1 Nulové body holomorfní funkce

Transkript

1 Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n = f n) ) n! Bod je v takovém případě nulovým bodem funkce f právě tehdy, pokud a =. Je-li f) nekonstantní holomorfní funkce v bodě, pak alespoň jeden koeficientů a, a,... je růný od nuly. Definice. Nechť f) je nekonstantní funkce, holomorfní v bodě. Řekneme, že nulový bod funkce f) je m-násobný násobnosti m, řádu m) právě tehdy, když prvních m koeficientů v Taylorově rovoji funkce f) se středem v bodě je nulových, t.j. a = a = = a m = a a m. Jinak vyjádřeno také f ) = f ) = = f m ) ) = a f m) ). Místo jednonásobný nulový bod říkáme také jednoduchý nulový bod. Pokud tedy je bod m-násobným nulovým bodem nekonstatní funkce f), která je holomorfní v, pak v jistém okolí bodu můžeme psát: f) = a m ) m + a m+ ) m+ + a m+ ) m+ + = ) m [ a m + a m+ ) + a m+ ) + ] V důsledku předchoího vyjádření funkce f) dostaneme následující větu. Věta. Bod je m-násobným nulovým bodem funkce f) právě tehdy, když v jistém okolí U ) le funkci f) vyjádřit ve tvaru: f) = ) m Φ), kde Φ ) a Φ) je holomorfní funkce v U ). Příklad. Určete násobnost nulového bodu = funkce f) = sin. Z Taylorova rovoje funkce sin se středem = dostaneme sin = n= ) n n + )! n+ =! + 5! 5 7! 7 + ) =! 5! + 7! 4 ) Násobnost nulového bodu = je tedy. Pomocí věty. le integrály podílu dvou holomorfních funkcí spočítat pomocí následujících dvou vět..

2 Věta.4 Nechť f a h jsou holomorfní funkce v jednoduše souvislé oblasti D, nechť je jednoduchá uavřená kladně orientovaná křivka v D. Nechť h má v Int jediný nulový bod a na nemá žádné nulové body. Nechť násobnost nulového bodu funkce h je m m N). Pak f) h) d = Speciálně pro m = je πj m )! [ lim ) m f) ] m ). h) f) h) d = πj f ) h ). Věta.5 Jsou-li f a h jsou holomorfní funkce v jednoduše souvislé oblasti D, jednoduchá uavřená kladně orientovaná křivka v D, přičemž funkce h má nulové body i, i =,,..., n násobností m i m i N) v Int a žádný nulový bod funkce h neleží na. Pak f) h) d = n i= i f) h) d, kde i jsou jednoduché uavřené kladně orientované křivky vlastností: i Int i, i Int, i Ext k i k, i, k =,..., n. Příklad.6 Spočtěte tan d, kde je kladně orientovaná kružnice 5 π = π. Funkce tan le vyjádřit jako podíl funkcí sin a cos. Pokud bychom hledali nulové body funkce cos tn. řešili bychom rovnici cos = ), dostali bychom, že množina nulových bodů je { π + kπ k Z} spočtete si!). Dále není težké nahlédnout, že kružnice obíhá právě jeden nulový bod a to bod π nakreslete si obráek!). Vhledem k tomu že funkce sin a cos jsou holomorfní v, jsou podmínky věty.4 splněny. Nicméně musíme ještě určit násobnost nulového bodu π. Derivace cos ) v bodě π je sin π =. To namená, že člen a Taylorovy řady funkce cos se středem π bude. Násobnost nulového bodu π je tedy a le psát: sin tan d = cos d = πj sin π sin π = πj Příklad.7 Spočtěte sin sin cos ) d,

3 kde je kladně orientovaná kružnice =. Nejprve opět musíme nalét nulové body jmenovatele integrované funkce. Je řejmé, že jmenovatel bude rovný nule pokud platí alespoň jedna následujících rovností: sin =, sin cos =. První rovnice má množinu řešení {kπ k Z}. Hledejme řešení druhé rovnice. Po dosaení definice funkcí sin a cos dostaneme: po ronásobení j máme: j ej e j ) ej + e j ) =, e j e j je j je j =. Substitucí p = e j a upravením dostaneme: Tedy a p = + j j = + j j Po dosaení pět a p obdržíme: p p jp jp =, j)p + j) =. + j + j = + j) p j = {e j π 4, e j 4 π }. j Loge j π 4 ) Loge j 4 π ), = + j = j. což po spočtení logaritmů dává { π 4 + kπ k Z}. Sjednocením dostaneme nulové body funkce sin sin cos ), t.j. {kπ k Z} { π + kπ k Z}. 4 Je tedy patrné, že kružnice obíhá dva nulové body a to bod a bod π 4. Věta.5 říká, že můžeme výpočet integrálu roložit na výpočet dvou integrálů, pokud naleneme křivku, která obíhá bod a křivku, která obíhá π 4 tak, že Ext a Ext. Pokud volíme dostatečně malé poloměry, tak jistě existují takové dvě kružnice,, které splňují výše uvedené podmínky např. : =. a : π 4 =. nakreslete si obráek!). Spočtěme tedy integrál po křivce. Je řejmé, že na a na Int je funkce holomorfní a tudíž budeme počítat následující integrál: sin cos sin cos d. sin

4 Určíme násobnost nulového bodu. Protože sin ) = cos a cos =, dostáváme, že násobnost nulového bodu je. Z věty.4 plyne: sin cos sin cos d = πj sin cos =. Nyní spočítejme integrál po křivce. Je řejmé, že funkce sin je holomorfní na a na Int, takže budeme počítat tento integrál: sin sin cos d. Určíme násobnost nulového bodu π 4. Protože sin cos ) = cos + sin a cos π 4 +sin π 4 =, dostaneme, že π 4 je jednoduchý nulový bod t.j. má násobnost ). Tudíž věty.4 obdržíme: π sin d = πj sin cos 4 sin π 4 cos π 4 + sin π 4 Výsledný integrál dostaneme sečtením: sin sin cos ) d = Příklad.8 Spočtěte sin cos d + sin e sin d, = πj π 4 = j π. sin π d = j sin cos. kde je kladně orientovaná kružnice =. Hledejme nejprve nulové body jmenovatele sin. Je řejmé, že sin = právě tehdy, když sin =. Hledaná množina nulových bodů tedy je {kπ k Z}. Kružnice obíhá jen jeden nulový bod a to bod. Určeme násobnost tohoto nulového bodu. Naleněme prvních několik členů Taylorova rovoje funkce sin se středem v bodě. sin =! + ) 5! 5! + ) 5! 5 =! + ) 4 + =! 4 + = ) + = Φ). 4

5 To namená, že nulový bod má násobnost. Dále je Taylorova rovoje patrné, že Φ) = a Φ ) = derivováním člen po členu). Z věty.4 tedy dostáváme: Výra e πj sin d = lim e )! sin = πj lim e ) Φ) ) e e Φ) e Φ ) ) = πj ) = πj Φ) Φ ) ) = πj = πj. e Φ) Příklad.9 Spočtěte ) ) vyjadřuje derivaci funkce e Φ) e ) d, v bodě. kde je kladně orientovaná kružnice πj = π. Naleněme nulové body jmenovatele integrované funkce. Je řejmé, že nulové body budou všechna řešení rovnice e =. To namená, že množina nulových bodů je {jkπ k Z}. Takže kružnice obíhá dva nulové body a to bod a bod πj. Podle věty.5 se tedy výpočet ropadne na výpočet dvou integrálů podle kladně orientovaných kružnic s dostatečně malým poloměrem: se středem v bodě a se středem v bodě πj. Zjistěme násobnost nulového bodu. Rovineme funkci e do Taylorovy řady se středem v. e = ) 6 + = + + ) 6 + = Φ). Pro jmenovatel tedy dostaneme: e ) = Φ ), kde Φ) =, Φ ) = a Φ ) =. Takže nulový bod má násobnost. Z věty.4 tedy obdržíme. πj e d = lim )! e ) ) = πj lim Φ = πj ) Φ ). ) 5

6 Spočítejme tedy druhou derivaci funkce Φ ). ) Φ = Φ ) ) Φ 4 ), ) Φ = Φ ) ) Φ 4 = Φ )Φ 4 ) 4Φ )[Φ )] ) Φ 8 ) = Φ ) Φ 4 ) + [Φ )] Φ 5 ). Druhá derivace v bodě tedy je: Φ ) = Φ ) ) Φ 4 ) + )] [Φ Φ 5 = ) + 4 =. Dosaením dostáváme: e d = πj ) Φ ) = πj. ) Nyní spočítejme integrál po kružnici. Protože platí, že dostaneme e πj = e e πj = e, e ) = e πj ) = πj) Φ πj). Nulový bod πj má tedy opět násobnost a platí: πj e d = lim πj) )! πj e ) = πj lim = πj πj πj) πj) Φ πj) Φ πj) πj). Je řejmé, že πj) = Φ πj) Φ ) =. ) Dostáváme tedy: e ) d = e ) d + e d = πj + πj = 4πj. ) 6

7 Využití v reálné analýe Ukážeme si jak le metody integrování také použít při integrování reálných funkcí reálné proměnné. Mějme integrál π I = fcos t, sin t) dt, kde f je nějaká racionální lomená funkce jejíž jmenovatel není nulový pro žádné t, π. Základní substitucí v integrálech tohoto typu je = e jt = cos t + j sin t, t, π. Všiměte si, že jak se parametr t mění, bod opisuje jednotkovou kružnici =. Dále platí: = e jt = cos t j sin t, t, π. Sečtením a odečtením těchto dvou rovnic dostaneme: cos t = + ), sin t = j ). Zbývá určit a tedy d = je jt dt = jdt, dt = j d. Po dosaení můžeme tedy integrál I vyjádřit jako integrál: g) I = j d, kde je kladně orientovaná kružnice = a funkce g) vnikla funkce f dosaením a cos t a sin t. Příklad. Spočtěte integrál π sin t 5 4 cos t dt. Přepsáním integrálu podle předchoího výkladu dostáváme: π sin t dt = j 5 4 cos t 7 [ j 5 4 [ ) ] )] + d,

8 kde je kladně orientovaná kružnice =. Upravme nejprve integrovanou funkci. [ j 5 4 [ ) ] + )] = 4 + ) 5 = ). Po roložení polynomu 5 + na součin kořenových činitelů dostáváme: π sin t 5 4 cos t dt = j ) ) d. Integrovaná funkce má tři singularity, a. Kružnice obíhá dvě nich a to a. Roložíme tedy integrál na dva integrály po kružnicích : =. a : =.. Pomocí auchyova integračního vorce dostáváme: I = kde 4 ) + = ) ) Pro druhý integrál platí: 4 + ) ) 4 ) + d = πj ) = 5 ) ) πj, 4 4 ) ) 4 + ) + ) ) ). I = 4 + ) 4 ) ) + d = πj ) ) ) = πj. Pro výsledný integrál tedy dostáváme: π sin t 5 4 cos t dt = j 4 I + I ) = j 4 5 πj ) πj = π 4. 8