ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakultaa stavební Obor geodézie a kartografie Katedra mapování a kartografie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ekvivalentní zobraze ení Francie Vedoucí bakalářské práce: Ing. Petr Buchar, CSc. PRAHA, 2011 Zuzana Ženíšková
Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně, jen s použitím uvedené literatury a odborných konzultací. V Prachaticích dne 2. 5. 2011. podpis
Poděkování Velmi ráda bych poděkovala panu Ing. Petru Bucharovi, CSc. za vedení práce, odborné rady a cenné připomínky k danému tématu.
ANOTACE Bakalářská práce se zabývá hodnocením ekvivalentních kartografických zobrazení pro mapu Francie. Výpočty kartografických zkreslení jsou prováděny systémem Projection. Závěrečné hodnocení je provedeno pomocí Airyho kritéria, komplexního kritéria a extrémního kritéria. Klíčová slova Matematická kartografie, kartografická zobrazení, hodnotící kritéria ANNOTATION This bachelor thesis deals with the evaluation of equivalent projections for the map of France. Cartographic distortion calculations are performed with Projection. Final evaluation is done using the Airy criterion, comprehensive criteria and extreme criteria. Keywords Mathematical cartography, map projections, evaluation criteria
OBSAH 1. ÚVOD... 8 2. ZÁKLADNÍ POJMY MATEMATICKÉ KARTOGRAFIE... 9 2.1 Referenční plocha... 9 2.2.1 Referenční elipsoid... 9 2.2.2 Referenční koule... 9 2.2 Souřadnicové soustavy... 9 2.2.1 Zeměpisné souřadnice... 10 2.2.2 Kartografické souřadnice... 11 3. KARTOGRAFICKÉ ZOBRAZENÍ A ZKRESLENÍ... 12 3.1 Kartografické zobrazení... 12 3.2 Třídění kartografických zobrazení... 12 3.3 Kartografická zkreslení... 15 4. METODY HODNOCENÍ KARTOGRAFICKÝCH ZOBRAZENÍ... 16 4.1 Délkové zkreslení a podmínka konformity... 16 4.2 Hlavní paprsky a elipsa zkreslení... 16 4.3 Zkreslení azimutu a úhlu... 17 4.4 Plošné zkreslení... 18 5. POPIS POUŽITÝCH KARTOGRAFICKÝCH ZOBRAZENÍ PRO MAPU FRANCIE. 19 5.1 Kuželová zobrazení... 19 5.1.1 Albersovo ekvivalentní zobrazení s dvěma nezkreslenýma rovnoběžkami... 21 5.2 Válcová zobrazení... 23 5.2.1 Izocylindrické Lambertovo ekvivalentní válcové zobrazení... 24 5.3 Azimutální zobrazení... 25 5.3.1 Lambertovo ekvivalentní azimutální zobrazení... 27 5.4 Nepravá kuželová zobrazení... 28 5.4.1 Bonneovo zobrazení... 28 6. HODNOCENÍ NAVRŽENÝCH ZOBRAZENÍ... 30 6.1 Kritéria pro hodnocení zobrazení... 30 7. POUŽITÉ PROGRAMY... 32
7.1 Systém Projection... 32 7.1.1 Základní ovládání programu... 32 7.1.2 Ukázky výstupních souborů... 33 7.2 Matlab Mapping Toolbox... 34 7.1.1 Základní ovládání programu... 34 7.1.2 Ukázky vstupních příkazů... 35 8. ZÁVĚR... 36 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY... 37 SEZNAM PŘÍLOH... 38 PŘÍLOHY... 39
1. ÚVOD Tato bakalářská práce se zabývá hodnocením ekvivalentních kartografických zobrazení pro mapu Francie. Analyzováno bude Albersovo ekvivalentní zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami, Lambertovo ekvivalentní válcové zobrazení, Lambertovo ekvivalentní azimutální zobrazení a Bonneovo zobrazení. Hodnocení jednotlivých zobrazení bude provedeno na základě porovnání zvolené sítě uzlových bodů pro Francii pomocí Airyho kritéria, komplexního kritéria a extrémní hodnoty úhlového zkreslení. Síť bodů bude volena tak, aby byla dostatečně podrobná a rovnoměrně rozložená po celém území toho státu. Pro výpočet zkreslení v uzlových bodech bude použit systém Projection. Pro grafický návrh jednotlivých zobrazení bude použit program Matlab Mapping Toolbox. 8
2. ZÁKLADNÍ POJMY MATEMATICKÉ KARTOGRAFIE 2.1. Referenční plocha Jelikož je skutečný tvar Země příliš složitý, je nutné ho pro účely kartografie nahradit matematicky jednoduše definovatelnou referenční plochou. Tuto plochu pak dále zobrazujeme do roviny mapy. Tento požadavek splňuje referenční elipsoid, který má ale velmi malé zploštění, a proto jej v některých případech nahrazujeme referenční koulí. Pro práce malého rozsahu lze zmíněné plochy považovat za rovinu. Tyto plochy, které nám umožňují vyřešit zobrazovací proces, nazýváme referenční plochy. 2.1.1. Referenční elipsoid Je výchozí referenční plochou v matematické kartografii. Je určen co do tvaru i velikosti dvěma konstantami, ty mohou být určeny různými kombinacemi veličin: a- hlavní poloosa elipsoidu b- vedlejší poloosa elipsoidu e- excentricita i- zploštění elipsoidu Excentricita a zploštění elipsoidu jsou dány vztahem: =, = => =2 V naší geodetické a kartografické praxi se užívá elipsoid Besselův, Krasovského, Hayfordův, WGS84. 2.1.2. Referenční koule Kulová plocha poskytuje jednodušší matematické vztahy, protože má nulovou křivost. Je dána vhodně zvoleným poloměrem R. 2.2. Souřadnicové soustavy Souřadnicové soustavy slouží k jednoznačnému definování polohy bodu na povrchu Země. Poloha určovaného bodu je dána příslušnými souřadnicemi. Dále jsou uvedeny souřadnicové soustavy, které se využívají v matematické kartografii. 9
2..2.1. Zeměpisné souřadnice Pomocí těchto souřadnic určujeme polohu bodu na referenčním elipsoidu nebo na referenční kouli. Obr. 1. Zeměpisné souřadnice- převzato ze zdroje [1] Zeměpisná šířka je úhel, který svírá normála n referenční plochy s rovinou zemského rovníku. Na elipsoidu se značí φ a na kouli U. Zeměpisná délka je úhel, který svírá rovina místního poledníku s rovinou základního poledníku. Na elipsoidu se značí λ a na kouli V. Zeměpisnou síť tvoří zeměpisné poledníky a rovnoběžky. V matematické kartografii často používáme elementy poledníkového obloukuu ds p a rovnoběžkového ds r, pro které platí: na elipsoidu: = = na kouli: = = kde M a N jsou hlavní poloměry křivosti elipsoidu v boděě o zeměpisné šířce φ, R je poloměr koule, Ncosφφ (RcosU) je poloměr příslušné rovnoběžky. Hlavní poloměry křivosti mají tvar: = (1 ) (1 ) ), = (1 ) 10
2..2.2. Kartografické souřadnice Pro nejvěrnější obraz referenční plochy je zapotřebí, aby se plocha, na níž zobrazujeme, co nejlépe přimykala v dané oblasti k referenční ploše. Což znamená, že pokud máme vyhovět omuto požadavku, pak často nebude osa zobrazovací plochy totožná se zemskou osou. Proto se na výchozí referenční ploše definuje nový souřadnicový systém, který nazývanýý kartografický. Poloha bodu je dána kartografickými souřadnicemi, tj. kartografickou šířkou Š a kartografickou délkou D viz obr. 2. Tyto souřadnice jsou vztažené ke kartografickému pólu K o souřadnicích U K, V K. Ten volíme v závislosti na poloze území a použitém kartografickém zobrazení. Kartografickou šířku měří od kartografického rovníku, kartografickou délku pak od zeměpisného poledníku, který prochází kartografickým pólem. Stejně pak hovoříme o kartografických polednících (též azimutálních kružnicích), kartografických rovnoběžkách (též horizontálních kružnicích) a kartografickém rovníku, které tvoří kartografickou síť. Kartografickou Obr. 2. Kartografické souřadnice- souřadnicovou soustavu zavádíme pro jednoduché převzato ze zdroje [1] použití vět sférické trigonometrie. 11
3. KARTOGRAFICKÉ ZOBRAZENÍ A ZKRESLENÍ 3.1. Kartografické zobrazení Kartografické zobrazení je vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách. V některých případech je možné vztah realizovat geometrickou cestou, takové zobrazení pak nazýváme projekcí nebo perspektivním zobrazením. Zobrazení je definováno pomocí zobrazovacích rovnic, které mají tvar: X = f (φ, λ), Y = g (φ, λ) (3.1) kde X, Y jsou pravoúhlé souřadnice v rovině mapy a φ, λ jsou zeměpisné souřadnice, které jsou určeny na výchozí referenční ploše (koule nebo elipsoid) 3.2. Třídění kartografických zobrazení Kartografická zobrazení třídíme podle charakteristických znaků nebo hledisek, jimž jsou hlavně: a) Vlastnosti kartografických zkreslení b) Charakteristiky obrazu geografické sítě Z hlediska zkreslení zobrazení dělíme na: a) Konformní zobrazení: je takové zobrazení, ve kterém se nezkreslují úhly. Zkreslení ploch jsou značná. b) Ekvidistantní zobrazení: je takové zobrazení, ve kterém se nezkreslují délky určitých soustav čar. c) Ekvivalentní zobrazení: je takové zobrazení, ve kterém se nezkreslují plochy. Značná jsou zkreslení úhlová. d) Kompenzační zobrazení: je takové zobrazení, která má menší úhlové zkreslení než zobrazení ekvivalentní a menší plošné zkreslení než konformní zobrazení. Z hlediska použité zobrazovací plochy zobrazení dělíme na: 1) Zobrazení elipsoidu na kouli 2) Jednoduchá zobrazení a) Azimutální, zobrazení přímo na rovinu b) Kuželová, zobrazení na plášť kužele, který se rozvine do roviny c) Válcová, zobrazení na plášť válce, který se rozvine do roviny 12
Obr. 3. Jednoduchá zobrazení- azimutální, kuželové a válcové 3) Nepravá zobrazení a) Nepravá azimutální (např. Hammerovo zobrazení, Aitovovo zobrazení) b) Nepravá kuželová (např. Bonneovo zobrazení) c) Nepravá válcová (např. eliptická, sinusoidální zobrazení) Obr. 4. Nepravá zobrazení- azimutální, kuželové, válcové sinusoidální 4) Mnohokuželová zobrazení, místo jednoho kuželového pláště je použita soustava kuželů Obr. 5. Mnohokuželové zobrazení 13
5) Zobrazení po vymezených částech, opakování stejného způsobu zobrazení po malých území. 6) Obecná, nevyhovují žádnému z výše uvedených klasifikačních znaků, jsou výsledkem předem stanovených podmínek Jednoduchá zobrazení posuzujeme z hlediska polohy zobrazovací plochy a) Normální poloha, osa válce nebo kužele je totožná s osou referenční plochy nebo se zobrazovací rovina dotýká Země v zemském pólu Obr. 6. Normální poloha zobrazovací plochy- převzato ze zdroje [6] b) Příčná poloha, osa válce nebo kužele leží v rovině rovníku nebo se zobrazovací rovina dotýká Země na rovníku Obr. 7. Příčná poloha zobrazovací plochy- převzato ze zdroje [6] c) Obecná poloha, osa válce nebo kužele prochází středem Země, ale nesplývá s jeho osou ani neleží na rovníku. Obr. 8. Obecná poloha zobrazovací plochy- převzato ze zdroje [6] 14
3.3. Kartografická zkreslení Při kartografickém zobrazování jsou originál i obraz umístěny na rozdílné referenční ploše. Tyto plochy mají různou křivost, a proto při zobrazení dochází k deformaci, kterou nazýváme kartografické zkreslení. Kartografické zkreslení dělíme na: a) Délkové zkreslení m je poměr délkové elementu d S v obraze a v originále. = á (3.2) b) Plošné zkreslení P je poměr dvou sobě odpovídajících obrazců v obraze a originále. = (3.3) á c) Úhlové zkreslení ω je rozdíl velikosti úhlu (směrníku) v obraze a originále ω = ω obraz - ω originál (3.4) Z hlediska zkreslení často hovoříme o zobrazení: a) Ekvidistantním, kdy se nezkreslují délky v určitých směrech b) Ekvivalentním, kdy se nezkreslují plochy c) Konformním, kdy se nezkreslují úhly Pro další odvození vzorců použijeme jako výchozí plochu referenční elipsoid nebo kouli a jako zobrazovací plochu použijeme rovinu. 15
4. METODY HODNOCENÍ KARTOGRAFICKÝCH ZOBRAZENÍ 4.1. Délkové zkreslení a podmínka konformity V literatuře [1] jsou odvozeny vzorce pro délkové zkreslení, z kterých vyplývá, že: Délkové zkreslení v poledníkovém elementu m p dostane pokud bude A=0. Délkové zkreslení v rovnoběžkovém elementu m r dostane pokud bude A=90. =, = (4.1) Pokud = ( ), můžeme rovnici (4.3) upravit na tvar = + + (4.2) Protože jsou derivace fφ, fλ, gφ, gλ i poloměry křivosti funkcemi zeměpisných souřadnic, je možné obecně napsat m A = F(φ, λ, A). Délkové zkreslení se obecně mění s polohou bodu a směrem A uvažovaného délkového elementu. Pokud vezmeme v úvahu případ, kdy délkové zkreslení není závislé na azimutu A, pak musí platit = = 0 Tyto podmínky nazýváme podmínkou konformity. Zobrazení, které tyto podmínky splňuje, nazýváme konformní, neboť se nám nezkreslují úhly. V takových případech je délkové zkreslení konstantní a nezávislé na směru, proto platí = = = 4.2. Hlavní paprsky a elipsa zkreslení Obecně platí, že pokud se mění azimut A, pak se mění i hodnota délkového zkreslení v daném bodě P. Je důležité zjistit, ve kterém azimutu A ε dochází k extrémním hodnotám délkového zkreslení m A. Podmínka nutná pro extrém je, aby =0. Derivací rovnice (4.2) podle proměnné A a následnou úpravou, dostaneme rovnici pro azimut extrémního délkové zkreslení A 2 = V každém bodě existují dva na sebe kolmé paprsky o azimutech A ε1 a A ε2 = A ε1 +90. Toto vyplývá z dvojznačnosti tangenty. Paprsky nazýváme hlavními směry a hlavními paprsky. 16
Pokud azimuty A ε1 a A ε2 2 dosadíme do rovnice (4.2), dostaneme extrémní hodnoty délkového zkreslení a a b (hlavní a vedlejší poloosa elipsy zkreslení) = + + = + + V afinním vztahu platí, že pokud opíšeme v libovolném bodě originálu nekonečně malou kružnici, je jejím obrazem nekonečně malá elipsa. Obecněě platí, že dvojici vzájemně si kolmých paprsků v originále, odpovídá v obraze dvojice paprsků, které nesvírají pravý úhel. Jedinými paprsky na sebe kolmými v obraze i originále, jsou hlavní paprsky a a b. Elipsu, jejímž obrazem je nekonečněě malá kružnice, nazýváme Tissotova indikatrix neboli elipsa zkreslení. 4..3. Zkreslení azimutu a úhlu Zkreslení azimutu ΔA lze definovat jako rozdíl hledaného obrazu azimutu A a odpovídajícího azimutu A v originále ΔA = A - A Azimut je úhel, který svírá libovolná křivka se severní větví místního poledníku. Podle obr. 9. platí: 180 =180 + => = 180 (4.3) Kde μ p a μ s jsou směrnice libovolné křivky a poledníku v bodě P. Obr. 9. Obraz libovolné křivky na elipsoidu- převzato ze zdroje [1] Pro směrnici poledníku v bodě P, kterou získáme dosazením A=0 do předchozí rovnice. = = Úhlové zkreslení Δω je definováno vztahem (3.4). Úhel je možné vyjádřit jako rozdíl dvou azimutů v obraze a originále. = ( ) ( ) (4.5) (4.4) 17
Obraz rovnoběžky a poledníku svírá úhel ϑ. Tento úhel získáme dosazením =, = do rovnice: = + 4..4. Plošné zkreslení Plošné zkreslení je definováno vztahem (3.3), jako nekonečně malý obrazec použijeme sférický trojúhelník. Obr. 10. Diferenciální trojúhelníky v originále a obraze- převzato ze zdroje [1] Dosazením do obecného vztahu pro plošné zkreslení dostaneme vztah: = Kde dp, dr, dp a dr jsou délkové elementy rovnoběžky a poledníku v originále a obraze ϑ je úhel, svírá obraz rovnoběžky a poledníku = Pokud do předchozí rovnice dosadíme vztahy (4.1) a za sin ϑ = ( + )( + ) (4.6) Dostaneme výraz pro plošné zkreslení: = V ekvivalentním zobrazení je plošné zkreslení konstantní, nejčastěji P=1. Každý velký obrazec se skládá z elementárních ploch, pro které platí P= =1, proto je důležité si uvědomit, že ekvivalence se projevujee u ploch nekonečně malých, ale i u ploch libovolně velkých. Z rovnice (4.7) dostaneme podmínku ekvivalence ve formě obecné parciální diferenciáln ní rovnice: = (4.7) 18
5. POPIS POUŽITÝCH KARTOGRAFICKÝCH ZOBRAZENÍ PRO MAPU FRANCIE 5..1. Kuželová zobrazení Toto zobrazení používáme pro území, které je rozložené kolem zvolené rovnoběžky. Základní rovnoběžka je zvolená rovnoběžka procházející středem zobrazované oblasti. Základní poledník je ten, od kterého při zobrazení počítáme zeměpisné délky. Charakteristickými vlastnostmi pro toto zobrazení jsou: poledníky se zobrazují jako Obr. 11. Originál a obraz- převzato ze zdroje [1] svazek přímek, které mají střed V. Rovnoběžky se zobrazují jako částii koncentrických kružnic opsaných ze středu V. Obraz základního poledníku SAJ je přímka V A. Obraz základní rovnoběžky o zeměpisné šířce φ 0 je část kružnice jdoucí bodem A, o středu V a poloměrem ρ 0. Rovnoběžka, která prochází bodem P o zeměpisné šířce φ se zobrazí jako část soustředné kružnice s poloměrem ρ. Poledník, který prochází bodem P o zeměpisné délce λ se zobrazí jako přímka, která prochází bodem P a je odchýlena o úhel ε od obrazu základního poledníku. Je zřejmé, že z uvedených geometrických vlastností obrazu geografické sítě musí být veličina ρ funkcí φ a veličina ε funkcí λ. Je důležité, aby obrazy poledníků, které na referenční ploše svírajíí stejné úhly, byly v obraze ve stejných úhlových odlehlostech. U kuželových zobrazení je obraz geografické sítě symetrický podle kteréhokoliv poledníku. Z těchto požadavků plynou zobrazovací rovnice pro referenční kulovou plochu: ρ = f(u), ε = nv (5.1) Obraz bodu P je jednoznačně určen rovnicí (5.1) při dané funkci f s výjimkou singulárních bodů. Ty se obecně zobrazují jako kruhová oblouk o poloměru ρ = f( (± 90 ) v rozpětí ε = 0 a ε = n 360. Konstanta zobrazení n je v intervalu (0,1). Pro referenční kulovou plochu mají rovnice pro obraz základní rovnoběžky po zavedení poloměru ρ 0 tvar: ρ = ρ 0 + F (U0 U), ε =nv (5.2) 19
Je patrné, že z uvedených rovnic získáme konkrétní kuželové zobrazení určením funkce F a volbou konstant n a ρ 0. Funkci F volíme dle požadavků vlastností budoucího zobrazení, volba konstant ρ 0 a n se provádí dle požadavků kladených na zkreslení. Touto volbou vznikají různé možnosti, které rozlišujeme podle toho, zda se nezkreslujee jedna či dvě rovnoběžky nebo podle dalších požadavků. Z poznatku, že hlavními paprsky jsou poledník a rovnoběžka, určíme vzorce pro zkreslení. Musíme najít zkreslení v poledníku m p a rovnoběžce m r, protože ostatní zkreslení získáme na základě jejich znalosti. Z definice délkového zkreslení pro referenční kulovou plochu vyplývá: =, =, = Pro zkreslení v délkovém elementu, svírajícím s poledníkem azimut A, můžeme napsat: = + (5.4) Rovnice pro plošné zkreslení a maximální úhlové zkreslení mají tvar: =, = (5.5) Z výrazů vyplývá, že zkreslení pro toto zobrazení v normální poloze jsou funkcemi zeměpisné šířky a ekvideformáty jsou obrazy zeměpisných rovnoběžek. Délkové zkreslení roste od nezkreslené rovnoběžky mírně asymetricky, a to rychleji k pólům. Na základě transformačních vztahů z [1] kapitola 1.4.5.. získáme pravoúhlé rovinné souřadnice X, Y. Když umístíme počátek Obr.12.- převzato ze zdroje [1] pravoúhlé soustavy do obrazu průsečíku základního poledníku a základní rovnoběžky, osu X do obrazu základního poledníku, osu Y dle obr. 12. dostaneme transformační rovnice ve tvaru: = = Pokud chceme pouze kladné souřadnice, je možné posunout počátek o vhodně zvolenou konstantu jihozápadně vzhledem k zobrazovanému území. Ekvivalentní zobrazení U toho zobrazení postačí, když budeme uvažovat referenční kulovou plochu, protože tato zobrazení se používají pouze pro mapy malých měřítek. Jelikož pro ekvivalentní zobrazení platí P=1, pak bude podle (5.5) =1 (5.3) 20
Dosazení z rovnice (5.3) a po separaci proměnných dostaneme: = Integrací předchozího výrazu dostaneme: = + (5.6) Při volbě základní rovnoběžky o zeměpisné šířce U 0 bude podle (5.6) platit rovnice pro poloměr základní rovnoběžky: = 2 + Po odečtení od rovnice (5.6) dostaneme zobrazovací rovnici: = + ( ) (5.7) Podle rovnic (5.2), v nichž je rovnicí (5.7) určena funkce F (U 0 U), platí opět druhá zobrazovací rovnice ε = nv. Zkreslení v ekvivalentním kuželovém zobrazení je podle rovnic (5.3) a (5.5) =, =,=1, = (5.8) Je nutné zvolit dvě podmínky pro konstanty ρ 0 a n, podle toho zda chceme, aby se nezkreslovala jedna nebo dvě rovnoběžky, popřípadě aby se pól zobrazil jako bod. 5.1.1. Albersovo ekvivalentní zobrazení s dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Toto zobrazení bylo poprvé prezentováno v Německu roku 1805 Heinrichem Christianem Albersem (1773 1833). Pro toto zobrazení platí m r1 = m r2. Dosazením do rovnice (5.8) dostáváme: =1, =1 Po úpravě a dosazení za ρ 1, ρ 2 z rovnice (5.8) bude platit: + ( ) = (5.9) + ( ) = Po odečtení a úpravě dostaneme: = (5.10) Konstantu ρ 0 získáme vyjádřením z předchozích rovnic = + ( ) (5.11) 21
Dosazením předchozího výrazu do rovnice (5.7) dostaneme zobrazovací rovnici Albersova ekvivalentního zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami: = + 2( ) (5.12) Volba nezkreslených rovnoběžek Konstanty zobrazení počítáme dle vzorců (5.10) a (5.11). Volba nezkreslených rovnoběžek se volí buďto na základě doporučení nebo na základě volených podmínek. V tomto případě byly nezkreslené rovnoběžky voleny v ¼ a ve ¾ intervalu, který je určen rozdílem nejsevernější a nejjižnější zeměpisné šířky daného území. Návrh Albersova ekvivalentního kuželového zobrazení V dnešní době se nejvíce používají kuželová zobrazení v normální poloze, kde je osa kužele totožná s osou rotace Země. Pro tuto práci bylo zvoleno Albersovo zobrazení se dvěma nezkreslenýma rovnoběžkami U 1 = 45 a U 2 = 49. Základní rovnoběžka a konstanty zobrazení, n Základní rovnoběžka leží uprostřed zobrazovaného území a její zeměpisná šířka je = 47. Obr. 13. Albersovo zob. pro Francii Konstanty zobrazení byly počítány na základě těchto podmínek: 1) Podmínka stejného zkreslení v krajních rovnoběžkách 2) Podmínka, aby v základní rovnoběžce byla hodnota absolutního vlivu délkového zkreslení stejná jako v krajních rovnoběžkách. V následující tabulce jsou uvedeny parametry navrženého Albersova ekvivalentního kuželového zobrazení v normální poloze. Tab. 1. Návrh Albersova ekvivalentního kuželového zobrazení Zeměpisná šířka severní krajní rovnoběžky 51 Zeměpisná šířka jižní krajní rovnoběžky 43 Zeměpisná šířka nezkreslené severní rovnoběžky 49 Zeměpisná šířka základní rovnoběžky 47 Zeměpisná šířka nezkreslené jižní rovnoběžky 45 konstanta zobrazení n 0,73090818 poloměr referenční koule 1 22
5..2. Válcové zobrazení U válcových zobrazení v normální poloze, se rovník a všechny rovnoběžky zobrazují jako osnova rovnoběžných přímek. Poledníky pak tvoří osnovu přímek, které jsou vzájemně stejně odlehlé, rovnoběžné a kolmé na obrazy rovnoběžek. Jako osu Y volíme obraz základního poledníku a jako osu X obraz rovníku. Obr. 14. Válcové zobrazení v normální poloze- převzato ze zdroje [1] Z vlastností geografické sítě plyne, že v zobrazovacích rovnicích musí být veličina Y funkcí U a veličina X lineární funkcí. Při požadavku, aby přímkové obrazy poledníků měly konstantní vzdálenost, mají zobrazovací rovnice tvar: X=nV, Y=f(U) (5.13) Tvar funkce f určujeme z širšího požadavku na vlastnosti rovinného obrazu, obdobně jako u kuželových zobrazení s rozdílem, že se nevyskytují dvě neurčené konstanty, ale jen jedna a to konstanta n. To je způsobeno tím, že válcová plocha se dá pokládat za speciální případ kuželové plochy, kde vrchol kužele je vzdálen do nekonečna. Poledníky a rovnoběžky jsou hlavními paprsky s extrémními hodnotami délkového zkreslení, protože obraz geografické sítě tvoří ortogonální síť. Zkreslení v poledníku a rovnoběžce je podle (5.13): =, = = Na základě vzorců čtvrté kapitoly je možné napsat výrazy pro zkreslení v délkovém elementu, odchýleném od poledníku o azimutuu A, plošné zkreslení a maximální úhlové zkreslení ve tvaru: = +, =, Všechna zkreslení jsou funkcí zeměpisné šířky a ekvideformátami jsou obrazy rovnoběžek. U válcových zobrazení jsou zkreslení rozložena symetricky k rovníku. = (5.14) (5.15) 23
Volba konstanty n Konstanta se určuje z podmínky, která rovnoběžka nebo rovnoběžky se na mapě nezkreslují. Pro tuto práci byla zvolena jedna nezkreslená rovnoběžka, proto si pro příklad představíme válec tečný podél rovníku, který se nezkresluje a při U=0 bude platit: = =1=>= (5.16) Pro délkové zkreslení v rovnoběžce platí: Ekvivalentní zobrazení = (5.17) Pro ekvivalentní zobrazení platí, že P=1, proto bude podle (5.15) m p mr = 1. Po dosazení podle (5.14) a (5.17) při nezkresleném rovníku získáme: Po separaci proměnných a následné integraci získáme: = => = + =1 (5.18) Protože se rovník má zobrazit jako osa X, musí platit k = 0, z toho plyne, že zobrazovací rovnice pro ekvivalentní válcové zobrazení mají tvar: X=RV, Y=RsinU (5.19) Pro zkreslení podle (5.14) a (5.17) platí: =, = 1, = 1, 2 = 1 1 + 5.2.1. Izocylindrické Lambertovo ekvivalentní válcové zobrazení Toto zobrazení bylo prezentováno roku 1772 Johanem Heinrichem Lambertem (1728-1777). Jedná se o zobrazení s jednou dotykovou kružnicí, u kterého je požadováno, aby se ploše obdélníka rovnal povrch kulového glóbusu. Vzájemná odlehlost rovnoběžek se od nezkresleného rovníku zmenšuje směrem k pólům. Póly jsou zobrazeny jako úsečky, o stejné délce jako rovník. Ekvivalentní zobrazení bylo známé již ve 3. stol. př. n. l., ale pro mapu světa se neuvažovalo. Dnes se tyto zobrazení používají zejména pro mapy malých měřítek. 24
Návrh válcového ekvivalentního zobrazení v normální poloze Zobrazení je určeno jednou nezkreslenou rovnoběžkou (kartografický rovník), která opět prochází středem území. Obr. 15. Válcové zob. pro Francii Konstanta zobrazení n Konstantu určíme z podmínky, která rovnoběžka se na mapě nezkresluje. Tab.2.Návrh válcového ekvivalentního zobrazení v normální poloze Zeměpisná šířka základní rovnoběžky 47 konstanta zobrazení n 0,68199836 poloměr referenční koule 1 5.3. Azimutální zobrazení U těchto zobrazení vzniká obraz referenčního tělesa přímo v rovině, nejčastěji v obecné poloze. Rovina je kolmá ke spojnici kartografického pólu se středem referenční koule C jak je vidět na obr. 17. Nezáleží na vzdálenosti roviny od středu C, protože se mění pouze měřítko, což znamená, že tvar a vlastnosti obrazu jsou nezměněny. Azimutální zobrazení je speciálním případem kuželových zobrazení, kde konstanta n je rovna jedné a vrchol kužel splývá s kartografickým pólem. Důsledkem toho, se obraz sítě kartografických poledníků a rovnoběžek uzavírá na plných 360. Kartografický pól K o zeměpisných souřadnicích U K, V K, který leží ve středu zobrazovaného území, definuje systém kartografických poledníků a a rovnoběžek h. Obraz kartografických poledníků je opět svazek přímek s vrcholem K. Základní poledník SKJ se zobrazí jako osa X. Od takto zvoleného základního poledníku měříme kartografické délky D. Obrazem kartografických rovnoběžek h jsou kružnice, které mají střed v K. Poloměr těchto rovnoběžek závisí na kartografické šířce Š. Azimutální zobrazení se používají hlavně pro území soustředěná kolem pólu, který je středem tohoto zobrazení. Proto je výhodné do výpočtu zavést zenitový úhel ψ, který je definován vztahem ψ = 90 - Š. U zobrazení, kde kartografický pól splývá s pólem zeměpisným, nazýváme tento úhel polárním. 25
Obr. 16. Azimutální zobrazení- převzato ze zdroje [1] Pro azimutální zobrazení platí podle geometrických vlastností obrazu kartografické sítě tyto zobrazovací rovnice: p = f( (ψ), ε = D Volbu funkce f určujeme z požadavků, jako jsou, ekvidistance, ekvivalence, konformita, nebo i jinak. Druhá zobrazovací rovnice je společná pro všechna azimutální zobrazení. Protože kartografické poledníky a rovnoběžky jsou na referenční kouli i v obraze v každém bodě ortogonální dvojicí, jsou tyto křivky hlavními paprsky, proto můžeme na základě poznatků z předchozíchh kapitol psát obecný tvar rovnic pro zkreslení: = = Š, = = Š Z předchozích rovnic je zřejmé, že zkreslení je závislé na kartografické šířce a ekvideformáty jsou shodné s obrazem kartografických rovnoběžek. Opět můžeme zavést pravoúhlou rovinnou soustavu, kde pravoúhlé souřadnice X, Y získáme transformací, stejně jako tomu bylo u kuželových zobrazení. Pro kladné souřadnice, je počátek posunut pomocí adiční konstanty do libovolného místa vzhledem ke středu zobrazovaného území. Ekvivalentní zobrazení Je zobrazení, jehož rozvinutá plocha kulového vrchlíku do roviny je omezená horizontální kružnicí na glóbusu, která se svou plochou rovná ploše kruhu, omezené obrazem horizontální kružnice v mapě. Obraz poledníků je svazek paprsků s počátkem v pólu, rovnoběžky jsou soustředné kružnice kolem toho pólu. V obecné poloze je obraz základního poledníku přímka, ostatní poledníky a rovnoběžky se zobrazí jako křivky. V příčné poloze se jako přímka zobrazí základní poledník a rovník. Tyto dvě přímky jsou na sebee kolmé. Ostatní poledníky a rovnoběžky se zobrazí jako křivky. Zobrazovací rovnice odvodíme z podmínky na ekvivalenci zobrazení: = = 1, =, = (5.20) 26
Po separaci proměnných dostaneme: = Po následné integraci dostaneme zobrazovací rovnice: = 2, = (5.21) Kde k je integrační konstanta, kterou volíme libovolně. Výrazy pro zkreslení jsou podle obecných rovnic (5.20): =, =,=1, = ( (5.22) ( ) ( ) Z těchto výrazů plyne, že délkové zkreslení je rovno jedné pouze v pólu. V ostatních bodech je m r > 1 a m p < 1. 5.3.1. Lambertovo ekvivalentní azimutální zobrazení Toto zobrazení odvodil Johann Heinrich Lambert v roce 1772. U tohoto zobrazení je stanovena podmínka, aby se kartografický pól zobrazoval jako bod. Pro ψ = 0 platí ρ=0 a konstanta k je =2. Zobrazovací rovnice má tvar: 2 2 ρ = 2 R (1 cos ψ) Jelikož platí 1 = 2 ( 2 ) můžeme zobrazovací rovnice napsat ve tvaru: ) = 2, =. (5.23) Pro zkreslení platí rovnice (5.24). Je zřejmé, že délkové zkreslení je závislé na vzdálenosti od středu mapy. Zobrazení je využíváno pro zobrazování velkých území kruhového tvaru na mapách malých měřítek. Využívá se v geografii pro školní atlasy a nástěnné mapy. Využití ekvivalentního azimutálního zobrazení je neznámější u map západní a východní polokoule. Návrh ekvivalentního azimutálního zobrazení v obecné poloze Pro návrh tohoto zobrazení byla danému území na mapě opsána nejmenší kružnice a byly zjištěny souřadnice kartografického pólu. Obr. 17. Azimutální zob. pro Francii 27
Tab.3.Návrh ekvivalentního azimutálního zobrazení v normální poloze Zeměpisná šířka kartografického pólu Zeměpisná délka kartografického pólu poloměr referenční koule 47 2 1 5..4. Nepravá kuželová zobrazení Zeměpisné rovnoběžky jsou u toho zobrazení zobrazeny jako soustředné kružnice o poloměru ρ se společným středem, který je na prodloužené ém obraze základního poledníku ve vzdálenosti od zvoleného počátku. Zeměpisné poledníky jsou symetrické křivky k obrazu základního poledníku. Ten se zobrazuje jako přímka. Jednotlivé poledníky se pak sbíhají v pólu. Obr. 18. Nepravá kuželová zobrazení převzato ze zdroje [1] Zobrazovací rovnice a pravoúhlé souřadnice pro toto zobrazení jsou: ρ= f( U), ε= g(u,v) =, =, = Z diferenciálního trojúhelníka můžeme odvodit rovnice pro zkreslení. = = =, =, 5..4.1. Bonneovo zobrazení = cosϑ, 2 = 1 2 + 2 Toto zobrazení, které je někdy nazýváno srdcové, bylo známo již v 16. století, pojmenovánoo bylo však v roce 1752 po Rigobertu Bonneovi. Ten totoo zobrazení navrhl pro topografické mapy Francie v měřítku 1 : 80 000. Bylo používáno pro mapová díla Rakouska, Švýcarska a dalších států. Toto zobrazení není vhodné pro mapy celé Země. Základní poledník je v tomto zobrazení přímý a nezkresluje se, ostatní poledníky jsou složité křivky. Rovnoběžky se nezkreslují, což znamená, že zobrazení je ekvidistantní v rovnoběžkách. Zavedením nezkreslených rovnoběžek je použitelnost oproti jednoduchému kuželovému u zobrazení vylepšena. 28
Zobrazovací rovnice v polárním a pravoúhlém tvaru jsou: = +( ), =( ( ) +, Výrazy pro zkreslení jsou vyjádřeny jako: =, = = ( ) + = 1+, = 1, = ( Návrh Bonneovo zobrazení Toto zobrazení je ekvivalentní a ekvidistantní v rovnoběžkách. Byl zvolen základní poledník, který je nezkreslený a prochází středem území. Stejně jako u jednoduchých kuželových zobrazení, tak i tady byla zvolena základní rovnoběžka, která se zobrazí v mapě jako kružnice o poloměru. Obr. 19. Bonneovo zob. pro Francii Základní poledník, základní rovnoběžka a konstanta zobrazení Základní poledník V, který prochází středem území, má zeměpisnou délku V =2. Základní rovnoběžka byla stejně jako u jednoduchého kuželového zobrazení zvolena ve středu území a její zeměpisná šířka je = 47. Konstanta zobrazení ρ byla určena ze vztahu: = V následující tabulce jsou uvedeny parametry navrženého Bonneova zobrazení. Tab. 3. Návrh Bonneova zobrazení Zeměpisná šířka severní krajní rovnoběžky 51 Zeměpisná šířka jižní krajní rovnoběžky 43 Zeměpisná šířka základní rovnoběžky 47 Zeměpisná délka základního poledníku 2 poloměr základní rovnoběžky 0,932515086 poloměr referenční koule 1 29
6. HODNOCENÍ NAVRŽENÝCH ZOBRAZENÍ Deformační poměry lze hodnotit několika způsoby: Zákresem ekvideformát délkového, plošného či maximálního úhlového zkreslení. Zákresem elips zkreslení, které jsou vyhotoveny v uzlových bodech geografické sítě. Tabulkami hodnot zkreslení, ty zpravidla vyhotovujeme ve stanoveném intervalu geografické sítě. Kritérii, která jsou různých typů. Pro posouzení zobrazení, která byla zvolena pro tuto práci, byla zvolena kritéria, které jsou popsány níže. 6.1. Kritéria pro hodnocení zobrazení Kritéria, která jsou popsána níže, mají smysl jak pro hodnocení jednotlivých zobrazení, tak i pro získání zobrazení s minimálními hodnotami zkreslení. Kritéria minimaximální V těchto kritériích se posuzuje pouze minimální a maximální hodnota zkreslení, ze kterého se utvoří podíl. Kritéria extrémní Posuzuje se extrémní hodnota některého ze zkreslení. Pro tuto práci bylo posuzováno maximální zkreslení úhlové Δω. Hodnotu maximálního zkreslení získáme diferencováním rovnice =. (6.1) Tato rovnice nám udává vztah mezi směry α a α, který je vyjádřen pomocí zkreslení a a b ve směru hlavních paprsků. Po úpravě rovnice (6.1) dostaneme výraz, pro extrémní zkreslení úhlu Δω : 2 = + Kritéria variační Neboli kritéria součtová a integrální, jsou posuzována z hlediska charakteristiky zobrazovací metody, získané integrací v celé zobrazované oblasti. Lokální kritéria h 2 posuzují vlastnosti zobrazení ve zvoleném bodě a nelze z nich vyčíst další vlastnosti zobrazení. 30
Globální kritéria I nejlépe určují vlastnosti kartografického zobrazení, protože berou v úvahu hodnoty zkreslení, které byly získány integrací v celé zobrazované oblasti. Nejčastěji používaná lokální a jim příslušná globální kritéria jsou Airyho kritérium h = 1 2 ( 1) +( 1) Jordanovo kritérium Airy-Kavrajského kritérium h = 1 2 ( 1) h = 1 2 ( + ) Jordan-Kavrajského kritérium Komplexní kritérium h = h = 1 2 1 + 1 +( 2 1) Pro hodnocení zobrazení této práce bylo použito Airyho kritérium a komplexní kritérium. 31
7. POUŽITÉ PROGRAMY 7.1. Systém Projection Je software určený pro základní úlohy matematické kartografie a pro přepočty mezi souřadnicemi. Jde především o zobrazení zeměpisných souřadnic φ, λ do rovinných X, Y a opačně, výpočty zkreslení atd. Tento systém umožňuje použít většinu kartografických zobrazení. Je možné si parametry zobrazení zvolit. Systém využívá velké množství elipsoidů, na které lze zobrazení aplikovat. Program se skládá z několika modulů. Pro tuto práci byl použit modul proj.exe, který slouží pro výpočty kartografických zobrazení. Systém patří do skupiny tzv. free software a vychází pod MIT licencí. Ta je kompatibilní s GNU/GPL licencí. Je naprogramován v jazyce C a určen pro operační systémy UNIX i Microsoft Windows. 7.1.1. Základní ovládání Jelikož je tento program konzolová aplikace, lze příkazy zadávat pomocí příkazového řádku nebo v prostředí konzole. Výběr zobrazení a jeho parametrů: Výběr zobrazení se provádí pomocí příkazu +proj=zkratka zobrazení. Výpis zkratek nadefinovaných zobrazení provádíme příkazem proj -1. Volba referenční plochy se provádí pomocí příkazu +ellps=jméno elipsoidu. Pokud chceme zadat vlastní elipsoid, je nutné nejdříve zadat velikost hlavní poloosy příkazem +a=a a potom některý z parametrů: Velikost vedlejší poloosy proj +b=b Zploštění proj +f=textitf Převracená hodnota zploštění proj +rf=1/f Excentricita proj +e=e Čtvercem excentricity proj +es=e2 Vstup a výstup dat Vstupní i výstupní souřadnice je možné zadávat jednotlivě v pořadí zeměpisná délka, zeměpisná šířka nebo zadáním názvu vstupního či výstupního souboru. Výstup ze samotného programu lze provést kombinací kláves ctrl Z. 32
7.1.2. Ukázky výstupních souborů Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení- vstupní bod [2de,50dn] proj +proj=aea +R=1 +lat_1=45 +lat_0=47 +lat_2=49 -V vstup.txt > vystup.txt #Albers Equal Area # Conic Sph&Ell # lat_1= lat_2= # +proj=aea +R=1 +lat_1=45 +lat_0=47 +lat_2=49 #Final Earth figure: sphere # Radius: 1.000 Longitude: 2dE [ 2 ] Latitude: 50dN [ 50 ] Easting (x): 0.02 Northing (y): 0.05 Meridian scale (h) : 0.99919255 ( -0.08075 % error ) Parallel scale (k) : 1.00080811 ( 0.08081 % error ) Areal scale (s): 1.00000000 ( -5.727e-009 % error ) Angular distortion (w): 0.093 Meridian/Parallel angle: 90.00000 Convergence : 1d27'42.539" [ 1.46181636 ] Max-min (Tissot axis a-b) scale error: 1.00081 0.99919 Bonneovo zobrazení v normální poloze- vstupní bod [2de,50dn] proj +proj=bonne +R=1 +lat_1=47 +lon_0=2 -V vstup.txt > vystup.txt #Bonne (Werner lat_1=90) # Conic Sph&Ell # lat_1= # +proj=bonne +R=1 +lat_1=47 +lon_0=2 #Final Earth figure: sphere # Radius: 1.000 Longitude: 2dE [ 2 ] Latitude: 50dN [ 50 ] Easting (x): 0.00 Northing (y): 0.05 Meridian scale (h) : 1.00000000 ( -2.676e-009 % error ) Parallel scale (k) : 1.00000000 ( -5.889e-009 % error ) Areal scale (s): 1.00000000 ( -8.564e-009 % error ) Angular distortion (w): 0.000 Meridian/Parallel angle: 90.00000 Convergence : 0d [ 0.00000000 ] Max-min (Tissot axis a-b) scale error: 1.00000 1.00000 Ekvivalentní azimutální zobrazení v obecné poloze- vstupní bod [2de,50dn] proj +proj=laea +R=1 +lat_0=46.50 +lon_0=2 -V vstup.txt > vystup.txt #Lambert Azimuthal Equal Area # Azi, Sph&Ell # +proj=laea +R=1 +lat_0=46.50 +lon_0=2 #Final Earth figure: sphere # Radius: 1.000 Longitude: 2dE [ 2 ] Latitude: 50dN [ 50 ] Easting (x): 0.00 Northing (y): 0.06 Meridian scale (h) : 0.99953359 ( -0.04664 % error ) Parallel scale (k) : 1.00046663 ( 0.04666 % error ) Areal scale (s): 1.00000000 ( -7.416e-009 % error ) Angular distortion (w): 0.053 Meridian/Parallel angle: 90.00000 Convergence : 0d [ 0.00000000 ] Max-min (Tissot axis a-b) scale error: 1.00047 0.99953 33
Válcové ekvivalentní zobrazení v normální poloze- vstupní bod [2de,50dn] proj +proj=cea +R=1 -V +lat_ts=47 -V vstup.txt > vystup.txt #Equal Area Cylindrical # Cyl, Sph&Ell # lat_ts= # +proj=cea +R=1 +lat_ts=47 #Final Earth figure: sphere # Radius: 1.000 Longitude: 2dE [ 2 ] Latitude: 50dN [ 50 ] Easting (x): 0.02 Northing (y): 1.12 Meridian scale (h) : 0.94250609 ( -5.749 % error ) Parallel scale (k) : 1.06100110 ( 6.1 % error ) Areal scale (s): 1.00000000 ( -1.083e-009 % error ) Angular distortion (w): 6.781 Meridian/Parallel angle: 90.00000 Convergence : 0d [ 0.00000000 ] Max-min (Tissot axis a-b) scale error: 1.06100 0.94251 7.2. Matlab Mapping Toolbox Tento software byl pro účel práce použit zejména pro grafické vyjádření použitých zobrazení. 7.2.1. Základní ovládání Program nabízí 73 předdefinovaných zobrazení, jejichž seznam zjistíme na stránkách společnosti Mathworks nebo jej vypíšeme příkazem maps. Výstupem je seznam zobrazení, který vypadá takto: MapTools Projections CLASS NAME ID STRING Cylindrical Lambert Cylindrical lambcyln Conic Equal Area Conic (Albers) eqaconic PseudoConic Bonne bonne Azimuthal Equal Area Azimuthal (Lambert) eqaazim * Denotes availability for sphere only Sloupec CLASS informuje o třídě zobrazení, NAME uvádí celý název zobrazení a ID STRING je textový řetězec, který je třeba znát pro použití daného zobrazení. Příkazem axesm + ID string definujeme zobrazení, které chceme použít. Pokud zadáme pouze příkaz axesm, můžeme zobrazení určit pomocí grafického rozhraní. Pokud chceme vykreslit jen část kontinentu, musíme zadat rozhraní území pomocí příkazů MapLatLimit (ohraničení pomocí rovnoběžek) a MapLonLimit (ohraničení pomocí poledníků). Příkazem gridm zobrazíme geografickou síť. Příkazem patchm(lat, long, color) obarvíme dané území, kde do příkazu color zadáváme parametry, které nastavují barvu. 34
7.2.2. Ukázky vstupních příkazů Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení %Kuzelove zobrazeni figure axesm('eqdconicstd','maplatlimit',[42 52],'MapLonLimit', [355 8]) gridm('-') framem load coast patchm(lat,long,[0.25,0.75,0.75]) Bonneovo zobrazení v normální poloze %Bonneovo zobrazeni figure axesm ('bonne','maplatlimit',[42 52],'MapLonLimit', [355 8]) gridm('-') framem load coast patchm(lat,long,[0.25,0.75,0.75]) Ekvivalentní azimutální zobrazení v obecné poloze %Azimutalni zobrazeni figure axesm ('eqaazim','maplatlimit',[42 52],'MapLonLimit', [355 8]) gridm('-') framem load coast patchm(lat,long,[0.25,0.75,0.75]) Válcové ekvivalentní zobrazení v normální poloze %Valcove zobrazeni figure axesm ('lambcyln','maplatlimit',[42 52],'MapLonLimit', [355 8]) gridm('-') framem load coast patchm(lat,long,[0.25,0.75,0.75]) 35
8. ZÁVĚR Účelem této práce bylo navrhnout ekvivalentní kartografická zobrazení pro mapu Francie a ty následně mezi sebou porovnat. Nejprve byla vhodně rozvržena kartografická síť bodů po 1. V systému projection byla pro každý uzlový bod vypočtena elipsa chyb, její zkreslení poloos a a b, délkové zkreslení na místním poledníku a rovnoběžce m p a m r a maximální úhlové zkreslení Δω. Tyto hodnoty byly použity pro výpočet těchto zvolených hodnotících kritérií: Airyho kritérium, extrémní kritérium a komplexní kritérium viz kapitola 6.1. Zobrazení Lambertovo ekvivalentní azimutální zobrazení Airyho kritérium Komplexní kritérium aritmetický průměr Δω 0,000000128 0,000892871 0,034015385 Bonneovo zobrazení 0,000000285 0,001166417 0,044584615 Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení Lambertovo ekvivalentní válcové zobrazení 0,000000446 0,001506199 0,057323077 0,001439167 0,098885811 3,661861538 Z uvedené tabulky vyplývá, že pro mapu Francie je nejvhodnějším zobrazení Lambertovo ekvivalentní azimutální zobrazení, protože absolutní hodnoty všech výše uvedených kritérií jsou nejmenší, a proto mapa v tomto zobrazení bude vykazovat nejmenší plošné zkreslení. Naopak nejhorším je Lambertovo ekvivalentní válcové zobrazení, protože absolutní hodnoty všech kritérií jsou největší. V porovnání s Lambertovo ekvivalentním azimutálním zobrazením i o několik řádu. 36
POUŽITÉ ZDROJE Literatura: [1] BUCHAR, Petr. Matematická kartografie. České vysoké učení technické. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2005. 203 s. [2] NOVÁK, Václav ; MURDYCH, Zdeněk. Kartografie a topografie. Praha : Státní pedagogické nakladatelství praha, 1988. 318 s. [3] MIKŠOVSKÝ, CSC, Ing. Miroslav. Kartografie. Praha : Geodetický a kartografický podnik, 1987. 209 s. [4] KUCHAŘ, doc. RNDr. Karel. Přehled matematické kartografie. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1979. 127 s. Internetové zdroje [4] JEŽEK, Jan; SKLENIČKA, Radek. System Projection: Aplikace pro souřadnicové výpočty a základní geodetické úlohy [online]. 2004 [cit. 2011-03-30]. Dostupné z WWW: <http://gist.fsv.cvut.cz/~sklenicka/sklena/proj-manual.pdf>. [5] THE MATHWORKS. Mapping Toolbox [online]. Dostupné na: <http://www.mathworks.com/products/mapping> [6] BAYER, Ph.D., Ing. Tomáš. Zobrazení [online]. 2010 [cit. 2011-04-29]. Dostupné z WWW: <http://web.natur.cuni.cz/~bayertom/mmk/4_zobrazeni.pdf>. 37
SEZNAM PŘÍLOH [1] Souřadnice uzlových bodů pro Francii [2] Rozložení uzlových bodů [3] Vypočtená data kuželového zobrazení [4] Vypočtená data Bonneova zobrazení [5] Vypočtená data azimutálního zobrazení [6] Vypočtená data válcového zobrazení SEZNAM POUŽITÝCH OBRÁZKŮ Obr. 1. Zeměpisné souřadnice Obr. 2. Kartografické souřadnice Obr. 3. Jednoduchá zobrazení- azimutální, kuželové a válcové Obr. 4. Nepravá zobrazení- azimutální, kuželové, válcové sinusoidální Obr. 5. Mnohokuželové zobrazení Obr. 6. Normální poloha zobrazovací plochy Obr. 7. Příčná poloha zobrazovací plochy Obr. 8. Obecná poloha zobrazovací plochy Obr. 9. Obraz libovolné křivky na elipsoidu Obr. 10. Diferenciální trojúhelníky v originále a obraze Obr. 11. Originál a obraz Obr. 13. Albersovo zob. pro Francii Obr. 14. Válcové zobrazení v normální poloze Obr. 15. Válcové zob. pro Francii Obr. 16. Azimutální zobrazení Obr. 17. Azimutální zob. pro Francii Obr. 18. Nepravá kuželová zobrazení Obr. 19. Bonneovo zob. pro Francii 38
PŘÍLOHY Příloha č. 1: Souřadnice uzlových bodů pro Francii n zeměpisná délka V zeměpisná šířka U n zeměpisná délka V zeměpisná šířka U dw, de dn dw, de Dn 1 2 de 50 dn 33 5 de 47 dn 2 3 de 50 dn 34 6 de 47 dn 3 4 de 50 dn 35 1 dw 46 dn 4 1 dw 49 dn 36 0-46 dn 5 0-49 dn 37 1 de 46 dn 6 1 de 49 dn 38 2 de 46 dn 7 2 de 49 dn 39 3 de 46 dn 8 3 de 49 dn 40 4 de 46 dn 9 4 de 49 dn 41 5 de 46 dn 10 5 de 49 dn 42 6 de 46 dn 11 6 de 49 dn 43 7 de 46 dn 12 7 de 49 dn 44 1 dw 45 dn 13 8 de 49 dn 45 0-45 dn 14 4 dw 48 dn 46 1 de 45 dn 15 3 dw 48 dn 47 2 de 45 dn 16 2 dw 48 dn 48 3 de 45 dn 17 1 dw 48 dn 49 4 de 45 dn 18 0-48 dn 50 5 de 45 dn 19 1 de 48 dn 51 6 de 45 dn 20 2 de 48 dn 52 1 dw 44 dn 21 3 de 48 dn 53 0-44 dn 22 4 de 48 dn 54 1 de 44 dn 23 5 de 48 dn 55 2 de 44 dn 24 6 de 48 dn 56 3 de 44 dn 25 7 de 48 dn 57 4 de 44 dn 26 2 dw 47 dn 58 5 de 44 dn 27 1 dw 47 dn 59 6 de 44 dn 28 0-47 dn 60 7 de 44 dn 29 1 de 47 dn 61 1 dw 43 dn 30 2 de 47 dn 62 0-43 dn 31 3 de 47 dn 63 1 de 43 dn 32 4 de 47 dn 64 2 de 43 dn 65 3 de 43 dn 39
Příloha č.2: Rozložení uzlových bodů 40
Příloha č. 3: Vypočtená data Albersova zobrazení n zeměpisná šířka U zeměpisná délka V Tissotova indikatrix a b mp mr ω 1 50 2 1,00081 0,99919 0,999193 1,000808 0,093 2 50 3 1,00081 0,99919 0,999193 1,000808 0,093 3 50 4 1,00081 0,99919 0,999193 1,000808 0,093 4 49-1 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 5 49 0 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 6 49 1 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 7 49 2 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 8 49 3 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 9 49 4 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 10 49 5 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 11 49 6 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 12 49 7 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 13 49 8 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 14 48-4 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 15 48-3 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 16 48-2 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 17 48-1 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 18 48 0 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 19 48 1 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 20 48 2 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 21 48 3 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 22 48 4 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 23 48 5 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 24 48 6 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 25 48 7 1,00047 0,99953 1,000466 0,999534 0,053 26 47-2 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 27 47-1 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 28 47 0 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 29 47 1 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 30 47 2 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 31 47 3 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 32 47 4 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 33 47 5 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 34 47 6 1,00061 0,99939 1,000609 0,999391 0,070 35 46-1 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 36 46 0 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 37 46 1 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 38 46 2 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 39 46 3 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 40 46 4 1,00045 0,99955 1,0004486 0,9995516 0,051 41 46 5 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 42 46 6 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 43 46 7 1,00045 0,99955 1,000449 0,999552 0,051 44 45-1 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 45 45 0 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 46 45 1 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 47 45 2 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 48 45 3 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 49 45 4 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 50 45 5 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 41
n zeměpisná šířka U zeměpisná délka V Tissotova indikatrix a b mp mr ω 51 45 6 1,00000 1,00000 1,000000 1,000000 0,000 52 44-1 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 53 44 0 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 54 44 1 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 55 44 2 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 56 44 3 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 57 44 4 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 58 44 5 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 59 44 6 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 60 44 7 1,00072 0,99928 0,999278 1,000722 0,083 61 43-1 1,00171 0,9983 0,998298 1,001705 0,195 62 43 0 1,00171 0,9983 0,998298 1,001705 0,195 63 43 1 1,00171 0,9983 0,998298 1,001705 0,195 64 43 2 1,00171 0,9983 0,998298 1,001705 0,195 65 43 3 1,00171 0,9983 0,998298 1,001705 0,195 Hodnotící kritéria n zeměpisná šířka U zeměpisná délka V 42 Airyho kritérium h 2 komplexní kritérium 1 50 2 0,000000656 0,002431313 2 50 3 0,000000656 0,002431313 3 50 4 0,000000656 0,002431313 4 49-1 0,000000000 0,000000000 5 49 0 0,000000000 0,000000000 6 49 1 0,000000000 0,000000000 7 49 2 0,000000000 0,000000000 8 49 3 0,000000000 0,000000000 9 49 4 0,000000000 0,000000000 10 49 5 0,000000000 0,000000000 11 49 6 0,000000000 0,000000000 12 49 7 0,000000000 0,000000000 13 49 8 0,000000000 0,000000000 14 48-4 0,000000221 0,001410442 15 48-3 0,000000221 0,001410442 16 48-2 0,000000221 0,001410442 17 48-1 0,000000221 0,001410442 18 48 0 0,000000221 0,001410442 19 48 1 0,000000221 0,001410442 20 48 2 0,000000221 0,001410442 21 48 3 0,000000221 0,001410442 22 48 4 0,000000221 0,001410442 23 48 5 0,000000221 0,001410442 24 48 6 0,000000221 0,001410442 25 48 7 0,000000221 0,001410442 26 47-2 0,000000372 0,001830745 27 47-1 0,000000372 0,001830745 28 47 0 0,000000372 0,001830745 29 47 1 0,000000372 0,001830745 30 47 2 0,000000372 0,001830745 31 47 3 0,000000372 0,001830745 32 47 4 0,000000372 0,001830745 33 47 5 0,000000372 0,001830745 34 47 6 0,000000372 0,001830745 35 46-1 0,000000203 0,001350405
n zeměpisná šířka U zeměpisná délka V Airyho kritérium h 2 komplexní kritérium 36 46 0 0,000000203 0,001350405 37 46 1 0,000000203 0,001350405 38 46 2 0,000000203 0,001350405 39 46 3 0,000000203 0,001350405 40 46 4 0,000000203 0,001350405 41 46 5 0,000000203 0,001350405 42 46 6 0,000000203 0,001350405 43 46 7 0,000000203 0,001350405 44 45-1 0,000000000 0,000000000 45 45 0 0,000000000 0,000000000 46 45 1 0,000000000 0,000000000 47 45 2 0,000000000 0,000000000 48 45 3 0,000000000 0,000000000 49 45 4 0,000000000 0,000000000 50 45 5 0,000000000 0,000000000 51 45 6 0,000000000 0,000000000 52 44-1 0,000000518 0,002161038 53 44 0 0,000000518 0,002161038 54 44 1 0,000000518 0,002161038 55 44 2 0,000000518 0,002161038 56 44 3 0,000000518 0,002161038 57 44 4 0,000000518 0,002161038 58 44 5 0,000000518 0,002161038 59 44 6 0,000000518 0,002161038 60 44 7 0,000000518 0,002161038 61 43-1 0,000002907 0,005120807 62 43 0 0,000002907 0,005120807 63 43 1 0,000002907 0,005120807 64 43 2 0,000002907 0,005120807 65 43 3 0,000002907 0,005120807 43
Příloha č. 4: Vypočtená data Bonneova zobrazení n zeměpisná šířka U zeměpisná délka V Tissotova indikatrix a b mp mr ω 1 50 2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 2 50 3 1,00031 0,99969 1,0000002 1,00000 0,036 3 50 4 1,00062 0,99938 1,0000008 1,00000 0,071 4 49-1 1,00062 0,99938 1,0000008 1,00000 0,071 5 49 0 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 6 49 1 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 7 49 2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 8 49 3 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 9 49 4 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 10 49 5 1,00062 0,99938 1,0000008 1,00000 0,071 11 49 6 1,00083 0,99917 1,0000014 1,00000 0,095 12 49 7 1,00104 0,99896 1,0000022 1,00000 0,119 13 49 8 1,00125 0,99875 1,0000031 1,00000 0,143 14 48-4 1,00062 0,99938 1,0000008 1,00000 0,071 15 48-3 1,00052 0,99948 1,0000005 1,00000 0,060 16 48-2 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 17 48-1 1,00031 0,99969 1,0000002 1,00000 0,036 18 48 0 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 19 48 1 1,00010 0,99990 1,0000000 1,00000 0,012 20 48 2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 21 48 3 1,00010 0,99990 1,0000000 1,00000 0,012 22 48 4 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 23 48 5 1,00031 0,99969 1,0000002 1,00000 0,036 24 48 6 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 25 48 7 1,00052 0,99948 1,0000005 1,00000 0,060 26 47-2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 27 47-1 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 28 47 0 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 29 47 1 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 30 47 2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 31 47 3 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 32 47 4 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 33 47 5 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 34 47 6 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 35 46-1 1,00031 0,99969 1,0000002 1,00000 0,036 36 46 0 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 37 46 1 1,00010 0,99990 1,0000000 1,00000 0,012 38 46 2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 39 46 3 1,00010 0,99990 1,0000000 1,00000 0,012 40 46 4 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 41 46 5 1,00031 0,99969 1,0000002 1,00000 0,036 42 46 6 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 43 46 7 1,00052 0,99948 1,0000005 1,00000 0,060 44 45-1 1,00062 0,99938 1,0000008 1,00000 0,071 45 45 0 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 46 45 1 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 47 45 2 1,00000 1,00000 1,0000000 1,00000 0,000 48 45 3 1,00021 0,99979 1,0000001 1,00000 0,024 49 45 4 1,00042 0,99958 1,0000004 1,00000 0,048 50 45 5 1,00062 0,99938 1,0000008 1,00000 0,071 44