Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1

Přetvárná práce vnějších sil (1) F a b w w(b) Přetvárná práce v. s.: F df F dle Le d L e = F (w) d w, (1) L e = w 0 F (w) d w. (2) w dw w(b) 2

Přetvárná práce vnějších sil (2) Lineárně pružná odezva konstrukce: F F df dle Le w Clapeyronova věta: L e = 1 F w. (3) 2 dw w(b) 3

Přetvárná práce vnějších sil (3) Lagrangeova věta: Z (2) plyne: F = F (w) = d L e d w (4) a pro případ obecného počtu sil: F i = L e u i, (5) 4

Přetvárná práce vnějších sil (4) Přetvárná práce vnějších sil L e : práce vnějších sil vykonaná v průběhu zatěžování. Komplementární přetvárná práce vnějších sil L e : práce nutná k tomu, aby působení síly F na dráze w mělo statický charakter (možno představit jako práci brzdící síly působící proti F na dráze w); práce nutná k navrácení konstrukce do nedeformované polohy. L e + L e = F w. (6) 5

Deformační energie (1) Příspěvek normálových napětí: σ dσ σ W* * dw dw W ε W σ = Wσ = ε 0 σ 0 σ(ε) d ε, (7) ε(σ) d σ. (8) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = Wε = γ 0 τ 0 τ(γ) d γ, (9) γ(τ) d τ. (10) 6

Deformační energie (2) Lineárně pružná odezva materiálu: σ W* Příspěvek normálových napětí: σ dσ dw* dw W ε W σ = W σ = 1 2 σ ε. (11) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = W ε = 1 2 τ γ. (12) 7

Deformační energie (3) Potenciální energie vnitřních sil (pro lin. pružnou odezvu materiálu): Π i = = 1 2 (13) V (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) d V. V maticovém zápisu: Π i = Π i = 1 2 V σt ε d V. (14) 8

Přímý prut (bez vlivu smyku) Normálové síly (σ = N A ): Π i,n = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l N 2 E A d x (15) Momenty (σ = M y I ): Π i,m = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l M 2 E I d x (16) Tedy: Π i = 1 2 l N 2 E A d x + 1 2 l M 2 E I d x (17) 9

Potenciální energie vnějších sil Potenciální energie vnějších sil (Π e ): a b F Π e = F w, (18) a pro obecné zatížení: F b w(b) Π e = n i=1 F i u i n j=1 d M j ϕ j c (19) q(x) w(x) d x. Obecný stav napjatosti tělesa: Π e = V XT u d V s pt u d S. (20) 10

Potenciální energie systému (1) Potenciální energie vnějších sil (Π e ): Π e = (L e + L e). (21) Při lineárně pružné odezvě materiálu: Π e = 2 L e. (22) tedy Π e 0. (23) 11

Potenciální energie systému (2) Π = Π e + Π i. (24) Dosazením za Π e a Π i : tedy Π = Π e + Π i = (L e + L e) + L e = L e, (25) Π 0. (26) 12

Potenciální energie systému (3) (Lagrangeův) princip minima celkové potenciální energie: Π = Π e + Π i = min. (27) Ze všech možných deformačních stavů tělesa (které neporušují jeho spojitost a respektují okrajové podmínky) nastane právě ten, při kterém je potenciální energie systému minimální. 13

Variační úloha hledáme neznámou funkci (nikoli jen hodnotu), funkce musí splňovat určité okrajové nebo počáteční podmínky, hledaná funkce musí splňovat podmínku extrému nějaké veličiny. 14

Variační úlohy v teorii pružnosti Protože platí (27): Π = Π i + Π e = min, (28) tedy hodnota potenciální energie je extrémní (minimální). Z matematiky: pro extrém veličiny Π platí: Π = 0, (29) čehož využívají variační metody (např Ritzova metoda). 15

Ritzova metoda (1) 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x) = n i=1 a i ψ i, (30) kde a i... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (31) 4. Dosazení vypočtených a i do (30). 16

Rizova metoda (2) bázové funkce Bázové (aproximační) funkce ψ musí vyhovovat okrajovým podmínkám úlohy. y Např. při výpočtu průhybu musí platit: x ψ(a) = 0 (protože w(a)=0), a w(x) ψ(x) b ψ(b) = 0 (protože w(b)=0). 17

Shrnutí: Protože platí: N M = (E A) du dx, (32) = (E I y ) d2 w dx 2, (33) tedy potenciální energie vnitřních sil (bez vlivu smyku): Π i = 1 2 L 0 E Au 2 dx + 1 2 L 0 E I w 2 dx. (34) 18

Příklad 1 (1) Stanovte funkci osové deformace zadaného nosníku (viz schéma). Předpokládejte, že součin E A je po celé délce nosníku konstantní. F L Volba aproximace: u(x) = a 1 ψ 1 = a 1 x, tj. ψ 1 = x. 19

Příklad 1 (2) Okrajové podmínky: u(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = x = 0 u(b) = w(x = L) 0... ψ 1 (b) = x = L L 0 ψ( x) L x 20

Příklad 1 (3) Vyjádření Π e : Π e = F u L 0 q u(x)dx. Přitom F působí v bodě x = L: Π e = F u = F a 1 ψ 1 = F a 1 x = F L a 1. 21

Příklad 1 (4) Derivace funkce u = a 1 ψ 1 : u = [a 1 x] = a 1. Vyjádření Π i : Π i = 1 2 L 0 E A(u ) 2 dx = 1 2 L 0 E Aa2 E A a12 1dx = 2 L 0 dx Π i = E A a2 1 2 [x] L 0 = E A L 2 a 2 1. 22

Příklad 1 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = F L a 1 + E A L 2 a 2 1. Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : F L + E A L a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = F E A 23

Příklad 1 (5) Výsledek (dosazením a i do u(x)): u(x) = a 1 ψ 1 = F E A x. Protažení v x = L: u(l) = F L E A. Výpočet vnitřních sil (normálová síla): N(x) = E A u = E A [ F ] E A x = F 24

Metoda konečných prvků Vztah mezi Ritzovou metodou a MKP Základní principy MKP Odvození matice tuhosti konečného prvku pro příhradovinu 25

Metoda konečných prvků (1) Nevýhoda klasických variačních metod obtížná volba (často nemožná) aproximačních funkcí ϕ na složitějších oblastech. Řešení rozdělení konstrukce na malé oblasti na n jednoduchých podoblastí a volba aproximačních funkcí ϕ j na nich. Protože Π je skalární veličina, lze: Π approx. = n j=1 Π e,j, (35) kde Π e,j je potenciální energie j-té podoblasti ( konečného prvku ). 26

Metoda konečných prvků (2) Další postup je analogický klasickým variačním metodám (např. Ritzově metodě) řeší se soustava n lineárních rovnic: Π a i = 0, i = 1..n (36) Pozn.: zde je použit Lagrangeův variační princip a jde tedy o deformační variantu metody konečných prvků MKP (viz dále). 27

Metoda konečných prvků (3) Varianty MKP: deformační (Lagrangeův variační princip) neznámá jsou posunutí a pootočení (nejčastější, přes 90% případů), silová (např. Castiglianův variační princip) neznámé jsou silové veličiny, smíšená (např. variační princip Hu-Washitsu). 28

Deformační varianta MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u, v, w Aproximační funkce se volí zásadně ve tvaru polynomů. 29

Matice tuhosti kon. prvku (1) Potenciální energie soustavy: Π = 1 2 V εt D ε d V V XT r d V. (37) Po dosazení za ε = BSr a vytknutí vektoru neznámých konstant (posunutí) r: Π = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r V XT d V r. (38) Stručně: Π = 1 2 rt K r F T r. (39) 30

Matice tuhosti kon. prvku (2) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (39): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (40) K = V S 1T B T D B S 1 d V, (41) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (42) 31

Analýza konstrukce Z K e a r e a F e jednotlivých prvků (e je číslo prvku) sestavíme K a r a F celé konstrukce a neznámé určíme řešením soustavy rovnic: K r = F. (43) Poznámka: tyto sestavení matice tuhosti a zatěžovacího vektoru je zcela shodné s postupem v obecné deformační metodě. 32

Zatížení konstrukce Zatížení zavádíme výhradně v uzlech konečných prvků Zatížení má silový charakter: síly pracují na posunutích momenty pracují na pootočeních Zatížení deformacemi bude popsáno dále 33

Podepření konstrukce okrajové podmínky Pružné podpory: přidáme odpovídající tuhost pružiny na diagonálu matice tuhosti Pevná podpora (posunutí, pootočení) známá hodnota (0, 0) neznámého posunutí/pootočení (upravíme systém rovnic) Popuštění podpor: známá hodnota neznámého posunutí/pootočení (upravíme systém rovnic) 34

Deformační varianta MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost s deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u, v, w Aproximační funkce se volí zásadně ve tvaru polynomů. 35

Odvození konečného prvku příhradoviny (1) y u 1 u 2 1 2 x Neznámé parametry deformace: u, v v každém uzlu. Tj. celkem dva neznámé uzlové parametry: {u 1, u 2 } T. 36

Odvození konečného prvku příhradoviny (2) Geometrická rovnice: Maticově (ε = T u): ε x = u x (44) { εx } = [ x ] { u } (45) 37

Odvození konečného prvku příhradoviny (3) Podmínka rovnováhy: Maticově ( σ + X = 0): σ x x + X = 0 (46) [ x ] { σx } + { X } = { 0 } (47) 38

Odvození konečného prvku příhradoviny (4) Fyzikální rovnice: Maticově (σ = D ε): σ x = E ε x (48) { σx } = [ E ] { εx } (49) 39

Odvození konečného prvku příhradoviny (5) Aproximace neznámých uzlových posunutí: u(x) = a 1 + a 2 x (50) Maticově (u = U a): { u } = [ 1 x ] a 1 a 2 (51) 40

Odvození konečného prvku příhradoviny (6) Aproximace neznámých uzlových posunutí v uzlech 1, 2 (r = S a): u 1 u 2 = 1 x 1 1 x 2 a 1 a 2 (52) 41

Odvození konečného prvku příhradoviny (7) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U a: { εx } = [ x ] [ 1 x ] a 1 a 2 (53) 42

Odvození konečného prvku příhradoviny (8) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U a: { εx } = [ 0 1 ] a 1 a 2 (54) 43

Odvození konečného prvku příhradoviny (9) Z r = S a plyne: a = S 1 r, (55) kde: S = 1 x 1 1 x 2 S 1 = x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 (56) Pak místo ε = Ba lze psát ε = B S 1 r: { εx } = [ 0 1 ] x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 u 1 u 2. (57) 44

Odvození konečného prvku příhradoviny (11) Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 1 2 V εt σ d V = 1 2 V εt D ε d V = (58) Potenciální energie vnějších sil: Π e = V XT r d V S pt r d S. (59) 45

Odvození konečného prvku příhradoviny (12) Potenciální energie soustavy: Π = 1 2 V εt D ε d V V XT r d V S pt r d S. (60) Po dosazení za ε a vytknutí r: Π = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r T V XT d V r S pt d S r. (61) Stručně: Π = 1 2 rt K r F T r. (62) 46

Odvození konečného prvku příhradoviny (13) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (62): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (63) K = V S 1T B T D B S 1 d V, (64) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (65) 47

Odvození konečného prvku příhradoviny (14) Pro studovaný konečný prvek: F = X + p. (66) K = V S 1T B T D B S 1 dv = A podrobný zápis: K = A L 0 x 2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 0 1 L 0, S 1T B T D B S 1 dx, [ E ] [ 0 1 ] x 2 (67) x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 (68) dx 48

Odvození konečného prvku příhradoviny (15) Podrobný zápis (vytknutí konstant pře integrál): K = A x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 x 1 0 1 [ E ] [ 0 1 ] x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 (69) L 0 dx Po úpravě (integrace L 0 dx = L násobení matic): K = EAL 1 1 (x 2 x 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 1 1 (x 2 x 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2, x 2 x 1 = L K = EA L EA L (70) EA L EA L, což je matice tuhosti známá i z deformační metody. 49

Odvození konečného prvku příhradoviny (16) Soustava rovnic pro jeden konečný prvek má tedy tvar: K e r e = F e, podrobně: EA L EA L EA L EA L u 1 u 2 = F 1 F 2 (71) 50

Odvození konečného prvku příhradoviny (17) Rozšíření na proměnné u a v v každém uzlu: y v 1 v 2 u 1 1 2 u 2 x EA L 0 EA L 0 0 0 0 0 EA L 0 EA L 0 0 0 0 0 u 1 v 1 u 2 v 2 = F 1 0 F 2 0 (72) 51

Volba náhradních polynomů (1) Nejlepší konvergence při použití úplného polynomu n-tého stupně (Ženíšek et al). Počet konstant v polynomu (a 1, a 2,...) = počet neznámých na konečném prvku (u 1, v 1,...). Ne vždy je možné použít všechny členy úplného polynomu. 52

Volba náhradních polynomů (2) Pro neznámou x: 1. a 1 + a 2 x 2. a 1 + a 2 x + a 3 x 2 3. a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 4. a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a 5 x 4 53

Volba náhradních polynomů (3) Pro neznámé x a y: 1. a 1 + a 2 x + a 3 y 2. a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 x 2 3. a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 x 2 + a 7 x 3 + a 8 y 3 + a 9 x y 2 + a 10 x 2 y 54

Doplnění pro obor Konstrukce staveb Tato část není zajímavá pro ostatní obory, protože je vázána na programový systém ANSYS, který ny cvičení nevyužívají. Úvod do používání programu ANSYS Vybrané příkazy jazyka APDL 55

Programový systém ANSYS (1) obecný konečně-prvkový systém (žádné normy aj.) program i dokumentace jen v angličtině velký počet konečných prvků pro různé úlohy možno přímo pracovat s typy a sítěmi konečných prvků kontaktní úlohy statika, dynamika, vedení tepla,... lineární i nelineární úlohy vlastní příkazový jazyk (možno psát makra, pomocné programy) 56

Programový systém ANSYS (2) nápověda: help,něco (pozn.: v instalaci na FAST nefunguje) používat výhradně desetinnou tečku dialogová okna nakonec spouští příkaz příkazy: n 5.3,6.3,7.7 (oddělovač parametrů je čárka... ) vynechané hodnoty se doplní nulou (je-li parametrem reálné číslo) nebo nejbližší větší volnou hodnotou (je-li parametrem index nebo pořadové číslo) parametry příkazů i vstupní pole v dialozích akceptují matematické výrazy (jazyk FORTRAN): 5 2 = 25 nebo 1+3 2/3 = 3 apod. 57

Programový systém ANSYS (3) Doporučené typy konečných prvků: Úloha Název Číslo rovinná příhradovina LINK1 1 prostorová příhradovina LINK8 8 rovinný rám BEAM3 3 prostorový rám BEAM4 3 rovinný problém PLANE42 42 deska SHELL63, SHELL93 63, 93 deska na Winklerově podkladu SHELL63 63 tělesa SOLID45, SOLID95 45, 95 Pro vstupní parametry prvku, přípustné typy analýz a dostupné výsledky: help,číslo 58

Příkazy ANSYS 1: některé objekty Objekt Písmenko Příklady klíčový bod k k 1,1,2 kdel,p klist linie l l,1,2 l,p ldel,all plocha a a,1,2,3,4 a,p adel,p objem v v,p vdel,all vlist uzel konečného prvku n n 0,0,7.7 nlist ndel,all konečný prvek e e,1,7 e,p edel,all podpora v uzlu d d,p dlist ddel,p síla v uzlu f f,p flist fdel,p 59

Příkazy ANSYS 2: některé operace Operace Zkratka Příklady vytvoření k 1,1,2 l,1,2 a,1,2,3,4 vytvoření myší,p l,p a,p v,p e,p d,p smazání del ldel,3 ldel,p ldel,all vypsání (listing) list alist nlist elist vykreslení plot aplot nplot eplot gplot Operace spuštění preprocesoru spuštění řešiče provedení výpočtu spuštění postprocesoru uložení dat načtení dat Příkaz /prep7 /solu solve /post1 save resu 60

Příklad 1: rovinná příhradovina (1) 10kN 10kN 5 kn 3m 2m 2m 2m Vlastnosti: E = 20 GP a, A = 0.01 m 2. 61

Příklad 1: rovinná příhradovina (2) Vlastnosti: E = 20 GP a, A = 0.01 m 2. Zadáme 1 typ konečného prvku, 1 typ materiálu a 1 typ reálných konstant s hodnotami: Spuštění přeprocesoru: /prep7 Výběr typu konečného prvku (LINK1): et,1,link1 Zadání modulu pružnosti E = 20 GP a: mp,ex,1,20e9 Zadání plochy průřezu A = 0.01 m 2 : r,1,0.01 Poznámky: materiálové veličiny používají jednotné značky (EX, EY, EZ... moduly pružnosti, PRXY... součinitel příčné kontrakce, DENS... objemová hmotnost), pořadí a význam reálných konstant se pro každý prve liší (viz nápověda). 62

Příklad 1: rovinná příhradovina (3) Čísla uzlů a konečných prvků: 10kN 10kN 6 5 6 5 kn 2 3 5 7 9 3m 1 1 2 4 3 8 4 2m 2m 2m 63

Příklad 1: rovinná příhradovina (4) Zadání uzlů: 10kN 10kN n 0,0 n 2,0 6 5 6 5 kn n 4,0 n 6,0 2 3 5 7 9 3m n 2,3 1 1 2 4 3 8 4 n 4,3 2m 2m 2m 64

Příklad 1: rovinná příhradovina (5) Zadání konečných prvků: e,1,2 10kN 10kN e,1,5 e,2,5 6 5 6 2 3 5 7 5 kn 9 3m e,2,3 e,2,6 e,5,6 1 1 2 4 3 8 4 2m 2m 2m e,3,6 e,3,4 e,4,6 Pro lenochy: e,p a naklikat uzly. 65

Příklad 1: rovinná příhradovina (6) Zadání podpor: 10kN 10kN 6 5 6 2 3 5 7 5 kn 9 3m d,1,ux d,1,uy d,4,uy 1 1 2 4 3 8 4 2m 2m 2m Pro lenochy: d,p a naklikat uzly. 66

Příklad 1: rovinná příhradovina (7) Zadání zatížení: 10kN 10kN 6 5 6 2 3 5 7 5 kn 9 3m f,5,fy,-10e3 f,6,fy,-10e3 f,6,fx,-5e3 1 1 2 4 3 8 4 2m 2m 2m Pro lenochy: f,p a naklikat uzly. 67

Příklad 1: rovinná příhradovina (8) 68

Příklad 1: rovinná příhradovina (9) Výpočet: Ukončení preprocesoru: fini Start řešiče: /solu Spuštění výpočtu: solve 69

Příklad 1: rovinná příhradovina (10) Práce s výsledky: Ukončení řešiče: fini Start postprocesoru: /post1 Vykreslení celových deformací: plns,u,sum,1 Poznámky k plns: 1 na konci značí kresli nezdeformované konečné prvky ; hodnota 2 by znamenala kresli jen obrys konstrukce místo sum (celkové deformace) může být jen konkrétní směr (x, y, z) volba ovlivní barvy, nikoli zobrazený tvar deformace. 70

Příklad 1: rovinná příhradovina (11) 71

Příklad 1: rovinná příhradovina (12) Vnitřní síly pomocí Element Table: Nastavení veličiny NX: etable,nx,smisc,1 Vykreslení NX po prvcích: plls,nx,nx Vykreslení celkových deformací: plns,u,sum,1 72

Příklad 1: rovinná příhradovina (13) 73

Příklad 1: rovinná příhradovina (14) Výpisy výsledků: Reakce: prrs Deformace: prns,ux Výpisy vnitřních sil: pretab,nx 74

Příkazy: jak zadat, kde najít (1) Soubor nazev.mac v pracovním adresáři ANSYSu. Lze volat příkazem nazev a provedou se v souboru obsažené příkazy. Použité příkazy: nazevulohy.log v pracovním adresáři AN- SYSu. Pozor: cca od verze 9 nelze tento soubor použít přímo (<CTRL>C, <Ctrl>V), třeba upravit (je uvedeno P51X místo seznamu prvků vybíraných myší apod.). 75

Příkazy: jak zadat, kde najít (2) Příkaz cdwrite uloží celou úlohu korekně jako sadu příkazů Příkaz cdread lato data načte. Pokud příponu vytvořeného souboru změníte na.mac, lze použít pkyny s předchozího snámku... 76