M - Algebraické výrazy Určeno jako studijní text pro studenty dálkového studia a jako shrnující textpro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Algebraické výrazy Algebraické výrazy Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) = A + AB + B (A - B) = A - AB + B (A - B).(A + B) = A - B (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A B + 3AB - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A + AB + B ) A 3 + B 3 = (A + B).(A - AB + B ) ± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Rozložte na součin: a + ab + b c (a + b + c). (a + b - c) 409. Výraz (3k - ) - 4k(k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 k - 3. Zjednodušte výraz: (h - 5s)(h + 5s) - (h + 5s) -10s.(5s + h) 397 387 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 10
4. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = - 8x - [x 6.(x - 1) + ] - (3x - 5x). 4.(x + 1) 5. Vypočtěte: (4a b + 5a 3 b ) = 16a 4 b + 40a 5 b 3 + 5a 6 b 4 407 381 6. Rozložte na součin výraz: 18xy - 1x y 3xy.(6y - 7x) 7. Umocněte: (10 - a) 100-40a + 4a 383 388 8. Výraz - (-x + 1) se po úpravě rovná čemu? -4x + 4x - 1 405 9. Upravte: (x - 5) - (x - 3).(5x + ) -6x - 9x + 31 401 10. Rozložte na součin výrazy: a) x - 4xy + y b) 5t - tm - 10m + 5 a). (x - y) b) (t + 5). (5 - m) 404 11. Výraz K = 16a a 4 x rozložte na součin aspoň tří činitelů K = a.(4 - ax).(4+ax) 408 1. Vypočtěte rozdíl výrazů x + a x - 1 3 391 13. Rozložte na součin: x - xy + y - x + y (x - y). (x - y - 1) 399 14. Rozložte na součin: (m - 1).5x 8.(m - 1) (m - 1). (5x - 8) 390 15. Zjednodušte výraz x - [5x - (x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3-4(x + 3) 16. Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-x).(x - 3x + 9) 380 403 17. Doplňte: (? - 3) = 16x -? +? První? = 4x; druhý? = 4x; třetí? = 9 400 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 10
18. Rozložte na součin: 4x (y z ) + 5v (z y ) (y - z). (y + z). (x - 5v). (x + 5v) 38 19. Upravte daný výraz 3x y - {xyz - (yz - x z) - 4x z + [3x y - (4xyz - 5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - x z + yz 0. Upravte: (x - 0,y). (x + 0,y) 4x - 0,04 y 1. Upravte: [(a b 3 ) 3 ] a 1 b 18 40 395 393. Výraz 4k - (k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3-8k + 7 385 3. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost (... + 3y) = 4x +... +... 1xy 384 4. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+ a x-1 Rozdíl 3, součin x + x - 5. Upravte: a. 3b ȧb.b a 3. 4b 4 4a 6 b 9 6. Upravte: (1,x - 0,3y) 1,44x 4-0,7x y + 0,09y 386 396 394 7. Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=, s=1, r=0 (v - u). (v + u). (3s - r). (3s + r) 8. Rozložte na součin: 4 x ( - x). ( + x) 398 389 9. Vypočtěte součin výrazů x + a x - 1 x + x - 39 ± Lomené výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 10
Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 10
1. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1 ö ç1+ +. x è x x ø x + x + 1; x ¹ 0. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x + 3y ö ç -. - è 3y - x x - 9y ø -3; x ¹ ± 3y ( x 3y) 3. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: p - q.( 4 p - 4 pq) 4 p -8 pq + 4q p; p ¹ q 4. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: m - 5n.( n - 3m) 3m - n 5n - m; n ¹ (3/)m 5. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x x - + y y (-1). y - x; x ¹ -y 6. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x x - y ç + è x + y x - 4y ö. ø x + 1; x ¹ ± y ( y + x) 7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1- x.( - 6x ) 3x 4x - x; x ¹ 0 36 39 31 33 34 38 330 8. 40 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 10
9. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3a + - b.( + b - 3a) 4-3a - b ( ) 1; b ¹ 3a - ; b ¹ 3a + 10. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl:.( y - z ) y + z. (y - z); y ¹ -z 11. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 8x + 7. 8x - 7 ( 14-16x) -.(8x + 7); x ¹ 7/8 33 331 316 1. 44 13. 41 14. 417 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 10
15. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1 3x y (- x y ). 6 -y; x ¹ 0, y ¹ 0 16. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 3s + r ç - è r - 3s 9s - r -; r ¹ ± 3s ö. ø ( 3s - r) 31 333 17. 41 18. 413 19. 43 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 10
0. 45 1. 415. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 18v.( 5v + 7) 30v + 4 3v; v ¹ -7/5 319 3. 418-1,7 4. 416 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 10
5. Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl: 6x -1.( 1x + ) 6x + 1.(6x - 1); x ¹ -1/6 6. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ xy- y ç è y x xy ö ø -. 3 (- xy ) 3 - x; x ¹ 0, y ¹ 0 315 37 7. 414 8. 419 9. 4 30. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1+ x ö ç -. è x x ø (- x) y; x ¹ 0 35 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 10
31. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3+ 5x.1x 7x 9x + 15x ; x ¹ 0 3. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 u + u. u -1 ( u -1) u ; u ¹ ± 1 311 318 33. 411 34. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 314 3x; x ¹ 0, x ¹ 1 35. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 4r + 8rs + 49s.( r - 7s) r + 7s 7 4r - 49s ; r ¹ - s 36. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: a - b + 1.( a - b -1) a - b -1 ( ) 1; a ¹ b - 1, a ¹ b + 1 30 3 37. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x - y.( x - y) x - 4y x - y ; x ¹ ± y x + y 317 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 10 z 10
Obsah Algebraické výrazy 1 Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1 Lomené výrazy 3 Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 4 30.1.007 14:58:50 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)