3 lasické funkční vary v orii produkc 3. COBB- DOUGASova produkční funkc Tno funkční var popisuj vzah mzi produkcí a výrobními fakory prác a kapiál mocninným vyjádřním j. (3.) kd s pro paramry zpravidla přdpokládá omzní hodno na inrval < <. Paramr musí bý přirozně kladný. Souč obou mocninných paramrů j obvykl blízký hodnoě přičmž mpirické konomrické analýzy naznačují spíš siuaci + <. Jak ukážm přiblížní souču mocninných paramrů hodnoě (zvlášě j-li jich víc nž ) lz dobř zdůvodni pokud vývoj produkc v omo funkčním varu j popsán výrobními fakory vyčrpávajícím způsobm. Někdy s a priori přdpokládá přsné splnění idniy + což však má oprávnění jn v určiých siuacích. V akovémo případě lz chování produkc vysihnou závislosí (3.) přičmž po vydělní prací získám vzah (3.3) a ím i konomicky názorně inrprovalný vzah o závislosi vličiny ( průměrná produkivia prác ) na innziním fakoru ( vybavnos prác kapiálm ).Přiažlivos ohoo funkčního varu lz spařova i v několika dalších směrch :. Cobb-Douglasova funkc splňuj všchny Shphardm formulované axiomy (S) - (S6) až na posldní (S7*) požadující ohraničnos účinné podmnožiny E ( y) produkční množiny vsupů z s o om snadno přsvědči přímo navíc Cobb-Douglasův nlinární var j při přijaých omzních na mocninné paramry < konkávní funkc. <. Ekonomické charakrisiky Cobb-Douglasovy funkc lz snadno spočís což posupně ukážm : a) mzní produkiviy (3.4) Podobně dosanm m m ; mzní produkiviy jsou dy rsp. násobky prů- měrných produkivi rsp.. Cobbova-Douglasova funkc byla poprvé uvdna v článku Cobb-Douglas : A Thory of Producion uvřjněném v Amrican Economic Rviw (98) kd byly pomocí ní konomricky zkoumány kvaniaivní vzahy mzi produkcí prací a kapiálm na agrgované úrovni amrické konomiky počáku.solí.
b) koficiny pružnosi produkc vzhldm k kapiálu (3.5A) m a obdobně vzhldm k práci (3.5B) m. Jsou dy přímo rovny mocninným koficinům funkčního varu. Paramr vyjadřuj procnuální míru vlivu kapiálu a podobně paramr procnuální míru vlivu prác na hodnoě produkc. Pokud bychom již nuvažovali působní žádných jiných výrobních fakorů na produkci lz přijmou zi o (zhruba) jdničkovém souču obou paramrů (koficinů pružnosi produkc vůči oběma fakorům). Povšimněm si ž oba koficiny lasiciy jsou konsanní v clém fakorovém prosoru. c) Účasi výrobních fakorů na produkci získám rovněž vlmi snadno : (3.6) a podobně v Také odud vyplývá logický požadavk aby souč koficinů + byl (přibližně) jdničkový. d) Výnosy z rozsahu produkc lz u dvoufakorové Cobb-Douglasovy funkc vyvodi z vyjádřní : v (3.7) F (.. ) (. ) + λ λ ( λ. ) λ F( ) λ Odud j jdnak parné ž ao produkční funkc j homognní supně + jdnak z něho přímo vyvodím povahu výnosů z rozsahu produkc krá j určna součm mocninných paramrů. Jsliž + < jd o klsající pro + obdobně o konsanní rsp. při + > vykazuj Cobb-Douglasův var rosoucí výnosy z rozsahu produkc. Posldní případ lz v konomrických aplikacích zaznamna jn zřídka. m ) Mzní míra subsiuc r s opě snadno určí z dfiničního vzahu r m jhož naplněním pro Cobb-Douglasův var obdržím (3.8) r Mzní míra subsiuc mzi prací a kapiálm u Cobb-Douglasovy produkční funkc dy závisí na poloz bodu v němž ji v fakorovém prosoru vyčíslujm. J přímo úměrná vybavnosi prác kapiálm ( j. podílu / ) a podílu lasici /. f) Pružnos subsiuc s určím nokrá jiným posupm nž pomocí někrého z dřív uvdných výpočních vzorců a o pomocí násldujícího obrau : ogarimujm vzah (3.8) přičmž podíl označm sručněji jako ω. Njprv dosanm
( 3.9) ln r ln + ln ω a násldným difrncováním ln r ln r (3.) d ln r d ln d ln ω + ln ω ln nboť jiné změny nž obou adiivních komponn pravé srany (3.9) nuvažujm. Jak blíž parno výraz d ln jako změna konsany (nzávislé na měnících s ) j nulový a ln r obdobně podíl j rovn jdné což j zřjmé vyjádřím-li parciální drivaci (podl ln ω ln ω ) vzahu (3.9). Difrnciál d ln r vyjádřný adiivním rozkladm (3.) s ímo rdukuj na vzah (3.) d ln r d lnω Vzhldm k omu ž podíl pravé a lvé srany (3.) nní nic jiného nž logarimická dfinic pružnosi subsiuc s - viz dfiniční vzah (.7A) - znamná o ž s. Sjný výsldk bychom obdržli pomocí výpočního vzorc (.8) nbo za podmínky + přs vzah (.7). Získaný výsldk znamná mj. o ž Cobb-Douglasův funkční var přdsavuj příklad produkční funkc u níž j lasicia subsiuc s nzávislá na poloz fakorové kombinac na příslušné izokvaně ( s j dy konsanní). 3. Jšě s sručně zmíním o konomrické úloz odhadu paramrů Cobb-Douglasovy produkční funkc. ogarimováním výchozího varu (3. ) získám (3.) ln ln + ln + ln Připojním náhodné složky u s přisuzovanými vlasnosmi ( cnrovanos homoskdasicia a nkorlovanos s jdnolivými vysvělujícími proměnnými) přjdm k rgrsnímu vzahu (v zápis pro vkory pozorovaných hodno a )... T v němž T j délka vzorku pozorování : (3.A) ln ln + ln + ln + ln u. Povšimněm si však ž při éo spcifikaci by v vzahu (3.) náhodné složky musly bý připojny muliplikaivně zn. sochasicky vyjádřná Cobb-Douglasova funkc by musla mí var (3.3) a xponnciálně vázané náhodné odchylky by např. již nmohly bý záporné. Při odhadu paramrů Cobb-Douglasovy funkc lz na linárně-adiivní var (3.a) uplani např. prosou modu njmnších čvrců (MNČ OS). Jako závisl proměnná bud v rgrsi vysupova logarimovaná hodnoa produkc ln jako nzávisl proměnné pak logarimované hodnoy prác ln a kapiálu ln. Uvdným posupm získám přímo (konzisnní) odhady paramrů a a éž odhad logarimované hodnoy úrovňového paramru Cobb- u 3
* Douglasova varu ln. Odhad původního paramru pak získám snadno zpěnou xponnciální ransformací *. Pro úplnos j řba uvés ž ímo způsobm získaný odhad paramrů nbud (z saisického hldiska) njlpší možný. Jak parno minimalizačním kriérim při výš uvdném posupu j výraz T T * * ( ln ln ) nikoliv původní souč čvrců ( ) kd * * označuj vyrovnané hodnoy. Měřní odchylk od zd probíhá v logarimované nikoliv v původní mric. Pokud bychom rvali na původním kriériu musli bychom k přsnému odhadu paramrů uplani nlinární modu njmnších čvrců (NMNČ NS). Dodjm současně ž v řadě prakických siuací nbudou rozdíly mzi jdním rsp. druhým způsobm odhadnuými paramry příliš vlké. Cobb-Douglasova produkční funkc j z ohoo hldiska jn slabě nlinární nboť po logarimické ransformaci jd o funkční var krý již j v paramrch linární. Podobu izokvan Cobb-Douglasovy funkc ovlivňují všchny ři paramry. Paramr má vliv na vzdálnosi izokvan o různých hladinách produkc míru zakřivní pak určují mocninné paramry. V případě rovnosi obou paramrů budou izokvany symrické vůči os/paprsku vycházjícího z počáku pod úhlm 45. S ohldm na muliplikaivní var funkc nmohou izokvany (pro končné hodnoy výrobních fakorů ) přilnou k souřadnicovým osám (blíží s k nim však asympoicky) zn. ž jak prác ak kapiál jsou podsané ( ssnial ) výrobní fakory. Njsou-li příomny v kladných množsvích nlz dosáhnou ( ani při jakkoliv vlkém nasazní osaních výrobních fakorů ) kladné hodnoy produkc. 3. EONTIEFova produkční funkc Tao produkční funkc ns pojmnování po významném amrickém konomu a konomru ruského původu Vasiliji onjvovi (v anglické ranskripci psáno Wassilly onif) a přdsavuj vůči Cobb-Douglasově produkční funkci zcla proikladný případ (v běžné konomické raliě však nijak řídký). Tímo způsobm vyjádřná výrobní chnologi npřipouší vůbc žádnou subsiučnos mzi výrobními fakory. Mluvím o zv. pvných chnických koficinch jinými slovy o výrobním procsu krý racionálně probíhá pouz při pvných proporcích nasazní všch výrobních fakorů. Tao produkční funkc má méně obvyklý nicméně jdnoduchý var : (3.4) Min[. ;. ] kd > > jsou vhodné kladné konsany. onjvova produkční funkc j na první pohld charakrisická ím ž jjí izokvany mají podobu dvou hran (lvé a dolní) nomzných pravoúhlníků přičmž syčný rohový bod j právě jdiným bodm účinné podmnožiny (produkční množiny vsupů) a jho souřadnic udávají právě požadovaný poměr nasazní výrobních fakorů. Pro různé hodnoy produkc lží yo vrcholy na polopřímc vycházjící z počáku jjíž směrnic j rovna podílu. Obdobný obraz obdržím u vícfakorové onjvovy funkc s ím ž gomrická podoba 4
závisí na poču fakorů (v případě ří fakorů j účinný bod rohm nomzného kvádru). Žádná možnos subsiuc mzi výrobními fakory s ani zd npřipouší. Případ pvných výrobních koficinů j přdvším na mikroúrovni a v siuacích kdy jd o modlování chnických či chmických vzahů dosi běžný. V malurgii j řada výrobních procsů charakrisická ím ž s připouší nanjvýš nparná variabilia použiých kovů/prvků : výroba nrzových oclí složní spciálních sliin (dělovina zvonovina). Podobně s chová clá řada chmických procsů u krých dosažní žádoucí chmické sloučniny (sliiny) (krakování ropy výroba barviv apod.) vyžaduj dodržní přsného poměru v nasazní výrobních fakorů. Podobně éž v zlanicví mám sic možnos směšova cnné kovy (sříbro zlao paladium plaina) v širokém rozmzí vzájmných proporcí avšak zvyklosi rhu vyžadují dodržní radičních poměrů (viz např. 4 8 nbo -karáové zlao). Probrm dy posupně konomické charakrisiky onjvovy produkční funkc : a) Mzní produkiviy prác m určím liminím způsobm vý- poču drivací. Plaí : (3.5A) m Min lim a kapiálu [ ( + ); ] Min[ ; ] pro případ ž minima s nabývá v hodnoě pro případ ž minima s nabývá v hodnoě Min (3.5B) lim pro případ ž minima s nabývá v hodnoě pro případ ž minima s nabývá v hodnoě [ ; ( + ) ] Min[ ; ] Jdiným bodm kd jsou obě mzní produkiviy kladné j dy zmíněný vrchol pravoúhlníka (zd plaí rovnos ). b) oficiny pružnosi produkc odvodím nyní již snadno: vzhldm k kapiálu mají var (3.6A) (3.6B) m pro případ ž minima s nabývá v hodnoě jinak. a vzhldm k práci m pro případ ž minima s nabývá v hodnoě jinak. c) Účasi výrobních fakorů na produkci určím sjně lhc : ( 3.7) v m a podobně v m s sjnými omzními na minimalizující fakor v produkční funkci jako omu j u mzních produkivi (v opačných případch j příslušná fakorová účas nulová). d) Vyšřní povahy výnosů z rozsahu výroby u dvoufakorové onjvovy produkční funkc přináší no výsldk : ( 3.8) F ( λ λ) Min[ λ ; λ] λmin[ ; ] λ F( ) z čhož j parné ž funkc j linárně homognní a udíž má konsanní výnosy z rozsahu. 5
) Mzní míru subsiuc r rovněž snadno určím z dfiničního vzahu m r krý m nabývá jdinou sandardní hodnou v bodě kd plaí. V jiných bodch izokvan j hodnoa r buď nulová (na horizonálním úsku izokvany kd i vlmi malý přírůsk množsví kapiálu nlz subsiuova jakkoliv vlkým množsvím prác) nbo naopak nkončně vlká (na svislém úsku izokvany sačí nparné množsví prác k zvýšní produkc což nní dosažilné samosaně žádným končným množsvím kapiálu). Fakory mají vlasnos zv. limiovalnosi o níž bud pojdnáno v čási [4]. f) ončně vlikos pružnosi subsiuc s vyvodím násldovně : V rohu nkončného pravoúhlníka j mzní míra subsiuc r rovna ( ). Vyjdm li z ohoo bodu pak jakýkoliv posun po izokvaně implikuj vždy skokoviou změnu r a o buď na hodnou + (směr nahoru) nbo na hodnou (směr doprava). Proo dr + a udíž dr / r +. Výraz d ln( / ) bud mí při pohybu po izokvaně vycházj z éhož bodu naproi omu vždy končnou vlikos nboť poměr fakorů s mění spojiě. Proo bud s. Výpočních vzorců kré obsahují výpočy drivací (ač j onifova funkc linárně homognní) nlz k urční s použí nboť parciální drivac na izokvaně nxisují (jsou různé zlva/zprava rsp.shora/zdola). 3.3 ACMS (ARROW - CHENER- MINHAS - SOOWova) produkční funkc ACMS-funkc byla vyvinua za účlm posihnou obcný var funkc vykazující vlasnos konsanní pružnosi subsiuc. Z ohoo důvodu bývá aké časo označována jako CESfunkc (z anglického Consan Elasiciy of Subsiuion ). Too označní však nní zcla přsné nboť - jak jsm viděli - aké Cobb-Douglasova funkc má zmíněnou vlasnos. Zjména v 6. a 7.lch.solí byl níž uvdný funkční var produkční funkc přdměm zvrubného orického zkoumání a jako alrnaiva k Cobb-Douglasově funkci mnohokrá nasazn v mpirickém konomrickém výzkumu. V původním zápis pro dva výrobní fakory prác a kapiál má var ( ) (3.) γ + ( ) přičmž každý z jjích ří paramrů γ má svůj spcifický význam omzní přípusných hodno i pojmnování. - paramr γ (vždy > ) udává vzah mzi měříky jdnok výrobních fakorů a produkc a nazývá s proo paramr úrovně - paramr ( siuovaný do inrvalu ( ) ) sparuj vliv každého výrobního fakoru samo saně a j pojmnován disribuční paramr a - paramr j nazýván subsiuční paramr nboť jím (a jn jím) j určna vlikos pružnosi subsiuc s. Tno paramr můž nabýva přípusných hodno z sjdnocní inr- valů ) ( + ). ACMS funkční var produkční funkc byl poprvé publikován auory.arrowm H.Chnrym B.Minhasm a R.Sollowm v článku Capial-abor Subsiuion and Economic Efficincy uvřjněmném v Rviw of Economics and Saisics 96. 6
Přs poněkud komplikovanější dfiniční výraz lz na ACMS-funkci jdnodušji pohlíž jako na vážnou sřdní hodnou (dvou výrobních fakor ) supně r. Položím-li oiž r a zapíšm-li γ jako Q lz pak výraz (3.) zapsa jako ( r ) r r ( 3.) Q. + ( ). Přiažlivos ohoo funkčního varu vyplývá mj. z skučnosi ž ACMS-funkc přdsavuj (spolu s svými krajními případy v vzahu k subsiučnímu paramru : - + či liminím případm ) úplnou řídu funkčních varů vykazujících konsanní pružnos subsiuc s běhm pohybu po krékoliv izokvaně. Jdničková hodnoa éo charakrisiky u Cobb-Douglasovy funkc j oiž z hldiska přvažující náročnosi subsiuc (a o njn prác kapiálm) příliš příznivá. V skučnosi probíhá procs nahrazování jdnoho fakoru druhým ( a vic vrsa) obížněji. onkréně pro hodnou nabývá ACMS-funkc var prosé linární produkční funkc (jak parno po přímém dosazní). (3.3) F ). +. kd γ. γ.( ). ( > > Dál lz ukáza obousranným liminím přchodm pro ž při ACMS funkc přchází v Cobb-Douglasovu funkci konkréně varu F γ (3.4) ( ) ončně v liminím případě + nabývá ACMS-funkc var charakrizovaný onifovou produkční funkcí (3.5) F ( ) Min[. ; ( ). ]. J dy pozoruhodné ž ACMS-funkc pokrývá jak subsiuční případy ak i ypicky nsubsiuční komplmnární siuaci. Njprv s přsvědčím ž ACMS-var přdsavuj skučně produkční funkci. To opě provdm posupným vyšřním Shphardových axiomů což j nparně obížnější nž u Cobb-Douglasovy funkc : (S) Pro ( ) plaí lim Jsliž naopak ( + ) + poom aké i lim ( ) a proo F( ) + lim + lim + i lim ( ) + lim + γ + / ( + ( ) ) + což však opě znamná ž Spojiým dodfinováním hodnoou lz dy pro oba inrvaly zajisi planos podmínky F. ( ) Funkc ( 3.) j zřjmě končná pro končná čhož vyplývá splnění axiomů (S) a (S5). a spojiá v clém dfiničním oboru z ověřní (S3) sačí ukáza ž ACMS-funkc j rosoucí v obou argumnch : 7
J-li oiž ( ) j rosoucí v. Násldně složná funkc opačně ( + ) pak γ j rosoucí v a shodně ( ) poom důsldku čhož funkc γ ( ) z kd + ( ) z j rosoucí v i. Jsliž j klsající v a obdobně ( ) ( ) z kd + ( ) j klsající v v z j opě rosoucí v i. Pro ověřní (P4) použijm vyšřní proporcionální úměrnosi (s nějakým kladným λ λ ) : (3.6) F ( ) γ [ λ ( + ( ) )] λ F( ) ( λ λ) γ ( λ ) + ( ) ( λ) Z oho jdnak plyn ž pro všchny kombinac vsupů poskyující kladný výnos (j. pro < < jd o x a pro > o x > ) plaí lim F( x) + jdnak j ím prokázána linární homognia ACMS-funkc. x + vazikonkávnos (P6) krá s přímo dokazuj (zjména pro víc výrobních fakorů) nsnadno zd vyplývá z konkávnosi ACMS-funkc. Vyšřujm-li končně planos podmínky (P7*) zjišťujm ž pro vybrané z inrvalu ( + ) njsou účinné podmnožiny E ( ) ohraničné. Pro < < s ao slabina nprojvuj avšak z mpirických šřní (a násldně odhadnuého ) vyplývá ž ypičější j právě opačný případ. Navíc s ohldm na o ž rozsah kladných hodno j npoměrně bohaší nž inrval záporných nní v omo směru přdnos ACMS produkční funkc přd Cobb-Douglasovým varm nijak zřlná. Nyní s budm věnova vyčíslní podsaných konomických charakrisik u ohoo ypu dvoufakorové produkční funkc (za výrobní fakory v shodě s (3.3) považujm práci a kapiál ) : a) mzní produkiviy prác (3.7A) γ m [ + ( ) ] [ ] rsp. kapiálu (3.7B) γ m [ + ( ) ] [( ) ] získám snadno drivováním přičmž získané výrazy lz dál upravi s využiím dfiničního vzahu [ + ( ) ] γ na (3.8AB) m rsp. ( ) ω + b) účasi fakorů na produkci násldně přijímají yo výrazy m + ( ) ω 8
(3.9A) ( 3.9B) v m pro účas prác + ( ) ω v m pro účas kapiálu. ( ) ω + Jak j parné jak mzní produkiviy ak fakorové účasi závisí na poměru fakorů i na všch paramrch ACMS funkc. S ohldm na přípusné hodnoy paramrů ACMS-varu jsou kladné. c) koficiny pružnosi produkc obdržím sjně snadno.vzhldm k kapiálu dosanm (3.3A) m lasiciu vzhldm k práci pak jako (3.3B) m + + ( ) ω ( ) ω Také koficiny pružnosi jak j vidě závisí na poměru fakorů ω. d) Charakrizaci výnosů z rozsahu výroby jsm v podsaě již podali v průběhu vyšřování axiomu (S4). onsaovali jsm ž ACMS-produkční funkc vykazuj konsanní výnosy z rozsahu výroby v důsldku homogniy. supně (bz ohldu na vlikosi úrovňového a subsiučního paramru). m ) mzní míra subsiuc j dána podílm a jako aková má vyjádřní m + ( ) ω (3.3B) r. ( ) ω + kré můž bý dál zjdnodušna na výraz (3.3A) r ω + závisjící opě na podílu ω proměnlivém v fakorovém prosoru. f) pružnos subsiuc lz urči opě vhodným obram snadněji nž z dfiničního vzahu (3.) : Vyjděm z vzahu (3.3A ) pro mzní míru subsiuc krý zlogarimujm. Dosanm (3.3) ln r ( + ) ln ω + ln Po uplanění rozkladu difrnciálu mám 9
ln r ln r ( 3.33A) d ln r d( + ) ln ω + d ln ( + ) ln ω ln Čln d ln přdsavuj jak j zřjmé změnu konsany (při pohybu fakorů ln r v fakorovém prosoru) a j dy rovn nul. Čln na sjné sraně (3.33 A) j ( + ) ln ω rovn nboť d o drivaci lvé srany (3.3) podl prvního člnu v oméž výrazu napravo. Po omo zjdnodušní mám d ln r d( +) ln ω nboť ( +) j konsanní hodnoa a změna fakorů s odhrává oliko v ω. Odud dál plyn r ln (3.34) + ln ω Elasici a subsiuc s j z dfinic rovna rciproké hodnoě lvé srany (3.33A) akž plaí : ( 3.35) s. s dy + u ACMS-produkční funkc závisí výlučně na vlikosi subsiučního paramru. Poznámka Vzhldm k omu ž CD-funkční var j spciálním případm ACMS-funkc v limiě pro lz pozorova plnou shodu i v hodnoách s kd rovněž pro dává výraz (3.35) vlikos. Obdobně při + (případ onjvova funkčního varu) plaí lim a končně lim s funkc. s + + odpovídá případu nkončně dobré subsiuc fakorů u linární produkční
3.4 Produkční funkc ypu ADDIOG ( 3.36) + můž bý rovněž jako funkc vysihující výrobní procs z určiých hldisk akcpována. 3 Obvykl s přiom přijímá zúžní přípusných hodno paramrů na : > ( ) zjména s ím cílm aby konomické charakrisiky (co do znaménk a směrů vlivu) nabývaly ralisických hodno. U funkčního varu (3.7) snadno spočm : a) mzní produkiviy výrobních fakorů : (3.37) m m odkud vyplývá pořba omzní hodno paramrů do výš vymzných inrvalů mají-li bý mzní produkiviy kladné a mí klsající přírůsky. b) Výrazy pro koficiny pružnosi produkc nabývají varu (3.38AB) m rsp. m c) účasi výrobních fakorů na produkci (3.38AB) v v což rovněž musí bý kladné vličiny. m ) Mzní míru subsiuc r odvoznou jako podíl nboli m ( 3.39) r f) Elasiciu subsiuc spočm nokrá podl obcného výpočového vzorc ( 3.8 ) : Zřjmě F m m F F ( ) ( ) což dosazno do ( 3.8 ) vd k výrazu F F s + ( ) ( ) ( ) ( ) + Tn můž bý poněkud zjdnodušn např. na var ( 3.4) s u + v u + v v němž u v. g) Pokud jd o výnosy z rozsahu výroby j zřjmé ž k dosažní homogniy j u ADDIOG nuná rsrikc γ po níž dosanm ( λ λ) ( λ ) + ( λ) λ λ F +. Dál vidím ž funkc můž bý homognní jn při splnění podmínky kd j příslušný supň homogniy. 3 Uvdný var přímého ADDIOGu poprvé použil ( byť nikoliv jako produkční funkci ) H. Houhakkr v r. 96).