Dynamika hmotného bodu - rekapitulace.

Transkript

1 Dnmik hmoného bodu - ekpiulce. Dnmik II,. přednášk Kinemik bodu, ákldní eličin h, lášní přípd pohbu. Křiočý pohb bodu, chlo chlení jko eko, ouřdné ém. Pohb bodu po kužnici. Dnmik hmoného bodu, pohboá onice, d Alembeůpincip. Dlší dnmické eličin, ákon o choání / měně.

2 Dnmik II,. přednášk Předmě Dnmik je oučáí ěšího předměu Mechnik. I moný předmě Mechnik můžeme cháp šiším ámci děli jej n mechniku nějších il nebo éž mechniku uhých ěle (ik dnmik) mechniku niřních il neboli mechniku poddjných (pužno peno). mechnik ik dnmik Sik e býá půobením il n ěle, keá jou klidu. Dnmik e býá půobením il n pohbující e ěle šeřoáním pohbu ěle áiloi n půobících ilách.

3 Dnmik II,. přednášk Zákld mechnik položil Ic Newon (64-77) e ém díle Philoophie Nuli Pincipi Mhemic (687). Le je hnou do čř. Newonoých ákonů.. Newonů ákon - ákon ečnoi. Těleo ůáá klidu nebo pohbu onoměném přímočém, jeliže není přinuceno nějšími ilmi eno ůj měni.. Newonů ákon - ákon íl. Půobí-li n ěleo nější íl, je měn chloi ěle přímo úměná éo půobící íle, přičemž konnou úměnoi je hmono ěle. Teno ákon obkle jdřujeme e fomě onice : ed m F hmono chlení íl 3. Newonů ákon - ákon kce ekce. Dě ěle, keá jou e ájemném konku, n ebe půobí ilmi ejně elkými, opčně oienonými.

4 Newonů giční ákon. Dnmik II,. přednášk Dě ěle e nájem přihují ilou, přímo úměnou hmonoi obou ěle nepřímo úměnou čeci dálenoi mei oběm ěle. V memické podobě pk : G κ 6,67 - kg- m3 - -giční m m κ m m konn, - hmono jednoho ěle, - hmono duhého ěle, - dáleno mei ěle. G G m m N pochu Země pk je : m 5,98 4 kg - hmono Země, km - polomě Země. Přižliá (íhoá) íl pk je : kde g je giční chlení : G m g m g κ, 9 8m

5 Dnmik II,. přednášk V dnmice e budeme bý pohbem ří ákldních pů objeků. Bod - je objek, jenž nemá žádné omě (le má jiou hmono). Je řejmé, že eno pojem je pojmem bkním. Žádné eálně ěleo nemůže bý kuečně bodem. Přeo je o bkce užiečná mnoho přípdů pohbu eálného ěle le e nedbelnou chbou eduko n pohb hmoného bodu. Těleo - je objek nenedbelných oměů, nedefomoelný. V mechnice ádíme předpokld boluně uhého ěle. To nmená, že defomce ěle liem půobících il je nedbelná. Dnmik poddjných ěle (jejichž defomce není nedbelná) přehuje oh ohoo učebního eu. Sou ěle - je objek, ložený několik ěle, jejichž ájemná poloh e může měni. Souu ěle nýáme mechnimem.

6 Zbýá-li e dnmik hem mei pohbem ilmi, pk je účelné koum nejpe moné ákonioi pohbu epe pk e pá n áilo n ilách. Dnmik II,. přednášk dnmik kinemik jen pohb dnmik pohb íl Kinemik e býá ákoniomi pohbu. Vhem mei ákldními kinemickými eličinmi,.j. čem, dáhou, chloí chlením. Dnmik e býá hem mei ákldními eličinmi dnmik,.j. hmoou, pohbem ilmi.

7 Kinemik - nuk o pohbu Dnmik II,. přednášk Kinemik e býá popiem šeřoáním pohbu bodu, ěle nebo ou ěle. Pohbem oumíme měnu poloh če. Polohou je míněn poloh poou, e keém e bod nebo ěleo ncháí. Poo je pojiý (bod může poou ujmou jkoukoli polohu). Tojoměný poo -mě dopředu-dodu, dop-dole, nhou-dolů. Douoměný poo - oin, obecně šk jkákoli ploch. Jednooměný poo - křik, e lášním přípdě přímk. V ojoměném poou je poloh bodu jednončně učen řemi ouřdnicemi. Ve douoměném poou je poloh bodu učen děm ouřdnicemi. V jednooměném poou je poloh bodu jednončně dán jedinou ouřdnicí. Č je jednooměná, pojiá, klání eličin, jeho měn je neáilá, plne onoměně žd dopředu je boluní, ed po šechn ěle po šechn poooele polečný.

8 Dnmik II,. přednášk Jedním e ákldních pojmů kinemik mechnik je upeň olnoi. Pohblio jkéhokoli objeku je dán počem upňů olnoi. Supeň olnoi je možný neáilý pohb. Možný pohb - není důležié, d pohb kuečně nne. Důležié je, že může n (nic mu nebání). Hmoný bod pdá olným pádem poou. Pdá ile dolů. Ale mohl b e pohbo i e dou odooných měech (řeb kdb foukl í). Může ed koná ři pohb, má ři upně olnoi. Neáilý pohb - mei děm pohb, jež předují d upně olnoi, nemí pli žádný epliciní h, dný nějšími okolnomi. Hmoný bod je áán ke kuhoé jekoii. Vkonáá pohb e dou měech -. Pohb jednom měu (npř. ) šk je učen pohbem jiném měu (). Jen jeden ěcho pohbů je neáilý, bod má jeden upeň olnoi. φ {,, } ± {neáilá ouřdnice} in φ co φ { φ} { }

9 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o Hmoný bod, jehož pohb je peně áný n dnou křiku (dáhu, jekoii), má º olnoi. Může e pohbo poue dným měem. Npříkld pohb lku je áán k dné jekoii - ke kolejím. Nlékneme-li koálek n dá, bude jeho pohb áán k dné jekoii.

10 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o je-li pohb bodu omeen bmi, má méně upňů olnoi Hmoný bod, jenž e může pohbo oině neáile e dou měech, má º olnoi. ugboý míč, žený háčem, e pohbuje neáile e měu odooném ilém. oinno ploch, k níž je áán pohb bodu, není nunou podmínkou. Tui, ouljící e po hoách, mění ou polohu e řech měech. Jeho ndmořká ýšk šk není neáilá, áií n jeho geogfických ouřdnicích. Má ed º olnoi.

11 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o je-li pohb bodu omeen bmi, má méně upňů olnoi Hmoný bod, jenž e může pohbo poou neáile e řech měech, má 3º olnoi. Zfouká-li boční í, ugboý míč e chýlí oin, níž bl žen. Bude neáile měni ou polohu jk e ilém měu (nhou dolů), k e dou odooných měech (dopředu do n). Poloh ledl, ledoného ředikem leoého poou, je dán děm geogfickými ouřdnicemi ndmořkou ýškou. Má 3º olnoi.

12 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o Těleo, konjící oinný pohb, e může pohbo neáile e dou měech může e oáče. Má 3º olnoi. Lodičk n hldině může plou dopředu do n může e oáče. pohb e měu o pohb e měu o oce okolo o šechn pohb oučně

13 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o Koule e pohbuje odooně kupředu oučně e oáčí (neáile n dopředném pohbu). Silý pohb je nemožněn bou. Má ed º olnoi. je-li pohb ěle omeen bmi, má méně upňů olnoi

14 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o Mince e lí be pokluu po odooné podložce. Silý pohb je nemožněn bou. Mince e pohbuje odooně kupředu oučně e oáčí. To pohb šk nejou neáilé (poože nedocháí k pokluu). Oočí-li e mince jednou dokol (o 36º), poune e kupředu o dáhu přeně onou obodu mince. Jen jeden obou pohbů je neáilý - mince má º olnoi. je-li pohb ěle omeen bmi, má méně upňů olnoi

15 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod olnoi pohb učiým měem ž olnoi pohb e dou měech ž 3 olnoi pohb e řech měech ěleo ž 3 olnoi pou e dou měech oce okolo o, kolmé k oině pohbu ž 6 olnoi pou e řech měech oce okolo ří o Těleo olné poou e může pohbo e řech měech může e oáče okolo ří o. Má6 º olnoi. Npříkld helikopé při leu nebo dužice n oběžné dáe. je-li pohb ěle omeen bmi, má méně upňů olnoi

16 Dnmik II,. přednášk n křice ( oměný poo) oině (n ploše) ( oměný poo) poou (3 oměný poo) bod ouřdnice dáh ouřdnice, 3 ouřdnice,, ěleo 3 ouřdnice, úhel nočení φ 6 ouřdnic,, ři úhl nočení, npř. α, β, γ Okmžiá poloh objeku je jednončně učen olik neáilými ouřdnicemi, kolik upňů olnoi objek má. Objek má olik upňů olnoi, kolik neáilých ouřdnic je pořebí k jednončnému učení jeho poloh.

17 Pohb bodu Pohb bodu po dné dáe - ákldní kinemické eličin. Dnmik II,. přednášk č nčíme nglického lo ime ákldní jednokou je [] {ekund} dlšími jednokmi jou [min, hod,...] {minu, hodin,...} dáh, ouřdnice nčíme,,,... ákldní jednokou je [m] {me} dlšími jednokmi jou [cm, km,...] {cenime, kilome,...} chlo nčíme nglického lo eloci ákldní jednokou je [m/, m - ] {me ekundu} dlšími jednokmi jou [km/hod] {kilome hodinu} chlení nčíme nglického lo cceleion ákldní jednokou je [m/, m - ] {me ekundu n duhou}

18 Veličin č dáh nebudeme eplicině defino, polehneme e n inuiiní chápání jejich ýnmu. Dnmik II,. přednášk chlo jdřuje měnu dáh č. Tuo chlo neme řední chloí nebo půměnou chloí. Δ m, m ec Δ ec Δ Δ Okmžiá chlo - nekonečně mlá měn dáh nekonečně mlý příůek ču. lim Δ Δ Δ Tuo limiu definuje memik jko deici. d d & Okmžiá chlo je deice dáh podle ču.

19 Dnmik II,. přednášk chlo jdřuje měnu dáh č. Δ m, m ec Δ ec chlo může bý kldná (dáleno od počáku e ěšuje).

20 Dnmik II,. přednášk chlo jdřuje měnu dáh č. Δ m, m ec Δ ec chlo může bý i áponá (dáleno od počáku e menšuje).

21 Abchom ndno olišoli kldnou áponou chlo, ádíme pojem oienoná ouřdnice. Dnmik II,. přednášk počáek A () Δ Δ A (Δ) ř Δ Δ () (Δ) - Kldná chlo nmená náů dáh (ouřdnice), poo je kldná chlo oienoán žd e měu náůu přílušné ouřdnice.

22 Dnmik II,. přednášk Zchlení jdřuje měnu chloi č. Δ Δ Δ m m ec, ec Zchlení je chlení půměné neboli řední. lim Δ Δ Δ d d & Δ Δ Okmžié chlení je deice chloi podle ču.

23 Dnmik II,. přednášk lim Δ Δ Δ d d & chlení jdřuje měnu chloi příůek ču chlení je deice chloi podle ču d d && chlení je duhá deice dáh podle ču d d d d d d d d chlení je ono chloi, náobené deicí chloi podle dáh ( ) d d chlení je ono jedné poloině deice kdáu chloi podle dáh

24 Kldné chlení je oienoáno ejně, jko kldná chlo, ed e měu náůu ouřdnice. Dnmik II,. přednášk A () Δ A (Δ) počáek () (Δ) - dáh, chlo chlení jou funkcí ču chlo chlení jou funkcí dáh f f () () f 3() f 4( ) f 5( ) chlení je funkcí chloi Úplné kinemické řešení. f 6( )

25 Dnmik II,. přednášk Shnuí d d d d d d & & d d && ( ) d d chlo je deice dáh podle ču chlení je deice chloi podle ču chlení je duhá deice dáh podle ču chlení je ono chloi, náobené deicí chloi podle dáh chlení je ono jedné poloině deice kdáu chloi podle dáh oo jou obecně plné h mei čem, dáhou, chloí chlením

26 Dnmik II,. přednášk Shnuí d d d d d d & & d d && ( ) d d podle oho, jk e dáh, chlo chlení mění če, olišujeme ři duh pohbu : A) Pohb onoměný - chlo je konnní. B) Pohb onoměně chlený - chlení je konnní. C) Pohb neonoměný. oo jou obecně plné h mei čem, dáhou, chloí chlením

27 A) pohb onoměný : je koý pohb, jehož chlo je konnní kon. d d Δ Δ Δ Δ Δ Δ Dnmik II,. přednášk chlo je konnní, její měn (deice) je nuloá - okmžiá dáh - počáeční dáh ( áiloi n olbě ouřdného ému může bý nuloá) - okmžiý č - počáeční č - obkle olíme ( ) oo jou h, plné poue po onoměný pohb (kon).

28 Dnmik II,. přednášk B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. d d kon difeenciální onice. řádu d d epce poměnných řešení neučiým inegálem d d d C C C inegční konnu C učíme počáeční podmínk C C... chlo n počáku šeřoného pohbu

29 Dnmik II,. přednášk B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. d d kon difeenciální onice. řádu d d epce poměnných řešení neučiým inegálem d d d C C C inegční konnu C učíme počáeční podmínk C C řešení učiým inegálem d d [ ] [ ] ( ) d

30 B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. d d ( ) d d d epce poměnných řešení neučiým inegálem ( ) d d d C C C C C inegční konnu C učíme počáeční podmínk... difeenciální onice. řádu dáh n počáku šeřoného pohbu Dnmik II,. přednášk

31 inegční konnu C učíme počáeční podmínk B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. d d ( ) d d d epce poměnných řešení neučiým inegálem řešení učiým inegálem ( ) d d d C C C C C ( ) d d d [] [ ] [ ] ( ) ( ) difeenciální onice. řádu Dnmik II,. přednášk

32 B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. d kon d d d epce poměnných řešení neučiým inegálem leniní řešení difeenciální onice. řádu Dnmik II,. přednášk d C d C C inegční konnu C učíme počáečních podmínek C ( ) C d..., dáh chlo n počáku šeřoného pohbu

33 B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. kon d d d d epce poměnných řešení neučiým inegálem řešení učiým inegálem d d d C C C ( ) inegční konnu C učíme počáečních podmínek C C d d d [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) leniní řešení difeenciální onice. řádu Dnmik II,. přednášk

34 B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. hnuí Dnmik II,. přednášk ( ) oo jou h, plné poue po onoměně chlený pohb (kon).

35 Dnmik II,. přednášk B) pohb onoměně chlený : je pohb, jehož chlení je konnní kon. Špičkoé pooní uo chluje klidu n chlo km/hod (7,8 m/) č 5. Jeho chlení ed je 5,6 m/. Dáh ojedu pk je 7 m.

36 Dnmik II,. přednášk C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb hmonický : je koý pohb, jehož dáh e če hmonick mění. T φ φ ω T in ( ω φ ) ω ω f π T f π ω mpliud [m] kuhoá fekence [ - ] fekence [H] poče cklů ekundu peiod [] dob jednoho cklu φ počáeční úhel φ, fáoý pou [-]

37 Dnmik II,. přednášk C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb hmonický : je koý pohb, jehož dáh e če hmonick mění. T φ φ ω T in ( ω φ ) & ω co & ω in ω ( ω φ ) ( ω φ ) ω mpliud [m] m. chlo [m/] ω m. chlení [m/ ] Je o kmiý pohb hmoného objeku n pužném uložení.

38 ,, C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb odpoujícím poředí : je pohb bžděný ilou, úměnou chloi. d d g β g β d g β d β β Dnmik II,. přednášk g β ln g ln β g β Po jednoducho poedeme řešení nuloými počáečními podmínkmi. β d g β [ ln( g β ) ] [ ln( g β ) ln( g) ] d g β ( β e )

39 ,, C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb odpoujícím poředí : je pohb bžděný ilou, úměnou chloi. d d g β g β d g β d Dnmik II,. přednášk Po č, nůjící nde šechn mee, e půběh blíží uálené hodnoě : uálená g lim β g β e β ( β ) ( β e e ) g β ( ) g β g β g β ( β e ) uálená ( β e ) uálená g β

40 ,, C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb odpoujícím poředí : je pohb bžděný ilou, úměnou chloi. d d g β g β d g β d Dnmik II,. přednášk V uáleném u e chlo již nebude měni, bude konnní ( uálená kon). Zchlení ed bude nuloé. g β uálená uálená g β g β ( β e ) uálená ( β e ) uálená g β

41 ,, C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb odpoujícím poředí : je pohb bžděný ilou, úměnou chloi. d d g β g β d g β d T β Dnmik II,. přednášk čoá konn [] ečn T uálená 63% u T T uálená 95% u 3 T 4 T β ( e ) 5 T g β ( β e ) uálená ( β e ) uálená g β

42 ,, C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb odpoujícím poředí : je pohb bžděný ilou, úměnou chloi. uálená d d d d uálená uálená uálená ( β e ) ( β e ) d epce poměnných ( β ) ( β e d ) uálená e uálená uálená uálená Dnmik II,. přednášk e β e β e β β β β ( ) β d

43 C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb gičním poli : giční íl není konnní. Dnmik II,. přednášk m G h G κ M m κ M m m g ( h) ( h) Země κ 6,67 - kg- m3 - - M 5,98 4 kg km giční konn, - hmono Země, - polomě Země. n pochu Země () : M m G κ m g κ M g 9, 8m κm g

44 C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb gičním poli : giční íl není konnní. G m Země, ( ) h g d d ( ) h g m G h olný pád ýšk h ( ) d h g d h g h h g Dnmik II,. přednášk

45 C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon. Pohb gičním poli : giční íl není konnní. G m Země, ( ) h g d d ( ) ( ) ( ) h h g ( ) h g h h << ( ) h g m G ( ) h h g h h olný pád ýšk h chlo dopdu n Zemi : Dnmik II,. přednášk

46 C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon., Pohb gičním poli : giční íl není konnní. G Země m ( ) g ( ) g m G ( ) g d d ( ) ( ) d g d g d [ ] ( ) g g ilý h hůu Dnmik II,. přednášk

47 C) pohb neonoměný : je pohb, jehož chlení není konnní kon., Pohb gičním poli : giční íl není konnní. G m Země ( ) g g g g h km g / < km g / > ( ) g uálená lim ( ) h ilý h hůu ěleo e í e ýšce h ěleo e neuále dluje od Země ( ) g m G Dnmik II,. přednášk

48 Pohb bodu poou Dnmik II,. přednášk Všeřujeme-li pohb bodu po křiočé jekoii, muíme e bý nejen elikoí le i měem kinemických eličin - chloi chlení. Poloh bodu poou je učen polohoý ekoem. Počáeční bod polohoého ekou leží počáku ouřdného ému (je pený, nehbný), koncoý bod leží bodě, jehož polohu učuje (pohbuje e). chlo chlení jou ekooé eličin (podobně jko npř. íl nebo ineni elekoického pole). To nmená že mjí eliko mě.

49 chlo jekoie A () () Pohb bodu poou Δ Δ ( Δ) A (Δ) -dáh polohoý eko ( Δ ) ( ) Δ Dnmik II,. přednášk lim Δ Δ Δ d d & () ( Δ ) Δ A () A (Δ) O polohoý eko če ( eď ) polohoý eko če Δ ( chíli ) měn polohoého ekou bod A če ( eď ) bod A če Δ ( chíli ) Okmžiá chlo má mě ečn k jekoii. eliko chloi d & d lim Δ lim Δ Δ Δ D bod n křice učují ečnu. Jou-li o bod nekonečně blíko u ebe ( oumené bod ), ečn přecháí ečnu.

50 chlení jekoie A () () () Pohb bodu poou Δ ( Δ) A (Δ) ( Δ) Dnmik II,. přednášk ( Δ ) ( ) Δ lim Δ Δ Δ d d & () ( Δ ) Δ O chlo če ( eď ) chlo če Δ ( chíli ) měn chloi () ( Δ ) Δ Zchlení jdřuje měnu chloi. Při om muíme lášť bá úhu měnu elikoi chloi měnu měu chloi.

51 chlení jekoie A () () Pohb bodu poou A () (Δ) ( Δ) Δ ( Δ) Dnmik II,. přednášk ( Δ ) ( ) Δ lim Δ Δ Δ d d & () ( Δ ) Δ Δ el Δ m O chlo če ( eď ) chlo če Δ ( chíli ) měn chloi měn elikoi chloi měn měu chloi Δ Δ el Δ m Zchlení jdřuje měnu chloi. Při om muíme lášť bá úhu měnu elikoi chloi měnu měu chloi. Obě ložk ekou měn chloi Δ pobeeme lášť. () ( Δ ) Δ m Δ el Δ

52 chlení jekoie A () () Pohb bodu poou A () (Δ) ( Δ) Δ ( Δ) Dnmik II,. přednášk ( Δ ) ( ) Δ lim Δ Δ Δ K d d & () O ( Δ ) Δ el Mění e poue eliko chloi, mě ůáá bee měn. Zchlení má ejný mě jko chlo - mě ečn. Veliko ečného chlení je : lim Δ Δ el Δ d d Zchlení jdřuje měnu chloi. Při om muíme lášť bá úhu měnu elikoi chloi měnu měu chloi. Obě ložk ekou měn chloi Δ pobeeme lášť.

53 chlení jekoie A () () Pohb bodu poou A () (Δ) ( Δ) Δ n n ( Δ) Dnmik II,. přednášk ( Δ ) ( ) Δ Δ lim Δ Δ n d d & () O ( Δ ) Δ el Mění e poue eliko chloi, mě ůáá bee měn. Zchlení má ejný mě jko chlo - mě ečn. Veliko ečného chlení je : Δ Δ () Δ Mění e poue mě chloi, eliko ůáá bee měn. m Zchlení má mě kolmý k chloi - mě nomál. Veliko nomáloého chlení Δm ( Δ ) n lim bude učen lášť. Δ Δ Pon. Je řeb mí n pměi, že úhel, keý polu íjí eko () (Δ), je nekonečně mlý. lim el Δ d d

54 chlení Pohb bodu poou Dnmik II,. přednášk A () A () (Δ) ( Δ) Δ n jekoie O () n ( Δ) π l α 36 l α [ ] ) [ d] α V kinemice budeme čo použí jádření délk kuhoého oblouku o poloměu choloém úhlu α jko oučinu poloměu úhlu, jádřeného diánech (. obloukoé míře ). l α d (8/π)º 57,3 º

55 chlení Pohb bodu poou () Δφ jekoie O ( Δ ) A () () A () (Δ) ( Δ) Δ n n Δ m ( Δ) délk oblouku polomě úhel Δ m Δφ Δ Δ Δφ Δ Δ jekoie Δ A () Δ Δ Δ m n Dnmik II,. přednášk Δ Δφ Δφ n Δ Δφ S A (Δ) n polomě křioi

56 chlení jekoie A () () Pohb bodu poou A () (Δ) ( Δ) Δ n n ( Δ) Dnmik II,. přednášk ( Δ ) ( ) Δ Δ lim Δ Δ n d d & () () O ( Δ ) ( Δ ) Δ el Δ m n d d - polomě křioi jekoie ečné chlení má mě ečn k jekoii, jdřuje měnu elikoi chloi nomáloé chlení má mě nomál k jekoii, m jdřuje měnu odř měu chloi F odřediá íl F odř m n

57 ečn, nomál, binomál přioený ouřdný ém Dnmik II,. přednášk jekoie n Tečn je přímk, dná děm oumenými bod jekoie. Nomál n je kolmice k ečně, ležící okulční oině. Okulční oin je dán řemi oumenými bod jekoie. Binomál b je přímk, kolmá k ečně nomále. ečn - nomál okulční oin nomál - binomál nomáloá oin ečn - binomál ekifikční oin. půodní ojhn

58 ečn, nomál, binomál přioený ouřdný ém Dnmik II,. přednášk jekoie S jekoie n n okulční kužnice řed okulční kužnice S je řed křioi jekoie polomě okulční kužnice je polomě křioi jekoie Tečn je přímk, dná děm oumenými bod jekoie. Nomál n je kolmice k ečně, ležící okulční oině. Okulční oin je dán řemi oumenými bod jekoie. Binomál b je přímk, kolmá k ečně nomále. ečn - nomál okulční oin nomál - binomál nomáloá oin ečn - binomál ekifikční oin Okulční kužnice je dán řemi oumenými bod jekoie.. půodní ojhn

59 Souřdné ém kéký (poúhlý) ouřdný ém,,, i k j A d d d & & & d d d měoé úhl, měoé coin : co α úhel ekou od o coβ i () () d & d & úhel ekou od o Dnmik II,. přednášk j k () d d i ( i j k) & j i & k j co γ úhel ekou od o k

60 Souřdné ém i j k A k j i () () () ( ) k j i d d d d & k j i k j i & & & d d & d d & d d & k j i ( ) k j i k j i d d d d & & & & & & & & & & & & & kéký (poúhlý) ouřdný ém,,, Dnmik II,. přednášk

61 Souřdné ém clindický (álcoý) ouřdný ém, ρ, φ, j k i φ ρ φ ρ A A A ρ A ρ ρ i k ρ ρ() φ φ() () ρ ρco φ Dnmik II,. přednášk ρ in φ φ cn

62 Souřdné ém clindický (álcoý) ouřdný ém, ρ, φ, j k i φ ρ φ φ ρ ρ A A A φ A ρ ρ φ A A ρ ρ ρ i k ρ ρ() φ() ρ φ ρ i φ ρ ρ& φ ρφ& j ρ φ i j ρ φ ρ φ ρ Dnmik II,. přednášk φ () && ρ ρ φ& ρ & φ ρ& φ& φ ρ φ & k k &

63 Souřdné ém féický (kuloý) ouřdný ém, ρ, φ, ϑ ρ Dnmik II,. přednášk ρ i k j ϑ φ i ρ A ρ ρ() φ() φ ϑ ϑ() A ρ in ϑco φ ρ ρ in ϑ in φ φ cn ϑ ρco cn ϑ

64 Souřdné ém féický (kuloý) ouřdný ém, ρ, φ, ϑ ρ Dnmik II,. přednášk ρ i k j ϑ φ i ρ A A ρ ρ() φ φ() ϑ ϑ() ρ i φ j ρ in ϑ φ& ρ φ ϑ ϑ ρ ρ& φ ϑ ρ φ k ρ ϑ& ϑ φ ϑ φ A ρ ϑ ρ φ ϑ ρ i φ j ϑ k && ρ ρ φ& A ( φ ) ρ & φ φ in ϑ ρ& φ& in ϑ ρ φ& ϑ & co ϑ ρ ϑ && ϑ ρ& ϑ& ρ φ& in ϑ co ϑ ρ ρ φ in ϑ ϑ

65 φ A ρ Pohb bodu po kužnici polání ouřdný ém, ρ, φ (oinná in clindického ouřdného ému) Kéký ouřdný ém - není po řešení pohbu po kužnici moc hodný. Kéké ouřdnice - nbýjí hodno omeeném φ, φ ohu (inelu). ρ, ρ Dnmik II,. přednášk,, Kéké ouřdnice - nejou n obě neáilé. Muí žd plňo onici kužnice. Jedné hodnoě odpoídjí žd dě možné hodno. ± ρ ρ&& ρ φ& Vhodnější je polání ouřdný ém ρ-φ. ρ kon φ φ() ρ& ρ φ ρ φ & φ& ρ φ& φ& ρ & φ ρ& φ & φ && φ ρ φ φ& ρ φ& φ && φ

66 Dnmik II,. přednášk Pohb bodu po kužnici polání ouřdný ém, ρ, φ (oinná in clindického ouřdného ému) ω, ε φ úhel [d, º] φ dáh [m] φ n A dφ ω φ& d úhloá chlo [d/] ω obodoá chlo [m/] ε dω d ω & d φ d ω && d φ ω dφ ( ω ) d dφ úhloé chlení [d/ ] (někd éž ončené α) nomáloé chlení [m/ ] ω ε ω & n ečné chlení [m/ ] & ρ φ φ& ρ φ& φ && φ

67 m F i ákldní pohboá onice m hmono [kg] chlení [m/ ] F íl [N] Dnmik hmoného bodu Dnmik II,. přednášk Zákldem dnmik hmoného bodu je duhý Newonů ákon, ákon íl... pohboá onice. Zákldní pohboá onice učuje h mei ilmi, půobícími n hmoný objek, pohbem, ěmio ilmi půobeným. F m m F m kg F 3 N,5 m/

68 Dnmik hmoného bodu Zákldem dnmik hmoného bodu je duhý Newonů ákon, ákon íl... pohboá onice. m F T i F m f ákldní pohboá onice N G α G, F - kční íl N - nomáloá ekce T f N - řecí íl Zákldní pohboá onice má n pé ně šechn půobící íl. m Fi G F N T Vekooou onici oložíme n ložk dle oleného ouřdného ému. Vloučením ekcí íkáme. lní pohboou onici. m Fi G in α Fco α T m G in α Fco α N f m Fi N G coα F inα N G co α F inα m G inα Fcoα f G coα F inα m G Dnmik II,. přednášk ( ) ( inα f coα) F( coα f inα) lní pohboá onice nikne e ákldní loučením ekcí

69 m Dnmik hmoného bodu Zákldem dnmik hmoného bodu je duhý Newonů ákon, ákon íl... pohboá onice. F i přímý (Newonů) půob eení pohboé onice Dnmik II,. přednášk Tomuo půobu eení pohboé onice, kd n leé ně onice je oučin hmonoi chlení, en je n pé ně oen ouču půobících nějších il, říkáme přímý, nebo éž Newonů půob eení pohboé onice. F m m F m kg F 3 N,5 m/

70 Dnmik hmoného bodu Aleniní půob eení pohboé onice nbídnul Jen Le ond d Alembe (77-783). Součin hmonoi chlení přeedeme n opčnou nu onice. Zedeme ubiuci. Tko niklá onice má fomálně chke onice onoáh. Tomuo poupu říkáme d Alembeůpincip. Můžeme jej oloži do dou koků :. Zedeme. d Alembeou ílu. Její eliko je on oučinu hmonoi chlení. Její mě je opčný než je mě chlení.. Siloá ou nějších il, doplněná o d Alembeou ílu, je onoáe. onoáhu jádříme onicemi onoáh. Po doení Dm pk doááme pohboou onici. m F i F i m m D D F i F Dnmik II,. přednášk m F - D m F d Alembeů pincip.. D m D m D F i onice onoáh D D m

71 Dnmik hmoného bodu Dnmik II,. přednášk Aleniní půob eení pohboé onice nbídnul Jen Le ond d Alembe (77-783). Ponámk k filoofii mechnik. D Alembeo íl e kuečnoi neeiuje. Jeliže při jídě uem šlápneme n bdu nebo jedeme do áčk, dá e nám, že pociťujeme ílu, keá ná lčíkupředu, ep. do n. To je páě on d Alembeo íl. Ve kuečnoi žádná koá íl neeiuje, jde poue o ubjekiní poci. Ve kuečnoi e nše ělo chce pohbo onoměně přímočře, ímco přední klo e n ná lčí epředu, ep. deře u boku. To kuečno e nám poue ubjekině jeí jko b n ná půobil d Alembeo íl. Přeože d Alembeo íl neeiuje, poup de uedený je mořejmě plném ohu páný. F d Alembeů pincip D m D m D.. F i onice onoáh D m F - D D m m F

72 m Dnmik hmoného bodu Aleniní půob eení pohboé onice nbídnul Jen Le ond d Alembe (77-783). F F i přímý (Newonů) půob eení pohboé onice m m F m kg F 3 N,5 m/ Ob o poup jou mořejmě páné, le nemí e nájem kombino! m F-D F Dnmik II,. přednášk m F - D m F d Alembeů pincip.. D m D m D F i onice onoáh D - d Alembeo íl, dnmická íl, doplňkoá íl, ečná íl. Půobí poi měu chlení, její eliko je on oučinu hmonoi chlení. D D m

73 Dnmik hmoného bodu Aleniní půob eení pohboé onice nbídnul Jen Le ond d Alembe (77-783). D d Alembeů pincip F m T f. D m N G D m α.. D m D m F i. F i F i F i D onice onoáh F i G in α Fco α T D G in α Fco α N f D F i N G co α F in α N G co α F in α in α Fco α f ( G co α F in α) D ( in α f co α) F( co α f in α) D ( in α f co α) F( co α f in α) m G ( in α f co α) F( co α f in α) G G G m Poi měu chlení edeme d Alembeou ílu. Dnmik II,. přednášk Seíme onice onoáh. D m

74 d duh úloh dnmice Dnmik hmoného bodu m G F α T m f N G ( inα f coα) F( coα f inα) Dnmik II,. přednášk úloh. duhu - kineoická je dán poždoný pohb, chlení počěe ílu F?, pořebnou k dožení poždoného pohbu F D G m ( inα f coα) coα f F i m inα onice onoáh - lgebické G úloh. duhu - dnmická je dán íl F počěe jk e ěleo bude pohbo? ( inα f coα) F( coα f inα) & m onice difeenciální

75 m F d m F d dm ( ) F d dm Fd m m ( ) ( ) d d dm m m Fd p m I F() d Zákon o měně hbno hmo impul íl Úp pohboé onice ná přiedou k definoání dlších fikálních eličin. [kg m - ] [N kg m - ] Dnmik II,. přednášk Je-li íl konnní, le ji inegálu knou jádři impul íl jednodušeji : Změn hbnoi nmená měnu elikoi, měnu měu nebo obojí. I F Δp p p p ákon o měně hbnoi Δ p p p I Zde p je hbno n čáku šeřoného děje, p je hbno n konci šeřoného děje. p p Δp Δp

76 Zákon o měně L p I M M() d M F momen íl momen hbnoi (očio) [kg m - ] polohoý eko Dnmik II,. přednášk [m] impul momenu [N m kg m - ] [N m] ΔL L L IM ákon o měně momenu hbnoi

77 ( d ) m F m d d m ( ) F d d ( m ) m d F ( ) m F d d Zákon o měně d ( ) m m m F d Dnmik II,. přednášk Úp pohboé onice ná přiedou k definoání dlších fikálních eličin. Je-li íl konnní, le ji inegálu knou jádři páci jednodušeji : A F E A K m F d kineická enegie páce [J kg m - ] [N m kg m - ] ákon o měně kineické enegie ΔE EK EK K A Zde E K je kineická enegie n čáku šeřoného děje, E K je kineická enegie n konci šeřoného děje.

78 F N A δ < 9 δ > 9 F d δ F δ F F P Zákon o měně δ A F > co δ 9 páce A F co δ > A A F co δ < klání oučin A F F co δ K jádření páce můžeme přioupi i jink. Sílu oložíme n ložk e měu dáh (pconí) kolmo ke měu dáh (nepconí) : pconí ložk íl nepconí ložk íl co co F P 9 Fco δ A FP Fco δ ( δ > 9 ) < δ 8 A F co8 Dnmik II,. přednášk Páce je klání oučin íl dáh, je ed řeb í úhu oněž úhel mei měem dáh měem íl : F N F in δ kldná páce páce konná páce e nekonáá áponá páce páce pořeboná

79 Zákon o měně Dnmik II,. přednášk A F d páce [N m kg m - ] ýkon da F d P F d d [N m - W] F δ P F F co δ F N F δ F P F P Fco δ P FP Fco δ F N F in δ

80 EP Fd A Zákon o měně 3 poenciální enegie h h A Fd m g d m g d F G m g Dnmik II,. přednášk Poenciální enegie je on páci, keou muíme kon, bchom ěleo přemíili jedné poloh do duhé. h m g h m G FG E P E P m g h poenciální enegie (polohoá) Poenciální enegie je pojen polohou ěle nd pochem Země. olíme i. hldinu nuloé poenciální enegie K přemíění může dojí po ůných jekoiích - inegčních ceách. Obecně plí, že hodno křikoého inegálu áií n inegční ceě. V přípdě pohbu gičním poli páce íl F neáií n inegční ceě. Při přemíění po jkékoli jekoii je páce íl F žd ejná. Poenciální enegie je on éo páci. Siloé pole, keé má uo lno (páce neáií n inegční ceě) nýáme koneiní iloé pole.

81 EP Fd E P A FG m G Země Zákon o měně poenciální enegie M m G κ κ M m κ 6,67 - kg- m3 - - M 5,98 4 kg km Dnmik II,. přednášk Ve kuečnoi íhoá íl G, ed ni žná íl FG, nejou konnní. m g ( ) ( ) giční konn, - hmono Země, - polomě Země, - dáleno od ředu Země, - ýšk nd pochem Země. n pochu Země plí : M m G κ m g κm g Páci je ed řeb uči inegálem. A h F d ( )

82 Země ( ) ( ) κ h h d m M d F A ( ) h h g m h h m M A κ E P poenciální enegie A d F E P Zákon o měně κ κ h m M m M A h E m g h h P po h«h h g m E P poenciální enegie (polohoá) E P A poenciální enegie je on éo páci Po mlou ýšku nd Zemí pk přibližně plí : G FG m g M κ Dnmik II,. přednášk

83 EP Fd A Zákon o měně F poenciální enegie Poenciální enegie nemuí bý pojen žd jen polohou hmoného objeku nd pochem Země. Půobíme-li n eknuý noník ilou F, noník e pohne o půhb. Půobišě íl e poune íl F ed koná páci. A Fd k d k E P k F 3 Fl 3 E J l - délk noníku, E - modul pužnoi hu J - momen ečnoi 3 E J F k k - uho k 3 l Po ýpoče páce je šk řeb mí n pměi, že íl Fk není konnní. Po půhb o pní milime čí poue mlá íl F. N duhý milime je již íl F ěší. Tepe při úplném pohnuí dohuje íl F é konečné hodno. Páci je ed řeb uči inegoáním : E P A Dnmik II,. přednášk F poenciální enegie (defomční) Poenciální enegie je pojen defomcí poddjného objeku (noníku).

84 ákon o choání celkoé mechnické enegie E C h EK EP m kon E K E P m g h E K ½ m E P E P E C K EK EP P kon E E E E m g h K P m g h Dnmik II,. přednášk Souče kineické poenciální enegie je celkoá mechnická enegie. Souu, jejíž celkoá mechnická enegie e choáá, nýáme koneiní ou. Celkoá mechnická enegie e choáá. olíme i. hldinu nuloé poenciální enegie

85 ákon o měně celkoé mechnické enegie α A E E C C h m G F T N E P m g h E K ½ m E P E K ½ m T F m m h g m α co h g m T F m m α co m h g m T F m α co kon P K C E E E E C E C A α in h Změn celkoé mechnické enegie je on páci nekoneiních il. Souu, jejíž celkoá mechnická enegie e mění, nýáme nekoneiní ou. (o je il, keé neářejí poenciální enegii) α α in co F G N N f T Dnmik II,. přednášk

86 Dnmik II,. přednášk m h F T α m G N h Způob ýpoču dnmik, ložený n obou celkoé mechnické enegie, e nýá enegeická bilnce.