Čílicové říení Analýa ECHNICÁ NIVERIA V IBERCI Hálkova 6 46 7 iberec C akulta mechatroniky a meioborových inženýrkých tudií Čílicové říení Analýa dikrétních regulačních obvodů Studijní materiály oc Ing Ovald Modrlák CSc atedra řídicí techniky cr_analya 354
Čílicové říení Analýa Obah Struktura dikrétních regulačních obvodů ikretní popi pojitých ytémů 6 ikretiace pomocí -tranformace váhové funkce 6 -přeno outavy tvarovačem nultého řádu 9 -přeno outavy tvarovačem H 3 -přeno outavy tvarovačem řádu ikretiace pomocí přímé tranformace obraového přenou 3 Bilineární tranformace 4 3 Softwarová podpora dikretiace 5 4 iteratura 6 Předkládaný tudijní materiál enamuje čtenáře dikrétním popiem pojitých ytémů Předkládaná tématika je pracována peciálně pro tento pro kur a omeuje e proto na nejnutnější partie této tématiky áklad tvoří -tranformace a její vlatnoti peciálně pak -tranformace pounutým počátkem která je někdy onačována jako modifikovaná - ranformace ext e omeuje na dikretiaci pojitých ytémů pomocí -tranformace pounutým počátkem -tranformace je pracována v Přílohách a je dotupná na www tránkách katedry a fakulty Využívá oftwarové podpory MAABu cr_analya 354
Čílicové říení Analýa SRRA ISRÉNÍCH REAČNÍCH OBVOŮ važujeme pojitý technologický proce jednou akční veličinou ut a jednou regulovanou fyikální veličinou yt e abudovaným řídicím a regulačním čílicovým ytémem ve pětné vabě vi obr - Na říený proce půobí měřená a neměřená poruchová veličina d m t a dt Paraitní šum vt e uperponuje na měřenou veličinu y m t echnologický proce dt d m t Č d t t d m ut RO S y t PČ Říený technolog proce u t ν t Čílicový řídící ytém wk y t Obr- Blokové chéma čílicového regulačního obvodu Čílicový řídící ytém y m t y uk m k d m t ČA ČČ AČ d m k wk Obr- Struktura čílicového regulačního obvodu Vtupními veličinami čílicového řídicího ytému jou: měřená veličina y m t měřená poruchová veličina d m t a řídicí veličina poloupnot žádaných hodnot wk Výtupní veličinou řídicího ytému je akční veličina ut o říeného technologického proceu e pravidla ahrnují: eilovací člen regulační orgán e ervopohonem RO vlatní technologie S čidla Č Č včetně připůobovacích členů převodníků PČ PČ vi obr - Řídicí čílicový ytém pak obahuje analogočílicový AČ a čílicoanalogový převodník ČA čaovač Č který periodou pouští činnot převodníků ále předpokládáme že v řídicím čílicovém ytému který pravidla vykonává celou řadu řídicích činnotí je realiován čílicový korekční člen ČČ Jeho jednotlivé čáti mohou neávile kompenovat vlivy předpokládaných poruch a oučaně ajišťují požadovaný průběh regulované veličiny tím že vytváří vhodnou dikrétní poloupnot uk nebo uk na ákladě okamžitých měřených veličin y m k d m k a adávané žádané hodnoty wk a jejich hodnot čaově požděných Pro potřeby analýy a yntéy dikrétních regulačních obvodů je možno chéma na obr - nahradit těmito prvky vi obr -3 Spojitými členy které jou popány obraovými přenoy d m u yto aproximují dynamické vlatnoti říeného proceu včetně čidel připůobovacích eilovacích a akčních členů vhledem k determinitickým poruchovým veličinám dt d m t a akční veličině ut V důledku předpokládané linearity je výtupní-měřená veličina rovna: y m t yd m t y d t y u t vt Č Č νt PČ y m t d m t cr_analya 354
Čílicové říení Analýa kde y u t odeva determinitické čáti ytému na akční veličinu yd m t odeva determinitické čáti ytému na měřenou poruchovou veličinu y d t odeva determinitické čáti na neměřenou poruchovou veličinu vt šumový aditivní tochatický ignál Vorkovacími členy vorkovači V V V3 pínače definovanou periodou vorkování které vorkují vtupní ignály periodou Výledkem vorkování pak je poloupnot dikrétních hodnot impulů anedbatelné šířky iracových impulů vahami odpovídající dikrétním hodnotám vorkovaných veličin Vorkovače v analýe a yntée atupují činnot AČ převodníků V d m t Čílicový korekční člen w k ek r w r u W k r m Model pojité outavy poruchami d m k yd m t V 3 u m k d t t u y t k uk y m k V Obr-3 Model pětnovaebního regulačního obvodu čílicovým řídícím členem H m H u m d u y d y m t 3 varovacími členy Aby bylo možno pomocí dikrétních poloupnotí uk ovládat pojité technologické procey převádí čílicoanalogový převodník danou periodou vypočtené dikrétní hodnoty uk na analogový ignál puly konečné šířky Rekontrukce takového ignálu dikrétní poloupnoti uk e onačuje jako tvarování a v analýe dikrétních ytémů ji realiují tvarovací členy a varovač nultého řádu Činnoti běžného čílico-analogového převodníku např integrované obvody WNC 4 WN 4 WSH 36A B odpovídá tvarovač nultého řádu obraovým přenoem: H e [impulní váhová fun: t η t η t g h ] - který rekontruuje poloupnot impulů na chodový ignál o úrovni u h t uk pro k t < k vi obr -4b cr_analya 3 354
Čílicové říení Analýa uk ut u h t ut u h t H H H u h t uk b uk c a t t t u h t u h t u h t t t t Obr4 Výtup u h t tvarovače : apřírůtkového bnultého řádu c prvního řádu b Přírůtkový tvarovač Obraový přeno tvarovače můžeme též předpokládat ve tvaru: H - který aproximuje vtupní poloupnot přírůtků akčních áahů chodovým ignálem o úrovni vi obr 4a u h k t u j j pro k t < k Budiž důraněno že do tohoto tvarovače vtupují dikrétní přírůtky akční veličiny uk které jou v technické praxi onačovány jako akční áahy Jou určovány buď algoritmem říení nebo e muí dikrétních hodnot vytvořit pomocí vorce uk uk uk- Přednotí tohoto tvarovač je že umožňuje určitá jednodušení při yntée regulátorů c varovač prvního řádu Exitují tvarovače i vyšších řádů které e však používají pro rekontrukci akční veličiny velmi řídka veďme alepoň obraový přeno tvarovače prvního řádu H e který rekontruuje poloupnot impulů ignálem: - 3 cr_analya 4 354
Čílicové říení Analýa u h t u k [ u k u k ] t k k t < k vi obr 4c 4 ikrétně pracujícími členy Jednonačně tranformují poloupnot dikrétních hodnot vtupního ignálu na poloupnot výtupních ignálů ranformaci je možno vyjádřit: diferenční rovnicí dikrétním přenoem dikrétní konvolutorní funkcí dikrétní impulní funkcí Čílicový korekční člen čílicový regulátor obahuje členy regulátory r r w r m které mají tyto funkce: a ompenaci neměřitelné poruchové veličiny regulátorem r ve pětné vabě b ompenaci měřitelné poruchové veličiny regulátorem r m v přímé vabě nebo regulátorem r ve pětné vabě c ajištění průběhu regulované veličiny dopředným regulátorem r w nebo regulátorem r ve pětné vabě Obecně je možno obvod doplnit členem g w který aproximuje dikrétní řídicí veličinu wk Přenoy regulátoru r r w tvoří regulátor dvěma tupni volnoti 5 Paměťovými a požďovacími členy které umožňují ukládání vtupních i výtupních hodnot čílicového regulátoru do paměti a realiaci požadovaných poždění 6 Volba vorkování Nemá-li natat při vorkování krelení měřeného ignálu v roahu jeho frekvenčního páma ω mjn ω ω max muí frekvence vorkování ω v být alepoň dvakrát větší než nejvyšší frekvence ω max frekvenčního páma vorkovaného ignálu yt tedy muí platit ω v ω max - 4 Pro praktickou volbu vorkování je možno využít pravidla aby přechodová charakteritika do utálení byla pokryta -3 vorky cr_analya 5 354
Čílicové říení Analýa ISRENÍ POPIS SPOJIÝCH SSÉMŮ Při analýe a yntée dikrétních regulačních obvodů e pravidla pracuje dikrétními modely pojitých čátí regulačních obvodů Pro vytvoření dikretního modelu je možno využít -tranformace -přeno nebo též ikrétní vtup dikrétní přeno impulní ut uk u h t yt přeno je možno íkat H poue tehdy je-li na vtupu pojité čáti dikrétní ignál u h t uk Vtupní pojitý ignál je vorkován periodou Navorkovaný vtupní ignál ikrétní výtup yk procháí tvarovačem H t který vytvoří po čátech pojitý ignál u h t vi obr 3 Obr ikretiace pojité outavy Váhová funkce ériově řaeného tvarovače H a pojité outavy je rovna { H } { } g t - kde je {% } je operátor pětné aplaceovy tranformace H je obraový přeno tvarovače je obraový přeno pojité outavy H Budou uvedeny náledujícípůoby dikretiace vnějšího popiu-určení -přenoů: -tranformací váhové funkce kap kážeme i vliv typu tvarovače na tvar dikrétního přenou Přímou tranformací obraového přenou na dikrétní přeno vi kap ikrétní přeno pojité outavy je možno určit 3 Bilineární tranformací obraového přenou kap 3 4 ikrétní parametrickou identifikací ISREIACE POMOCÍ -RANSORMACE VÁHOVÉ NCE Při určování dikrétního přenou je možno vycháet definice tranformace pounutým počátkem vi P-43 přeno určíme jako - obra váhové funkce g t blokového chématu na obr { } g t [ ] { } kde je H je aplaceův obra váhové funkce H je obraový přeno libovolného tvarovače je obraový přeno outavy [%] je operátor pětné aplaceovy tranformace {uk} {yt} cr_analya 6 354
Čílicové říení Analýa {%} je ymbol obecněné pounuté -tranformace vi P-43 -obra výtupu je roven a pro je 3 kde je -obra vtupního ignálu a je b m m n n an b b a a pro volené 4 Pro a onačení t k g g k platí k k g k k { } g k k 5 k kde g pro k < g k k ikrétní hodnota výtupního ignálu v čaové oblati je dána konvolutorním oučtem k y k j g u j k 6 j Pro outavu dopravním požděním podle věty o obecném pounutí vi P-46 je možno odvodit toto tvrení: Nechť {gtηt} } pak { g t η t } m ξ pro < ξ - 7a m ξ pro ξ - 7b kde m ξ m je celé ξ < > a je perioda vorkování yikální realiovatelnot kaualita dynamického ytému yikální realiovatelnot kaualitu dynamického ytému je možno definovat a pomocí váhové impulní funkce Váhová funkce Sytém je fyikálně realiovatelný jetliže jeho impulová váhová funkce gt je nulová a pro t< labá vere - 8a b pro t ilná vree - 8b cr_analya 7 354
Čílicové říení Analýa b pomocí - přenou Je-li -přeno pojité čáti vyjádřen v kladných mocninách a jou-li tupně jmenovatele "n" a čitatele "m" pak kaualita dikrétního ytému fyikální realiovatelnot je aručena jetliže platí a lim nebo m n labá vere 9a b lim nebo m<n ilná vere 9b Jetliže dikrétní přeno plňuje podmínku fyikální realiovatelnoti pak dikrétní model repreentuje fyikální ytém což namená že pro výpočet odevy ytému v okamžiku "k" mohu použít poue minulých hodnot akční veličiny uk-i a výtupní veličiny yk-j ij Ponámka -obray vi P-43 je možné formálně vyjádřit jako funkci komplexní proměnné - áporných mocnin Proto můžeme také obraový přeno vyjádřit jako funkci komplexní proměnné Pro přeno pak platí: { } { } g t b mn bm a m m n n b a n n a b n Obě dvě formy ápiu jou nadno vájemně převoditelné a běžně e v literatuře používají Při yntée dikrétních regulačních obvodů přináší určitou výhodu forma ápiu -7 která ale vyžaduje ápi áporných mocnin Sami e převědčíte že je to nepohodlné Proto bylo avedeno onačení q vi P-3 a dikrétní přeno pak může mít tvar: q q { g t } q q q q n q nm b q b a nm m m n nq aq q n b q bq n a q n ápi dikrétních hodnot pojité funkce v čaových okamžicích yk y[k ] y[k - i] uk u[k ] atd může býti jednodušen avedením ymbolů y k y k y k i u k u k kde t k je námá perioda vorkování a k onec ponámky cr_analya 8 354
Čílicové říení Analýa cr_analya 9 354 Pro pojitou outavu obraovým přenoem a pro jednotlivé typy tvarovačů - 3 le odvodit - vorce pro výpočet -přenoů Bylo by jitě matoucí kdybychom pro jednotlivé dikrétní přenoy růnými tvarovači ponechali tejný ymbol avedeme onačení: % je -přeno outavy tvarovačem nultého řádu l % je -přeno outavy tvarovačem řádu % je -přeno outavy tvarovačem H % je ymbol pro komplexní proměnné nebo q včetně parametru -přeno outavy tvarovačem nultého řádu Pro outavu tvarovačem nultého řádu je možno odvodit pro -přenoů { } { } 3 3 b a Obraový přeno outavy je [ ] važujme tvarovač nultého řádu rčete: -přeno váhové funkce pro a periodu vorkování oeficienty -přenou pro 5 Řešení: Podle - 4a určíme pomocí pětné aplaceovy tranformace váhovou funkci gt { } ˆ exp exp ˆ t t t Pomocí lovníku -tranformace naleneme - obray jednotlivých členů váhové funkce a dotaneme v kladných mocninách { } Ζ exp exp nebo v áporných mocninách Př { } exp exp Ζ
Čílicové říení Analýa cr_analya 354 Onačíme-li exp- exp- a provedeme-li oučet dotaneme pro kladnou mocninu { } a ápornou mocninu { } Obraový přeno dotaneme podle - 4b vynáobením - obrau { - []} v kladných mocninách lomkem - Obraový přeno dotaneme podle - 4a vynáobením - obrau { - []} členem - - oeficienty -přenou pro ; 5; ; ; exp- 3533; exp- 6653; 7486; 885-3333; 88 749 76 478 6653 3533 76 478 A B ikrétní přechodová přechodová přechodové přechodová pechodová charakteritika je na obr Obr onec příkladu 88 749 76 478 6653 3533 76 478 A B
Čílicové říení Analýa cr_analya 354 -přeno outavy tvarovačem H Pro outavu tvarovačem H je -přeno poměr -obrau výtupu k - obrau přírůtku akční veličiny přímo roven -obrau { []} Platí rovnot { } { } 4 4 b a važujme obraový přeno outavy Př a tvarovač H rčete -přeno v kladných mocninách pro a periodu vorkování Řešení: Podle -b je obraový přeno je přímo roven - obrau { - []} Obraový přeno pro kladnou mocninu tedy je roven a pro ápornou mocninu Pro adané parametry je -přeno ve tvaru Př onec příkladu 6653 3533 76 478
Čílicové říení Analýa 3 -přeno outavy tvarovačem řádu Pro outavu tvarovačem prvního řádu platí vorce l 5a 5b Ponámka Použití tvarovačů není možno omeit poue na rekontrukci dikrétní akční veličiny Rekontrukce dikrétní poloupnoti vorkovaného pojitého ignálu má širší výnam i uplatněnívažujme pojitou outavu měřenou poruchovou veličinou d m t dle obr 3 Při dikretiaci tj určení -přenou předtavuje rekontrukce měřené poruchové veličiny d m t b ikretiovaný model a d m t d m k d mh k y m t t d m t H m m d m t m y m t d m k d m t Obr3ab d m k yk pomocí tvarovače voleného řádu H m aproximací původního pojitého ignálu jiným pravidla jednodušším po čátech pojitým ignálem d mh t Je řejmé že tvarovač H m předtavuje při dikretiaci poue předpokládanou míru jednodušení proceu rekontrukce Neodpovídá mu žádné konkrétní technické aříení -přeno tedy ávií nejen na periodě vorkování ale i na řádu tvarovače H m který byl uvažován při rekontrukci ignálu Řád tvarovače e projeví poue na počtu koeficientů čitatele -přenou onec ponámky ISREIACE POMOCÍ PŘÍMÉ RANSORMACE OBRAOVÉHO PŘE- NOS Pro výpočet obraů { []} nebo { [ ]} ve vorcích - 4a až - 6b je možno použít přímé tranformace využitím reiduové věty - příloha P Ponámka 3 Nechť H nebo H pak platí c i e e πi c i e i i e { } d re - kde je analytická funkce která má konečný počet pólů i pro i n a plňuje podmínku lim ; je perioda vorkování cr_analya 354
Čílicové říení Analýa Pro outavy dopravním požděním platí: m { e } re ξ e pro < ξ - a i i e m { e } re ξ e pro ξ - b i i e kde m ξ kde m je celé kladné čílo včetně nuly ξ < > a je perioda vorkování -obray pro jednotlivé typy tvarovačů e muí dopočítat podle vorců -4a až -6b e vtahů -5a b je řejmé že takto avedený přeno je přímo roven -obrau který íkáme přímé tranformace -7-8a b Pro běžné technické úlohy dopravním požděním je takže e používá rovnot m v -8a Mocnina e vyjadřuje tak vaným dikrétním požděním v tedy v m Položíme li q - obraový přeno má tvar v B q q q - c A q Př3 važujme outavu řádu dopravním požděním varovač H přeno outavy e - rčete: - přímou tranformací oeficienty přenou pro 348547ec 447ec Řešení Protože m ξ; ξ -m ; Poor: v m vybereme formuli - 8a pro obraový přeno e - { } ξ m e ξ e re i i e exp[ ξ ] exp[ ξ ] re re e e m Onačme exp- A-ξ pak - přeno outavy dopravním požděním je A A Pro a ; ; 348547ec ; 447ec; je exp- 5 ; m3; ξ -m 48547; A-ξ 5453; A 7; cr_analya 3 354
Čílicové říení Analýa -přeno pak je 4 3 5 nebo 4 3 q q q q 5q ikrétní váhová funkce je na obr4 onec příkladu Obr4 3 BIINEÁRNÍ RANSORMACE Aproximaci -přenou obraového přenou je možno íkat použitím bilineární tranformace Bilineárních tranformací exituje celá řada e které vybereme utinův tranformační vtah w 3 - nebo w 3- w kde je perioda vorkování -přeno íkaný bilineární tranformací B je poue aproximace -přenou tedy nemůžeme očekávat rovnot B které byly určeny podle vtahů 6b Používá e pro rohodování o tabilitě nebo pro aproximaci obraových přenoů např dikretiace přenou PI regulátorů Ponamenejme poue že přeně platí tranformační vtahy ln nebo exp 3 3 které není možno přímo použít protože výledný přeno pak není algebraickým výraem - racionální lomenou funkcí v Bilineární tranformační vtahy aproximují Př4 Obraový přeno regulované outavy je 5 Naleněte aproximaci -přenou pomocí utinovy bilineární tranformace Periodu vorkování volte Řešení oadíme a "" aproximaci podle -9 do obraového přenou a dotaneme 4 5 8 4 5 cr_analya 4 354
Čílicové říení Analýa Pro pak vypočteme 4 6 ikrétní přechodová charakteritika vypočítaná aproximovaného -přenou elená a - přenou vypočteného v Př modrá je na obr5 Porovnejte obě odevy a pokute vyvětlit důvod rodílných průběhů kontrolujte utálené hodnoty onec příkladu 3 SOWAROVÁ POPORA ISREIACE Obr5 Přechodové charakteritiky k příkladu 4 Praktické numerické výpočty dikrétních přenoů v protředí MAABu e používají tranformační funkce Control Sytem oolboxu celého roáhlého produktu e omeíme poue na příka cd k tranformaci pojitého obraového přenou na dikrétní alší popi funkcí nalenete ve "Stručném manuálu MAABu pro předměty teorie říení" na internetové adree http:wwwfmvlibc~krtkrt_cvyukatextmatlabhtmlhtm Podrobný popi a přehled všech funkcí je možno najít v "Helpu" tohoto toolboxu Předpokládáme že data e kterými e operuje jou uložena ve workpace unkce cd ikretiace pojitého obraového přenou Syntaxe funkce kde je yd y method yd cd y 4 - yd cd ymethod dikrétní přeno pojitý obraový přeno vytvořený příkaem tf perioda vorkování pomocí tohoto parametru tring e definuje oh foh tutin tvarovač nultého řádu modifikovaný tvarovač řádu bilineární tranformace utinova Př5 ikretiujte obraový přeno Perioda vorkování ec 5 cr_analya 5 354
Čílicové říení Analýa Řešení: a Pro tvarovač nultého řádu je ápi programu je na obr6 b Pro bilineární tranformaci je na obr 7 Obr7 ápi dikretiace pro utinovu bilineární tranformaci Obr6 ápi programu pro tvarovač nultého řádu 4 IERARA RANIN POWEJ WORMAN M: igital Control of ynamic Sytem Addion Weley ongman Inc hird edition 3 OOWIN C RAEBE S SAAO M E: Control Sytem eign Prentice Hall [ 3] ÖINER O: eitdikrete Steuerungyteme Auflage ROldenbourg Verlag mbh München98 [ 4] RACE A AB J A IE J N HOMPSON C M: Control Sytem ool box or e with MAAB er' uide he Math Work Inc995 [ 5] MORÁ O: 99eorie automatického říení II Cvičení Ediční třediko VŠS iberec v 7 cr_analya 6 354