Conwayova teorie na příkladu hry Domino

1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino D R A F T 1.0.1 Vlastnosti her Všechny hry, které zde budeme zkoumat, jsou kombinatorické hry. Kombinatorické hry (dále jen hry) mají následující vlastnosti: 1. Hru hrají dva hráči, tradičně označovaní jako levý a pravý hráč. Hráči se v tazích střídají. 2. Pravidla hry stanovují možné tahy obou hráčů. 3. Oba hráči mají veškeré a stejné informace o hře. 4. Hra nemá žádný prvek náhody. Nehází se s kostkou, nelosuje se... 5. Hráč, který dosáhl koncové pozice, vyhrál. (Normální varianta hry.) 6. V každé hře je dovoleno pouze konečný počet možných pozic. Hra musí skončit po konečně mnoha tazích vítězstvím jednoho z hráčů a prohrou druhého z hráčů. Mnoho známých společenských her nejsou kombinatorickými hrami, protože nesplňují jednu nebo více podmínek. Například karetní hra Černý Petr je založena na pravděpodobnosti. Hráč zná své karty, ale ne protivníkovy karty. Hry, jako jsou šachy nebo dáma, nemají sice prvek náhody, ale mohou dopadnout s výsledkem pat, nebo dokonce nemohou dosáhnout koncové pozice. I když některé hry nejsou kombinatorické, přesto je často možné použít po modifikaci pro jejich analýzu nástroje teorie kombinatorických her. Hra Nim se hraje s několika hromádkami kamenů. Hru hrají dva hráči a v tazích se střídají. V každém tahu si hráč vybere jednu hromádku, a z ní

2 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino odebere libovolný nenulový počet kamenů. Hráč který již nemůže zahrát (na hromádkách již nejsou kameny), prohrál. Je jednoduché se přesvědčit, že tato hra je kombinatorickou. Hra Nim se nazývá nestrannou, protože v každé pozici mají oba hráči na výběr stejnou množinu tahů. Partyzánské hry umožňují oběma hráčům různé množiny tahů. Například hra Domino je příkladem takové hry. 1 Hru hrají dva hráči s kostkami domina. Hráči hrají s kostkami domina na čtvercové síti, typicky 8 8. Hráči na tahu střídavě pokládají kostky domina na hrací plochu, tak, že kostka domina obsadí dvě vedle sebe čtvercová pole. Kostky se nesmějí křížit, ani obsazovat políčka vícekrát. Levý hráč pokládá kostky svisle (vertikálně) a pravý hráč vodorovně (horizontálně). Hra končí v okamžiku, kdy hráč nemůže umístit svou kostku. Tento hráč prohrál a jeho soupeř vyhrál. Typická postavení ve hře po několika tazích mohou být:, nebo, nebo, nebo, a pod. 1.1 Výsledkové třídy Výsledkové třídy (jak hra dopadne) kombinatorických her jsou zcela závislé na tazích, které oba hráči mají podle pravidel k dispozici. Závisí pouze na výhodě (popř. nevýhodě) prvního tahu. Protože hry jsou bez náhody a s úplnou informací, vždy je možné určit vítěze před tím, než-li hráč zahraje. Vždy budeme předpokládat, že hráči nedělají chyby, a hrají tedy optimálně. Hry můžeme rozložit podle výsledku do čtyř tříd: L Všechny hry, ve kterých vyhraje levý hráč, bez ohledu na možné tahy soupeře. R Všechny hry, ve kterých vyhraje pravý hráč, bez ohledu na možné tahy soupeře. P Všechny hry, ve kterých vyhraje druhý hráč, bez ohledu na možné tahy soupeře. (Hráč, který ve hře nezačíná, předcházející.) N Všechny hry, ve kterých vyhraje první hráč, bez ohledu na možné tahy soupeře. (Hráč, který ve hře začíná, následující.) Rozkladové třídy jsou neprázdné, disjunktní a každá hra patří do jedné ze tříd. Příklad, že třídy nejsou prázdné, jsou ve hře Domino např. pozice: 1 Göran Andersson, Domineering [WW, p. 115]; Dominoes [ONAG, p. 74]; nebo Cross-Cram [Gar74]

P, R, L, N. 1.2 Hodnoty her 3 1.2 Hodnoty her Hry mohou být definovány rekurzivně pomocí možností tahů z jednotlivých pozic do nových pozic, které hráči z dané pozice mohou udělat. Necht G je hra v nějaké pozici bez znalosti, který z hráčů je právě na tahu. Hra G = { G L G R}, kde G L je množina všech možných nových pozic, které jsou dosažitelné jedním tahem levého hráče. Podobně G R je množina všech možných her, které jsou dosažitelné jedním tahem z dané pozice pro pravého hráče. Tímto způsobem jsme definovali rekurzivně, v závislosti na možných tazích obou hráčů, hru. Podotkněme, že studujeme pouze tzv. krátké hry, kdy množiny G L a G R jsou konečné (mohou být i prázdné) krátkých her. 2 Abychom se vyhnuli nepřehledným zápisům, dohodněme se, že místo množin budeme psát pouze výčetprvků. Symboly G L a G R použijemeraději protahy, než pro množiny. Je vidět, že nejjednodušší hrou bude hra, ve které žádný z hráčů nemůže táhnout. Tato hra má obě množiny G L a G R prázdné. Tuto hru budeme zapisovat 0 { } a nazývat nulou. Dále budeme mít tři hry {0 },{ 0} a {0 0}. Těmto třem hrám po řadě přiřadíme symboly 1, 1 a. Později uvidíme motivace, pro označování her. Píšeme 0,1, 1 atp. pro čísla a pro nějaké nečíselné hry, typu. VeshoděsConwayem[ONAG]definujemeporovnáváníher:ProdvěhryG,H : 1. G H žádná H L G a H žádné G R. 2. Píšeme G H, pokud neplatí G H. 3. G H H G. 4. G = H G H G H. 5. G > H G H H G. 6. G < H H > G. 7. G «H G H H G. Takové hry nazýváme také fazy. 8. G H G < H G «H. 9. Podobně G H H G. Upozorněme čtenáře, že negace a < nemohou být zaměněny, jak je čtenář zvyklý, protože mohou být ve vztahu fazy. Tedy může být zaměněno. 2 Strom hry má konečnou výšku.

4 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino Dále rovnost nás informuje, že hodnoty her jsou stejné. Je možné mít různé hry (s různými pozicemi), ale mohou být rovny podle naší definice. Definice je opět rekurzivní, protože závisí na porovnání herních možností, táhnout do G L, resp. do H R. Protože každá hra skončí po konečně mnoha tazích, redukujeme počet otázek na členy levých a pravých částí na množiny prázdné. Proto je relace dobře definována. Nyní zkontrolujeme oprávněnost našich předchozích označení, tj. 1, 1, a 0. Například ukážeme, že platí 1 > 0 pomocí předcházejících definic a označení her 0,1. Dokázat 1 > 0, znamená dokázat konjunkci 1 0 a 0 1. Podle definice 1 0 znamená dokázat 0 L 1 a 0 1 R. Protože 0 L neexistuje, nemůže ani být 1. Podobně 1 R neexistuje. Stejnými argumenty dokážeme i druhou část konjunkce. Z těchto dvou případů také plyne, že 1 > 0. Použitím stejných argumentů můžeme dokázat očekávané vlastnosti 1 < 0 < 1. Pro hru máme > 1, «0 a < 1. Úloha 1.1. Dokažte také, třeba 0 1. Ve hře Domino máme: { } 0 { } { 0} 1 { } { 0} 1 { } {0 0}. Definice 1.2. Hra G se narodila dne n, pokud může být vyjádřena jako hra s možnostmi tahů nejvýše n 1 dne a nemůže být vyjádřena pomocí her, vytvořených nejvýše n 2 dne. O nule budeme říkat, že vznikla ve dne 0. Věta 1.3. Pro všechny hry G { G L G R } platí: {veta:item1} {veta:item2} {veta:item3} 1. G G R 2. G L G 3. G G 4. G = G. Důkaz: Dokážeme všechna 4 tvrzení použitím indukce založené na dnech, kdy byly hry vytvořeny (kdy se hra narodila). Můžeme dokázat, že 0 0 aplikací předcházejících definic. Nyní budeme předpokládat, že věta platí pro všechny H H, pro všechny hry narozené dříve, než hra G.

1.3 Výsledkové třídy podruhé 5 1. Protože G R se narodila dříve než hra G, dostaneme G R G R a z toho platí, že G G R. 2. Protože G L se narodila dříve než hra G, dostaneme G L G L a tedy G L G. 3. Plyne jednoduše z 1 a 2. 4. Důsledek 3, protože G G G G. 1.3 Výsledkové třídy podruhé Nyní již máme hodnoty her. Uvidíme, jak tyto hodnoty mají vliv na naše zápisy výsledků hry (jak hra dopadne). Věta 1.4. Pro libovolnou hru G, výsledkové rozkladové třídy jsou: 1. G L G > 0 2. G R G < 0 3. G P G = 0 4. G N G «0. Důkaz: Provedeme indukcí přes den narození. Již víme, že věta platí pro 1,0,1 a. Tyto hry jsou vytvořeny nejvýše 1. dne. To je také prvním krokem naší indukce. Nyní budeme předpokládat, že věta platí pro všechny hry narozené až do dne k. Naše předcházející definice použijeme k prozkoumání všech logických možností hry G. 1. Pokud G > 0, víme, že všechny pravé možnosti G R jsou > 0 a levý musí mít G L > 0. Tedy pravý prohraje, začne-li, protožezahraje ve hře typu L. Levý, začne-li, zahraje ve hře L P, tedy G L. 2. Podobně pro G < 0 může pravý táhnout do R P a levý pouze do R. Tedy G R. 3. Pokud G = 0, potom víme, že všechny levé hry jsou, což znamená že levý prohraje, začne-li. Všechny pravé možnosti jsou, což znamená, že také pravý hráč prohraje, začne-li. Dohromady tedy platí, že druhý hráč vyhraje a proto G P. 4. Konečně vyšetřímepřípad G «0. Potom existuje pro levého možnost 0, což znamená, že levý vyhraje, začne-li. Podobně pro tahy pravého hráče. Proto G N.

6 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino Tabulky výsledků: L L L R R L L 2 R R 1 R L L L R R L L P R R N R L L L R R L G > 0 G = 0. R R G «0 G < 0 1.4 Opačné hry, součet a porovnávání her Nyní budeme definovat další operace na hrách. Opačnou hrou budeme definovat jednoduše vyměněním rolí levého a pravého hráče. Formálně pro hru G { G L G R } dostaneme opačnou hru: G { G R G L }. Ve hře Domino, vyměníme-li roli levého a pravého hráče, dostaneme pro hru hru otočenou o 90 hru. Součet dostaneme jednoduše, budeme-li hry pokládat vedle sebe. Hráč na tahu musí zahrát pouze v jedné komponentě. Formálně tuto vlastnost můžeme zapsat takto: G+H { G L +H,G+H L G R +H,G+H R}. Vlastnost G L + H znamená, že hráč levý udělá tah ve G L a hra H zůstane nezměněna. Podobně v ostatních případech. G L zastupuje typickou levou možnost (novou pozici) po prvním tahu levého hráče. Definice 1.5. Disjunktním součtem her G 1,G 2,... je G 1 +G 2 +.Vkaždém tahu si hráč může vybrat jednu z komponent a v ní udělá pravidly povolený tah. Pokud hráč nemá legální tah v žádné hře, prohrál. Příklad 1.6. = = = + +

1.4 Opačné hry, součet a porovnávání her 7 Věta 1.7. Pro libovolnou hru G máme G+( G) = 0. Důkaz: Věta je intuitivně zřejmá. Protože co je dovoleno jednomu hráči v jedné hře, druhý hráč může odpovědět ve druhé komponentě, tedy 2 a platí =. I tento důkaz bude induktivní podle dne narození G. Dokázat G +( G) = 0 znamená dokázat konjunkci G +( G) 0 G+( G) 0. Začneme s první částí indukcí: G+( G) 0 znamená, že G L +( G) 0 G+( G) R 0. První část konjunkce je ekvivalentní G L +( G) R, což je (G L +( (G L )) 0, což platí díky indukci. V ostatních případech se postupuje analogicky. Věta 1.8. Pro libovolné dvě hry G,Hplatí (G = H) (G+( H)) = 0. Důkaz: Použijeme indukci přes den narození obou her G, H. Podlenašídefinice =víme,žeg L H ag R H atakéh L GaH R G. Nyní uvažujme hru G H. Začíná-li levý, táhne do G L H H H = 0 nebo G H R G G = 0. V obou případech jsme zjistili, že pravý vyhraje hru G H R P. Stejně, pokud začínápravý hráč,má možnostzahrát do G R H H H = 0 nebo do G H L G G = 0. Tentokrát jsme zjistili, že levý vyhraje, tj. G H L P. Odtud G H P, což také znamená G H = 0. Tato věta nám dává návod (metodu) určit, kdy jsou dvě hry ekvivalentní. Pro libovolné dvě hry G a H je pravdivé G + ( H) = 0, pokud budeme vědět, že G = H. Jinak řečeno můžeme hrát hru G s hrou H, ve které existuje vyhrávající strategie pro II. hráče, potom G je ekvivalentní H. Příklad 1.9. G+H G+( H) Poznamenejme, že hry G a H mají stejnou hodnotu. V každé hře je pouze po jednom tahu pro pravého hráče. Rovnost her je definována jako relace, což znamená možnost, že dvě různé hry budou ve vztahu =, ale ne ve vztahu. Dříve nalezené věty mohou být zobecněny, aplikují-li se ostatní relace na dvě libovolné hry G,H. Důkaz je analogický a my ho zde vynecháme. Platí: (G > H) (G H > 0) G < H G H < 0 G «H G H «0.

8 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino 1.5 Kanonický tvar hry Jak jsme již dříve upozornili, hry mohou mít stejnou hodnotu (rovnají se), i když nejsou identické. Dokonce každá hra má nejjednodušší tvar. 3 Daná hra může mít několik ekvivalentních tvarů (například hra 0 = { 1 1}) a jeden z těchto tvarů je základní (kanonický tvar). Dokonce všechny hry se stejnou hodnotou mají stejný základní tvar. Nyní budeme hru zjednodušovat pomocí dvou různých metod (pravidel) a ukážeme, že výsledek je jednoznačně reprezentuje. Definice 1.10. Necht G {A,B,... X,Y,...} taková, že B A. Potom B se nazývá dominující prvek. Podobně zprava pro Y X je Y dominující prvek (lepší tah). Věta 1.11 (Odebrání dominovaných prvků). Hodnota hry se nezmění, odstraníme-li dominované prvky. Uved me, že odstraňujeme slabší tahy. Uvažujme hru G {A,B,... X,Y,...}; B A a Y X. Potom G = {B,... Y,...}. Důkaz: Necht G {A,B,... X,Y,...} a H {B,... Y,...}. Musíme ukázat, že G = H. K tomu bude stačit dokázat konjunkci G H a G H. (1) Víme, že G = G a H = H, což implikuje Y H. Protože předpokládáme Y X, je také X H. Dokázat G H znamená dokázat H L G a H G R, tj. H L G a H G R. Protože H L G L, první část platí a druhá část platí z možných pravých tahů ve hře G. (2) Podobně, víme, že B H a B A, tedy A H, což znamená, že ve hře G neexistuje levá možnost, která by byla H. Pravé tahy v H jsou podmnožinou v G a tedy neexistuje pravá možnost v H, která by byla G. Proto G H. To ale znamená, že G = H. Definice 1.12. Necht G { G L G R } je hra. Levá část G L je reverzibilní, pokud G L má pravou část G LR, pro kterou G LR G. Podobně pro pravou část. Tah G LR není horší. Věta 1.13 (Přemostněníreverzibilních prvků). Necht G { H,G L G R }. Je-li H reverzibilní, potom G = { H RL,G L G R }. Jinými slovy můžeme nahradit reverzibilní tah H všemi levými tahy v H R. Důkaz: Necht G = { H,G L G R } ak = { H RL,G L G R } ah je reverzibilní. Potřebujeme dokázat, že také G = K. Uvažujme hru G K a pokusíme se ukázat, že existuje vyhrávající strategie pro II. hráče. 3 Tvrzení platí pouze pro krátké hry, pro jiné hry toto tvrzení neplatí. Uvažte třeba hru ω.

1.5 Kanonický tvar hry 9 Pokud levý zahraje G +( G R ), pravý zahraje G R +( G R ) = 0 a vyhraje. Pokud levý zahrajedo G L +( K),pravýmůže odpovědětdo G L +( G L ) = 0 a opět vyhraje. Konečně, pokud levý zahraje do H + ( K), pravý odpoví tahem do H R +( K). Levý (a) může odpovědět do H RL +( K), ale pravý do H RL H RL = 0 a vyhraje. Jinak (b) levý musí zahrát do H R +( G R ). V tomto případě použijeme H R G a platí H R +( G) 0. To je stejné, jako bychom řekli, že pravý vyhraje, bez ohledu na možné tahy levého. Proto levý prohraje, začne-li a tedy platí G K. Protože K = K, platí G R K. Protože H je reverzibilní, platí také G H R. Tedy víme, že H RL H R a tedy nutně H RL G. Mimo to, G L G, protože G = G. Tím jsme splnili druhou část, tj. G K. Závěrem dostaneme G = K. Budeme-li opakovat odstranění reverzibilních a dominovaných prvků v krátkých hrách, a budeme-li předpokládat že hra již nemá dominované a reverzibilní prvky(jednoznačnost), potom získáme jednoznačné vyjádření hry kanonický tvar hry. Příklad 1.14. 1. {0,1 } = {1 } 2 2. {0, } = {0 }. Věta 1.15. Každá (krátká) hra má jednoznačné vyjádření, které nemá dominované ani reverzibilní prvky. Důkaz: Předpokládejme, že G = H a obě hry jsou ve tvaru bez dominovaných a reverzibilních prvků. Protože G = H, je také G H = 0. Pravý z pozice G L H musí mít vyhrávající tah. Tento tah nemůže být v G L, protože G L by se stala reverzibilní hrou. Pravý musí zahrát v H. Dostaneme G L H L 0 G L H L, pro nějakou H L. Podobně získáme nějaké G L takové, že H L G L. Ovšem víme, že G L G L a tedy G L = G L, jinak by G L bylo opět dominovaný prvek. Konečně dostaneme G L H L G L G L = H L, což znamená, že levé strany jsou stejné. Díky symetrii i pravé strany jsou stejné a věta platí.

10 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino 1.6 Čísla Necht D je okruh dyadických racionálních čísel, 4 tj. všech čísel tvaru a/2 k, kde a,k Z, Definice 1.16. Pro každé dyadické x D definujeme hru f(x) rekurzivně těmito vlastnostmi: 1. f(0) = { } 2. ( n 1) f(n) = {f(n 1) },f( n) = { f(1 n)} 3. ( k 1) a liché f( a 2 k ) = { f( a 1 2 k ) f( a+1 2 k ) }. Hry f(x) jsou konečná čísla, která většinou píšeme bez f(). Ukázat, že tyto hry mají stejné vlastnosti jako známé vlastnosti je třeba dokázat, že se jedná o aditivní grupu a homomorfismus f(x+y) = f(x)+f(y). Důkaz přenecháme čtenáři jako cvičení. Intuitivní zápisy her jako čísla nám napovídají, jak moc tahů má za výhodu levý hráč. Soustředíme-li se pouze na celá čísla, uvidíme to zvláště jednoduše. Hra 0 { } nemá výhodu pro žádného prvního hráče. Hra 1 {0 } má pro levého jeden tah navíc a tato hodnota reprezentuje počet vítězných tahů (> 0). Podobně hra { 0} 1 je záporná a tato hodnota vyjadřuje počet vítězných tahů, které má výhodu pravý hráč. Také sčítání má jednoduchou interpretaci, např. ve hře 5 + ( 2) levý hráč má výhodu 5 tahů, pravý 2. Protože se v tazích střídají, má levý výhodu 3 tahů a celkový výsledek je 3. Samozřejmě hodnoty her mohou být komplikovanější. Ve hře 1 2 {0 1} má levý výhodu půl tahu. To znamená, že ve dvou kopiích hodnota hry by měla být 1. K tomu jistě bude stačit přesvědčit se, že 1 2 + 1 2 1 = 0 a ukázat, že existuje vyhrávající strategie pro II. hráče. Tuto hodnotu má třeba hra { } =, = { 1,0 1} = {0 1} = 1 2. Nyní se ještě vrátíme ke dni narození a uvedeme jeho alternativní definici, která povede na kanonický tvar. Definice 1.17. Den narození hry je o jedna větší, než dny narození levých a pravých částí v kanonickém tvaru. Definujeme pro hru 0 { } den narození 0. Definice 1.18. Nejjednodušším číslem (splňující jisté vlastnosti) je číslo s nejmenším dnem narození (splňující tyto vlastnosti). 4 tj. okruh Z s adjungovaným prvkem 1 2, tj. Z[1 2 ]. Jedná se o nejmenší okruh, nadobor integrity Z, obsahující také 1 2.

1.7 ± symbolika 11 Věta 1.19 (Simplicity Rule). Necht existuje číslo x tak, že G L x G R. Potom G = z, kde z je nejjednodušší číslo splňující podmínku G L z G R. Důkaz: Dokázat G = z znamená dokázat, že G z = 0. Pokud začíná pravý, může táhnout do G R z, ale to je 0 podle výběru z, a tedy levý vyhraje. Pravý tedy musí zahrát do G z L. Nyní opět najdeme podle vlastností z, že z G L nebo z L G R. Ale ani to není možné, protože z L < z G R. Proto z L G L a levý vyhraje tahem do G L z L. Začne-li levý, získáme analogicky, že pravý vyhraje. Závěrem tedy existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče. Toto pravidlo nám dává jednoduchou cestu nalézt kanonický tvar hry. Pravidlo říká, že pokud číslo patří mezi levou a pravou stranu, je hra rovna nejjednoduššímu číslu. 1.7 ± symbolika Až doposud jsme se zabývali převážně čísly. Nyní se podíváme na situace kdy tomu tak není. Budeme zkoumat takové hry z, pro které platí G L G R. Příkladem takové pozice je ve hře Domino situace { } = = {1 1}. V této pozici existuje vyhrávajícístrategiepro I. hráče.(patřído N.) Vtomto případě levá možnost je větší než pravá možnost. V této pozici oba hráči chtějí začínat a ještě jim zbyde jeden tah. Definice 1.20. Převrácená hra je hra tvaru {x y}, kde x,y jsou čísla a platí x y. Příklad 1.21. Hra {0 0} a hra {1 1} jsou tohoto tvaru. Hra je nejjednodušší. Ve hře Domino konfigurace má hodnotu ± 3 2. Nyní zkusíme porovnávat tyto hry s čísly. Platí věta: Věta 1.22 (Number Avoidance Theorem). Je dán součet her. Hráč ne- {veta:nat} zahraje do čísla, pokud nemusí (nemůže táhnout jinak). Důkaz věty je více technický a my ho zde vynecháme. Čtenář ho nalezne v [OGAN]. V součtové hře hráč na tahu nerad hraje do čísla, protože se tím sníží jeho skóre (hodnota).

12 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino Věta 1.23. Necht G = {x y}, kde x,y jsou čísla taková, že x y. Potom pro libovolné číslo z platí implikace: z > x z > G z < y z < G y z x z «G. Důkaz: V první případě zkoumejme rozdíl z G. Ukážeme, že vždy vyhraje levý hráč. Pokud začíná pravý hráč, podle předcházející věty jeho lepší tah je táhnout do G, tj. hra přejde do postavení z x > 0 a prohraje. Pokud ve hře G z začíná levý, zahraje do z y > z x > 0 a vyhraje. ta:translace} Stejné argumenty se použijí na ostatní implikace, pro druhý případ je důkaz analogický.nynípředpokládejme,žey z x.levýmůžezahrátdoz y 0 (vyhraje) a pravý může zahrát z y 0 (vyhraje). Proto z «G. Věta 1.24. Pokud x,y a z jsou čísla a platí x y, potom {x y}+z = {x+z y +z}. Důkaz: Důkaz plyne okamžitě z věty 1.22 a definice disjunktního součtu. Věta 1.25. Pokud x,y jsou čísla, x y, potom {x y} = u+{v v} = u±v, kde u = x+y a v = x y. 2 2 Hru u nazýváme průměrem a v teplotu hry {x y}. Důkaz: Plyne jednoduše z věty 1.24. Poznámka 1.26. Hra {1 1} má označení 0±1 = ±1. V případě třeba hry {2 0} = 1±1. Převrácenouhru tedy píšeme jako číslo ± hra. Číslo může být pouze v tříděn, R nebo L. Intuitivně oba hráči budou chtít raději zahrát ve hře ±v. To je také to, co říkala věta 1.22. Hodnota hry Domino = ±1, hodnota hry = 1±1. 1.8 Infinitezimální hodnoty Definice 1.27. Hra G se nazývá infinitezimální právě tehdy, když platí z < G < z, pro libovolné kladné číslo z.

1.8 Infinitezimální hodnoty 13 Triviální infinitezimální číslo je 0, jiné infinitezimální je star = {0 0}. Hra je infinitezimální. Vteoriisenacházímnohojinýchinfinitezimálníchher,jakojetřeba {0 }, jinou hrou je třeba { 0}. Infinitezimální mohou být < 0, > 0, = 0 nebo i «0. Příklad 1.28. Necht hra G je hra Domino, { G = =,0 } = {,0 }. V této hře existuje vyhrávající strategie pro levého hráče a nezáleží na tom, který z hráčů začíná. To znamená, že platí G > 0. Levá je slabším tahem, než hra 0. Proto {,0 } = {0 } Tato hra se nazývá up a píšeme G =. Opačná hra je = { 0} se nazývá down. Tak jako = {0 0}, hry a jsou nekonečně malé (infinitezimální). Příklad 1.29. Nyní vypočteme hodnotu hry G = { se hra rozpadne na,,. Po prvním tahu }. Druhá hra vlevo je lepší pro levého hráče a má hodnotu {2 0}. Zprava je situace komplikovanější, nejdříve spočteme druhou hru. Ta má hodnotu nula, protože začínající hráč prohraje. První pravá hra má hodnotu { } 0, 1 2 2,,±1 = {0 2}. Pro hru G dostaneme G = {{2 0} {0 2},0} = {{2 0} 0}. Tuto hru nazýváme míny a píšeme 2 = {{2 0} 0.} Opačná hra se nazývá týny a platí 2 = {0 {0 2}}. Zajímavé vztahy mezi těmito hrami jsou tvrzení: 1. < 2 < 0 < 2 <, Porovnejte i 2 a 3! 2. je neporovnatelné (fazy) s, 2,0, 2,, ale platí + < < + 3. < n <, ale n «2 a n «2 pro všechna n 2. Příklad 1.30. Hry narozené nejvýše prvního dne jsou 4. Konkrétně 0, 1, a 1. Druhého dne vznikne 4 4 = 256 her (počet prvků v potenční množině), z nich ale pouze 22 má různou hodnotu. S jednou výjimkou (a to 2), můžeme nalézt konfigurace hry Domino s těmito hodnotami. Jsou to:

14 1 Conwayova teorie na pr ı kladu hry Domino Hasseu v diagram je distributivnı, viz [LIP]. =2 = 1 2 = {1 } = = = + = =0 = 1 2 = 1 = { 1} = 1 = { 1 1} Pr ı klad 1.31. 1. 3. + = + = n + =0, o = {1 0} = 1 1 ± 2 2 = {1 0, } = ±1 = {1 1} = = + = 2. = 1 = {1 1} =1. = {0, 1} = {0 1} = 2

1.9 Nim čísla 15 4. = {,0 } = 5. = 3 2 6. = {1 } 7. = {1 0} 8. = + + = 1 2 9. = {1 1} 10. = 11. = 2 12. Zahrajte si také nestrannou variantu hry Domino. 13. 1.9 Nim čísla V první části jsme definovali hru Nim, která se hraje s hromádkami kamenů. Tato hra je nestranná. Poznamenejme, hra skončí v pozici P nebo v pozici N. Pokud by levý měl vítěznou strategii, když začíná, potom pravý může použít tuto strategii a také by vyhrál, začne-li. To ale znamená, že existuje vyhrávající strategie pro I. hráče (hra patří do třídy N a nepatří do třídy L). Ze stejného důvodu i třída R je prázdná. Pokud levý nevyhraje, začínallil, přesně totéž platí i pro pravého hráče a hra patří do třídy P. Pokud ani jeden hráč nemá vyhrávající strategii, jak již víme, jedná se o nulovou hru. Nyní dokonce popíšeme hodnoty nestranných her, které mají vyhrávající strategii pro prvního hráče (patřící do třídy N). Definice 1.32. Hra Nim s jednou hromádkou k kamenů má hodnotu nim číslo k.

16 1 Conwayova teorie na příkladu hry Domino Poznámka: Nim číslo 5 k je hra, tj. hra Nim s jednou hromádkou k kamenů, je ekvivalentní hře nim číslo k. Pokud máme jednu hromádku s k kameny, můžeme odebrat 1,2,...,k kamenů. V jazyce nim čísel tyto možnosti tahů můžeme (rekurzivně) psát 0 = { } = {0 0} 2 = {0, 0, }. k = {0,, 2,..., (k 1) 0,, 2,..., (k 1)}. Bude-li se hrát hra Nim na více hromádkách současně, pomůže nám Sprague Grundyova teorie nestranných her. Definice 1.33. Necht A je množina nim čísel a B = {k; k A}. Potom mex(a) je i, kde i je nejmenší nezáporné celé číslo, které není obsaženo v množině B. 6 Věta 1.34 (Pravidlo mex). Necht G je nestranná hra, která má možnosti tahů nějakou množinu nim čísel S. Potom G = mex(s). Důkaz: Necht G vyhovuje předpokladům věty. Necht k = mex(s). Chceme dokázat, že k = G. První část důkazu je zřejmá. Každá hodnota menší jak k musí být obsažena v množině S, jinak by nebyla nejmenší vyloučenou hodnotou. Pokud první hráč zahraje ve hře s hodnotou i (i > k), potom podle naší definice druhý hráč může odpovědět do k a donutí zahrát soupeře nějaký tah j (j < k). Díky tomu, že všechny kombinatorické hry musí skončit po konečně mnoha tazích, nemůže se hrát do nekonečna do větších nim čísel. Tedy první hráč nemůže táhnout do k, protože by to odporovalo definici mex. Proto musí být G = mex(s). Definice 1.35. Nim součet dvou nezáporných celých čísel je vylučovací nebo (XOR), které píšeme, jejich binární reprezentace. 7 Příklad 1.36. 5 také nimbers 6 Minimal excluded non-negative integer. 7 Ekvivalentně je to sčítání modulo 2, resp. sčítání bez přenosu do vyšších řádú nebo sčítání v tělese GF[2] binárních rozvojů.

1.9 Nim čísla 17 3 (011) 2 5 (101) 2 5 (110) 2 Stejné mocniny dvou se odečtou 3 5 = (1+2) (4+1) = 2+4 = 6. Věta 1.37. Hra Nim patří do třídy P právě tehdy a jen tehdy, pokud nim součet velikostí hromádek je nula. Poznámka: Tzn., že hra Nim je nulová a vyhraje II. hráč (ten, který ve hře nezačíná.) Důkaz: Hra, ve které nejsou kameny (hromádky jsou prázdné) má nim číslo rovno 0. Poznamenejme, že je-li nim součet roven 0, potom hráč na tahu musí zahrát do pozice s nenulovou hodnotou nim součtu (do té doby, dokud má pravidly povolený tah). Pokud hráč odebere kámen z nějaké hromádky, změní se tím binární reprezentace hromádky, tj nim hodnoty. Musíme ukázat, že druhý hráč má pak dobrý tah, který mu umožní vrátit pozici na nulový součet (z nenulové hodnoty). Nalézt takový dobrý tah znamená prozkoumat binární reprezentace hromádek. Vybereme hromádku, která zleva v nim součtu má první (cifra nejvyššího řádu) jedničku. Tato hromádka se sníží tak, abychom získali nulu a všechny ostatní cifry doplníme tak, abychom také získali nuly. 9 (1001) 2 (1001) 2 9 4 (0100) 2 (0100) 2 1 11 (1011) 2 (1011) 2 11 3 (0011) 2 (0011) 2 3 5 (0101) 2 (0000) 2 0 Vezme se řádek (je jich lichý počet), který generuje v nim součtu první zleva jedničku. Odpovídající hromádka se sníží (odeberou se kameny) tak, aby nim součet byl roven nule. Tato vyhrávající strategie pro druhého hráče platí, pokud se začínalo hrát v situaci, kdy nim součet byl roven 0. Použijeme-li stejnou strategii pro prvního hráče, pokud by byl nim součet roven nenulovému číslu. Zobecněním této věty získáme tvrzení kde G označuje Grundyovu hodnotu. G(H +K) = G(H) G(K),

Literatura 1. A. Siegel: Combinatorial Games Theory, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 146, AMS 2013 2. V. Vopravil, J. Porkert: Hry a strategie, Rozhledy matematicko-fyzikální, ročník 70 (1992), str. 52-57 3. A. Kirilov, I. Klumova, A. Sosinskij: S rrealnye qisla (rus. Syurrealnye chisla), in Kvant 11 (1979) 4. M. Albert, R. Nowakowski, D. Wolfe: Lessons in play: An introduction to combinatorial game theory, A K Peters, Ltd. / CRC Press, Natick, MA, 2007 5. J. Cihlář, V. Vopravil: Hry a čísla (On Games and Numbers), PF UJEP Ústí nad Labem, 125 str., 1983, 1995, ISBN 8070441046 6. J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 1976, ISBN 0-12-186350-6, (Über Zahlen und Spiele, Vieweg, Braunschweig, 1983, ISBN 3528084340), 2ed. 2001, ISBN 1-56881-127-6 7. D. E. Knuth: Surreal Numbers; How two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1974), vi+119 pp. ISBN 0-201-03812-9, Illustrated by Jill C. Knuth; Czech translation by Helena Nešetřilová, Nadreálná čísla, in Pokroky Matematiky, Fyziky a Astronomie 23 (1978), 66 76, 130 139, 187 196, 246 261 8. D. Schleicher, M. Stoll: An Introduction to Conway s Games and Numbers, Moscow Math Journal, 6:359, 2006 9. Úvod do teorie kombinatorických her, http://www.wopravil.cz/hs (červenec 2014) 10. E. R.Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy:Winning Ways for your Mathematical Plays; Gewinnen, Vieweg, 1985, ISBN 3528085312, ISBN 3528085320, ISBN 3528085339, ISBN 3528085347); (Winning Ways, Academic Press, 1982, ISBN 0-12-091101-9, ISBN 0-12-091102-7); 2ed. vol. 1-4, A. K. Peters Ltd., 2001-2004, ISBN 1-56881-130-6, ISBN 1-56881-142-X, ISBN 1-56881-143-8, ISBN 1-56881-144-6