Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů, jeho jádro a obraz (Ker a Im); Transformace souřadnic v afinním prostoru; Lineární zobrazení vektorových prostorů, charakteristický polynom, vlastní vektory a vlastní čísla; Základní pojmy Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické vyjádření afinního zobrazení vzhledem ke zvoleným afinním repérům. Samodružné body a vlastní vektory afinního zobrazení. Afinní transformace a její modul. Přímá, nepřímá a unimodulární afinita. Afinní grupa. Homotetie, translace, stejnolehlost a jejich analytické vyjádření. Základní afinity v rovině a v prostoru, rovnoběžná projekce, elace, involuce, jejich charakteristiky. Základní tvrzení Věta o určenosti afinního zobrazení. Věta o inverzi afinního zobrazení. Základní úlohy Zapsání analytických rovnic afinního zobrazení. Nalezení samodružných bodů a vlastních vektorů afinního zobrazení. Výpočet modulu afinity, zapsání rovnic inverzní afinity. Zapsání rovnic homotetie. Klasifikace afinit na přímce, v rovině a v prostoru. Literatura [1] K. Burian, Kapitoly z geometrie, I. díl (PřF OU, Ostrava, 1996) 274 s. (Kapitola 3.) [2] J. Jachanová, L. Marková, H. Žáková, Cvičení z geometrie, II. díl (PřF UP, Olomouc, 1989) 121 s. [3] J. Janyška, Afinní zobrazení (Učební texty PřF MU v Brně) 47 s. Elektronická edice: http://www.math.muni.cz/~janyska/skripta.html [4] M. Sekanina, L. Boček, M. Kočandrle, J. Šedivý, Geometrie, II. díl (SPN, Praha, 1988) 307 s. 1
1 Rovnice afinního zobrazení Příklady k řešení 1.1. Určete rovnice afinního zobrazení f : A 2 A 2, znáte-li souřadnice bodů P i A 2 a jejich obrazů f(p i ) A 2, pro i =0, 1, 2, vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru: (a) P 0 =[1, 1], P 1 =[ 1, 0], P 2 =[3, 3], f(p 0 )=[4, 9],f(P 1 )=[1, 1],f(P 2 )=[6, 23]. (b) P 0 =[3, 0], P 1 =[2, 1], P 2 =[ 1, 4], f(p 0 )=[1, 0],f(P 1 )=[2, 1],f(P 2 )=[ 1, 1]. 1.2. Napište rovnice afinního zobrazení f : A 2 A 3, znáte-li souřadnice tříbodůva 2 a jejich obrazů: (a) P =[0, 0], Q =[1, 0], R =[0, 1], f(p) =[1, 0, 0], f(q) =[0, 1, 0], f(r) =[0, 0, 1]. (b) P =[1, 0], Q =[0, 1], R =[1, 1], f(p) =[1, 4, 2], f(q) =[ 1, 4, 1], f(r) =[0, 5, 1]. 1.3. Nalezněte obecné vyjádření obrazů souřadnicových os při zobrazení f, které má rovnice (a) x =2x y +1, y = x +2y +3. (b) x =3x y +6, y =3y +4. 1.4. Afinní zobrazení f : A 2 A 3 má vzhledem k pevně zvoleným afinním repérům rovnice x = x y, y = x + y +3, z = y. Vypočítejte souřadnice obrazu počátku zvoleného repéru A 2 a vzoru počátku repéru A 3. Nalezněte obrazy souřadnicových os repéru A 2. 1.5. Vzhledem k pevně zvolené afinní soustavě souřadnic v A 3 je dáno afinní zobrazení f rovnicemi x = x +2z +1, y =2y +2z +2, z = x + y z +3. Určete obrazy přímek p, q, jestliže (a) p : P =[1, 2, 0]; u =( 2, 1, 1), q : Q =[0, 1, 3]; v =(4, 2, 1). (b) p : P =[ 1, 1, 1]; u =(1, 1, 1), q : Q =[ 1, 1, 0]; v =(3, 2, 1). 1.6. Určete rovnice afinního zobrazení f : A n A n, jestliže jsou vzhledem k pevně zvolené afinní bázi v A n zadány obrazy ϕ( u i ), i =1,...,n, vektorů u i v asociovaném lineárním zobrazení ϕ k zobrazení f ajedán obraz f(b) =B daného bodu B. (a) u 1 =(2, 1), u 2 =(1, 2), ϕ( u 1 )=(3, 2),ϕ( u 2 )=(4, 1), B =[ 1, 1], B =[0, 3]. (b) u 1 =( 1, 1, 0), u 2 =(1, 0, 1), u 3 =(1, 1, 1), ϕ( u 1 )=( 1, 1, 4),ϕ( u 2 )=(1, 0, 3),ϕ( u 3 )=(1, 1, 1), B =[0, 1, 1], B =[0, 1, 3]. 1.7. Najděte rovnice afinního zobrazení f : A 2 A 2 vzhledem k afinní bázi P; e 1, e 2, jestliže je dán obraz počátku a pro obrazy bázových vektorů platí: (a) ϕ( e 1 ) ϕ( e 2 )= e 2, ϕ( e 1 )+2ϕ( e 2 )=3 e 1 +2 e 2 ; f(p) =[1, 1]. (b) ϕ( e 1 )= e 1 2 e 2, ϕ( e 1 )+2ϕ( e 2 )= e 1 ; f(p) =[0, 0]. (c) ϕ( e 1 )= e 2, 2ϕ( e 1 )+ϕ( e 2 )= e 1 ; f(p) =[ 1, 2]. 2
1.8. Napište maticovou rovnici afinního zobrazení f : A 2 A 2 vzhledem k afinní bázi R = P; e 1, e 2, jsou-li zadány obrazy bázových vektorů v asociovaném lineárním zobrazení ϕ a obraz jednoho bodu: (a) ϕ( e 1 )=(1, 1), ϕ( e 2 )=( 1, 1), a obrazem bodu B =[1, 1] je bod B = B. (b) ϕ( e 1 )=(0, 1), ϕ( e 2 )=(1, 2), f(p) =[ 1, 2]. 2 Samodružné prvky afinních zobrazení 2.1. Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f : A 2 A 2 jestliže vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru platí: P = [0, 0], Q = [1, 0], R = [0, 1], f(p) = P, f(q) = R, f(r) = Q. 2.2. Vyšetřete vlastnosti afinního zobrazení f : A 2 A 2, které je vzhledem ke kanonickému afinnímu repéru dáno rovnicemi x =3x 2y +2,y =2x y +2. 2.3. Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f : A 2 A 2, které má vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru rovnice: (a) x =2x y +1, y = x +2y +3. (b) x =3x y +6, y =3y +4. (c) x = x + 1 3 y, y = 1 3 y. (d) x = y, y = x. 2.4. Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f : A 3 A 3, které má vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru rovnice: (a) x = x y +2z 7, y = y + z 5, z = x 2y + z 6. (b) x = x 2y, y = 3x 2y, z =2x +2y + z. (c) x =3x + y z +2, y = y, z =2x + y +2. (d) x =3x +1, y =3y, z =3z 1. (e) x = x, y = y 5, z = z +2. (f) x =2x + y + z 1, y = y, z = z. 2.5. Najděte samodružné body a samodružné směry afinity f zadané rovnicemi x =9x +4y 2, y =2x + y +1. Určete o jakou afinitu jde. 2.6. Napište rovnice afinního zobrazení prostoru A 3 do sebe, v němž je bod A = [ 2, 0, 0] samodružný a vektory u 1 =(1, 1, 0), u 2 =(1, 1, 0) jsou vlastními vektory asociovaného lineárního zobrazení odpovídající vlastnímu číslu 2, zatímco vektor v =(0, 1, 2) se zobrazí na vektor opačný. (a) A =[1, 0, 2]; u 1 =(1, 0, 0), u 2 =(1, 1, 0), λ 1,2 =2; u 3 =(0, 1, 2),λ 3 = 1. 2.7. Napište rovnice afinního zobrazení f roviny A 2 do sebe, jsou-li přímky o rovnicích 2x y+3 = 0 a x y + 2 = 0 silně samodružné a jestliže bod M =[ 1, 0] se zobrazí doboduf(m) =[1, 2]. 2.8. Napište maticovou rovnici afinního zobrazení f : A 2 A 2 vzhledem k afinní bázi R = P; e 1, e 2, jsou-li zadány obrazy bázových vektorů ϕ( e 1 )=(1, 1), ϕ( e 2 )=( 1, 1), a obrazem bodu B =[1, 1] je bod B = B. Nalezněte dále samodružné prvky zobrazení f. 3 Modul afinního zobrazení 3.1. Zjistěte jsou-li zobrazení f z příkladů 2.1. 2.7. afinní transformace. Pokud ano, rozhodněte jedná-li se o afinity přímé či nepřímé. 3
3.2. Jsou dány rovnice dvou afinit f,g roviny A 2 vzhledem k jejímu kanonickému repéru: (a) f : x =2x y +1, g : x = x +4y 1 y = x + y +3, y = x +2y. (b) f : x =2x y +1, g : x =3x y +6 y = x +2y +3, y =3y +4. (c) f : x = x + 1 3 y, g : x =3x +1 y = 1 3 y, y =3y. Napište rovnice afinit f g, g f, f 1,g 1. 3.3. Určete samodružné body a vlastní směry afinního zobrazení f 1 : A n A n, jestliže je zobrazení f zadáno rovnicemi: (a) x = x +3, y =2y. (b) x = x +1, y =2x + 1 3 y +2z, z = 1 2 z 1. (c) x = x +1, y =2x +2y +2z, z =2z +1. (d) x =2x 2z, y = x + z +1, z = x + y 3. Zjistěte je-li zobrazení f 1 přímou afinitou. 4 Homotetie 4.1. Napište analytické vyjádření identity prostoru A 4. 4.2. Napište analytické vyjádření translace prostoru A n o vektor (a) u 1 =(1, 2, 3); (b) u 2 =( 1, 0, 1); (c) v =(1, 1, 1, 0). 4.3. Napište analytické vyjádření translace v A 5, která zobrazí boda = [0, 1, 0, 1, 0] na bod B =[1, 0, 1, 0, 1]. 4.4. Napište rovnice stejnolehlosti h(s, 3) v A 3, která zobrazí boda =[ 2, 0, 1] do bodu A = [0, 1, 3]. Najděte střed stejnolehlosti. 4.5. Napište rovnice stejnolehlosti v A 3 zobrazující boda =[2, 0, 3] do bodu A =[4, 1, 0] a bod B =[1, 1, 1] do bodu B =[0,a,b]. Pro která a, b R má úloha řešení? 4.6. Napište analytické vyjádření stejnolehlostí s 1 a s 2 v A n aurčete jejich středy a koeficienty, jestliže s 1 zobrazí A C a B D a s 2 zobrazí A D a B C. Body A, B, C, D A n mají vzhledem ke zvolenému afinnímu repéru souřadnice: (a) A =[1, 1], B =[1, 0], C =[3, 1], D =[3, 2]; (b) A =[1, 2], B =[3, 6], C =[2, 4], D =[ 1, 1]; (c) A =[0, 1], B =[1, 0], C =[0, 0], D =[2, 1]; (d) A =[1, 0], B =[4, 0], C =[2, 1], D =[ 1, 1]; (e) A =[0, 0, 0], B =[1, 0, 0], C =[0, 0, 2], D =[2, 0, 2]; (f) A =[3, 0, 6], B =[1, 2, 8], C =[0, 0, 0], D =[1, 1, 1]. 4.7. Mějme dánu stejnolehlost s se středem S =[1, 2, 1] a koeficientem κ = 2 a posunutí t o vektor u =( 1, 1, 1). Nalezněte rovnice zobrazení s 1, s t, t s a s 1 t s. Určete o jaký druh afinity (homotetie) se v těchto případech jedná. 5 Základní afinní zobrazení, osové afinity 5.1. Určete rovnice rovnoběžné projekce afinního prostoru A 3 do roviny ρ A 3 ve směru určeném vektorem s, kde (a) ρ :2x + y z +2=0, s =(0, 1, 0), (b) ρ : x + z 6=0, s =(0, 1, 1), 4
(c) ρ :6x 3y + z +4=0, s =(2, 3, 2), (d) ρ : x +2y z +5=0, s =(1, 2, 4). 5.2. Rozhodněte zda je afinní zobrazení zadané rovnicemi x =3x 2y +2, y =2x y +2 osová afinita. Pokud ano, zjistěte zda jde o elaci. 5.3. Ukažte, že je zobrazení f zadané rovnicemi x =2x 3y +2,y = x + y +3, osovou afinitou v A 2. Nalezněte její osu, směr a charakteristiku. 5.4. Zjistěte zda je afinita f na A n o rovnicích (a) x =3x +2y +1,y = 4x 3y 2, (b) x = x, y =5x y +4, (c) x = x +1,y = y +15, (d) x = y + z, y = y, z = x + y, involutorní. 5.5. Napište rovnice afinity f v A 3, jejíž samodružné bodytvoří rovinu ρ o rovnici x + y z =0 a bod B =[1, 0, 2] se zobrazí do bodu f(b) =[2, 0, 1]. 5.6. Rozložte afinitu f zadanou rovnicemi (a) x =2x y +1,y = x + y +3; (b) x =2y, y = x na osové afinity. 5