizace přímky již nesplňuje podmínky definice, protože neplatí nerovnost P (0) 0. Poznámka 2. Definice křivky je, jak to u elementárních pojmů bývá, poměrně komplikovaná. Námi uvedená definice regulární křivky je problematická při praktickém ověřování podmínek. V dalším textu budeme používat pojem křivka (bez přívlastku). Křivkou rozumíme množinu (bodů), která je skoro všude (až na konečný počet bodů) regulární křivkou. 4

5 1.2. Transformace parametru 5 Obrázek 1.1: K definici křivky Poznámka 3. Kromě vektorových (nebo parametrických) rovnic lze pracovat i s explicitními nebo implicitními rovnicemi. Explicitní Implicitní E 2 y = f(x) f(x, y) = 0 E 3 y = f 1 (x) f 1 (x, y, z) = 0 z = f 2 (x), x I f 2 (x, y, z) = 0 Převod mezi implicitním a explicitním tvarem lze provést pomocí věty o implicitních funkcích. K určení regulární křivky implicitními rovnicemi je nutné, aby následující matice měla hodnost 2: ) ( f1 x f 2 x f 1 y f 2 y f 1 z f 2 z 1.2 Transformace parametru Věta 1. Nechť P (t), t I, je regulární křivkou a nechť ϕ je spojitá funkce ϕ : I I a ϕ (t 0) 0 pro každé t 0 I. Pak P (ϕ(t )), t I, je vektorovou rovnicí křivky P (t)..

6 1.2. Transformace parametru 6 Důkaz. Funkce ϕ je rostoucí nebo klesající, tedy je prostá. Snadno se ověří podmínky definice 1 i pro P (ϕ(t )) na I. Obrázek 1.2: Transformace parametru Obrázek 1.3: Transformace parametru na křivce

7 1.3. Délka křivky, oblouk jako parametr Délka křivky, oblouk jako parametr Věta 2. Nechť P (t), t I = (t d, t h ). Pak délka křivky je dána vztahem d = t h t d P (t) P (t) dt Důkaz. Tvrzení plyne z integrálního počtu a z rovnice: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx(t) dy(t) dz(t) P (t) P (t) = + +. dt dt dt Definice 2. Nechť P (t), t I, je regulární křivkou. Položme s(t) = t t d P ( t ) P ( t ) d t a inverzní funkci označme t(s). Pak nový parametr s nazýváme oblouk. Poznámka 4. Definice 2 je korektní, neboť s (t) = P ( t ) P ( t ) > 0 a tedy existuje inverzní funkce. Derivaci podle oblouku značíme tečkou, tj. ṖP (s) = dp (s) ds. Příklad 2. Kružnici k = (0, r) parametrizujte obloukem. Víme, že parametrické vyjádření kružnice je x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, t 0, 2π), kde s(t) = t t r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t d t = r2 d t = rt. 0 Pak dostáváme t = 1 s a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvaru r ( ) 1 x(s) = r cos r s a 0 ( ) 1 y(s) = r sin r s.

8 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8 Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky 1.4 Tečný vektor a tečna křivky Z diferenciálního počtu je známo, že tečna je limitní polohou sečny. Definice 3. Vektor P (t 0 ) = dp dt (t 0) nazýváme tečný vektor křivky P (t), t I, v bodě t 0. Tečnou křivky v daném bodě rozumíme přímku R(k) = P (t 0 ) + kp (t 0 ). Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu. Důkaz. Z definice 3 plyne, že v dané parametrizaci existuje v daném bodě křivky jediná tečna. Stačí tedy dokázat, že tečna nezávisí na zvolené parametrizaci. Uvažujme změnu parametru t = ϕ(t ), kde ϕ je spojitá a ϕ 0. Pak platí dp (t ) dp (t) = dϕ(t ), dt dt dt kde člen dϕ(t ) dt 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineární, tj. tečna nezávisí na parametrizaci.

9 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 9 Věta 4. Nechť P (t), t I, je regulární křivka. Parametr t je obloukem, právě když dp dt = 1 pro každé t I. Důkaz. Nechť t je parametr, který je obloukem. Platí t = s(t) = t t d P ( t ) P ( t ) d t. Derivujeme-li podle t, dostáváme tuto rovnici 1 = P ( t ) P ( t ) = P. Integrováním vztahu P = 1 podle parametru dostáváme s s d 1d t = s s d = Pro oblouk položíme s d = 0. s s d s s d P ( t ) P ( t ) d t, P ( t ) P ( t ) d t. Věta 5. Nechť je dána křivka implicitními rovnicemi f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) = 0 a nechť bod [x 0, y 0, z 0 ] leží na křivce. Pak vektor f 1 f 1 y z f 1 f 1 f 1 f 1 x z x y,, f 2 f 2 y z f 2 f 2 f 2 f 2 x z x y je tečným vektorem této křivky. Důkaz. Nechť x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádření téže křivky v okolí bodu [x 0, y 0, z 0 ], pak pro derivace df 1 dt a df 2 dt platí následující rovnost df i dt = f i x dx dt + f i y dy dt + f i z dz dt = 0, i = 1, 2. Hledáme řešení pro neznámé dx dt, dy dt a dz. Jde o ortogonální vektor k jiným dvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj. dt ( dx dt, dy dt, dz ) ( dt f1 je kolineární s x, f 1 y, f ) ( 1 f2 z x, f 2 y, f ) 2. z

10 1.5. Oskulační rovina 10 Příklad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x+y+z 7 = 0 ve zvoleném bodě. Máme tedy dvě implicitní vyjádření, která jsou x 2 + y 2 + z 2 25 = 0 x + y + z 7 = 0. Můžeme si zvolit z, např. z = 0, pak bodem, který splňuje rovnost, je např. [3, 4, 0]. Dostáváme následující obecnou soustavu 2x dx dt dy dz + 2y + 2z dt dt dx dt + dy dt + dz dt Dosadíme-li bod [3, 4, 0] do první rovnice = 0 = 0. 6 dx dt + 8dy dt + 0 = 0 dx dt + dy dt + dz dt = 0, pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] podle věty 5 má tvar ( ) 8 0 t = 1 1, , = (8, 6, 2) (4, 3, 1). Tečna v bodě je R(t) = (3, 4, 0) + t(4, 3, 1). 1.5 Oskulační rovina Oskulační rovina je limitní polohou roviny tx určené tečnou t a pohybujícím se bodem X křivky. Definice 4. Nechť P (t), t I, je regulární křivka a je dáno t 0 I. Nechť vektory P (t 0 ) a P (t 0 ) jsou nekolineární, pak rovinu R(u, v) = P (t 0 ) + up (t 0 ) + vp (t 0 ) nazýváme oskulační rovinou křivky v daném bodě. Věta 6. Oskulační rovina se nemění při změně parametrizace.

11 1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 11 Důkaz. Je-li t = ϕ(t ), kde ϕ je spojitá a ϕ 0 pro každé t I, pak platí t 0 = ϕ 1 (t 0 ), P (t 0) = dp (ϕ(t )) (t dt 0) = P (t 0 ) dϕ dt (t 0) a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineární. Určíme dále druhé derivace: [ dp P = dt dϕ ] ( ) 2 = d2 P dϕ dt dt + dp 2 dt dt d2 ϕ dt, 2 P (t 0) = P (t 0 ) (ϕ (t 0)) 2 + P (t 0 ) ϕ (t 0). P (t 0) je tedy lineární kombinací P (t 0 ) a P (t 0 ). Definice 5. Bod křivky, v němž P (t 0 ) a P (t 0 ) jsou kolineární, nazýváme inflexní bod. Poznámka 5. V inflexním bodě není definována oskulační rovina, resp. za oskulační rovinu lze považovat každou rovinu procházející tečnou. Snadno tedy plyne, že pojem inflexní bod nezávisí na parametrizaci (viz důkaz věty 6). 1.6 Frenetovy vzorce, křivosti Definice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumíme každou přímku R(s) = P (t 0 ) + sn, kde n P (t 0 ) = 0, tj. každou přímku kolmou na tečnu. Hlavní normála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála, která je kolmá k oskulační rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikační, rovinu nb nazýváme normálová. Nechť křivka je parametrizovaná obloukem P (s), s I. Víme, že ṖP (s 0 ) = 1 (podle věty 4) pro každé s 0 I. Tedy ṖP P + P ṖP = 0 ṖP P = 0, tj. P je buď nulový (inflexe), nebo ortogonální k ṖP. Definice 7. První křivostí křivky v bodě rozumíme číslo 1 k(s 0 ) = P (s 0 ), tj. velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocí oblouku.

12 1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 12 Obrázek 1.5: Tečna t, hlavní normála n, binormála b, oskulační rovina τ, normálová rovina ν, rektifikační rovina µ křivky k v bodě X Označme t(s 0 ) = ṖP (s 0 ) a n(s 0 ) = P (s 0 ) P (s 0 ) = 1 1 k P (s 0 ) = 1 1 k ṫt(s 0 ) jednotkové vektory tečny a hlavní normály. Dále b(s 0 ) = t(s 0 ) n(s 0 ) je jednotkový vektor binormály. Ze vztahu b(s 0 ) b(s 0 ) = 1 plyne derivováním b(s 0 ) ḃb(s 0 ) = 0. Tedy ḃb patří do zaměření oskulační roviny, tj. ḃb = At + Bn. Dále b t = 0 a derivováním ḃb t + b ṫt = 0 ḃb t + b 1 k n = 0 ḃb t = 0. Jestliže rovnici ḃb = At + Bn vynásobíme t, máme ḃb t = A, ale to je nula. Tím jsme ukázali, že koeficient A je nulový a tedy vektory ḃb a n jsou kolineární. To nám dovolí definovat druhou křivost křivky. Definice 8. Druhou křivostí křivky (torzí) v bodě rozumíme číslo neboli 2 k(s 0 ) = ḃb. 2 k(s 0 ) = ḃb n, Věta 7. (Frenetovy vzorce) Pro regulární křivku parametrizovanou obloukem platí ṫt = 1 kn ṅn = 1 kt + 2 kb ḃb = 2 kn. Důkaz. Máme tyto vztahy ṫt = 1 kn ḃb = 2 kn

13 1.7. Kanonické a přirozené rovnice křivky 13 a chceme určit ṅn. Víme, že platí ṅn n = 0, tedy ṅn = At + Bb (je lineární kombinací vektorů kolmých k vektoru n). Derivováním dostaneme t n = 0 ṫt n + t ṅn = 0 1 k + t ṅn = 0 t ṅn = 1 k, b n = 0 ḃb n + b ṅn = 0 2 k + b ṅn = 0 b ṅn = 2 k. Snadno plyne A = 1 k, B = 2 k. Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedení první křivosti pomocí tzv. věty o ortonormálním repéru. Věta 8. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí ( 1 k) 2 = (P P ) 2 (P P ) 3 2 k = (P, P, P ) (P P ) 2 Důkaz. Důkaz je snadným cvičením a provede se změnou parametrizace. 1.7 Kanonické a přirozené rovnice křivky Pro vektorovou funkci P (s) použijeme v okolí bodu s = 0 rozvoje v mocninnou řadu. Platí ṖP = t, P = 1 kn, dále snadno vypočteme P (3) = 1 kṅn + n d1 k ds = 1 k( 1 kt + 2 kb) + 1 kn = 1 k 2 t + 1 kn + 1 k 2 kb. Pro rozvoj bude platit P (s) = P (0) + P (1) (0)s P (2) (0)s P (3) (0)s a tedy (v lokálním repéru) [ P (s) = P (0) + t(0) s 1 ] 1 k 2 (0)s [ 1 + n(0) 1 k(0)s ] 1 k(0)s [ ] 1 + b(0) 1 k(0) 2 k(0)s

14 1.8. Oskulační vlastnosti křivek 14 Definice 9. Vyjádření křivky P (s) ve tvaru P (s) = P (0)+t 0 g 1 (s)+n 0 g 2 (s)+ b 0 g 3 (s), kde funkce g i (s) jsou dány řadou, jejíž členy obsahují hodnotu derivací první a druhé křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemi křivky v okolí bodu s = 0. Poznámka 7. Nejjednodušší náhradou prostorové křivky (jednodušší prostorovou křivkou) je P (s) P (0) + t(0)s + n(0) 1 1 k(0)s 2 + b(0) 1 1 k(0) 2 k(0)s Z vymezení pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určení křivky stačí znát 1 k(s) a 2 k(s). Definice 10. Jsou-li dány funkce 1 k(s) a 2 k(s), je dán přirozený popis ( přirozené rovnice ) křivky, neboli trojice s, 1 k(s), 2 k(s) tvoří přirozené souřadnice bodu na křivce. Příklad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1 k = 1 r ; 2 k = 0. Křivkou s přirozenými rovnicemi 1 k(0) = a 1 s + a 0, 2 k(s) = 0 je klotoida. Použití má tato křivka v návrhu přechodových oblouků komunikací. Obrázek 1.6: Klotoida 1.8 Oskulační vlastnosti křivek Definice 11. Nechť P (s) a Q(s), s I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0 mají dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestliže d r P ds (0) = dr Q (0), r = 0,..., q. r dsr

15 1.8. Oskulační vlastnosti křivek 15 Věta 9. Nutnou a postačující podmínkou pro dotyk řádu q ve společném bodě křivek je: q = 1 rovnost jednotkových tečných vektorů, q = 2 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavních normál a rovnost první křivosti, q = 3 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavních normál, rovnost první a druhé křivosti a rovnost derivace první křivosti. Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky. Definice 12. Kružnici, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoň druhého řádu (alespoň tříbodový), nazýváme oskulační kružnicí. Kružnice s dotykem alespoň třetího řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperoskulační kružnice. Věta 10. Oskulační kružnice křivky P (s) v bodě s = s 0 leží v oskulační 1 rovině křivky v daném bodě, má poloměr a pro střed této kružnice platí 1 k(s) S = P (s 0 ) + 1 n(s 1 k(s 0 ) 0 ). Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovení znaménka + nebo u vektoru hlavní normály. Obrázek 1.7: Oskulační kružnice křivky k v bodě X(s 0 )

16 1.9. Obálky systému křivek Obálky systému křivek Uvažujeme křivky F (x, y, α 0 ) = 0 a F (x, y, α 1 ) = 0 a nechť tyto křivky mají průsečík Q. Místo toho můžeme vzít ekvivalentní soustavu F (x, y, α 0 ) = 0 ; Limitním přechodem α 1 α 0 máme soustavu F (x, y, α) = 0 ; F (x, y, α 1 ) F (x, y, α 0 ) α 1 α 0 = 0. F (x, y, α) α = 0. Jejím řešením je (pokud řešení existuje) charakteristický bod. Pro proměnné α dostaneme obalovou křivku a α je její parametr. Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž 2 F α 2 dotýká tvořící křivky. 0, se obalová křivka F (x,y,α) α Důkaz. Nechť z rovnice F (x, y, α) = 0 a = 0 byl eliminován parametr α, tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmínku 2 F 0. α 2 Uvažujme charakteristický bod X[x 0, y 0 ], který odpovídá poloze tvořící křivky pro α 0. Tečna obálky bude v tomto tvaru [ F (x x 0 ) x + F α α ] [ F + (y y 0 ) x y + F α α ] = 0, y ale F α = 0. Z toho vyplývá (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) (x x 0 ) F x (x 0, y 0, α(x 0, y 0 )) + (y y 0 ) F y (x 0, y 0, α(x 0, y 0 )) = 0, což je však tečna křivky F (x, y, α 0 ) = 0 v bodě X. Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F (x, y) = 0 je rovnicí (x x 0 ) F x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) F y (x 0, y 0 ) = 0 dána tečna křivky v bodě [x 0, y 0 ]. Příklad 5. Určete obálku systému kružnic (x α) 2 + y 2 = 1. Podle předcházející věty máme rovnice: F α = 2(x α)( 1) = 0, 2 F α 2 0.

17 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 17 Dostáváme dvě rovnice (x α) 2 + y 2 1 = 0 x α = 0 Vyjádříme-li z druhé rovnice x a dosadíme jej do první rovnice, máme pak rovnici y 2 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímky y = 1 a y = Spádové křivky, evoluty a evolventy Definice 13. Nechť je dán jednotkový vektor w a odchylka ω 0, π. Spádovou křivkou k pro daný vektor w a odchylku ω se rozumí křivka, jejíž všechny tečné vektory mají od vektoru w konstantní odchylku ω. Křivka k, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky P = P (s) (a leží tedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz obr Křivka k se nazývá evoluta křivky k. Věta 12. Křivka je spádová, právě když pro její křivosti a odchylku ω platí ve všech jejích bodech vztah 2 k sin ω 1 k cos ω = 0. Důkaz. Uvažujme nejprve křivku P (s) parametrizovanou obloukem, která je spádová pro vektor w a odchylku ω. Pro každé s z intervalu parametrizace platí w ṖP (s) = cos ω. Vzhledem k tomu, že vektor w a odchylka ω nejsou závislé na parametru s, dostaneme pomocí derivování a prvního Frenetova vzorce w P (s) = w 1k(s)n(s) = 0. Tedy vektor w je lineární kombinací vektorů t a b (je totiž kolmý k vektoru n). Proto w b = sin ω. Z druhého Frenetova vzorce a odvozených vztahů ṅn = 1 kt + 2 kb w ṖP (s) = w t = cos ω, w b = sin ω již plyne dosazením do w ṅn = 0 dokazovaný vzorec.

18 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 18 Opačná implikace se dokáže pomocí uplatnění Frenetových vzorců a při použití integrace. Nechť tedy 2 k sin ω 1 k cos ω = 0, pak 2 k sin ω n 1 k cos ω n = ḃb cos ω ṫt sin ω = 0. Což lze psát jako d (t cos ω + b sin ω) = O. ds Integrací máme t cos ω + b sin ω = w, kde w je konstatní vektor. Po skalárním vynásobením vektorem t obdržíme Tedy křivka je spádovou křivkou. t w = cos ω. Věta 13. Nechť je dána křivka P (s). Její evolventu lze vyjádřit ve tvaru R(s) = P (s) + (c s) t(s), kde c R. (1.1) Evolventa tedy vzniká jako dráha bodu při odvalování tečny po dané křivce, tj. nanášením délky oblouku křivky na její tečnu. Obrázek 1.8: Evoluta a evolventy Důkaz. Napište vektorovou funkci R(s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k, čili křivku, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplývá R(s) = P (s) + λ(s) t(s), (1.2)

19 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 19 kde λ(s) je skalární funkce, t(s), resp. n(s), je tečný, resp. normálový, vektor Frenetova trojhranu. Zároveň platí a R t(s) = 0, (1.3) ṫt(s) = 1 kn(s). Dosazení derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 získáme rovnici ( t(s) + λ (s) t(s) + λ(s) ṫt(s) ) t(s) = 0. Víme, že t(s) t(s) = 1, ṫt(s) t(s) = 0, tedy 1 + λ (s) = 0 λ (s) = 1. Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = s + c, kde c je konstanta. Evolventou křivky k jsou křivky R(s) = P (s) + (c s) t(s), kde c R. (1.4) Příklad 6. Napište rovnici evolventy kružnice. t(ϕ) = P (ϕ) P (ϕ) = ( sin ϕ, cos ϕ) ; s = Dosazením do vztahu 1.4 dostaneme P (ϕ) = (a cos ϕ, a sin ϕ) P (ϕ) = ( a sin ϕ, a cos ϕ) P (ϕ) = a (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = a ϕ u=0 P (ϕ) du = ϕ u=0 a du = a ϕ R(ϕ) = (a cos ϕ c sin ϕ + a ϕ sin ϕ, a sin ϕ + c cos ϕ a ϕ cos ϕ) R(ϕ) = ( a (cos ϕ + ϕ sin ϕ) c sin ϕ, a (sin ϕ ϕ cos ϕ) + c cos ϕ ). Pro c = 0 dostáváme R(ϕ) = ( a (cos ϕ + ϕ sin ϕ), a (sin ϕ ϕ cos ϕ) ).

20 1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 20 Obrázek 1.9: Evolventa kružnice Obrázek 1.10: Evolventa šroubovice Příklad 7. Najděte evolventy šroubovice. P (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ, ϕ) P (ϕ) = ( sin ϕ, cos ϕ, 1), P (ϕ) = P P t(ϕ) = (ϕ) P P (ϕ) = 1 ( sin ϕ, cos ϕ, 1) 2 s = ϕ t=0 ṖP (t) dt = 2 Opět užitím vzorce 1.4 dostaneme ϕ t=0 1 dt = 2 ϕ sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + 1 = 2 R(ϕ) = ( cos ϕ + c ( 1 2 sin ϕ) + 2 ϕ ( 1 2 sin ϕ), sin ϕ + c ( 1 cos ϕ) 2 ϕ ( 1 cos ϕ), 2 2 ϕ + c ( 2 2 ) 2 ( 1 2 ϕ) Provedeme-li substituci 1 2 c = d dostaneme ). R(ϕ) = ( (cos ϕ + ϕ sin ϕ) d sin ϕ, (sin ϕ ϕ cos ϕ) + d cos ϕ, d ). Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležící v rovnoběžných rovinách z = d (viz obrázek 1.10). Speciálně v rovině z = 0 leží evolventa R(ϕ) = (cos ϕ + ϕ sin ϕ, sin ϕ ϕ cos ϕ, 0), která je zároveň průsečnicí tečen šroubovice s touto rovinou.