1 Stabilita prutových konstrukcí

1 STABLTA PRUTOVÝCH KONSTRUKCÍ 1 1 Stabilita prutových konstrukcí Pod účinky tlakových sil dochází u štíhlých prutů k vybočení stabilitní problém Posuny ve směru střednice u a rotace ϕ y zůstávají malé, průhyby w jsou však velké tzv. von Kármánovy předpoklady. Je tedy nutno rozlišovat mezi původní a deformovanou konstrukcí. Při studiu stabilitních problémů používáme tzv. teorii druhého řádu podmínky rovnováhy sestavujeme na deformované konstrukci. L. Euler W. T. Koiter T. von Kármán A. Stodola

2 PODMÍNKY ROVNOVÁHY 2 2 Podmínky rovnováhy 2.1 Silová podmínka rovnováhy Uvažujme část nosníku délky x. Podmínka rovnováhy ve vodorovném směru má za předpokladu, že N x > 0 je tah, tvar Q z (x+ x) Q z (x)+n x (x+ x) dw (x+ x) N x(x) dw (x)+f z(x) x = 0

2 PODMÍNKY ROVNOVÁHY 3 Po vydělení členem x Q z (x + x) Q z (x) N x (x + x) dw + (x + x) N x(x) dw (x) +f z (x) = 0 x x a limitním přechodu x 0 dostáváme podmínku rovnováhy na deformovaném prutu: dq z (x) + druhý řád { ( }}{ d N x (x) dw(x) ) +f z (x) = 0 (1) Okrajové podmínky Kinematické okrajové podmínky (x qu ) w(x) w(x) = 0

2 PODMÍNKY ROVNOVÁHY 4 Statické okrajové podmínky Q z (0) + tedy pro x q druhý řád {}}{ N x (0) dw (0) = Q z(0), Q z (l) + Q z (x) + N x (x) dw (x) = Q z(x) druhý řád {}}{ N x (l) dw (l) = Q z(l) Vliv normálové síly na konstrukci lze nahradit ekvivalentním zatížením f ekv (x) = d ( N x (x) dw(x) )

2 PODMÍNKY ROVNOVÁHY 5 2.2 Diskrétní soustava Pro názornější ilustraci budeme demonstrovat vliv dodatečného příčného zatížení na příkladu následující konstrukce, viz též [2, Prohloubení X].

2 PODMÍNKY ROVNOVÁHY 6 Vychýlením i-tého styčníku o vzdálenost w i zatíží příčnými silami se primární konstrukce Q i 1 = F w i h Q i = 2F w i h Q i+1 = F w i h Tyto síly pak zatěžují primární konstrukci. 2.3 Momentová podmínka rovnováhy Momentová podmínka rovnováhy zůstává nezměněna (viz přednáška č. 2) dm y (x) Q z (x) = 0 (2)

3 SLABÉ ŘEŠENÍ 7 Kinematické okrajové podmínky: (x mu ) ϕ y (x) ϕ y (x) = 0 Statické okrajové podmínky: (x m ) M y (x) M y (x) = 0 3 Slabé řešení Opět přenásobíme podmínky rovnováhy (1) a (2) testovacími funkcemi δw = 0 na qu a δϕ y = 0 na mu. Dostáváme ( dqz (x) δw(x) + d ( N x (x) dw(x) ) ) + f z (x) = 0 ( ) dmy (x) δϕ y (x) Q z (x) = 0

3 SLABÉ ŘEŠENÍ 8 ntegrace první podmínky rovnováhy per partes 0 = [ δw(x) d(δw(x)) Q z {}}{ ( dqz (x) + N x (x) dw(x) )] q ( dqz (x) + N x (x) dw(x) ) + δw(x)f z (x), ntegrace momentové podmínky rovnováhy zůstává beze změn 0 = [ δϕ y (x)m y (x) ] d(δϕ y (x)) m M y (x) δϕ y (x)q z (x) Shrnutí

4 DSKRETZACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 9 d(δw(x)) dq z (x) + d(δϕ y (x)) M y (x) + d(δw(x)) N x (x) dw(x) = [ + ] δw(x)q z (x) q δw(x)f z (x) δϕ y (x)q z (x) = [ δϕ y (x)m y (x) ] m 4 Diskretizace slabého řešení Neznámé uzlové posuny a pootočení r = {w 1, ϕ 1,... w n, ϕ n } T V podmínkách rovnováhy se objevil jako nový pouze podtržený člen, ostatní klasické.

4 DSKRETZACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 10 Aproximace průhybů w a jejich derivací dw/ w(x) N w (x)r, dw(x) B w (x)r Aproximace váhových funkcí δw a jejich derivací d(δw)/ δw(x) N w (x)δr, d(δw(x)) B w (x)δr Po provedení obdobné volby pro pootočení ϕ y a váhové funkce δϕ y dostáváme soustavu rovnic ( K + K σ ) r = R, kde matice tuhosti K a vektor transformovaného zatížení R byly odvozeny v přednášce č. 2 a K σ = B w (x) T N x (x)b w (x), je tvz. matice počátečních napětí (geometrické tuhosti).

4 DSKRETZACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 11 Pokud je rozložení normálových sil N x známé, předchozí rovnice umožňuje popsat ztužení řešené konstrukce vlivem normálových sil, např. v důsledku předepnutí konstrukce. Domací úkol 1. Uvažujte prut s rovnoměrně rozloženou hmotností na jednotku délky µ [Nm 1 ] kmitající harmonicky s kruhovou frekvencí ω [s 1 ]. Do podmínek rovnováhy nyní vstupuje náhradní spojité zatížení odpovídající účinku setrvačných sil o velikosti µω 2 w s orientací dle následujícího schématu; w [m] nyní označuje amplitudu průhybu. Modifikujte odpovídajícím způsobem podmínky rovnováhy (včetně účinků druhého řádu), definujte slabé řešení a proveďte jeho diskretizaci.

4 DSKRETZACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 12 4.1 Lineární stabilita Při řešení úloh stability zatížíme konstrukci referečním zatížením R, kterému odpovídá jisté rozložení normálových sil po konstrukci. Řešíme tedy rovnici ( K + 0 {}}{ K σ ) r = R Pro toto zatížení sestavíme matici počátečních napětí K σ, přičemž budeme uvažovat opačné znaménko u normálové síly N x, neboť z hlediska stability jsou rozhodující síly tlakem. Konstrukci zatížíme proporcionálním zatížením λ ˆR. Soustava podmínek rovnováhy má nyní tvar (K λ K σ ) r = 0 (3) Z hlediska stability konstrukce nás zajímá případ, kdy dojde k bifurkaci rovnováhy pro dané zatížení existuje více než jeden vektor r, pro který

5 ŘEŠENÍ PROBLÉMU VLASTNÍCH ČÍSEL 13 jsou splněny podmínky rovnováhy (3). Musí tedy být splněna podmínka det (K λ K ) σ = 0. (4) Hodnotu λ, pro kterou tato situace nastane, nazýváme kritickým zatížením konstrukce a odpovídající vektor r tvarem vybočení konstrukce. a Předchozí úloha bývá též nazývána zobecněným problémem vlastních číslem matice K. 5 Řešení problému vlastních čísel Podmínka (4) představuje polynomická rovnice řádu 2n 2n kořenů λ cr 1 λ cr 2... λ cr 2n a Připomeňme, že vektor r je rovnicí (4) určen až na multiplikativní konstantu. Proto budeme tvary vybočení normalizovat, tj. budeme uvažovat r = 1.

5 ŘEŠENÍ PROBLÉMU VLASTNÍCH ČÍSEL 14 Výpočetně velmi náročná úloha, především pro velká n. Z praktického hlediska je rozhodující nejmenší hodnota kritického zatížení λ cr 1. Vhodnou metodou je tzv. metoda inverzních iterací nebo též Stodolova metoda. Je-li λ příslušným kritickým břemenem a y vlastním tvarem, který přísluší tomuto kritickému břemenu, platí podmínka K y = λ K σ y. Přenásobením předchozí rovnice členem y T dostáváme y T K y = λy T Kσ y. Hodnota kritického břemene tedy splňuje podmínku λ = yt K y y T K σ y (5)

5 ŘEŠENÍ PROBLÉMU VLASTNÍCH ČÍSEL 15 V obecném případě neznáme hodnotu y, určíme ji iteračním způsobem: zvolím počáteční odhad tvaru vybočení x 0 (např. ze statického výpočtu s λ = 1) konstrukci zatížím ekvivalentními silami K σ x 0 x 1 K x 1 = K σ x 0 konstrukci zatížím ekvivalentními silami K σ x 1 x 2..., iteraci ukončíme, pokud jsou dva následující tvary vybočení dostatečně blízko, např. z hlediska vztahu (5). Lze ukázat, že tento postup konverguje k prvnímu tvaru vybočení konstrukce a poměr (5) k prvnímu kritickému zatížení [1, Kapitola 3.3.4]. Algoritmizace předchozího postupu 0. Zvolíme přesnost v určení kritického zatížení ɛ, počáteční odhad

5 ŘEŠENÍ PROBLÉMU VLASTNÍCH ČÍSEL 16 tvaru vybočení x 0 0, x 0 = 1, určíme poměr a nastavíme čítač k = 1. λ 0 = x0t K x 0 x 0T Kσ x 0 1. Určíme novou hodnotu posunů x k jako 2. Normalizace vektoru x k K x k = K σ x k 1 x k = xk x k 3. Odhad hodnoty kritického zatížení λ k = xkt K x k x kt Kσ x k

6 PRAKTCKÉ VYUŽTÍ VÝSLEDKŮ STABLTNÍ ANALÝZY 17 4. Pokud λ k λ k 1 λ k ɛ ukončíme výpočet. Hodnota λ k je nyní hodnotou kritického zatížení a x k prvním tvarem vybočení. V opačném případě 5. Zvýšíme hodnotu čítače a pokračujeme bodem 1. k = k + 1 6 Praktické využití výsledků stabilitní analýzy Předchozí postup funguje i pro obecné konstrukce, není nutno se omezovat na tabulkové případy. Pro odhad citlivosti konstrukce na stabilitní vlivy můžeme použít po-

6 PRAKTCKÉ VYUŽTÍ VÝSLEDKŮ STABLTNÍ ANALÝZY 18 měr η = λref λ cr. Pro rozumně navržené konstrukce by měl tento poměr splňovat podmínku η 0, 2. Pokud máme hodnoty uzlových posunů r (a tedy i vnitřních sil) z klasického lineárního výpočtu, můžeme vliv druhého řádu přibližně zohlednit vztahem r 1 1 η r Předchozí úprava se týká vodorovných posunů a vnitřních sil na svislých prvcích. Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz.

REFERENCE 19 Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů, nepřesností a chyb (na chyby upozornil J. Šejnoha) Opravy verze 000: str. 6, doplněno slovo podmínka, str. 16, bod 3, opraven text (na chyby upozornil M. Jandera) Verze 001 Reference [1] Z. Bittnar and P. Řeřicha, Metoda konečných prvků v dynamice stavebních konstrukcí, SNTL, Praha, 1981. [2] J. Šejnoha and J. Bittnarová, Pružnost a pevnost 20, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1998.