Nerozuměl jsem všemu. Ale to, čemu jsem porozuměl, F.X. Šalda

Transkript

1 Teorie čísel Nerozuměl jsem všemu. Ale to, čemu jsem porozuměl, mně nahánělo hrůzu z toho, čemu jsem nerozuměl. F.X. Šalda

2 Obsah Obsah Prvočísla 4. Prvočísel je nekonečně mnoho Rozložení prvočísel Mertensovy věty Počty dělitelů Trocha algebry Grupy, okruhy, tělesa - základní pojmy Dělitelnost v oborech integrity Okruhy polynomů Konstrukce těles a tělesové automorfismy Něco o polynomech Polynomy nad C a nad R Polynomy nad Q a nad Z Cyklotomické polynomy Symetrické polynomy Algebraická číselná tělesa Algebraická čísla, minimální polynom Vlastnosti množiny algebraických čísel Algebraická číselná tělesa Izomorfizmy těles Q(α) Tělesový polynom, norma, stopa Příklady algebraických číselných těles

3 5 Diofantické rovnice Kvadratická rezidua Lineární diofantické rovnice Pythagorejské trojice Součet dvou čtverců Součet čtyř čtverců Pellova rovnice Diofantické aproximace Fareyovy zlomky Řetězové zlomky Aproximace sblíženými zlomky Řetězový zlomek kvadratických čísel Aplikace řetězových zlomků pro diofantické rovnice Transcendentní čísla Liouvilleova čísla Transcendentnost Eulerova čísla e Transcendentnost čísla π Řetězový zlomek Eulerova čísla e Okruh celých čísel v číselném tělese Algebraická celá čísla Integrální báze okruhu celých čísel Hledání integrální báze Integrální báze v cyklotomických tělesech Dělitelnost a faktorizace v okruhu celých čísel 8 9. Jednotky Jednotky v kvadratických tělesech Prvočísla, ireducibilní prvky, faktorizace Faktorizace v kvadratických tělesech Aplikace algebraických těles 3 0. Řešení diofantických rovnic

4 0.2 Lucas-Lehmerův test prvočíselnosti Konstrukce pomocí kružítka a pravítka Nekomutativní tělesa Literatura 48 3

5 Prvočísla. Prvočísel je nekonečně mnoho V množině přirozených čísel, kterou budeme značit N = {, 2, 3,...}, mají úlohu stavebních kamenů prvočísla. Za prvočíslo považujeme to přirozenné číslo, které má právě dva různé dělitele, a to jedničku a sebe sama. Množinu prvočísel značíme P = {2, 3, 5, 7,...}. Mezi prvočísla tedy neřadíme jedničku. Proto platí věta, kterou budeme mnohokrát využívat: každé přirozené číslo n > lze jednoznačně až na pořadí zapsat jako součin prvočísel. Že je pvočísel nekonečně mnoho, věděli lidé odedávna. První rigorózní důkaz lze nalézt v Eukleidových základech. Důkaz. Předpokládejme, že konečný seznam p, p 2,..., p r obsahuje všechna prvočísla. Označme n = p p 2... p r +. Zřejmě n není v seznamu. Protože číslo n není dělitelné žádným prvočíslem ze seznamu, je n bud samo prvočíslo, nebo je n dělitelné prvočíslem, které není v seznamu spor s tím, že seznam p, p 2,..., p r vyčerpal všechna prvočísla. Jiný důkaz nekonečnosti množiny P pochází z dopisu Christiana Goldbacha Leonhardu Eulerovi z roku 730. Důkaz. Uvažujme posloupnost Fermatových čísel definovaných vztahem F n = 2 2n + pro n = 0,, 2,... (.) Speciálně F 0 = 3 a F = 5. Indukcí dokážeme, že pro n platí n F k = F n 2. (.2) k=0 Pro n = je tvrzení pravdivé, protože F 0 = 3 = F 2. Pro n > využijeme indukční předpoklad a můžeme psát n F k = k=0 F k )F n = (F n 2)F n = ( 2 2n ) ( 2 2n + ) = (n k=0 ( ) 2 2n+ = F n+ 2. 4

6 Vztah (.2) spolu s lichostí F n implikuje, že každá dvě různá Fermatova čísla F k a F n jsou nesoudělná. Tedy prvočísla nacházející se v rozkladu F k a F n jsou navzájem různá. Protože Fermatových čísel je nekonečně, je nekonečně i prvočísel. Množinu prvočísel lze uspořádat podle velikosti do ostře rostoucí posloupnosti (p n ) n N, tedy p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7,... Z Goldbachova důkazu plyne, že n-té prvočíslo p n je menší než F n. Máme tedy první odhad na velikost prvočísla p n 2 2n +. Jak častý je výskyt prvočísel mezi přirozenými čísly bude vystihovat posloupnost π(n) = #{p n p P}. Nekonečnost množiny P lze v tomto značení zapsat lim n π(n) = +. Následující věta pocházející od Eulera odhaduje rychlost růstu π(n) a jejím přímým důsledkem je opět důkaz nekonečnosti P. Věta.. Pro počet π(n) prvočísel nepřevyšujících n platí π(n) ln n. Důkaz. Využijeme odhadu ln n = n n x dx = k= k k n x dx k k, k= k M kde M = {m N m má v rozkladu pouze prvočísla menší nebo rovna n}. Označme r = π(n). Pak prvek M lze napsat ve tvaru m = p α p α p α r r můžeme upravit pro nějaká α i 0. Tedy k M k = + + α =0 α 2 = α r=0 p α p α p αr r = r + i= α i =0 p α i i = r i= p i p i. Využijeme toho, že funkce Celkově dostaneme x je pro x 2 klesající a jednoduchého odhadu p x i i +. ln n r i= i + i = r + = π(n) +. 5

7 Když do předchozí věty za n dosadíme k-té prvočíslo, dostaneme ln p k + π(p k ) = + k, a tedy p k e k+, což je lepší odhad pro velikost p k než z Goldbachova důkazu. Že i tento horní odhad je velice nadsazený věděl už Euler, který dokázal divergenci p P uvedeme, pochází od Erdöse z roku 938. Věta.2. Řada p P diverguje. p Důkaz. Předpokládejme, že řada p P existuje přirozené k takové, že i k+ i k+ p p i N p i < N 2. Důkaz sporem, který p konverguje. Podle Bozanova Cauchyova kritéria < 2. Tedy pro každé N N. (.3) Pro tuto chvíli budeme prvočísla p, p 2,..., p k nazývat malá a prvočísla p k+, p k+2,... velká. Pro zvolené N N označme N s velikost množiny těch přirozených čísel n N, která jsou dělitelná pouze malými prvočísly, a N b velikost množiny těch přirozených čísel n N, která mají za dělitele alespoň jedno velké prvočíslo. Podle definice je N = N s +N b. Spor bude spočívat v tom, že odvodíme N s + N b < N. Počet n N, které jsou dělitlné velkým prvočíslem p i je N p i. Proto je podle (.3) N b N p i i k+ < N 2. Nyní odhadneme N s. Každé n lze napsat jako n = a n b 2 n, kde a n je čtvrcuprosté přirozené číslo. Je-li n dělitelné pouze malými prvočísly, je a n součinem různých malých prvočísel. Proto pro vytvoření a n máme maximálně 2 k možností. Na druhé straně b 2 n n N, a tedy b n nabývá nanejvýš N hodnot. Proto je Celkově máme N s 2 k N. N = N s + N b < N 2 + 2k N pro každé N N. Spor dostaneme, když zvolíme N tak, aby 2 k N N 2. Např. volba N = 22k+2 vyhovuje. Divergence p P znamená, že množina, přes kterou sčítáme, je nekonečná. Dali jsme p tak další důkaz nekonečnosti P. Existuje však celá řada dalších důkazů. 6

8 .2 Rozložení prvočísel Prvočísla nejsou v přirozených číslech rozmístěna nijak pravidelně. Pro libovolné n N lze najít úsek n po sobě jdoucích přirozených čísel, z nichž žádné není prvočíslo: (n + )! + 2, (n + )! + 3, (n + )! + 4,..., (n + )! + n + Tedy mezery mezi sousedními prvočísly mohou být libovolně velké. Na druhé straně už v antice byla vyslovena hypotéza, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných dvojčat, tedy nekonečně mnoho takových prvočísel p, že také p + 2 je prvočíslo. Takové dvojčata jsou např. pár a 3, pár 7 a 9, pár 4 a 43, atd. Počítačové experimenty potvrzují zmíněnou hypotézu, ale dokázat se jí zatím nikomu nepodařilo. Fakt, že v úseku přirozených čísel začínajícím n natrefíme na prvočíslo dříve, než dojdeme k číslu 2n, pozoroval první Joseph Bertrand. On také toto tvrzení, dnes nazývané Bertrandův postulát, empiricky ověřil pro n < První důkaz pochází z roku 850 od Pafnutija Čebyševa. Důkaz, který později uvedeme, pochází od Paula Erdöse z roku 932. Před tím však odvodíme několik důležitých tvrzení. Věta.3 (Legendre). Prvočíslo p P se nachází v rozkladu čísla n! právě n p k k krát. Důkaz. Tvrzení plyne z faktu, že mezi čísly, 2, 3,..., n je právě n násobků čísla p, p právě n p 2 násobků čísla p 2, právě n p 3 násobků čísla p 3, atd. Důsledek.4. Prvočíslo p P se nachází v rozkladu kombinačního čísla ( 2n n ) nanejvýš r krát, kde r = max{r p r 2n}. Důkaz. Z Legendreovy věty plyne, že prvočíslo p se nachází v rozkladu čísla ( ) 2n n = (2n)! (n!) 2 právě k ( 2n n ) 2 p k p k krát. Pro libovolné reálné x > 0 je 2x 2 x bud 0 nebo. Proto lze sumu odhadnout počtem nenulových sčítanců. Pro index k, pro který je p k > 2n, je sčítanec sumy nulový. Lemma.5. Pro každé n N, n 2 platí p 4 n. p P,p n 7

9 Důkaz. Důkaz provedeme indukcí. Pro n = 2 a n = 3 tvrzení platí. Pro n > 3 najdeme největší prvočíslo q n. Zřejmě je q liché, tj. q = 2m + a p P, p n p = p P p 2m+ p = p P p m+ p p. (.4) p P m+<p 2m+ Číslo ( ) 2m+ m = (2m+)(2m)(2m )...(m+2) je celé. Přitom prvočíslo p, pro nějž m < p 2m+, m! se vysytuje pouze v čitateli zlomku, a ne ve jmenovateli. Tedy takové p se určitě vyskytne v rozkladu ( ) 2m+ m na prvočísla. Proto p p P m+<p 2m+ ( ) 2m + m 2 2m+ k=0 ( ) 2m + Využitím indukčního předpokladu na (.4) a odhadu (.5) dostaneme p P, p n p = p P p 2m+ p 4 m 2 2m 4 n. k = 2 2m. (.5) Věta.6. Pro každé přirozené číslo n existuje prvočíslo p takové, že n < p 2n. Důkaz. Nejdříve dokážeme větu pro n < Uvažujme posloupnost těchto 4 prvočísel q,..., q 4 : 2, 3, 5, 7, 3, 23, 43, 83, 63, 37, 63, 259, 2503, 400. Každé následující je menší než dvojnásobek předchozího prvočísla. Libovolné n < 4000 leží mezi nějakými dvěma sousedními prvočísly z této posloupnosti, t.j. q i < n q i+ < 2q i < 2n. K důkazu věty pro n 4000 budeme odhadovat číslo ( 2n n ). Protože je to největší číslo ve 2n-tém řádku Pascalova trojúhelníku, lze jej zdola odhadnout takto Necht p α p α p α s s z důsledku (.4). p α i i 2n pro každé i. ( ) 2n n 2n 2n k=0 ( ) 2n k = 4n 2n. (.6) je rozklad ( 2n n ) na prvočísla. Využijeme tří pozorování, které plynou 8

10 Proto Prvočíslo p > 2n se v rozkladu ( 2n n ) nachází nanejvýš jednou. Prvočíslo p splňující 2 3 n < p n se v rozkladu ( 2n n ) nenachází vůbec. ( ) 2n n p P p 2n 2n p P 2n<p 2 3 n p p (.7) p P n<p 2n Větu dokážeme sporem. Předpokádejme, že mezi n a 2n neexistuje žádné prvočíslo. Kombinací odhadů (.6), (.7) a lemmatu.5 dostaneme 4 n 2n (2n) 2n n = 2n 3( + 2n)( + ln 2 n). (.8) Srovnáním rychlosti růstu posloupností n, n a ln 2 n je na první pohled vidět, že poslední nerovnost pro velká n neplatí. Abychom dostali spor, potřebujeme však dokázat, že velká n jsou v našem případě všechna n Za tímto účelem definujeme funkce g(x) = 2x a f(x) = 3( + 2x)( + ln 2 x). Nyní stačí ověřit, že g(4000) > f(4000) a g (x) > f (x) pro x > Tuto úlohu ze základní analýzy přenecháme čtenáři. Důsledek.7. Existuje konstanta A taková, že všechny členy posloupnosti jsou prvočísla. 2 A, 2 2A, 2 22A, 2 222A,... Důkaz. Definujme posloupnost (q n ) rekurzivně: q = 2 a q n+ jako nejmenší prvočíslo větší než 2 q n. Z Bertrandova postulátu tedy plyne 2 q n < q n+ < 2 +q n. Mohli jsme použít dvě ostré nerovnosti, protože prvočíslo q n+ není sudé, a tedy + q n+ 2 +q n. Ani v této nerovnosti nemůže však nastat rovnost. Jelikož + q n je pro n > sudé číslo, řekněme + q n = 2k, znamenala by rovnost +q n+ = 2 +qn, že q n+ = 2 +qn = (2 k )(2 k +). To je v rozporu s prvočíselnosti q n+. Platí proto 2 qn < q n+ < + q n+ < 2 +qn. Zlogaritmujme se základem 2 předchozí nerovnost n + krát. (Pro n krát interovaný logaritmus použijeme značení ln (n) 2.) Dostaneme ln (n) 2 q n < ln (n+) 2 q n+ < ln (n+) 2 ( + q n+ ) < ln (n) 2 ( + q n ) (.9) 9

11 Posloupnost ( ln (n) 2 q n ) je ostře rostoucí a posloupnost ( ln (n) 2 (+q n ) ) je ostře klesající. Proto posloupnost ( ln (n) 2 q n ) má konečnou limitu, označme ji A. Z nerovností (.9) dostaneme ln (n) 2 q n < A < ln (n) 2 ( + q n ). Zpětným n násobným odlogaritmováním pak q n < A < + q n. Aplikováním funkce celá část na poslední nerovnost odvodíme, že posloupnost uvedená ve tvrzení věty, je posloupnost prvočísel (q n ). Poznámka.8. Zobecnění Bertrandova postulátu představuje následující tvrzení: ( ε > 0 )( n0 )( n > n0, n N )( p P )( n < p < ( + ε)n ). Jinými slovy pro dostatečně velké n lze najít prvočíslo mezi n a ( + ε)n. Bez odpovědi je zatím slavný problém, zda mezi n 2 a (n + ) 2 leží vždycky alespoň jedno prvočíslo. Asymptotické chování π(n) počtu prvočísel nepřevyšujících n dlouho odolávalo matematikům. Už Gauss předpověděl, že π(n) lim n n ln n =, kde ln je logaritmus se základem e. Nejdříve se podařilo Čebyševovi ukázat, že kdyby limita nalevo existovala, pak by to byla jednička. Existenci této limity, a tedy poslední krok v důkazu, udělali v roce 896 nezávisle na sobě dva francouzští matematici Hadamard a de la Valleé-Poussin. Jejich důkaz je komplikovaný a využívá aparát komplexní analýzy. My dokážeme elementárními prostředky slabší tvrzení. Věta.9. Existují kladné konstanty a, b R takové, že a n ln 2 n < π(n) < b n ln 2 n. Důkaz. Kombinační číslo ( ) 2n n neobsahuje ve svém rozkladu prvočísla větší než 2n. Proto lze napsat ( ) 2n n = p α p α p α π(2n) π(2n) pro α i {0,, 2,...}. Z definice kombinačního číslo 0

12 plyne, že prvočíslo p > n a p 2n se nachází v rozkladu ( 2n n ) právě jednou. Na druhé straně, z důsledku.4 získáme pro každý index i nerovnost p α i i 2n. Proto ( ) 2n n π(2n) π(n) p n p P n+ p 2n = p α p α p α π(2n) π(2n) (2n) π(2n). (.0) Předchozí odhady zkombinované s odhadem 2 n ( 2n n ) 2 2n dávájí dva důležité vztahy 2 n (2n) π(2n) (.) a n π(2n) π(n) 2 2n. (.2) Zlogaritmovaním (.) a po jednoduché úpravě odvodíme n π(2n) ln 2 (2n) = 2 2n ln 2 (2n) π(2n). V případě sudé proměnné bychom tak mohli vzít za konstantu a zlomek. Pro liché 2 hodnoty využijeme toho, že π(n) ln 2 n je rostoucí posloupnost. 2n + 3 n π(2n) ln 2 (2n) π(2n + ) ln 2 (2n + ) 3 2n + ln 2 (2n + ) π(2n + ). Dolní odhad na π(n) ve větě bude platit pro sudé i liché n zároveň, když položíme a = 3. Zlogaritmovaním (.2) odvodíme ( π(2n) π(n) ) ln2 n 2n = π(2n) ln 2 (2n) π(n) ln 2 n 2n + π(2n) 4n. (.3) Definujme pro i = 0,, 2,... čísla A i := π(2 i ) ln 2 (2 i ). Podle (.3) pro členy této posloupnosti platí A i+ A i 4 2 i pro každé i = 0,, 2,... Sečtením předchozích nerovností pro i = 0,..., k dostaneme k A k 4 2 i = 4(2 k ) 4 2 k. i=0 Uvažujme nyní libovolné n. Najdeme k N tak, aby 2 k < n 2 k. Opět využijeme, že π(n) ln 2 n je rostoucí posloupnost. Proto π(n) ln 2 n π(2 k ) ln 2 (2 k ) = A k 4 2 k = 8 2 k < 8n. Za konstantu b lze tedy položit b = 8.

13 Zatím jsme ukázali, že k-té prvočíslo p k je menší než e k+. Předchozí věta nám umožní daleko lépe vystihnout růst p k. Důsledek.0. Existují konstanty c a d takové, že pro k-té prvočíslo platí c k ln 2 k < p k < d k ln 2 k. Důkaz. Použijeme nerovnost z předchozí věty na k-té prvočíslo n = p k. Dostaneme a p k k ln 2 p k b p k. Když využijeme, že k < p k, dostaneme dolní odhad k ln 2 k b p k. Stačí tedy položit c = b. Na druhé straně platí p k a k ln 2 p k (.4) a po zlogaritmovaní ln 2 p k ln 2 k + ln 2 ln 2 p k ln 2 a. Od jistého k počínaje lze odhadnout ln 2 p k ln 2 k + 2 ln 2 ln 2 p k ln 2 k + ln 2 2 p k = ln 2 p k 2 ln 2 k Dosazením do (.4) získáme od jistého k p k 2a k ln 2 k..3 Mertensovy věty Čebyševovy výsledky byly podnětem pro Mertensovy asymptotické formule, které pocházejí z roku 874. Věta.. Existuje konstanta K taková, že pro každé n N platí ln n K p P,p n ln p p ln n + K. Důkaz. Označme r := π(n) a využijme rozkladu n! = p α p α p αr. Podle věty.3 je α i = n p i + n n p 2 i dostaneme p q i i ln n! =, kde q i je největší takové celé číslo, že p q i i r i= ( n p i + n p 2 i 2 r n. Zlogaritmovaním n ) ln p i. (.5) p q i i

14 Odhadněme ln n! shora: r ln n! n i= ( p i + p 2 i ) p q ln p i i i n r i= p i ln p i. S použitím ln p p = ln p p + ln p p(p ) ln p p + p p můžeme pokračovat v odhadu ln n! n p P,p n ln p p + n + k=2 k k. Protože je celkově Odhadujme (.5) zdola: ln n! r i= n p i ln p i + k=2 k k < + ln n! n n r i= p P,p n ln p i p i x x dx = 2, ln p p r i= + 2n. (.6) ln p i n r i= ln p i p i r ln n. Písmenem r bylo označeno π(n). Proto r b ln 2 n, kde b je konstanta z věty.9. Získali ln n jsme tak dolní odhad ln n! n p P,p n ln p p K zakončení důkazu potřebujeme ještě nerovnosti n b ln 2. (.7) n n n! > ( n e ) n. (.8) Jedna z těchto nerovností je zřejmá, druhou lze snadno odvodit matematickou indukcí, když si vzpomeneme, že Indukční krok má tvar ( n + e ) n+ = (n + ) ( + n ( + n) n < e. ) n ( n ) n ( n ) n > (n + ) > (n + )n! e e e Zkombinováním odhadu (.7) a zlogaritmované nerovnosti (.8) dostaneme n ln n ln n! n p P,p n ln p p n b ln 2, 3

15 což po zkrácení faktorem n je už část tvrzení dokazované věty. Podobně z (.6) a (.8) získáme nerovnost kterou opět lze zkrátit faktorem n. n(ln n ) ln n! n p P,p n ln p p + 2n, Věta.2. Existuje konstanta C taková, že pro každé n N platí ln ln n C p p P,p n ln ln n + C. Důkaz. Připomeňme nejdříve Abelovou sumační formuli. Jsou daná čísla a, a 2,..., a n b, b 2,..., b n. Pro i =, 2,..., n označme B i := a + a a i. Pak platí a n n a i b i = a n B n + (a i a i+ )B i i= Opět položíme r = π(n) a aplikujme sumační formuli na a i = ln p i.6 je p i 2 p i+. Pro B i proto z věty. platí i= a b i = ln p i p i. Podle věty ln p i+ ln 2 K ln p i K < B i := i k= ln p k p k ln p i + K. Můžeme tedy odhadnout shora r i= p i = r i= ln p i ln p i p i ln p r ( ln pr + K ) + r i= ( ln p i ln p i+ ) (ln p i + K) = Jelikož funkce x = K r ( ) + + ln pi+ ln p i. ln p ln p i= i+ je pro kladná x klesající, lze odhadnout ln p i+ ( ln pi+ ln p i ) = Ted dokončíme horní odhad ln pi+ ln p i ln p i+ dx ln pi+ ln p i x dx = ln ln p i+ ln ln p i. r i= Pro dolní odhad r i= p i = r i= K + + ln ln p r ln ln p K + ln ln 2 + ln ln n. p i ln p } ln 2 {{ } =:C ln p i ln p i p i ln p r ( ln pr K ln 2 ) + 4 r i= ( ln p i ln p i+ ) (ln p i+ K ln 2)

16 Monotonie funkce x = K r ln 2 + ( ) ln pi+ ln p i. ln p i i= poskytne s využitím integrálu dolní odhad na sčítance sumy ln p i ( ln pi+ ln p i ) ln pi+ ln p i x dx = ln ln p i+ ln ln p i. Celkově dostaneme r K ( K ) p i= i ln 2 + ln ln p r ln 2 ln 2 + ln ln ln n. } {{ } =:C 2 Pro poslední nerovnost jsme použili, že z Bertrandova postulátu plyne n p π(n) n 2, a pak jednoduchý vztah ln ln n 2 > ln ln n. Abychom dostali tvrzení věty stačí položit C = max{c, C 2 }. Poznámka.3. Větě. se říká první Mertensova věta. Věta.2 je slabší formou tzv. druhé Mertensovy věty. My jsme dokázali omezenost posloupnosti p P,p n p ln ln n. Jemnějšími metodami lze dokonce dokázat, že tato posloupnost má limitu β = Někdy se pod pojmem druhá Mertensova věta rozumí formule kde γ je Eulerova konstanta ( p) = e γ ln n + O(), p n Tato formule implikuje větu.2..4 Počty dělitelů γ = lim n + n k= k ln n. Počet všech dělitelů čísla n budeme značit τ(n), počet prvočíselných dělitelů čísla n budeme značit ω(n). Formálně τ(n) = d N, d n a ω(n) = p P, p n Určit hodnotu τ(n) a ω(n) je snadné, když známe rozklad n na prvočísla: n = p α p α p α k k = τ(n) = (α + )(α 2 + )... (α k + ) a ω(n) = k (.9) 5.

17 Vztah (.9) mimo jiné říká, že funkce τ(n) je multiplikativní a ω(n) aditivní, tj. τ(mn) = τ(m)τ(n) a ω(mn) = ω(m) + ω(n) pro nesoudělná m a n. Věnujme se nejdříve funkci τ(n). S rostoucím n se funkce τ(n) chová velice nepravidelně; zřejmě lim inf τ(n) = 2 a lim sup τ(n) = + Zajímavé je, že průměrnou hodnotu τ(n) můžeme popsat dobře. Věta.4. Pro průměrnou hodnotu počtu dělitelů prvních n přirozených čísle platí n n τ(k) = ln n + 2γ + ε n, k= kde γ je Eulerova konstanta a lim ε n = 0. Důkaz. Použijeme geometrickou interpretaci τ(k) = d k = uv=k. pomocí celočíselné mřížky v rovině. Počet bodů (u, v) N N, které leží na hyperbole xy = k, je právě τ(k). Tedy suma n k= τ(k) je rovna počtu mřížkových bodů (u, v) ležících v prvním kvadrantu pod hyperbolou nebo na hyperbole xy = n. Rozdělme tyto body do tří skupin:. u n a v n ; 2. u n, 3. v n, n < v a uv n ; n < u a uv n. Bodů v první skupině je n 2. Bodů ve druhé skupině je u n ( n u ) n = u n n u n 2 a ze symetrie je stejný počet i bodů ve třetí skupině. Proto je celkový počet bodů n τ(k) = 2 k= u n = 2n n u u n n 2 = 2 u n ( n u { n u}) u n + 2 n{ n} { n} 2 2 ( n { n} ) 2 = u n { n u} } {{ } zbytek 6

18 Zbytek je v absolutní hodnotě nanejvýš + 2 n. Pro průměrnou hodnotu počtu dělitelů tak platí n n τ(k) = 2 k= u n u zbytek. n Tvar průměru, který uvádí věta, dostaneme, když využijeme, že z definice Eulerovy konstanty γ plyne kde lim δ n = 0. 2 u n u = 2( ln n + γ + δ n ) = ln n + 2γ + 2δn, Věta.5. Pro průměrnou hodnotu počtu prvočíselných dělitelů prvních n přirozených čísel platí n kde (γ n ) je omezená posloupnost. n ω(k) = ln ln n + γ n, k= Důkaz. n n ω(k) = k= n = n k n, p k = n n p p n, p k p n = p n p n { n }. p p n Podle věty.9 je 0 n { n } p p n n p n K ukončení důkazu věty už stačí aplikovat na sumu p n b ln 2 n. p druhou Mertensovu větu. Kapitolu uzavřeme slavným výsledkem Hardyho a Ramanujana z roku 920. Ten říká, že většina čísel k z množiny, 2,..., n má ω(k) blízké hodnotě ln ln n. Důkaz, který předvedeme, pochází od P. Turána (934). Jeho důkaz se často uvádí jako demonstrace účinnosti pravděpodobnostních metod v kombinatorice. Abychom se vyhnuli odkazům na teorii pravděpodobnosti, vyslovíme nejdříve dvě technická lemmata. Čtenář obeznámený s pravděpodobností ve druhém z nich snadno rozpozná Čebyševovu nerovnost. Lemma.6. Existuje konstanta K taková, že pro každé n N platí n ( ) 2 ( ) 2 ω(k) n ln ln n + Kn ln ln n. k= 7

19 Důkaz. V celém důkazu budou proměnné p a q prvočísla, proměnné k a n jsou přirozenná čísla. n ( ) 2 ( ω(k) = )( ) = ( + ) = k n p k q k k n p k k= = pq n p q + k n pq k k n pq k p q ω(k) = pq n p q n pq + n (ln ln n + γ n ). Pro druhou rovnost bylo podstatné, že dvě různá prvočísla p a q dělí k, právě když součin pq dělí k. V poslední rovnosti jsme využili tvrzení věty.5, kde γ n je omezená posloupnost. K důkazu lemmatu ted postačí ukázat, že V := pq n p q n pq n ( ln ln n ) 2 + αn ln ln n + βn (.20) pro nějaké konstanty α a β. Odhadujeme V shora a využijeme větu.2: V = pq n p q n pq n pq n p q pq n p,q n Nerovnost (.20) je splněna pro α = 2C a β = C 2. ( pq = n p n ) 2 ( ) 2 n ln ln n + C. p Lemma.7. Necht S je konečná podmnožina N a f reálná funkce definovaná na S. Necht µ a t jsou reáná čísla, t > 0. Pak počet prvků k S takových, že f(k) µ t, nepřesáhne číslo ( ) 2 f(k) µ. t 2 k S Důkaz. Z nerovnosti f(k) µ t plyne nerovnost (f(k) µ)2. Proto t 2 #{k S t f(k) µ } = = (f(k) µ) 2 ( ) 2 f(k) µ. t 2 t 2 k S k S k S f(k) µ t f(k) µ t Věta.8 (Hardy, Ramanujan). Pro každé kladné δ je lim n # { k n (ln ln n) 2 +δ ω(k) ln ln n } n = 0. 8

20 Důkaz. Z lemmatu.7 aplikovaného na funkci f(k) = ω(k), množinu S = {, 2,..., n}, čísla µ = ln ln n a t = (ln ln n) 2 +δ získáme odhad # { k n (ln ln n) 2 +δ ω(k) ln ln n } n n(ln ln n) +2δ ( 2 ω(k) ln ln n). k n (.2) Stačí ukázat, že limita zlomku na pravé straně nerovnosti je nula. Upravme čitatele zlomku s použitím lemmatu.6 a věty.5. Dostaneme ( ) 2 ( ) 2 ω(k) ln ln n = ω(k) 2 ln ln n k n k n k n ω(k) + k n ( ln ln n ) 2 n (ln ln n) 2 + Kn ln ln n 2 ln ln n ( n ln ln n + nγ n ) + n (ln ln n) 2 = (K 2γ n )n ln ln n, kde K je konstanta a γ n je omezená posloupnost. Proto limita pravé strany nerovnosti (.2) je nula, jak jsme chtěli ukázat. 9

21 2 Trocha algebry V této kapitole připomeneme definice základních pojmů z teorie grup a těles, se kterými budeme pracovat. Bez důkazu uvedeme věty, které jsou náplní každého základního kurzu algebry. Dokazovat budeme věty méně obvyklé nebo ty, jejichž důkazy jsou z pohledu dalšího použití v našem textu ilustrativní. Pod pojmem binární operace na množině M rozumíme zobrazení kartézského součinu M M do M. Operace je asociativní, když x (y z) = (x y) z pro každé x, y, z M; komutativní, když x y = y x pro každé x, y, z M. 2. Grupy, okruhy, tělesa - základní pojmy Definice 2.. Množinu G spolu s asociativní binární operací na G nazveme grupou, pokud: v G existuje neutrální prvek e, tj. takový, že x e = x pro každé x G, ke každému x G existuje inverzní prvek y G, tj. takový, že x y = e. Je-li navíc operace komutativní, nazýváme G komutativní nebo Abelovou grupou. Někdy se pro operaci používá symbol +, v tom případě se neutrální prvek značí 0 a inverznímu prvku k prvku x se říká opačný a značí se x. Takovému zápisu grupy se říká aditivní. Jindy operaci značíme symbolem, pak se pro neutrální prvek používá a inverzní prvek k prvku x se značí x. Takovému zápisu grupy se říká multiplikativní a znak pro operaci se vynechává, jak je to zvykem u běžného násobení. Příklad 2.2. Množina {0,,..., n } s operací + mod p je grupa pro každé n N. Tato grupa je komutativní a značí se Z n. Vybavíme-li množinu {,..., n } operací mod p, získáme grupa, právě když n P. Definice 2.3. Grupa G s operací je izomorfní s grupou G 2 s operací 2, pokud existuje bijekce π : G G 2 taková, že π(x y) = π(x) 2 π(y) pro každé x, y G. 20

22 Zobrazení π se nazývá izomorfizmem grup G a G 2. Příklad 2.4. G = {0,, 2, 3} s operací + mod 4 je izomorfní grupě G 2 = {, 2, 3, 4} s operací mod 5. Snadno se ověří, že π : G G 2 dané předpisem π(0) =, π() = 2, π(2) = 4, π(3) = 3 vyhovuje předchozí definici. Definice 2.5. Množinu R se dvěma asociativními binárními operacemi + a nazýváme okruhem, pokud R s operací + je komutativní grupa s neutrálním prvkem 0 a operace + a jsou svázány distributivním zákonem, tj. (x + y) z = x z + y z a z (x + y) = z x + z y pro všechna x, y, z R. Okruh R se nazývá obor integrity, pokud operace je komutativní, x y = 0 implikuje x = 0 nebo y = 0, pro každé x, y R, v R \ {0} existuje neutrální prvek vzhledem k operaci ; tento prvek značíme. Nejtypičtějším příkladem oboru integrity jsou celá čísla Z. Pojmy jako dělitelnost a prvočísla, známé z oboru celých čísel, lze zobecnit na libovolný obor integrity, jak připomeneme v sekci 2.2. Definice 2.6. Okruh R s operacemi + a, pro který je R \ {0} s operací grupa, se nazývá těleso. Je-li operace komutativní, nazýváme R komutativním tělesem. Příklad 2.7. Množina {0,, 2..., p } s operacemi + mod p a mod p je komutativním tělesem pro každé prvočíslo p. Vžilo se, že toto těleso se značí Z p, tedy stejně jako jeho aditivní grupa. Tato nejednoznačnost pojmů však nepůsobí žádné problémy. 2.2 Dělitelnost v oborech integrity Definice 2.8. V oboru integrity R řekneme, že y dělí x, jestliže existuje z R takové, že x = yz. Tento vztah značíme y x. Prvky x, y R jsou asociované v R, jestliže x y i y x, zapisujeme x y. O prvku u R řekneme, že je jednotka v R, jestliže u. Množinu jednotek oboru integrity R značíme U(R). Obvykle se v definici oboru integrity nepožaduje existence neutrálního prvku vzhledem k operaci. Těmto obecnějším oborům integrity se zde však nevěnujeme. 2

23 Protože každá jednotka u dělí jednotkový prvek, tj. = uv pro nějaké v R, je u v R invertovatelné a prvek v můžeme značit v = u. Snadno lze ukázat, že U(R) je multiplikativní grupa. Je také vidět, že dva prvky x, y R jsou asociované, pokud existuje jednotka u U(R) tak, že x = uy. Je zřejmé, že relace je ekvivalence a bylo by tedy možné obor R faktorizovat na třídy této ekvivalence a pracovat pouze s reprezentanty jednotlivých tříd. To je vhodné například pro okruhy polynomů, jak uvidíme dále. Definice 2.9. Nenulový prvek x R \U(R) se nazývá ireducibilní v R, jestliže pro každé y, z R platí, že x = yz implikuje y U(R) nebo z U(R). Nenulový prvek x R\U(R) se nazývá prvočíslo v R, jestliže pro každé y, z R platí, že x yz implikuje x y nebo x z. Zřejmě platí, že každý prvek asociovaný s ireducibilním prvkem je ireducibilní a každý prvek asociovaný s prvočíslem je prvočíslo v R. Příklad 2.0. V oboru integrity Z je grupa jednotek dvouprvková, U(Z) = {±}. Asociované jsou tedy vždy jen prvky x a x. Ireducibilními v Z jsou právě všechna prvočísla. V obecném oboru integrity lze dokázat, že každé prvočíslo v R je ireducibilní v R. Implikaci ovšem nelze obecně obrátit, jak uvidíme na příkladech dále v textu. Věta 2.. Všechna prvočísla v R jsou ireducibilní v R. Důkaz. Nechť x je prvočíslo v R. Předpokládejme, že x = yz pro nějaké y, z R. Pak ale x yz a z prvočíselnosti plyne x y nebo x z. Jestliže x y, pak z x = yz máme y x, a proto x y. Snadno nahlédneme, že pak z, a tedy z U(R). Lze vyslovit různé postačující podmínky pro to, aby implikace v předchozí větě šla obrátit. Jednou z nich je vlastnost jednoznačné faktorizace. Definice 2.2. Obor integrity R nazveme Gaussův, jestliže pro každý nenulový prvek x R \ U(R) existují ireducibilní prvky y,..., y r R tak, že x = y y r, a navíc platí, že je-li x = z z s, pak r = s a y i z π(i) pro nějakou permutaci π množiny {, 2,..., r}. Gaussovy obory integrity se někdy nazývají obory jednoznačné faktorizace. Jednoznačná faktorizace zaručuje existenci největšího společného dělitele libovolného páru nenulových prvků v oboru R, který je jednoznačný až na ekvivalenci. Jednoznačná faktorizace platí například v okruzích hlavních ideálů. 22

24 Definice 2.3. Množina I R je ideál v oboru integrity R, pokud x + y I pro všechna x, y I a navíc x y I, pro každé x I, y R. Ideál generovaný jedním prvkem, tj. tvaru I = xr, kde x R, se nazývá hlavní a značí se (x). Jestliže všechny ideály v R jsou hlavní, pak o R řekneme, že to je okruh hlavních ideálů. Věta 2.4. Nechť R je obor integrity. Je-li R okruh hlavních ideálů, pak je R Gaussův obor. Opačná implikace opět obecně neplatí, i když ve speciálním případě číselných oborů, kterými se budeme zabývat v tomto textu, jsou oba pojmy ekvivalentní. Ještě speciálnějším typem oborů integrity jsou obory Eukleidovy. V těch platí pravidla dělitelnosti velmi obdobná těm, které známe z oboru celých čísel Z. Definice 2.5. Obor integrity R se nazývá Eukleidův, jestliže existuje funkce φ : R \ {0} N s následujícími vlastnostmi: (i) pro každé nenulové x, y R platí, že x y implikuje φ(x) φ(y); (ii) pro každé nenulové x, y R existuje z, w R takové, že x = yz + w, přičemž buď w = 0 nebo φ(w) < φ(y). Věta 2.6. Nechť R je obor integrity. Je-li R Eukleidův, pak je okruhem hlavních ideálů. Speciálně je i Gaussův, a každý ireducibilní prvek v R je prvočíslem v R. V oboru celých čísel jsou dobře známy dva postupy hledání největšího společného dělitele čísel a, b Z, který existuje, protože Z je Gaussův obor. Jeden z postupů využívá rozkladu a i b na prvočísla. Hledání rozkladů je časově náročné a pro mnohamístná a, b v podstatě nemožné. Druhý, mnohem rychlejší algoritmus využívá vlastnosti nsd(a, b) = nsd(a b, b), a tím převádí úlohu na čísla s menší absolutní hodnotou. V Z totiž absolutní hodnota hraje roli funkce φ z definice Eukleidova oboru. Práce v Eukleidových oborech je tedy příjemnější. 2.3 Okruhy polynomů Necht R je okruh. Výraz f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0, a i R, se nazývá (formální) polynom nad R. Když n je nejvyšší takový index, že a n 0, pak řekneme, že f je polynom stupně n, značíme stf = n. Když a i = 0 pro všechna i, pak 23

25 f je nulový polynom, a pro něj stupeň nedefinujeme. Koeficient a n polynomu stupně n nazýváme vedoucí koeficient f. Je-li a n =, nazveme f monický polynom. Na množině polynomů zavádíme operaci sčítání po složkách, tj. je-li f(x) = a n x n + + a 0, g(x) = b m x m + + b 0, a bez újmy na obecnosti m n, pak položíme b m+ = b m+2 = = b n = 0 a (f ± g)(x) = (a n ± b n )x n + (a ± b )x + a 0 ± b 0. Součin polynomů f, g je polynom (fg)(x) = m+n k=0 c k x k, kde c k = a 0 b k + a b k + + a k b 0 = i+j=k a i b j. Množina polynomů nad okruhem R s těmito operacemi tvoří okruh, který značíme R[x]. Můžeme postupovat indukcí a definovat i polynomy více proměnných, které budou tvořit okruh R[x,..., x m ] = (R[x,..., x m ])[x m ], jehož prvky lze zapsat ve tvaru f(x, x 2,..., x m ) = k,k 2,...,k m a k k 2...k m x k x k 2 2 x k m m, kde a k k 2...k m R. Všechny pojmy zavedené v sekci 2.2 lze zkoumat i pro tuto množinu, protože platí následující věta. Věta 2.7. Je-li R obor integrity, pak i okruh polynomů R[x,..., x m ], kde m N, je obor integrity. Až do konce sekce 2.3 se zaměříme na okruhy T [x], kde T je komutativní těleso. Pro ně totiž platí následující věta. Věta 2.8. Je-li T komutativní těleso, pak okruh polynomů T [x] je Eukleidův obor. Roli funkce φ : T [x] N hraje stupeň polynomu, φ(f) = stf, pro f T [x]. Pro okruh T [x] tedy můžeme tedy vyslovit větu o dělení se zbytkem. Věta 2.9 (o dělení polynomů). Necht f, g T [x], a necht g je nenulový polynom. Pak existují jednoznačně určené polynomy q, r T [x] tak, že f = qg + r, přičemž r je bud nulový polynom nebo str < stg. Úlohu jednotek v okruhu T [x] hrají konstantní polynomy a T \ {0}, polynomy f a g jsou asociované f g, jestliže f = ag. Někdy je vhodné pracovat pouze s třídami 24

26 ekvivalence a z každé z nich vybrat jako reprezentanta jediný monický polynom, který se v třídě nachází. Protože T [x] je Eukleidův obor, splývají pojmy ireducibilního prvku a prvočísla, a to jsou v T [x] právě polynomy ireducibilní nad T. Definice Polynom h T [x] kladného stupně se nazývá ireducibilní nad T, jestliže jej nelze rozložit na součin h = fg, kde f, g T [x] a platí stf < sth, stg < sth. V obecném Gaussově okruhu je rozklad na ireducibilní prvky jednoznačný až na pořadí a násobení jednotkou. Ve Větě o jednoznačné faktorizaci na ireducibilní polynomy můžeme přidat podmínku, že hledané ireducibilní polynomy jsou monické. Věta 2.2. Necht f je monický polynom kladného stupně nad tělesem T. Pak existují monické polynomy g,..., g k T [x] ireducibilní nad T tak, že f = g g 2 g k. Polynomy g,..., g k jsou určeny jednoznačně až na pořadí. Připomeňme formální definici největšího společného dělitele dvou polynomů. Abychom vyloučili nejednoznačnost z důvodu násobení konstantou, požadujeme od nsd(f, g) monickost. Definice Necht f, g jsou nenulové polynomy nad tělesem T. Monický polynom h T [x] nazveme největší společný dělitel polynomů f, g, jestliže h f a h g, každý polynom h T [x] takový, že h f a h g, dělí h. Takový polynom značíme h = nsd(f, g). Snadno ověříme, že nsd(f, g) = nsd(f qg, g) pro každý polynom q T [x]. Jako důsledek máme následující tvrzení, které nám bude několikrát užitečné. Věta Necht f, g jsou nenulové polynomy nad tělesem T. Pak existují polynomy u, v T [x] tak, že uf + vg = nsd(f, g). Důkaz. Větu dokážeme indukcí na součet stupňů polynomů f a g. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že oba polynomy jsou monické. Pokud stf + stg = 0, znamená to, že f(x) = g(x) =. Potom nsd(f, g) = a lze volit u(x) = a v(x) = 0. Nechť nyní stf + stg > 0 a bez újmy na obecnosti stf stg. Pak buď g f, a tedy nsd(f, g) = g a volíme u(x) = 0 a v(x) =. Nebo g f, a proto existují polynomy q a r takové, že f = qg + r, přičemž str < stg. Protože str + stg < stf + stg, z indukčního 25

27 předpokladu existují polynomy ũ, ṽ tak, že ũr + ṽg = nsd(r, g). Protože platí nsd(f, g) = nsd(f qg, g) = nsd(r, g), a proto nsd(f, g) = nsd(r, g) = ũr + ṽg = ũ(f qg) + ṽg = ũf + (ṽ ũq)g. Za polynomy u, v lze tedy volit u = ũ a v = ṽ ũq. 2.4 Konstrukce těles a tělesové automorfismy Definice Necht T s operacemi + a je těleso a K T. Pokud K s operacemi + a zúženými na K je také těleso, pak K nazýváme podtělesem tělesa T. Na těleso T pak lze nahlížet jako na vektorový prostor nad tělesem K. Dimenzi tohoto vektorového prostoru značíme [T : K]. Příklad Reálná čísla R jsou podtělesem komplexních čísel C; čísla a i tvoří bázi C nad R. Proto je [C : R] = 2. Rovněž je Q podtělesem R. V tomto případě je [R : Q] = +. Věta Necht K je podtěleso tělesa L s [L : K] < + a necht L je podtěleso tělesa M s [M : L] < +. Pak [M : K] = [M : L][L : K]. Důkaz. Označme [L : K] = n a [M : L] = m. Necht e, e 2,..., e n L je báze L nad K a necht f, f 2,..., f m M je báze M nad L. Snadno lze ověřit, že soubor vektorů e i f j M pro i =, 2,..., n a j =, 2,..., m tvoří bázi vektorového prostoru M nad K. Tělesa, se kterými běžně pracují všechny oblasti matematiky, jsou nekonečná tělesa Q, R, C a konečná tělesa Z p, pro provočíslo p. Připomeneme si postup, jak konstruovat i další tělesa. Věta Necht T je komutativní těleso a f T [x] je ireducibilní polynom stupně n. Definujme M := {g T [x] stg < n} a operace a na M takto: součet g g 2 je definovaný stejně jako v okruhu polynomů T [x], součin definujeme g g 2 := zbytek po dělení polynomu g g 2 polynomem p. Pak množina M s operacemi a je těleso. Budeme jej značit T [x] /f. 26

28 Důkaz. Kvůli vlastnostem okruhu T [x] je důkaz této věty jednoduchý. Uzavřenost na operace a je zřejmá, zrovna tak jako platnost distributivního zákona a existence opačného prvku k prvku g vzhledem k. Pro existenci inverzního prvku k nenulovému prvku g M vzhledem k využijeme Větu 2.23, podle které najdeme polynomy u a v tak, že ug + vf = nsd(g, p). Protože při konstrukci požadujeme iraducibilitu polynomu f, je nsd(g, f) =, a proto je zbytek po dělení součinu polynomů ug roven. Z konstrukce T [x] /f je jasné, že T je podtěleso nového tělesa T [x] /f. Proto má smyslu otázka na dimenzi vektorového prostoru T [x] /f nad T. Jelikož polynomy, x, x 2,..., x n jsou lineárně nezávislé nad T a lze z nich pomocí koeficientů z T nakombinovat libovolný prvek v M, dostaneme následující tvrzení. Důsledek Necht T je komutativní těleso a f T [x] je ireducibilní polynom stupně n. Pak [ T [x]/f : T ] = n. Příklad Když uvažujeme ve větě 2.27 těleso R a nad ním ireducibilní polynom f(x) = x 2 +, dostaneme těleso R[x] /f, jehož prvky jsou polynomy stupně nanejvýš, tj. tvaru a + xb, kde a, b R. Když místo písmenka x použijeme pro proměnnou písmenko i dostaneme obvyklý zápis tělesa komplexních čísel C. Předchozí příklad demonstruje, že tělesa C a R[x] /f jsou stejná, jenom jejich prvky různě zapisujeme. Formalizujme tento vágní pojem stejnosti. Definice Bijektivní zobrazení ψ : T T 2 tělesa T s operacemi + a na těleso T 2 s operacemi + 2 a 2 se nazývá izomorfizmus, pokud ψ(x + y) = ψ(x) + 2 ψ(y) a ψ(x y) = ψ(x) 2 ψ(y) pro každé x, y T. Pokud jsou si tělesa T a T 2 rovny, nazýváme ψ automorfizmem tělesa T = T = T 2. Množina automorfizmů tělesa spolu s operací skládání zobrazení tvoří grupu, tu budeme značit Aut T. Poznámka 2.3. Když zvolíme v okruhu Z p [x] dva ireducibilní polynomy f a g stejného stupně n, pak lze dokázat, že tělesa Z p [x] /f a Z p [x] /g jsou izomorfní. Proto prvočíslo p a stupeň polynomu n určují těleso až na izomorfizmus jednoznačně. Takové těleso má p n prvků a zapisuje se GF (p n ), bez udání konkrétního polynomu. To však není obecným pravidlem. Jak uvidíme v kapitole o algebraických tělesech, pro tělesa Q[x] /f bude tvar polynomu f důležitý. 27

29 Věta 2.27 nám dala návod, jak zkonstruovat k tělesu T nějaké jeho nadtěleso. Následující jednoduchý fakt nám dá návod, jak hledat podtělesa tělesa T. Lemma Necht pro všechny parametry α indexové množiny I je T (a) podtělesem tělesa T. Pak T (a) je podtělesem tělesa T. a I Poznámka Průnik všech podtěles tělesa T je minimálním podtělesem tělesa T a nazývá se prvotěleso tělesa T. Protože prvotěleso musí obsahovat 0 a a také musí být uzavřené na operace + a, rozhoduje o tvaru prvotělesa fakt, zda součtem konečně mnoha jedniček v T lze dostat výsledek 0. Když tomu tak není, řekneme, že charakteristika tělesa T je 0 a jeho prvotělesem je Q, v opačném případě nazveme charakteristikou tělesa T číslo p, kde p je minimální počet jedniček jejichž součet je roven nule. Prvotělesem tělesa T je pak těleso Z p. Příklad Uvažujme L podtěleso tělesa C. Vezměme komplexní α, které je kořenem polynomu f(x) = x 2 + ax + b pro a, b L. Zkoumejme minimální těleso, které obsahuje L i číslo α, L(α) := {S S je podtěleso C, L S, α S}. Je-li samotné α L, pak L(α) = L. V opačném případě je polynom f ireducibilní nad L a L(α) je izomorfní tělesu L[x] /f. Podle Důsledku 2.28 je [L(α) : L] = 2. Jak jsme už konstatovali, množina automorfizmů Aut T tělesa T tvoří grupu. Běžně používaným automorfizmem (aniž mu tak říkáme) je komplexní združení ψ(a + ib) = a + ib = a ib v tělese C. Žádný běžně používaný automorfizmum tělesa R se nám nevybaví. Důvod je jednoduchý, jak ukážeme za chvilku: grupa Aut R obsahuje pouze indentitu. Lemma Necht T, T 2 jsou tělesa s prvotělesem K. Nechť ψ : T T 2 je izomorfizmus. Pak ψ(x) = x pro každé x K. Důkaz. Připomeňme, že prvotělesem K může být buď těleso Z p nebo Q. Nejdříve ukážeme, že z vlastností ψ(x + y) = ψ(x) + ψ(y) plyne ψ(0) = 0 a ψ( x) = ψ(x). Máme totiž ψ(0) = ψ(0 + 0) = ψ(0) + ψ(0) = ψ(0) = 0, 0 = ψ(0) = ψ(x + ( x)) = ψ(x) + ψ( x) = ψ( x) = ψ(x). (2.) 28

30 Uvažujme prvek x 0 T, pro který ψ(x 0 ) 0. Pro k N máme ψ(k)ψ(x 0 ) = ψ(kx 0 ) = ψ(x 0 ) + + ψ(x 0 ) = kψ(x 0 ) = ψ(k) = k. (2.2) Je-li prvotělesem Z p, je důkaz hotov. Předpokládejme proto, že K = Q. Ze vztahů (2.) a (2.2) plyne ψ(k) = k pro každé k Z. Pro p Z a q N dostaneme p = ψ(p) = ψ ( q p q ) = ψ(q)ψ ( p q ) = qψ ( p q ) = ψ ( ) p q = p. q Věta Jediným automorfizmem tělesa R je identita. Důkaz. Využijeme následujících tří vlastností tělesa R:. prvky R jsou uspořádané podle velikosti, 2. s každým kladným prvkem leží v R i jeho odmocnina, 3. mezi libovolnými dvěma prvky z R leží racionální číslo. Nejdřív ukážeme, že automorfizmus zachovává uspořádání. Uvažujme a, b R, b > a. Najděme c R tak, že b a = c 2. Z definice automorfizmu plyne ψ(b) ψ(a) = ψ(b a) = ψ(c 2 ) = (ψ(c)) 2 > 0 = ψ(b) > ψ(a). Ted použijeme tvrzení Lemmatu Kdyby pro a R platilo a ψ(a), muselo by podle vlastnosti 3. existovat y Q takové, že a < y < ψ(a) nebo ψ(a) < y < a. Je-li například a < y, pak protože ψ zachovává uspořádání, máme ψ(a) < ψ(y) = y < ψ(a), a to je spor. Případ y < a vyloučíme stejně. Poznámka V důkazu předchozí věty jsme využili jenom tří vyjmenovaných vlastností R (nepotřebovali jsme např. úplnost R). Proto jediným automorfizmem každého tělesa, které má zmíněné vlastnosti, je identita. 29

31 3 Něco o polynomech 3. Polynomy nad C a nad R Kořenem polynomu f T [x] rozumíme prvek α (obecně z nějakého nadtělesa U tělesa T ) takový, že f(α) = 0. Je-li α kořenem f, pak f je dělitelný polynomem (x α). Pro polynomy s koeficienty v tělese komplexních čísel platí základní věta algebry, která říká, že každý polynom kladného stupně má v C alespoň jeden kořen. Odtud už lze snadno odvodit, že každý polynom f C[x] stupně stf = n má právě n kořenů v C a lze tedy zapsat ve tvaru n f(x) = c (x α i ), kde c C. i= Není těžké ukázat, že α j musí být navzájem různé, pokud je polynom f ireducibilní nad Q. Lemma 3.. Necht f Q[x] je monický polynom ireducibilní nad Q. Pak f má n různých kořenů v C. Důkaz. Označme h největší společný dělitel f a f. Protože f je ireducibilní nad Q, je h = f nebo h =, ale h f, a proto h =. Protože h = nsd(f, f ), existují polynomy u, v tak, že h = uf + vf. Jestliže β je alespoň dvojnásobný kořen polynomu f, pak f(β) = f (β) = 0, a proto taky h(β) = 0, což je spor s h =. 3.2 Polynomy nad Q a nad Z Podívejme se nyní blíž na polynomy s koeficienty v tělese Q a okruhu Z. Pro takové polynomy lze vyslovit několik zajímavých tvrzení ohledně jejich dělitelnosti. Lemma 3.2 (Gaussovo lemma). Necht f, g Z[x] a každý koeficient součinu h = fg je dělitelný prvočíslem p. Pak p dělí bud všechny koeficienty polynomu f nebo všechny koeficienty polynomu g. 30

32 Důkaz. Necht f(x) = n a i x i, g(x) = i=0 m b j x j, a i, b j Z. (3.) j=0 Potom h(x) = m+n k=0 c k x k, kde c k = i+j=k a i b j. (3.2) Pro spor předpokládejme, že existuje prvočíslo p, které dělí všechny koeficienty polynomu h = fg, a přitom p nedělí ani všechny koeficienty a i, ani všechny koeficienty b j. Označme i 0, j 0 nejmenší indexy takové, že p a i0 a p b j0. Koeficient polynomu h u mocniny x i 0+j 0 je roven c i0 +j 0 = a i b j = a i0 b j0 + ai b j, i+j=i 0 +j 0 kde ve druhé sumě sčítaḿe přes indexy i, j takové, že i + j = i 0 + j 0 a přitom i < i 0 nebo j < j 0. V této sumě je každý sčítanec dělitelný p, takže celkově koeficient c i0 +j 0 p není, což je spor. dělitelný Poznámka 3.3. Tvrzení lemmatu je někdy ekvivalentně formulováno pomocí pojmu primitivního polynomu. Polynom f Z[x] se nazývá primitivní, jestliže největší společný dělitel jeho koeficientů je roven. Gaussovo lemma pak říká, že součin dvou primitivních polynomů je opět primitivní polynom. Ukážeme, že monický polynom v Q[x], který dělí nějaký monický polynom v Z[x], má sám celočíselné koeficienty. Lemma 3.4 (o faktorizaci celočíselných polynomů). Necht f Q[x], h Z[x] jsou monické polynomy. Jestliže f h, pak f Z[x]. Důkaz. Jestliže f h, pak h = fg pro nějaký polynom g Q[x]. Protože f a h jsou monické, je i polynom g monický. Polynomy f, g lze vynásobit celými čísly r, s Z tak, aby rf a sg byly primitivní polynomy v Z[x]. Podle Gaussova lemmatu je součin primitivních polynomů zase primitivní, ale přitom všechny koeficienty polynomu rsh = rsf g jsou dělitelné číslem rs. Proto nutně rs = a r = ±, s = ±. Odtud už ale zřejmě plyne f Z[x]. Důsledkem Věty 3.4 je zajímavé kritérium ireducibility polynomů. Věta 3.5 (Eisensteinovo kriterium ireducibility). Necht p Z je prvočíslo a necht h(x) = x n + n j=0 c jx j Z[x]. Necht dále platí: 3

33 p c j pro všechna j {0,, 2,..., n }, p 2 c 0. Pak h je ireducibilní nad Q. Důkaz. Myšlenka důkazu je podobná jako u Gaussova lemmatu. Předpokládejme pro spor, že polynom h je reducibilní nad Q, tedy že existují polynomy f, g stupně menšího než n tak, že h = fg. Z Věty 3.4 plyne, že lze tyto polynomy zvolit monické, s celočíselnými koeficienty, tedy ve tvaru (3.), kde a n = b m = a proto p a n a p b m. Označme i 0, j 0 nejmenší indexy takové, že p a i0 a p b j0. Ukážeme, že i 0 = n a j 0 = m. V opačném případěby totiž bylo i 0 + j 0 < m + n. Polynom h = fg je pak tvaru (3.2). V sumě c i0 +j 0 = a i b j = a i0 b j0 + ai b j, i+j=i 0 +j 0 kde ve druhé sumě sčítaḿe přes indexy i, j takové, že i + j = i 0 + j 0 a přitom i < i 0 nebo j < j 0. V této sumě je každý sčítanec dělitelný p. Protože a i0 b j0 koeficient c i0 +j 0 a j 0 = n. není dělitelné p, i není dělitelný p. Z předpokladu věty plyne i 0 + j 0 = m + n a proto i 0 = n Proto jsou oba koeficienty a 0 i b 0 dělitelné p a jejich součin c 0 = a 0 b 0 je dělitelný p 2. To je ovšem spor. Příklad 3.6. Necht p je prvočíslo. Pomocí Eisensteinova kritéria ukážeme ireducibilitu polynomu p f(x) = + x + x x p = x j = xp x, Abychom kritérium mohli vhodně použít, zaved me polynom f(x) = f(x + ). Pak ( p f(x) = (x + )p = ( ) ) p x j = p ( ) p x j = x x j x j j=0 = j=0 p j= j= ( ) p x j = j p j= ( ) p x j. j + Protože koeficient u nejvyšší mocniny x p je roven ( p p) =, je polynom f monický. Ostatní koeficienty polynomu f jsou tvaru ( p i), kde 0 < i < p, jsou proto dělitelné prvočíslem p. Koeficient u x 0 je roven ( p ) = p, tj. není dělitelný p 2. Polynom f tedy splňuje předpoklady Eisensteinova kritéria, a proto není reducibilní nad Q. Odtud plyne, že ani f není reducibilní nad Q. V opačném případě je f(x) = g(x)h(x) a f(x) = g(x + )h(x + ) je pak faktorizace f. 32

34 3.3 Cyklotomické polynomy Číslo ζ C takové, že ζ n =, se nazývá n-tý kořen z jedničky. Tyto kořeny mají tvar e 2πik n, pro k = 0,,..., n. Tvoří multiplikativní cyklickou grupu W n, jejíž generátory jsou primitivní n-té kořeny z jedničky, tj. ty, jejichž řád v grupě W n je roven n. Je-li ζ primitivní n-tý kořen z jedničky, pak ζ k je primitivní n-tý kořen z jedničky, právě když k je nesoudělné s n. Proto je primitivních n-tých kořenů z jedničky právě ϕ(n), kde ϕ je Eulerova funkce. Definice 3.7. Necht ζ je nějaký primitivní n-tý kořen z jedničky. Polynom Φ n (x) = k n, k n nazýváme n-tý cyklotomický polynom nad Q. (x ζ k ) Poznámka 3.8. Stupeň n-tého cyklotomického polynomu je ϕ(n). Polynom Φ n (x) je vlastně součinem Φ n (x) = (x λ) přes všechny kořeny z jedničky řádu n. Odtud snadno plyne následující rozklad polynomu x n. Věta 3.9. Necht n N. Pak platí x n = d n Φ d (x). Protože stupeň n-tého cyklotomického polynomu je roven ϕ(n), odvodili jsme následující vztah pro Eulerovu funkci. Věta 3.0. Necht n N. Potom n = d n ϕ(d). Příklad 3.. Rozložme na součin ireducibilních faktorů polynom x 6. Z Věty 3.9 máme x 6 = Φ (x)φ 2 (x)φ 3 (x)φ 6 (x). Jednotlivé cyklotomické polynomy v součinu určíme přímo z definice, když si uvědomíme, že mezi ζ k, k = 0,,..., 6, ζ = e 2πi 6, má ζ 0 = řád v grupě W 6, ζ 3 = řád 2, řád 3 mají ζ 2 = e 2πi 3 a ζ 4 = e 4πi 3 primitivní prvky grupy W 6 (řádu 6 ve W 6 ) jsou ζ = e πi 3 a 33

35 ζ 5 = e 5πi 3. Je proto Φ (x) = x Φ 2 (x) = x + ( ) ( Φ 3 (x) = x e 2πi 3 ( ) ( Φ 6 (x) = x e πi 3 x e 4πi 3 x e 5πi 3 ) = x 2 2x cos 2π 3 + = x2 + x + ) = x 2 2x cos π 3 + = x2 x + Věta 3.2. Φ n (x) má celočíselné koeficienty a koeficient absolutního členu je ±. Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí ne n. Víme, že Φ (x) = x splňuje žádanou vlastnost. Předpokládejme pro n >, že pro všechny d < n tvrzení platí. Máme x n = d n Φ d (x) = Φ n (x) d n,d<n Φ d (x) Můžeme psát Φ n (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a l x l pro nějaké l N. Podobně označme d n,d<n Φ d(x) = b 0 + b x + b 2 x b j x j. Tento polynom s použitím indukčního předpokladu splňuje b i Z, b 0 = ±. Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x v rovnosti získáme postupně atd. x n = (a 0 + a x + a 2 x 2 + a l x l )(b 0 + b x + b 2 x b j x j ) x 0 : = a 0 b 0 a 0 = b 0 = ±, x : 0 = a 0 b + a b 0 a = b 0 a 0 b Z, x 2 : 0 = a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 a 2 = b 0 (a 0 b 2 + a b ) Z, Příklad 3.3. Nechť n = p je prvočíslo. Z Věty 3.9 platí x p = Φ p (x)φ (x) a proto je p-tý cyklotomický polynom Φ p (x) roven Φ p (x) = xp x = + x + x2 + + x p. Z Příkladu 3.6 víme, že tento polynom je ireducibilní nad Q. Pro n = p k, kde p je prvočíslo a k N, opět použijeme Větu 3.9, Odtud dostaneme x pk = k Φ p j(x) = Φ p k(x) (x pk ). j= Φ p k(x) = xpk x pk = + xpk + x 2pk + + x (p )pk. 34