ČVUT SBÍRKA PŘÍKLADŮ STAVEBNÍ MECHANIKY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ STAVEBNÍ MECHANIKY Ing. ALEŠ JÍRA, Ph.D. Ing. DAGMAR JANDEKOVÁ, Ph.D. Ing. ADÉLA HLOBILOVÁ Ing. ELIŠKA JANOUCHOVÁ Ing. LUKÁŠ ZRŮBEK ČVUT FAKULTA STAVEBNÍ ČVUT V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fkult stvební Sbírk příkldů stvební mechniky Určeno pro studenty prvních ročníků bklářských studijních progrmů předmětů SM01, SM0, SMA1 SMR1 UPOZORNĚNÍ: přes veškerou péči, kterou jsme příprvě sbírky věnovli, se v ní prvděpodobně objevují drobné chyby nebo nejsnosti. Proto vám budeme moc vděčni, když všechny chyby, které ve sbírce objevíte, ohlásíte milem n dresu les.jir@cvut.cz ISBN: 978-80-01-06301-9 Vydání: 1. Dtum poslední revize: 3. prosince 018 Vydvtel: České vysoké učení technické v Prze, Zikov 1903/4, 166 36 Prh 6 Zprcovl: Fkult stvební - ktedr mechniky, Thákurov 6, 166 9 Prh 6 Editoři: Aleš Jír, Dgmr Jndeková, Adél Hlobilová, Elišk Jnouchová Lukáš Zrůbek Poděkování: sbírk příkldů vznikl z podpory RPMT 017 č. 105 1051758A006

OBSAH Obsh 1 Soustvy svzky sil 4 1.1 Svzky sil v rovině.................................. 4 Příkld 1.1.1 Výslednice svzku sil v rovině.................... 4 Příkld 1.1. Rovnováh svzku sil v rovině................... 5 Příkld 1.1.3 Rovnováh břemen n nkloněné rovině............. 6 1. Svzky sil v prostoru................................. 7 Příkld 1..1 Výslednice svzku sil v prostoru.................. 7 Příkld 1.. Rovnováh svzku sil v prostoru.................. 8 1.3 Soustvy sil v rovině................................. 11 Příkld 1.3.1 Redukce soustvy sil k počátku................... 11 Příkld 1.3. Uvedení soustvy sil do rovnováhy................. 1 1.4 Soustvy sil v prostoru................................ 14 Příkld 1.4.1 Redukce prostorové soustvy sil k počátku............ 14 Příkld 1.4. Soustv silových dvojic....................... 16 Podporové rekce 18.1 Rekce hmotného bodu................................ 18 Příkld.1.1 Výpočet rekcí hmotného bodu................... 18 Příkld.1. Výpočet rekcí dvojice hmotných bodů.............. 19. Rekce tuhé desky v rovině............................. 1 Příkld..1 Rekce tuhé desky.......................... 1 Příkld.. Prostý nosník s převislými konci.................. Příkld..3 Rovinný lomený nosník........................3 Rekce tuhé desky v prostoru............................ 4 Příkld.3.1 Rekce n prostorové konzole.................... 4 Příkld.3. Rekce tuhého těles........................ 5.4 Rekce n konstrukcích se zkřiveným prutem................... 7 Příkld.4.1 Konstrukce se zkřiveným šikmým prutem I........... 7 Příkld.4. Konstrukce se zkřiveným šikmým prutem II.......... 8.5 Rekce složené soustvy............................... 30 Příkld.5.1 Složená soustv desky + táhlo................. 30 Příkld.5. Složená soustv trojkloubový rám................ 3 Příkld.5.3 Složená soustv 3 desky + trojný kloub............. 34.6 Výpočet rekcí tuhé desky pomocí PVP...................... 37 Příkld.6.1 Jednoduchá tuhá desk....................... 37 Příkld.6. Složená soustv - desky..................... 40 Příkld.6.3 Složená soustv - 3 desky..................... 45 3 Vnitřní síly 47 3.1 Vnitřní síly n příhrdových konstrukcích...................... 47 Příkld 3.1.1 Příhrdová konstrukce styčníková metod............ 47 Příkld 3.1. Příhrdová konstrukce průsečná metod............. 49 Příkld 3.1.3 Příhrdová konstrukce vně stticky neurčitá........... 51 3. Vnitřní síly n přímých nosnících.......................... 56 Příkld 3..1 Prostý nosník osmělá břemen.................. 56 Příkld 3.. Prostý nosník s převislým koncem I................ 58 Příkld 3..3 Prostý nosník s převislým koncem II................ 60 Příkld 3..4 Prostý nosník trojúhelníkové ztížení............... 6

OBSAH 3.3 Vnitřní síly n lomených nosnících.......................... 65 Příkld 3.3.1 Lomený nosník I........................... 65 Příkld 3.3. Lomený nosník II.......................... 68 Příkld 3.3.3 Lomený nosník III.......................... 71 3.4 Vnitřní síly n nosnících se šikmým prutem..................... 73 Příkld 3.4.1 Šikmý nosník s převislým koncem I................. 73 Příkld 3.4. Lomený nosník s šikmým prutem.................. 76 Příkld 3.4.3 Šikmý nosník s převislým koncem II................ 79 3.5 Vnitřní síly n konstrukcích se zkřiveným prutem................. 83 Příkld 3.5.1 Kružnicový oblouk.......................... 83 Příkld 3.5. Prbolický oblouk......................... 87 3.6 Vnitřní síly n složených soustvách......................... 9 Příkld 3.6.1 Složená soustv........................... 9 Příkld 3.6. Trojkloubový rám.......................... 94 Příkld 3.6.3 Gerberův nosník........................... 97 3.7 Vnitřní síly n prostorově ztížených konstrukcích................. 101 Příkld 3.7.1 Prostorová konzol.......................... 101 Příkld 3.7. Prostorový sloup........................... 103 4 Průřezové chrkteristiky 106 4.1 Těžiště, centrální/hlvní momenty setrvčnosti elips setrvčnosti....... 106 Příkld 4.1.1 Složený průřez ze zákldních obrzců............... 106 Příkld 4.1. Složený průřez z válcovných profilů................ 108 5 Pomůcky 11 5.1 Pomůck pro vykreslování vnitřních sil....................... 11 5. Pomůck pro odhd centrální elipsy setrvčnosti.................. 113 3

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1 Soustvy svzky sil 1.1 Svzky sil v rovině Příkld 1.1.1 Pro zdný svzek sil určete ekvivlentní sílu F R výsledek zkreslete do obrázku. F = 8 kn F 1 = 10 kn 50 40 F 4 = 5 kn 30 F 3 = 1 kn z Řešení pomocí podmínky ekvivlence: Fi = F R F 1 + F + F 3 + F 4 = F R Z předpokldu, že F R působí do I. kvdrntu, budou kldné směry složek F R (F R F Rz ) ve směru kldných poloos. F R F Rz = Fi = F 1 + F + F 3 + F 4 = Fiz = F 1z + F z + F 3z + F 4z : F R = F 1 cos 40 F cos 50 F 3 sin 30 + F 4 F R = 10 cos 40 8 cos 50 1 sin 30 + 5 = 1, 518 kn : F Rz = F 1 sin 40 F sin 50 + F 3 cos 30 F Rz = 10 sin 40 8 sin 50 + 1 cos 30 =, 164 kn F R = F R + F Rz F R = 1, 518 + (, 164) =, 643 kn 4

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL F FRz =, 164 kn F 4 F 1 F R =, 643 kn F R = 1, 518 kn F 3 z Příkld 1.1. Zdný svzek sil uveďte do rovnováhy rovnovážnou sílu R zkreslete do obrázku. F 4 = 1 kn 50 130 F 3 = 10 kn F = 10 kn 60 0 F 1 = 10 kn F 5 = 15 kn z Řešení pomocí podmínky rovnováhy: Fi + R = 0 Předpokládáme kldný směr složek rekce ve směru kldných poloos. Fi + R = 0 Fiz + R z = 0 : F 1 + F cos 0 + F 3 cos 60 + F 4 cos 130 + F 5 cos 50 + R = 0 R = 11, 553 kn : F sin 0 + F 3 sin 60 + F 4 sin 130 + F 5 sin 50 R z = 0 R z = 7, 178 kn R = R + R z = 13, 601 kn 5

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL F 4 F 3 R = 11, 553 kn R = 13, 601 kn F F 1 R z = 7, 178 kn F 5 z Příkld 1.1.3 Břemeno o hmotnosti m = 1500 kg je drženo v klidu n nkloněné rovině dvěm tžnými lny. Vypočtěte velikost sil F 1 F, které v lnech vznikjí. Tíhové zrychlení uvžujte g = 9, 81 m/s. F 1 F 80 60 m Řešení: ze zdání vytvoříme soustvu sil budeme řešit podmínky rovnováhy. F 1 F 80 50 60 F m = 1500 9, 81 = 14715 N z : F 1 cos 60 + F sin 50 = 0 : F 1 sin 60 + F cos 50 14715 = 0 0, 5 F 1 + 0, 766 F = 0 0, 866 F 1 + 0, 643 F = 14715 F 1 F = 11445, 013 N = 7470, 635 N 6

i 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1. Svzky sil v prostoru Příkld 1..1 Určete výslednici F R prostorového svzku sil. Síly procházejí počátkem O jsou definovány velikostí F i bodem A i, n který působí. F 1 = 16 kn A 1 = [3; 4; 5] F = 30 kn A = [ 4; 5; 3] F 3 = 10 kn A 3 = [; 3; 1] Řešení: sestvení podmínek ekvivlence ve směru os, y, z. z α O γ A i β z i F i y y i Složky F i, F iy F iz vytvoříme pomocí směrových cosinů vypočtených ze souřdnic bodu A i vzdálenosti počátku O bodu A i. A i = i + y i + z i cos α i = i A i ; cos β i = y i A i ; cos γ i = z i A i Podmínky ekvivlence: : F R = F i = F 1 + F + F 3 F R = F 1 cos α 1 + F cos α + F 3 cos α 3 = F 1 1 A 1 + F A + F 3 3 A 3 F R = 16 3 3 +4 +5 + 30 F R = 16 3 7,071 + 30 4 7,071 + 10 3,74 F R = 4, 856 kn 4 ( 4) + 10 +5 +3 +( 3) +1 y : F Ry = F iy = F 1y + F y + F 3y F Ry = F 1 cos β 1 + F cos β + F 3 cos β 3 = F 1 F Ry = 16 4 7,071 + 30 5 7,071 + 10 3 3,74 F Ry =, 46 kn y 1 A 1 + F y A + F 3 y 3 A 3 z : F Rz = F iz = F 1z + F z + F 3z F Rz = F 1 cos γ 1 + F cos γ + F 3 cos γ 3 = F 1 z 1 A 1 + F z A + F 3 z 3 A 3 F Rz = 16 5 7,071 + 30 3 7,071 + 10 1 3,74 F Rz = 6, 70 kn 7

Celková velikost výslednice úhly, které svírá s osmi, y, z: F R = F R + F Ry + F Rz = ( 4, 856) +, 46 + 6, 70 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL F R = 35, 09 kn cos α R = F R F R = 4,856 35,09 α R = 97, 954 cos β R = F Ry F R =,46 35,09 β R = 50, 659 cos γ R = F Rz F R = 6,70 35,09 γ R = 40, 455 z F R F F 1 A A 1 A 3 F 3 O y Příkld 1.. Soustvu sil F 1 = 15 kn F = 0 kn uveďte do rovnováhy pomocí sil R 1, R R 3, které jsou zdány svými pprsky. Výsledné kldné směry rekcí zkreslete do obrázku. R 3 R F A 3 m A 1 R 1 F 1 7 m 4 m Řešení: počátek souřdného systému umístíme do průsečíku všech sil určíme směrové cosiny sil F 1, F, R 1, R R 3. U sil R i si zvolíme předpokládný kldný směr. 8

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL S 3 S z R 3 S 1 R R 1 y N pprsku kždé ze sil zvolíme pomocný bod A i, resp. S i. Souřdnice bodů odvodíme z rozměrů kvádru směru síly. S jejich pomocí určíme velikosti vektorů OA i OS i. F 1 = 15 kn A 1 = [ 4; 7; 0] OA 1 = ( 4) + ( 7) + 0 = 8, 06 m F = 0 kn A = [0; 0; 3] OA = 3 m R 1 =? kn S 1 = [ 4; 0; 0] OS 1 = 4 m R =? kn S = [0; 7; 3] OS = 7, 616 m R 3 =? kn S 3 = [ 4; 0; 3] OS 3 = 5 m Sestvíme podmínky rovnováhy: : R 1 cos α R1 + R cos α R + R 3 cos α R3 + F 1 cos α 1 + F cos α = 0 R 1 4 4 + R 0 7,616 + R 3 4 5 + 15 4 8,06 + 0 0 3 = 0 R 1 0, 8 R 3 7, 44 = 0 dvě neznámé y : R 1 cos β R1 + R cos β R + R 3 cos β R3 + F 1 cos β 1 + F cos β = 0 R 1 0 4 + R 7 7,616 + R 3 0 5 + 15 7 8,06 + 0 0 3 = 0 0, 919 R 13, 04 = 0 R. = 14, 17 kn z : R 1 cos γ R1 + R cos γ R + R 3 cos γ R3 + F 1 cos γ 1 + F cos γ = 0 R 1 0 4 + ( 14, 17) 3 7,616 + R 3 3 5 + 15 0 8,06 + 0 3 3 = 0 0, 6 R 3 + 14, 416 = 0 R 3. = 4, 09 kn Doszením R 3 do podmínky rovnováhy ve směru získáme R 1. = 11, 781 kn. 9

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL R 1 = 11, 781 kn R = 14, 17 kn R 3 = 4, 09 kn 10

o 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1.3 Soustvy sil v rovině Příkld 1.3.1 Zdnou soustvu sil zredukujte k počátku souřdného systému. y [3; 1] F 3 = 8 kn F = 10 kn 0 [0; -1] [1; 3] 30 F 1 = 15 kn M = 0 knm [; -] Řešení: máme-li provést redukci soustvy sil k zdnému bodu, budeme hledt ekvivlentní sílu moment působící v zdném bodě. F R = Fi = F 1 + F + F 3 M R = Fi r i = F 1 r 1 + F r + F 3 r 3 Podmínky ekvivlence rozepíšeme do směrů jednotlivých os zvedeme předpokld, že kldné složky ekvivlentní síly působí ve směru kldných poloos. : F R = F 1 + F + F 3 = F 1 cos 30 + F sin 0 + 0 F R = 15 cos 30 + 10 sin 0 + 0 F R = 9, 570 kn : F Ry = F 1y + F y + F 3y = F 1 sin 30 + F cos 0 F 3 F Ry = 15 sin 30 + 10 cos 0 8 F Ry = 6, 103 kn F R = F R + F Ry F R = ( 9, 570) + ( 6, 103) = 11, 350 kn : M R = M + F 1 cos 30 1 F 1 sin 30 3 + F sin 0 0 F cos 0 1 F 3 1 M R = 0 + 15 cos 30 1 15 sin 30 3 + 10 sin 0 0 10 cos 0 1 8 1 M R = 46, 907 knm 11

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL y F R = 9, 57 kn F F R = 11, 35 kn F 3 F Ry = 6, 103 kn M F 1 M R = 8, 113 knm Příkld 1.3. Zdnou sílu uveďte do rovnováhy pomocí sil R 1 (zdnou pprskem) R (zdnou působištěm). y [3; 5] [4; 3] R [-3; ] 60 R 1 F = 0 kn [m] [8; -1] Řešení: obecné řešení povede n soustvu tří rovnic o třech neznámých. Působiště rekce R 1 zvolíme do známého bodu zvolíme její předpokládnou orientci. Rekci R zvolíme pomocí složek R R y nebo pomocí velikosti síly R úhlu α. 1

R R 1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL y R y α R R 1 F α 1 [m] Sestvením momentové podmínky rovnováhy kolem bodu působení síly R dostneme jednu rovnici s jednou neznámou. tg α 1 = 6 /5 α 1 = 50, 194 : R 1 cos α 1 (1 + ) R 1 sin α 1 (8 + 3) + F sin 60 (4 + 3) F cos 60 (3 ) = 0 R 1 = 17, 036 kn : R 1 cos α 1 + R F cos 60 = 0 R = 0, 906 kn : R 1 sin α 1 + R y F sin 60 = 0 R y = 4, 33 kn R = R + R y R = 0, 906 + 4, 33 = 1, 33 kn tg α = R y R = 4,33 0,906 = 0, 0477 α = 11, 446 13

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL 1.4 Soustvy sil v prostoru Příkld 1.4.1 Proveďte redukci zdné soustvy sil k počátku z F 1 = 8 kn F = 10 kn 5 3 y 4 F 3 = 5 kn Obecně se jedná o podmínky ekvivlence: Fi = F R M F i = M R Řešení po složkách: Fi = F R MFi = M R Fiy = F Ry MFiy = M Ry Fiz = F Rz MFiz = M Rz Pro rozložení jednotlivých sil do složek, y z zvedeme směrové cosiny úhlů α, β γ. z A α γ β O y z y cos α = cos β = cos γ = OA y OA z OA cos α 1 = 3 3 +4 +5 = 0, 44; cos β 1 = 4 50 = 0, 566; cos γ 1 = 5 50 = 0, 707 cos α = 3 3 = 0, 514; cos β +0 +5 = 0 34 = 0; cos γ = 5 34 = 0, 857 cos α 3 = 0 0 +4 +0 = 0; cos β 3 = 4 16 = 1; cos γ 3 = 0 16 = 0 14

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL Silové podmínky ekvivlence: F R = F i cos α i = F R = F 1 cos α 1 + F cos α + F 3 cos α 3 = 8 0, 44 + 10 ( 0, 514) + 5 0 = 1, 748 kn F Ry = F i cos β i = F Ry = F 1 cos β 1 + F cos β + F 3 cos β 3 = 8 ( 0, 566) + 10 0 + 5 ( 1) = 9, 58 kn F Rz = F i cos γ i = F Rz = F 1 cos γ 1 + F cos γ + F 3 cos γ 3 = 8 0, 707 + 10 0, 857 + 5 0 = 14, 6 kn Výsledná ekvivlentní síl: F R = F R + F Ry + F Rz = 17, 19 kn Momentové podmínky ekvivlence k počátku: M R = (F iz r iy F iy r iz ) = M R = (F 1 cos γ 1 4 F 1 cos β 1 0) + (F cos γ 4 F cos β 0) + + (F 3 cos γ 3 4 F 3 cos β 3 0) = = (8 0, 707 4 8 ( 0, 566) 0) + (10 0, 857 4 10 0 0) + + (5 0 4 5 ( 1) 0) = 56, 904 knm M Ry = (F i r iz F iz r i ) = M Ry = (8 cos α 1 0 8 cos γ 1 0) + (10 cos α 0 10 cos γ 3) + + (5 cos α 3 0 5 cos γ 3 3) = 5, 71 knm M Rz = (F iy r i F i r iy ) = M Rz = (8 cos β 1 0 8 cos α 1 4) + (10 cos β 3 10 cos α 4) + + (5 cos β 3 3 5 cos α 3 4) = 8, 008 knm Výsledný ekvivlentní moment: M R = M R + M Ry + M Rz = 6, 954 knm 15

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL z F 1 F Rz = 14, 6 kn F M Ry F Ry = 9, 58 kn = 5, 71 knm M R = 56, 904 knm M Rz F 3 F R = 1, 748 kn = 8, 008 knm y Příkld 1.4. Nhrďte účinek dných silových dvojic jedinou dvojicí sil. Určete směrové cosiny normály, která je kolmá k rovině, v níž leží výsledná silová dvojice. Rmeno výsledné silové dvojice uvžujte, 5 m. z F 3 F 3 F F 1 F y F 1 = 10 kn F = 15 kn F 3 = 1 kn r 1 = 4 m r = m r 3 = 3 m F 1 Řešení: výsledný účinek silové dvojice nebo více silových dvojic je vždy pouze moment působící kolmo n rovinu, v níž silová dvojice působí. Fi = 0 M R M Ry M Rz = F 1 r 1 = 10 4 = 40 knm = F r = 15 = 30 knm = F 3 r 3 = 1 3 = 36 knm Pozn.: znménk určíme podle prvidl prvé ruky, kdy plec prvé ruky jde ve směru kldné poloosy prsty ukzují kldný směr otáčení kolem příslušné osy. 16

1 SOUSTAVY A SVAZKY SIL M R = M R + M Ry + M Rz = 61, 61 knm M R = F R r R 61, 61 = F R, 5 F R = 4, 645 knm Výpočet směrových cosinů: cos α R = M R M R cos β R = M Ry M R cos γ R = M Rz M R = 40 61,61 = 30 61,61 = 36 61,61 = 0, 649 = 0, 487 = 0, 584 17

PODPOROVÉ REAKCE Podporové rekce.1 Rekce hmotného bodu Příkld.1.1 Určete rekce hmotného bodu. 19 kn 33 kn 60 17 kn 1 3 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 ( 1 ) = 0 SUK (SUK = stticky určitá konstrukce) zvedeme rekce R 1 R n hmotný bod. 19 kn R 19 kn 33 kn 60 17 kn 1 33 kn 60 R 1 R α 17 kn 3 [m] R 1 tg α = 1 /3 α = 18, 435 Úlohu dále řešíme jko rovnováhu svzku sil pomocí silových podmínek rovnováhy. : R cos α 33 17 sin 60 = 0 R = 50, 304 kn : R 1 R sin α 19 + 17 cos 60 = 0 R 1 = 5, 408 kn 19 kn 50, 304 kn 33 kn 17 kn 5, 408 kn Do obrázku můžeme zkreslit skutečné směry rekcí (červeně). POZOR: pokud měníme znménko síly, musíme tké změnit orientci šipky! 18

PODPOROVÉ REAKCE Příkld.1. Určete rekce dvou hmotných bodů doplňte, který z prutů je nmáhán them který tlkem. 0 kn 15 kn 4 3 3 5 3 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = (4 1 ) = 0 SUK dále budeme sestvovt podmínky rovnováhy pro kždý hmotný bod smosttně. V kždém prutu vznikne právě jedn rekce její kldný směr si můžeme zvolit. V tomto přípdě si kldné směry rekcí zvolíme tk, by kldné rekce vyvozovly v prutech th. 0 kn α R R 1 tg α = 4 /3 α = 53, 130 : R 1 sin α 0 = 0 R 1 = 5 kn prut je tlčený : R 1 cos α + R = 0 R = 15 kn prut je tlčený R 4 R β α 15 kn R 3 19

PODPOROVÉ REAKCE tg β = 3 /3 β = 45 : R 3 sin α + R 4 sin β = 0 : R + R 3 cos α + R 4 cos β + 15 = 0 0, 8 R 3 + 0, 707 R 4 = 0 0, 6 R 3 + 0, 707 R 4 = 30 R 3 R 4 = 1, 49 kn prut je tlčený = 4, 47 kn prut je tlčený 0

e PODPOROVÉ REAKCE. Rekce tuhé desky v rovině Příkld..1 10 kn Vypočtěte všechny podporové rekce tuhé desky 15 kn 18 knm 6 8 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 3 ( 1 + 1 1 ) = 0 SUK. Zvedeme dvě svislé rekce v posuvných kloubech jednu ve směru osy kyvného prutu. 15 kn 15 kn z 10 kn e d 10 kn C α 18 knm 18 knm C z C b α c C A B A B tg α = 6 /8 α = 36, 87 Výpočet rekcí provedeme ze silových momentové podmínky rovnováhy. : 10 C = 0 10 C cos α = 0 C = 1, 5 kn d : A 4 + B 0 + C 0 + 10 0 15 + 18 = 0 A = 3 kn : A + B + C z 15 = 0 3 + B + 1, 5 sin α 15 = 0 B = 4, 5 kn Kontrol: pomocí momentové podmínky rovnováhy kolem bodu e. : A B C z + 18 = 0 3 + 4, 5 1, 5 sin α + 18 = 0 splněno 1

PODPOROVÉ REAKCE Příkld.. Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 6 kn/m 10 kn 0 knm 3 3 3 [m] Řešení: 6 3 Q 1 = 1 6 6 6 kn/m 10 kn 0 knm b c d e f B B z E z Výpočet rekcí z podmínek rovnováhy: : B = 0 kn e : B z 7 1 6 6 6 10 0 = 0 B z = 1, 143 kn : B z 1 6 6 10 + E = 0 E = 6, 857 kn Kontrol pomocí momentové podmínky rovnováhy: 1 : 6 6 4 1, 143 3 + 10 8 6, 857 10 0 = 0 splněno Příkld..3 Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 5 kn/m 0 kn 1 6 kn/m 5 4 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 3 ( 1 + 1 1 ) = 0 SUK. Zvedeme dvě vzájemně kolmé rekce v pevném kloubu jednu svislou v posuvném kloubu.

c PODPOROVÉ REAKCE 5 Q 1 = 5 5 5 kn/m A A z 0 kn b Q = 1 6 4 1 6 kn/m c d 5 4 4 3 D z [m] Výpočet rekcí z podmínek rovnováhy: : A + 0 = 0 A = 0 kn : 5 5 5 0 1 + 1 6 4 (5 + 3 4) D z 9 = 0 D z = 14, 944 kn : A z 5 5 1 6 4 + D z = 0 A z =, 056 kn Kontrol: pomocí momentové podmínky rovnováhy kolem bodu c. : A 3 + A z 5 5 5 5 + 0 + 1 6 4 3 4 D z 4 = 0 0 3 +, 056 5 5 5 5 + 0 + 1 6 4 4 14, 944 4 = 0 splněno 3 3

PODPOROVÉ REAKCE.3 Rekce tuhé desky v prostoru Příkld.3.1 Určete podporové rekce n prostorové konzole, která je n levém konci vetknutá po celém svém obvodu. Doplňte souřdný systém tk, by byl prvotočivý. z f 1 = 4 kn/m 1, 0,8 f = 6 kn/m 4 F = 30 kn [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 6 (1 6 ) = 0 SUK ve vetknutí zvedeme tři silové tři momentové rekce. V přípdě vetknutí celého průřezu, se rekce zvádějí do osy konstrukce, která je spojnicí těžišť průřezů. Protože rekce budou působit v jednom bodě jsou n sebe nvzájem kolmé, můžeme z kždé podmínky rovnováhy (3 silová 3 momentová) vypočítt právě jednu z rekcí. Prvotočivý souřdný systém doplníme pomocí prstů prvé ruky: plec prvé ruky symbolizuje osu, ukzováček osu y prostředníček ukzuje směr kldné poloosy z. y z Q 1 = 4 0, 8 M R R y M y R z F = 30 kn M z Q = 6 4 4

PODPOROVÉ REAKCE : R 30 = 0 y : R y + 4 f = 0 R = 30 kn R y = 4 kn z : R z 0, 8 f 1 = 0 R z = 6, 4 kn : M + 6 4 1, + Q 1 0 = 0 M = 14, 4 kn y : M y + 30 1, + 4 0, 8 (4 + ) = 0 M y = 50 kn z : M z + 6 4 4 30 0,8 = 0 M z = 36 kn Příkld.3. Určete podporové rekce zdného tuhého těles. y z 0,4 3 kn/m 30 knm 0,8 1,5 15 kn 10 kn 0,5 0 kn 8 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 6 (1 3 +1 1 + 1 ) = 0 SUK. Zvedeme tři silové rekce v pevném kloubu, jednu silovou rekci v posuvném kloubu (kolmo n smykovou plochu podpory) dvě silové rekce v kyvných prutech (vždy v ose kyvného prutu). o D o 4 R A o 1 R Ay R Az o 5 o 3 B C Pro řešení máme k dispozici šest nezávislých podmínek rovnováhy snžíme se postupovt tk, bychom z kždé podmínky vypočítli jednu z rekcí. Pokud se nám nepodří sestvit podmínky, ze kterých půjde spočítt přímo některá z rekcí, řešení povede n soustvu rovnic o více neznámých. 5

PODPOROVÉ REAKCE První podmínkou, ze které jsme schopni spočítt jednu z rekcí, je silová podmínk rovnováhy ve směru osy y. y : R Ay + 15 = 0 R Ay = 15 kn V dlších silových podmínkách rovnováhy (ve směru osy z) je vždy více než jedn neznámá využijeme momentových podmínek rovnováhy kolem vhodně zvolených os. o 1 : C 15 3 8 1, = 0 C = 9, 4 kn o : D 0 = 0 D = 0 kn o 3 : R Az 8 D + 0 0, 5 3 8 8 30 = 0 R Az = 14, 5 kn Zbývjící rekce je možné spočítt opět pomocí momentových podmínek rovnováhy nebo jednodušším způsobem pomocí silových podmínek rovnováhy. : R A + 0 D = 0 R A = 0 kn z : R Az + B + C 10 8 3 = 0 B = 9, 9 kn Kontrol: Pro kontrolu můžeme zvolit obecnou osu tk, by se v momentové podmínce rovnováhy projevily všechny rekce, nebo uděláme více podmínek rovnováhy kolem os rovnoběžných s osmi souřdného systému. o 4 : R Ay 0, 5 R Az 1, B 1, + C 0, 8 + 10 1, 15 1, 5 = 0 splněno o 5 : R A 0, 5 + R Az 8 D 1, 5 3 8 8 30 = 0 splněno 6

PODPOROVÉ REAKCE.4 Rekce n konstrukcích se zkřiveným prutem Příkld.4.1 Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 8 kn/m 60 10 kn 15 kn 1,5 1,5 3 6 4 [m] Řešení: 60 8 kn/m Q V = 8 sin 60 10 d Q H = 8 cos 60 10 5 3 15 kn c C β 10 kn α b B A tg α = 3 /4 α = 36, 87 tg β = 3 / β = 56, 31 Příslušné podmínky rovnováhy: : A 8 sin 60 10 + B sin α C sin β = 0 : 8 cos 60 10 B cos α C cos β 10 15 = 0 : 8 sin 60 10 10 + 8 cos 60 10 3 10 3 15 1, 5 B sin α 10 + + C sin β 10 C cos β 3 = 0 7

PODPOROVÉ REAKCE Ze silové vodorovné momentové podmínky rovnováhy vytvoříme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých: 0, 8 B 0, 555 C = 15 6 B + 6, 656 C = 413, 91 B = 38, 078 kn C = 7, 861 kn Doszením do svislé silové podmínky rovnováhy dostneme: A 69, 8 + 38, 078 0, 6 ( 7, 861) 0, 83 = 0 A = 3, 55 kn Kontrol: d : 3, 55 5 + ( 7, 861) sin β 5 + 15 1, 5 38, 078 sin α 5 + + 38, 078 cos α 3. = 0 splněno Příkld.4. Vypočtěte podporové rekce zdné konstrukce. 18 kn 5 3 9 kn/m 4 kn/m 6 3 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 1 3 (1 + 1 ) = 0 SUK zvedeme podporové rekce. A z Q 1 = 1 9 6 = 7 kn 9 kn/m A α 18 kn β 5 5 = 4, 583 4 kn/m Q = 4 5 = 0 kn,5,5 c b 4 B 8

c PODPOROVÉ REAKCE tg α = 3 /6 α = 6, 565 tg β = /5 β = 3, 578 V pevném kloubu si rozložíme rekce do svislého vodorovného směru dle následujícího obrázku, tk bychom mohli následně pohodlně sestvit podmínky rovnováhy. α Az sin α A z cos α α A z A cos α α α A A sin α Příslušné podmínky rovnováhy: : B 11 + Q 1 + 18 cos β 8 18 sin β [3 (5 4, 583)] Q (3, 5) = 0 B = 14, 307 kn Ze svislé vodorovné podmínky rovnováhy dostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých: : A cos α + A z sin α Q 1 18 cos β + B = 0 : A sin α + A z cos α 18 sin β Q = 0 Kontrol: 0, 894 A + 0, 447 A z = 9, 19 0, 447 A + 0, 894 A z = 7, 0 A A z = 13, 951 kn = 37, 400 kn : A cos α 6 A sin α + A z sin α 6 + A z cos α Q 1 4 Q, 5 + + 18 0 B 5 = 0 splněno 9

PODPOROVÉ REAKCE.5 Rekce složené soustvy Příkld.5.1 Vypočtěte všechny vnitřní vnější rekce n zdné konstrukci. 5 kn/m 18 knm 0 kn 3 6 [m] Řešení: výpočet sttické určitosti je možné udělt dvěm následujícími způsoby. s = 3 ( + 1 + 1 + ) = 0 SUK (dvě desky + kyvný prut) nebo s = 3 3 ( + 1 + 3 1 ) = 0 SUK (tři desky) Zvedeme vnější rekce do pevného posuvného kloubu přemýšlíme, zd je možné některou z rekcí vypočítt z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. d 5 kn/m 6 = 3 Q = 5 6 = 30 kn c 0 kn 18 knm b A z A B : A 0 = 0 A = 0 kn : 18 + 5 6 6 0 3 B 6 = 0 B = 8 kn : A z + B 5 6 = 0 A z = kn 30

PODPOROVÉ REAKCE Pro výpočet vnitřních rekcí k-ci rozdělíme n jednotlivé desky, ve vnitřních kloubech zvedeme vnitřní rekce kždou z desek řešíme smosttně (pro kždou z desek jsme schopni sestvit tři nezávislé podmínky rovnováhy). 18 knm d 5 kn/m Q = 30 kn I C z S S S S c C C C z c II 0 kn b A z A B Pro výpočet si vybereme tu desku, n které jsou mimálně 3 neznámé minimum ztížení, tk bychom si výpočet mimálně ulehčili. V tomto přípdě zčneme s deskou č. II. Podmínky rovnováhy n desce II: : B C z = 0 C z = 8 kn c : 0 + S = 0 S = 0 kn : C S 0 = 0 C = 0 kn Kontrol: ke kontrole můžeme využít dosud nepoužité podmínky rovnováhy n desce I. d : A z 5 6 + C z = 0 splněno : A + S + C = 0 splněno : A 5 S + 18 + 5 6 6 C z 6 = 0 splněno 31

PODPOROVÉ REAKCE Příkld.5. Vypočtěte všechny vnitřní vnější rekce n zdné konstrukci. 9 kn/m 15 kn 18 kn 75 3 6 3 3 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 3 ( +1 ) = 0 SUK. Zvedeme vnější rekce přemýšlíme, zd je možné některou z rekcí spočítt přímo z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. 9 kn/m Q = 1 9 1 15 kn 4 m c 8 m 18 kn 75 A A z b B B z Není-li možné spočítt některou z rekcí z globálních podmínek rovnováhy, je nutné konstrukci rozdělit n jednotlivé desky zvést vnitřní rekce. Osmělou sílu působící do vnitřního kloubu umístíme n jednu z desek. Vzniklé lichoběžníkové ztížení rozdělíme n ztížení trojúhelníkové rovnoměrné. Nesmíme zpomenout spočítt pořdnici (hodnotu) spojitého ztížení ve vnitřním kloubu, která je jiná než ve vrcholu. 3

PODPOROVÉ REAKCE 9 I Q 3 = 1 4, 5 6 Q = 4, 5 6 15 Q 1 = 1 4, 5 6 c 4 4,5 4,5 C C z C z c II 3 3 1 18 75 C A A z b B B z N kždé desce můžeme sestvit tři nezávislé podmínky rovnováhy sestvit tk soustvu šesti rovnic o šesti neznámých. Toto je možné zjednodušit zvolením vhodných momentových podmínek bodů kolem, kterých budeme příslušnou podmínku počítt. Vyjádřením momentové podmínky rovnováhy kolem bodu (desk I) bodu b (desk II) dostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých. desk I : desk II b : C 3 C z 6 + 4, 5 6 6 + 1 4, 5 6 1 3 6 = 0 C 5 C z 3 15 3 1 4, 5 6 1 18 cos 75 = 0 3 C 6 C z = 108 5 C z 3 C z = 67, 817 C C z = 18, 741 kn = 8, 69 kn Zbylé rekce dopočítáme z podmínek rovnováhy n jednotlivých deskách. Desk I: : A z + C z Q Q 3 = 0 A z + 8, 69 4, 5 6 1 4, 5 6 = 0 A z : A + C = 0 Desk II: = 31, 871 kn A + ( 18, 741) = 0 A = 18, 741 kn : C z + B z Q 1 18 sin 75 15 = 0 8, 69 + B z 1 4, 5 6 18 0, 966 15 = 0 B z = 54, 516 kn : C + B 18 cos 75 = 0 ( 18, 741) + B 18 0, 59 = 0 B = 14, 8 kn 33

PODPOROVÉ REAKCE Kontrol: pomocí silových podmínek rovnováhy n celé konstrukci. : A z Q 18 sin 75 + B z = 0 31, 871 1 9 1 18 0, 966 + 54, 516 15 = 0 splněno : A + B 18 cos 75 = 0 18, 741 + ( 14, 8) 18 0, 59 = 0 splněno Příkld.5.3 Vypočtěte všechny vnitřní vnější rekce n konstrukci ztížené sněhem větrem. 4 kn/m 3 kn/m 1 kn/m 16 8 4 7,5 7,5 15 7,5 7,5 15 [m] Řešení: spočítáme stupeň sttické určitosti s = 3 3 ( 1 +1 3 +1 4 ) = 0 SUK. Zvedeme vnější rekce přípdně spočítáme náhrdní břemen spojitého ztížení. Přemýšlíme, zd je možné některou z rekcí spočítt z globálních podmínek rovnováhy. 4 kn/m Q 1 = 4 30 1 kn/m d 1 Q3 = 1 4 B b c Q = 1 3 4 4 3 kn/m 3 M b A B z C 34

PODPOROVÉ REAKCE : B 1 3 4 1 4 = 0 B = 60 kn Není-li možné spočítt dlší rekci z globálních podmínek, musíme konstrukci rozdělit n jednotlivé desky řešit podmínky rovnováhy n příslušných deskách smosttně. Po rozdělení musíme ve vnitřním kloubu zvést vnitřní rekce. Ve vnitřním kloubu budou pouze silové rekce, jenž jsou n sebe vzájemně kolmé, jejich počet odpovídá počtu stupňů volnosti, které kloub odebírá. Kloub spojující tři desky bude tedy odebírt 4 volnosti budou v něm 4 silové rekce. (Vypočteno podle vzorce s = (n 1), kde n je počet prutů, které kloub spojuje.) 1 kn/m Q L 1 = 4 15 Q P 1 = 4 15 4 kn/m 4 kn/m Q 3 I d D I D I z D I z D II z D II D II z d III 3 kn/m Q D I D II A II c C B b M b B z Řešení podmínek rovnováhy n jednotlivých deskách zčínáme s deskou, n kterou působí co nejnižší počet neznámých rekcí minimum ztížení. Desk I: d : 1 4 + D I = 0 D I = 4 kn : A 15 + 1 4 1 4 15 7, 5 = 0 A = 10, 8 kn : A + D I z 4 15 = 0 D I z = 49, kn Desk III: d : D II 1 3 4 = 0 DII = 36 kn : C 15 + 4 15 7, 5 + 1 3 4 1 4 = 0 C = 49, kn 3 : C + D II z 4 15 = 0 D II z 35 = 10, 8 kn

PODPOROVÉ REAKCE Desk II: d : B z D I z D II z = 0 B z = 60 kn : M b B 4 = 0 M b = 1440 knm Kontrol: pomocí globálních podmínek rovnováhy n celé konstrukci. d : A + B z + C 4 30 = 0 splněno : A 15 B 4 M b C 15 + 1 4 1 + 1 3 4 1 4 = 0 splněno 3 36

PODPOROVÉ REAKCE.6 Výpočet rekcí tuhé desky pomocí PVP Příkld.6.1 Pomocí PVP vypočtěte podporové rekce tuhé desky v rovině. F 1 = 15 kn F = 10 kn M = 8 knm 3 4 F 3 = 10 kn [m] Řešení: zvedeme kldné směry rekcí. A F 1 = 15 kn C F = 10 kn M = 8 knm F 3 = 10 kn B Myšlenk: uvolníme 1 volnosti odpovídjící řešené rekci (odstrníme podporu způsobující hlednou rekci) konstrukce se může pohybovt. Podmínk: musíme být schopni určit pohyb konstrukce. Hledáme tedy střed otáčení průsečík dvou pprsků zbylých rekcí (npř. pevný kloub) nebo směr posunutí posun kolmo n dvě zbylé rekce, které jsou rovnoběžné. 37

PODPOROVÉ REAKCE A střed otáčení F 1 = 15 kn δϕ A M = 8 knm uvolněná vzb C F = 10 kn F 3 = 10 kn B Pro určení rekce C tedy odebereme kyvný prut budeme hledt způsob pohybu konstrukce: zbylé dvě rekce A B se protínjí v jednom bodě střed otáčení; otočíme konstrukcí kolem středu otáčení oznčíme změnu pootočení konstrukce δϕ A ; npíšeme podmínku rovnováhy práce δw, kde budeme sčítt virtuální práci, kterou musí vykont ztížení hledná rekce C, tk by se konstrukce otočil; ve výsledku víme, že konstrukce se otáčet nemůže (je stticky určitá) δw = 0. δw = 0 δw = 15 δw F1 + 10 δw F + 10 δw F3 + 8 δϕ A + C δw C 0 = 15 δw F1 + 10 δw F + 10 δw F3 + 8 δϕ A + C δw C 0 = 15 3 δϕ A + 10 δϕ A + 10 4 δϕ A + 8 δϕ A + C 7 δϕ A Tto rovnice připomíná momentovou podmínku rovnováhy po vytknutí členu δϕ A je možné vypočítt rekci C. 0 = (15 3 + 10 + 10 4 + 8 + C 7) δϕ A C = 16, 143 kn 38

PODPOROVÉ REAKCE A F 1 = 15 kn δϕ C střed otáčení C F = 10 kn M = 8 knm B uvolněná vzb F 3 = 10 kn Podobným postupem vypočteme rekci B: uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; pprsky přípdných rekcí vzniklých ve zbývjících podporách se protínjí v jednom bodě střed otáčení; ntočíme konstrukci kolem středu otáčení oznčíme změnu pootočení konstrukce δϕ C ; sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci B. δw = 0 δw = 15 δw F1 10 δw F 10 δw F3 8 δϕ A B δw B 0 = 15 δw F1 10 δw F 10 δw F3 8 δϕ A B δw B 0 = 15 4 δϕ C 10 δϕ C 10 4 δϕ C 8 δϕ C B 7 δϕ C 0 = (15 4 10 10 4 8 B 7) δϕ C B = 1, 143 kn 39

PODPOROVÉ REAKCE A uvolněná vzb F 1 = 15 kn C F = 10 kn M = 8 knm B δu posunutí F 3 = 10 kn δu Výpočet rekce A: uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; pprsky přípdných rekcí vzniklých ve zbývjících podporách jsou rovnoběžné střed otáčení je v nekonečnu konstrukce se posune; posuneme konstrukci v kolmém směru n pprsky zbývjících rekcí oznčíme změnu posunutí δu; sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci A. δw = 0 δw = A δu 10 δu 10 δu 0 = A δu 10 δu 10 δu 0 = (A 10 10) δu A = 0 kn Rovnice připomíná vodorovnou podmínku rovnováhy. Příkld.6. Pomocí PVP vypočtěte všechny vnější rekce n složené soustvě. F 1 = 10 kn f1 = 10 kn/m f = 6 kn/m 1 3 1 5 [m] 40

PODPOROVÉ REAKCE Řešení: zvedeme řešenou rekci uvolníme vzbu, která tuto rekci vyvozuje. δu o 1 I δϕ 1 δϕ II o o 1 B z Budeme hledt bsolutní reltivní středy otáčení. Absolutní střed otáčení O i kždá desk má svůj vlstní bsolutní (hlvní) střed otáčení. Pro nlezení hledáme nejprve bod, který se nemůže posunout v žádném směru pevný kloub n desce I bude hlvní střed otáčení desky I O 1. Reltivní střed otáčení O ij je bod, ve kterém se desky vzájemně otáčejí (kždá se může otáčet o jiný úhel), le jsou spojené, tudíž posun δu nebo obecný δs je pro obě desky stejný vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1. Absolutní střed otáčení desky II pk bude ležet n průsečíku spojnice O 1 O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce II bsolutní střed otáčení desky II O. Zvedeme deformci konstrukce tk, že v reltivním středu otáčení O 1 konstrukci posuneme o výchylku δu tím nám vznikne dvojice ntočení δϕ 1 δϕ vycházející z bsolutních středů otáčení příslušné desky. Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci B z. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II ovlivní δϕ. δw = 0 δw = 10 δu F1 + 1 10 4 δu f 1 + 6 5 δu f B z δu Bz 0 = 10 δu F1 + 1 10 4 δu f 1 + 6 5 δu f B z δu Bz 0 = 10 5 δϕ 1 + 1 10 4 1 3 4 δϕ 1 + 6 5 5 δϕ B z 5 δϕ Pro vyřešení rovnice je potřeb vyjádřit vzájemný vzth mezi δϕ 1 δϕ δϕ 1 4 = δu = δϕ 3 δϕ 1 = 3 4 δϕ Po doszení vzthu δϕ 1 δϕ do předchozí rovnice práce, je možné vypočítt rekci B z. 0 = 10 5 3 4 δϕ + 1 10 4 1 3 4 3 4 δϕ + 6 5 5 δϕ B z 5 δϕ 0 = (10 5 3 4 + 1 10 4 1 3 4 3 4 +6 5 5 B z 5) δϕ B z = 6, 5 kn 41

PODPOROVÉ REAKCE Řešení rekce B : uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; Hledáme bsolutní středy otáčení n desce I je pevný kloub (nemůže se posouvt) pevný kloub n desce jedn bude bsolutní střed otáčení desky I O 1 ; Vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1 ; N průsečíku spojnice O 1 O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce II, bude ležet bsolutní střed otáčení desky II. Ale tyto pprsky jsou rovnoběžné (průsečík je v nekonečnu) desk II se nebude otáčet, le posouvt; Zvedeme deformci konstrukce tk, že v reltivním středu otáčení O 1 konstrukci posuneme o výchylku δu tím nám vznikne ntočení δϕ 1 n desce I posunutí δu n desce II; Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci B. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II ovlivní δu. δu δu o 1 I δϕ 1 II B o 1 δw = 0 δw = 10 δu F1 + 1 10 4 δu f 1 + B δu 0 = 10 δu F1 + 1 10 4 δu f 1 + B δu Pro vyřešení rovnice je potřeb vyjádřit vzájemný vzth mezi δϕ 1 δu. δu = δϕ 1 4 Po doszení vzthu δϕ 1 δu do předchozí rovnice práce, je možné vypočítt rekci B. 0 = 10 5 δϕ 1 + 1 10 4 1 3 4 δϕ 1 + B 4 δϕ 1 0 = (10 5 + 1 10 4 1 3 4 + B 4) δϕ 1 B = 19, 167 kn 4

δs PODPOROVÉ REAKCE Řešení rekce A z : Uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; Hledáme bsolutní středy otáčení n desce II je pevný kloub (nemůže se posouvt) pevný kloub n desce dv bude bsolutní střed otáčení desky II O ; Vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1 ; N průsečíku spojnice O O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce I bude ležet bsolutní střed otáčení O 1 desky I; Zvedeme deformci konstrukce tk, že v reltivním středu otáčení O 1 konstrukci posuneme o výchylku δs (výchylku zvádíme kolmo n spojnici O 1 O O 1. Tím nám vznikne ntočení δϕ 1 n desce I ntočení δϕ n desce II. Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci A z. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II ovlivní δϕ. o 1 I II δϕ δϕ 1 o o 1 A z 6,667 (z podobnosti trojúhelníků) δw = 0 δw = 10 δs F1 + 1 10 4 δs f 1 6 5 δs f + A z δs Az 0 = 10 δs F1 + 1 10 4 δs f 1 6 5 δs f + A z δs Az 0 = 10 5 δϕ 1 + 1 10 4 1 3 4 δϕ 1 6 5 5 δϕ + A z 6, 667 δϕ 1 Pro vyřešení rovnice je potřeb vyjádřit vzájemný vzth mezi δϕ 1 δϕ. δs = 5 + 3 δϕ = 6, 667 + 4 δϕ 1 δϕ = 1, 333 δϕ 1 Po doszení vzthu δϕ do předchozí rovnice práce, je možné vypočítt rekci A z. 0 = (10 5 + 1 10 4 1 3 4 6 5 5 1, 333 + A z 6, 667) δϕ 1 A z = 3, 496 kn 43

PODPOROVÉ REAKCE Řešení rekce A : Uvolníme vzbu ve směru hledné rekce; Hledáme bsolutní středy otáčení n desce II je pevný kloub (nemůže se posouvt) pevný kloub n desce II bude bsolutní střed otáčení desky II O ; Vnitřní kloub spojující desky I II je reltivní střed otáčení O 1 ; N průsečíku spojnice O O 1 s pprskem rekce, která by vznikl ve zbylém posuvném kloubu n desce I, bude ležet bsolutní střed otáčení O 1 desky I; Absolutní střed otáčení desky I O 1 je totožný s reltivním bodem otáčení O 1 zároveň je součástí desky II. Desk II tedy obshuje dv pevné body (O 1 O ) nemůže se pohybovt. Jediná možná deformce je otočení desky I o δϕ 1 ; Sestvíme podmínku práce δw = 0 vypočteme hlednou rekci A. Ztížení působící n desku I bude ovlivňovt δϕ 1 ztížení působící n desku II nebude mít n celkovou práci vliv (díky nulové deformci). δϕ 1 o 1 o 1 I II δϕ o A δs = r δϕ δs = 0 δϕ = 0 δw = 0 δw = 10 δu F1 1 10 4 δu f 1 A δu A 0 = 10 δu F1 1 10 4 δu f 1 A δu A 0 = 10 1 δϕ 1 1 10 4 3 4 δϕ 1 A 4 δϕ 1 0 = (10 1 1 10 4 3 4 A 4) δϕ 1 A = 10, 833 kn 44

PODPOROVÉ REAKCE Příkld.6.3 Pomocí PVP vypočtěte rekci B zdné konstrukce. 10 knm 0 kn 10 kn 1 3 4 1 B [m] Řešení: uvolníme vzbu ve směru hledné rekce + oznčíme jednotlivé desky. Následně budeme hledt bsolutní středy otáčení (O 1, O, O 3 ) reltivní (O 1 O 3 ). Absolutní středy otáčení n dekách I III budou v pevných kloubech O 1 O 3. Reltivní středy otáčení budou ve vnitřních kloubech mezi deskmi I II, II III O 1 O 3. Absolutní střed otáčení O desky II pk bude ležet n průsečíku spojnic O 1 O 1 O 3 O 3. Kolmo n spojnici bsolutních reltivních středů otáčení zvedeme výchylky δs 1 δs 1. Tím si určíme ntočení jednotlivých desek δϕ 1, δϕ δϕ 3. Pro lepší předstvu provedeme projekci vybočení do roviny tk, bychom názorně viděli závislosti mezi jednotlivými ntočeními δϕ i posuny δs ij. o v δϕ δϕ δs 3 o 1 I 1 o 3 III δϕ 1 δs 1 II o 1 δϕ 3 o 3 δϕ δϕ 3 o 1 o 1 o o 3 o 3 δϕ 1 δϕ L 1 L 4 45

PODPOROVÉ REAKCE Podmínku práce δw = 0 poté sestvíme po jednotlivých deskách. Vždy počítáme ztížení působící n desku krát deformce příslušné desky (síl posun nebo moment pootočení). δw = 0 δw = 10 δs I 10 δϕ 0 δs III + B δs II 0 = 10 δs I 10 δϕ 0 δs III + B δs II 0 = 10 δϕ 1 10 ϕ 0 1 δϕ 3 + B 1 δϕ Nyní musíme vyjádřit vzájemný vzth δϕ 1, δϕ δϕ 3. Nezbytné hodnoty pro toto vyjádření musíme dopočítt ze soustvy rovnic jedná se o l 1, l v. l 1 + l = 5 Z desky I: n vzdálenosti m... stoupne o 3 m n vzdálenosti l 1... stoupne o v v = 3 l 1 Z desky III: n vzdálenosti 4 m... stoupne o 3 m n vzdálenosti l... stoupne o v v = 3 l 4 Soustv rovnic: l 1 + l = 5 3 l 1 = 3 4 l l 1 l = 1, 667 m = 3, 333 m v =, 5 m 1 = l = 1, 333 m δs 1 = + 3 δϕ 1 = 1, 667 +, 5 δϕ δϕ 1 = 0, 833 δϕ δs 3 = 3, 333 +, 5 δϕ = 4 + 3 δϕ 3 δϕ 3 = 0, 833 δϕ δw = 0 δw = 10 (0, 833 δϕ ) 10 ϕ 0 1 (0, 833 δϕ ) + B 1, 333 δϕ 0 = 10 (0, 833 δϕ ) 10 ϕ 0 1 (0, 833 δϕ ) + B 1, 333 δϕ 0 = (10 0, 833 10 0 1 0, 833 + B 1, 333) δϕ B = 7, 50 kn 46

3 VNITŘNÍ SÍLY 3 Vnitřní síly 3.1 Vnitřní síly n příhrdových konstrukcích Příkld 3.1.1 Vypočtěte podporové rekce osové síly ve všech prutech příhrdové konstrukce s využitím styčníkové metody (metody styčných bodů) 6 6 5 kn 0 kn 10 kn 1 3 4 5 6 3 7 4 4 4 10 kn [m] Řešení: Výpočet sttické určitosti = počet styčníků (hmotné body) počet prutů (kyvné pruty) vnějších podpor. s = 5 (7 1 + 1 + 1 ) = 0 SUK. Zvolíme kldné směry vnějších rekcí v podporách jejich velikost vypočteme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. A 5 kn 0 kn 10 kn A z B 10 kn : A + 10 = 0 A = 10 kn : B 1 + 10 1 + 0 6 10 3 = 0 B = 17, 5 kn : A z + B 5 0 10 = 0 A z = 17, 5 kn Kontrolu je možné provést momentovou podmínkou rovnováhy kolem libovolného bodu (ideálně tkového, kterým neprochází ni jedn z vypočtených rekcí). 47

3 VNITŘNÍ SÍLY Osové síly budeme řešit ze silových podmínek rovnováhy v jednotlivých styčnících. Vyjmeme styčník do přerušených prutů zvedeme vnitřní (osové = normálové) síly. Směr zvedení MUSÍ BÝT tkový, že kldná síl směřuje ven z prutu kldná osová síl vyvozuje v prutu TAH, záporná TLAK. Postupně řešíme jednotlivé styčníky je snhou brát tkové, ve kterých jsou mimálně dvě neznámé. 5 A N 1 A z α N 3 5 A N 1 A z α N 3 tg α = 3 /4 α = 36, 87 : A z 5 N 3 sin α = 0 N 3 = 0, 833 kn : A + N 1 + N 3 cos α = 0 N 1 = 6, 666 kn N 3 α N 4 β N 7 tg β = 3 / β = 56, 31 : N 3 sin α + N 4 sin β = 0 N 4 = 15, 03 kn : N 3 cos α + N 4 cos β + N 7 = 0 N 7 = 5 kn 0 N N 1 β β N 4 N 5 : 0 N 4 sin β N 5 sin β = 0 N 5 = 9, 014 kn : N 1 + N N 4 cos β + N 5 cos β = 0 N = 10 kn N α N 6 10 B : B 10 N 6 sin α = 0 N 6 = 1, 5 kn kontrol: : N N 6 cos α = 0 splněno Zbývjící styčník, který jsme dosud nepoužili, je možné využít ke kontrole. N 5 N 6 β α : N 5 sin β + N 6 sin α = 0 splněno 10 : N 5 cos β + N 6 cos α N 7 + 10 = 0 splněno N 7 48

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.1. Vypočtěte osové síly v oznčených prutech příhrdové konstrukce určete zd jsou nmáhány them nebo tlkem. Řešení: Výpočet sttické určitosti s = 1 (1 1 + 1 + 1 1 ) = 0 SUK. K řešení využijeme průsečné metody konstrukci rozdělíme řezem n dvě části, zvedeme vnější rekce v přetnutých prutech zvedeme osové síly. Řez konstrukcí volíme tk, by protínl (ideálně) tři neznámé osové síly. Řez může být libovolně zkřivený. 49

3 VNITŘNÍ SÍLY 15 kn 5 kn 10 kn 0 kn β N 3 N N N3 A N 1 N 1 β d 0 kn řez konstrukcí α B C Hledné osové síly vypočteme z podmínek rovnováhy n vybrné části konstrukce. Nší snhou je, si vybrt jednodušší část konstrukce ještě před sestvením podmínek rovnováhy n části konstrukce je nutné dopočítt potřebné podporové rekce. Osové síly budeme tedy počítt z levé části je nutné dopočítt rekci A. Hlednou rekci dopočteme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci: d : A + 15 C cos α = 0 A =? tg α = 4 / α = 63, 435 : 4 C sin α + 0 + 0 10 5 6 + 15 3 = 0 C = 0, 963 kn A = 5, 65 kn Výpočet osových sil z podmínek rovnováhy n levé části konstrukce: : N 1 3 A 3 5 4 = 0 N 1 = 1, 04 kn prut je tlčený : A + N 1 + N 3 cos β + 15 = 0 N 3 = 15, 03 kn prut je tlčený tg β = 3 / β = 56, 31 : N N 3 sin β 5 10 = 0 N =, 5 kn prut je tlčený 50

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.1.3 Vypočtěte všechny osové síly v prutech podporové rekce příhrdové konstrukce. 0 kn 10 kn 15 kn 0,6 10 kn 0 kn 1, 0,6 5 kn 0,9 0,9 0,9 [m] Řešení: Výpočet sttické určitosti s = 9 (14 1 + 1 + 1 ) = 0 SUK. Konstrukce je jko celek stticky určitá, le vně je stticky neurčitá nedokážeme spočítt rekce přímo z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. K řešení tedy musíme využít jednu z následujících možností: můžeme použít kombinci průšečné styčníkové metody npříkld řezem přes pruty 13 6, sestvením momentové podmínky rovnováhy kolem bodu, kde se protínjí pruty 5 8, bychom vypočítli rekci A z zbývjící rekce je pk možné dopočítt z podmínek rovnováhy n celé konstrukci konstrukci dále můžeme řešit klsicky styčníkovou metodou; nebo využijeme toho, že máme k dispozici 9 styčníků v kždém jsme schopni npst dvě silové podmínky rovnováhy obecně to vede n soustvu 18 rovnic o 18 neznámých.vhodným pořdím řešení jednotlivých styčníků můžeme všechny osové síly rekce spočítt postupně, bez nutnosti řešit soustvu rovnic. 51

3 VNITŘNÍ SÍLY 15 13 0 10 14 C 10 10 11 1 8 9 5 6 7 0 A A z 3 4 5 1 B 10 N 8 tg α = 0, 6 /0, 9 α = 33, 69 α : N 8 sin α 10 = 0 N 8 = 18, 08 kn N 5 : N 5 + N 8 cos α = 0 N 5 = 15 kn α 15 N 13 α : N 8 cos α + N 13 cos α = 0 N 13 = 18, 08 kn N 8 N 9 : N 8 sin α N 9 + N 13 sin α 15 = 0 N 9 = 15 kn 5

3 VNITŘNÍ SÍLY N 9 N 5 N 6 A A z : A z + N 9 = 0 A z = 15 kn : A N 5 + N 6 = 0 dvě neznámé pokrčovt n dlší styčník N 14 10 : N 1 10 = 0 N 1 = 10 kn C : C N 14 = 0 dvě neznámé N 1 pokrčovt n dlší styčník N 1 N 4 B : N 1 = 0 kn : B + N 4 = 0 dvě neznámé pokrčovt n dlší styčník 5 N N 3 β tg β = 1, /0, 9 β = 53, 13 : N 1 + N 3 cos β + 5 = 0 N 3 = 8, 333 kn N 1 : N + N 3 sin β = 0 N = 6, 666 kn 53

3 VNITŘNÍ SÍLY N 6 N 10 N N 7 : N + N 10 = 0 N 10 = 6, 666 kn : N 6 + N 7 = 0 dvě neznámé pokrčovt n dlší styčník α N 13 0 β N 14 N 11 N 10 : N 10 N 11 sin β N 13 sin α 0 = 0 N 11 = 45, 833 kn : N 11 cos β N 13 cos α + N 14 = 0 N 14 = 4, 5 kn zpětným doszením do : C N 14 = 0 C = 4, 5 kn N 11 N 1 N 7 β β 0 : N 3 sin β N 4 + N 11 sin β + N 1 = 0 N 4 = 40 kn N3 N 4 : N 3 cos β N 7 N 11 cos β 0 = 0 N 7 = 1, 5 kn zpětným doszením do : B + N 4 = 0 B = 40 kn : N 6 + N 7 = 0 N 6 = 1, 5 kn : A N 5 + N 6 = 0 A = 7, 5 kn 54

3 VNITŘNÍ SÍLY Kontrol: pomocí globálních podmínek rovnováhy : A z + B 10 15 0 10 = 0 splněno : A C + 5 0 = 0 splněno 55

3 VNITŘNÍ SÍLY 3. Vnitřní síly n přímých nosnících Příkld 3..1 N nosníku určete průběhy vnitřních sil. z 5 kn 3 knm 60 d c b 8 kn [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci oznčíme n konstrukci spodní vlákn. b : 5 cos 60 + 8 A = 0 A = 10, 5 kn : A z 6 5 sin 60 4 3 = 0 A z = 8, kn : A z 5 sin 60 + B = 0 B = 3, 89 kn 5 kn 4,33 kn 3 knm A 60 =10,5 kn,5 kn spodní vlákn A z =8, kn B=-3,89 kn 8 kn Při řešení vnitřních sil V, M, N použijeme znménkovou konvenci: N M V M N spodní vlákn V Výpočet vnitřních sil - sestvení nlytického vyjádření výpočet vnitřních sil v počátečních koncových bodech příslušného intervlu: intervl (; c) (řešíme zlev) 56

3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = A z = 8, kn = A z = 8, M c = 0 knm M c = 8, = 16, 44 knm = A = 10, 5 kn intervl (c; d) (řešíme zlev) - opíšeme předchozí intervl přidáme členy z intervlu (c; b) V () = A z 5 sin 60 = 8, 4, 33 = 3, 89 kn M () = A z 5 sin 60 ( ) = 8, 4, 33 ( ) = 3, 89 + 8, 66 M cd = 3, 89 + 8, 66 = M c = 16, 44 knm M dc = 3, 89 4 + 8, 66 = 4, knm N () = A 5 cos 60 = 10, 5, 5 = 8 kn intervl (d; b) (řešíme zprv) V ( ) M ( ) N ( ) = B = ( 3, 89) = 3, 89 kn = B = 3, 89 M bd = 0 knm M db = 3, 89 = 7, 78 knm = 8 kn Finální vykreslení provedeme tk, že vyneseme hodnoty v krjních bodech intervlů ty spojíme příslušnou funkcí. normálová síl: kldné hodnoty kreslíme zprvidl nd osu prutu, záporné pod osu prutu; posouvjící síl: kldné hodnoty kreslíme zprvidl nd osu prutu, záporné pod osu prutu; ohybový moment: kreslíme VŽDY n strnu tžených vláken bez ohledu n znménko. Zároveň pltí, že kldný ohybový moment vyvozuje th n strně spodních vláken kldný moment tedy vyneseme n strnu čárkovné čáry. 57

3 VNITŘNÍ SÍLY V 8, 3,89 [kn] -7,78 M [knm] 16,44 4, N 10,5 8,0 [kn] Příkld 3.. N nosníku určete průběhy vnitřních sil 4 kn/m 3 kn z b 6 c [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. : A = 0 kn b : A z 6 4 6 3 + 3 = 0 A z = 11 kn : 11 4 6 + B 3 = 0 B = 16 kn 3 m Q = 4 6 A =0 kn b 3 kn c A z =11 kn spodní vlákn B=16 kn Výpočet vnitřních sil intervl (; b) - řešíme zlev 58

3 VNITŘNÍ SÍLY V () = 11 4 V b = 11 kn V b = 11 4 6 = 13 kn přechodový průřez p : 0 = 11 4 p p = 11 4 =, 75 m M () N () = 11 4 M b = 0 knm M b = 11 6 4 6 = 6 knm mimální moment M m M m = 11, 75 4,75 = 15, 15 knm = 0 kn intervl (b; c) - řešíme zprv V ( ) M ( ) N ( ) = 3 kn = 3 M cb = 0 knm M bc = 6 knm = 0 kn V M 11 p =,75 m -7,78 3-13 -6 3 [kn] [knm] 15,15 N [kn] 59

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3..3 N nosníku s převislým koncem určete průběhy vnitřních sil kn 4 kn/m 60 b c z 1,5 4 [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. c : A 4 cos 60 4 = 0 A = 8 kn : A z 4 5, 5 4 sin 60 4 1 4 = 0 A z = 37, 178 kn : A z 4 sin 60 4 + B = 0 B = 1, 3 kn kn b A =8 kn 4 sin 60 4 = 13, 856 kn 4 4 = 16 kn 60 4 kn/m c 4 cos 60 4 = 8 kn A z =37,178 kn B=-1,3 kn Výpočet vnitřních sil intervl (; b) V () M () N () = kn = M b = 0 knm M b = 1, 5 = 33 knm = 0 kn intervl (b; c) šikmé spojité ztížení rozdělíme n svislou složku f z vodorovnou složku f 60

3 VNITŘNÍ SÍLY 4 kn/m 60 f = 4 cos 60 = kn/m f z = 4 sin 60 = 3, 464 kn/m V () = + A z f z ( 1, 5) = 15, 178 3, 464 ( 1, 5) M () V bc = 15, 178 3, 464 (1, 5 1, 5) = 15, 178 kn V cb = 15, 178 3, 464 (5, 5 1, 5) = 1, 3 kn = + A z ( 1, 5) f z ( 1,5) M bc = 1, 5 + 37, 178 (1, 5 1, 5) 3, 464 (1,5 1,5) = 33 knm M cb = 5, 5 + 37, 178 (5, 5 1, 5) 3, 464 (5,5 1,5) = 0 knm N () = A + f ( 1, 5) = 8 + ( 1, 5) N bc = 8 + (1, 5 1, 5) = 8 kn N cb = 8 + (5, 5 1, 5) = 0 kn 15,178 1,3 [kn] - -33 [knm] [kn] -8 61

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3..4 N nosníku ztíženém spojitým trojúhelníkovým ztížením určete průběhy vnitřních sil 4 kn/m z b 6 [m] Řešení: zvedeme rekce, jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. Vodorovná rekce v pevném kloubu bude nulová, protože n konstrukci nepůsobí žádné vodorovné ztížení. b : A 6 1 4 6 1 3 6 = 0 A = 4 kn : A + B 1 4 6 = 0 B = 8 kn 4 0 4 6 = 1 kn 4 kn/m b A=4 kn B=8 kn A) Řešení vnitřních sil zlev: Nejprve si vyjádříme funkci spojitého ztížení f () Q() 3 3 4 kn/m f() 6 6

3 VNITŘNÍ SÍLY Z podobnosti trojúhelníků plyne f () = 4 6 f () = 3 Potom náhrdní břemeno Q () určíme jko Q () = 1 f () = 1 = 3 3 Ohybový moment v průřezu určíme podle M () = Q () = 3 3 9 Nyní můžeme zpst funkce vnitřních sil vypočítt hodnoty ve význmných průřezech. intervl (; b) V () M () N () = A Q () = 4 3 V b = 4 0 3 = 4 kn V b = 4 6 3 = 8 kn přechodový průřez p : V p = 0 4 p 3 = 0 p = 1 = 3, 464 m = A Q () = 4 3 3 9 M b = 4 0 03 9 = 0 knm M b = 4 6 63 9 = 0 knm mimální moment M m : M m = 4 p 3 p 9 = 0 kn = 9, 38 knm B) Řešení vnitřních sil zprv: Spojité trojúhelníkové ztížení si vyjádříme jko součet spojitého rovnoměrného ztížení trojúhelníkového ztížení, které působí s opčnou orientcí. Q( ) 4 kn/m 4 kn/m f( ) 3 3 4 kn/m 4 kn/m 6 Dále postupujeme podobně jko v řešení vrinty A f ( ) = 4 6 f ( ) = 3 Q ( ) = 1 f ( ) = 3 63

3 VNITŘNÍ SÍLY intervl (; b) V ( ) M ( ) N ( ) = 8 + 4 3 V b = 8 + 4 0 0 3 = 8 kn V b = 8 + 4 6 6 3 = 4 kn přechodový průřez p : V p = 0 8 + 4 p p = 0 p 1 p + 4 = 0 D = 144 4 4 = 48 p1, = 1± 48 p1 = 9, 464 m vzdálenost mimo řešený intervl p =, 536 m p =, 536 m = B 4 + Q 3 = 8 4 + 3 9 M b = 8 0 4 0 + 03 9 = 0 knm M b = 8 6 4 6 + 63 9 = 0 knm mimální moment M m : M m = 8 p 4 p + 3 p 9 = 0 kn = 9, 38 knm 4 [kn] p = 3, 464 m -8 p =, 536 m [knm] 3 9,38 [kn] 64

3 VNITŘNÍ SÍLY 3.3 Vnitřní síly n lomených nosnících Příkld 3.3.1 N lomeném nosníku určete průběhy vnitřních sil 6 kn c e b 4 3 kn/m d 6 4 [m] Řešení: rekce určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci. : 6 A = 0 A = 6 kn : B 10 3 6 3 6 4 = 0 B = 7, 8 kn : A z 3 6 + 7, 8 = 0 A z = 10, kn 6 kn c e b 3 Q = 3 6 = 18 kn B=7,8 kn A = 6 kn 3 kn/m A z =10, kn d Určení vnitřních sil intervl (c; ) 65

3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 6 kn = 6 M c = 0 knm M c = 4 knm = 0 kn intervl (; d) V () M () N () = A z 3 V d = A z = 10, kn V d = A z 3 6 = 7, 8 kn přechodový průřez p : V p = 0 10, 3 p = 0 p = 3, 4 m = 6 4 + A z 3 M d = 4 knm M d = 4 + 10, 6 3 6 = 31, knm mimální moment M m : M m = 6 4 + 10, 3, 4 3 3,4 = 41, 34 knm = 6 + 6 = 0 kn intervl (b; e) V () M () N () = B = 7, 8 kn = B M be = 0 knm M eb = 7, 8 4 = 31, knm = 0 kn intervl (e; d) V () M () N () = 0 kn = 7, 8 4= 31, knm = B = 7, 8 kn 66

3 VNITŘNÍ SÍLY 6-7,8-7,8 V [kn] 10, 6 p = 3, 4 m -7,8 31, M [knm] N [kn] 7,8-4 31, 4 41,34 7,8 31, 67

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.3. N lomeném nosníku určete průběhy vnitřních sil ve styčníku c zkontrolujte rovnováhu vnitřních sil. 4 kn f 4 kn e 1 kn c d b 1 [m] Velikosti rekcí určíme z podmínek rovnováhy n nosníku. : B = 4 kn : B z 3 1 5 + 4 4 4 1 = 0 B z = 16 kn : A + 16 1 4 = 0 A = 0 kn 4 kn f e 4 kn 1 kn c d b B = 4 kn A= 0 B z =16 kn Zvolíme spodní vlákn vykreslíme průběhy vnitřních sil. intervl (; b) 68

3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 0 kn = 0 knm = 0 kn intervl (b; c) - řešíme od spodního konce V () M () N () = B = 4 kn = 4 M bc = 0 knm M cb = 4 = 8 knm = B z = 16 kn intervl (d; c) - řešíme zprv V () M () N () = 1 kn = 1 M dc = 0 knm M cd = 1 = 4 knm = 0 kn intervl (f; e) - řešíme zlev V () M () N () = 4 kn = 4 M fe = 0 knm M ef = 4 = 8 knm = 0 kn intervl (e; c) - řešíme od horního konce V () M () N () = 4 kn = 8 + 4 M ec = 8 knm M ce = 16 knm = 4 kn 69

3 VNITŘNÍ SÍLY V [kn] M [knm] N [kn] -8 f e-4 f -4 e 8 f -4 1 c d -8 c 16 d e c -4 d b -4 b b -16 Kontrol rovnováhy ve styčníku c. 4 0 4 1 16 4 4 8 16 : 4 4 = 0 : 16 1 4 = 0 70 4 16 8 = 0 :

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.3.3 N lomené konzole vykreslete průběhy vnitřních sil 5 knm b c 10 kn d 4 3 kn/m 1,5,5 [m] 5 knm b c 10 kn d 3 kn/m Vnitřní síly budeme řešit od volných konců, rekce tudíž nepotřebujeme. intervl (b; c) V () M () N () = 0 kn = 5 knm = 0 kn intervl (d; c) 71

3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 10 kn = 10 M dc = 0 knm M cd = 5 knm = 0 kn Vypočtené průběhy vnitřních sil vykreslíme. Z rovnováhy dopočteme hodnoty vnitřních sil pod styčníkem c. 0 5 10 5 0 0 V c =0 kn M c =-0 knm N c =-10 kn Dopočítáme vnitřní síly n intervlu (c; ). V () = 0 + 3 V c = 0 kn, V c = 1 kn M () N () = 0 3 M c = 0 knm M c = 0 3 4 = 10 kn = 44 knm b 10 c 10 d -5-5 b -0-5 c d b c -10 d V [kn] M [knm] N [kn] 1-44 -10 7

3 VNITŘNÍ SÍLY 3.4 Vnitřní síly n nosnících se šikmým prutem Příkld 3.4.1 N šikmém nosníku určete průběhy vnitřních sil. z c s F 1 = 6kN F = 1kN d 3 0,75 b 1 [m] Zvedeme rekce určíme jejich velikost z podmínek rovnováhy n nosníku. : B 6 = 0 B = 6 kn b : A 4 6 3, 75 1 = 0 A = 11, 65 kn : A 1 + B z = 0 B z = 0, 375 kn Pro výpočet V N je třeb rozložit ztížení do směru kolmého ke střednici do směru střednice nosníku: délk nosníku l = 5 + 3, 75 = 6, 5 m cos α = 5 6,5 = 0, 8 sin α = 3,75 6,5 = 0, 6 F 1 cos α = 6 0, 8 = 4, 8 kn F 1 sin α = 6 0, 6 = 3, 6 kn F cos α = 1 0, 8 = 9, 6 kn F sin α = 1 0, 6 = 7, kn 73

3 VNITŘNÍ SÍLY 3,6 kn c 4,8 kn A cosα 1,5,5 F 1 = 6kN α F = 1kN α α A sinα A=11,65 kn 7, kn 9,6 kn,5 α B =6 kn b B z =0,375 kn [m] intervl (c; ) V (s) M (s) = 3, 6 kn = 3, 6 s M c = 0 knm M c = 3, 6 1, 5 = 4, 5 knm Ohybový moment lze rovněž vyjdřovt jko funkce proměnných z. M (z) = F 1 z M c = 0 knm, M c = 6 0, 75 = 4, 5 knm Pozor, v tomto přípdě nepltí Schwedlerov vět. N (s) = 4, 8 kn intervl (; d) V (s) = 3, 6 + A cos α = 3, 6 + 11, 65 0, 8 = 5, 7 kn M (s) = 3, 6 s + A cos α (s 1, 5) M d = M c = 4, 5 knm M d = 3, 6 3, 75 + 11, 65 0, 8, 5 = 9, 75 knm Nebo ohybový moment: M (,z) N (s) = F 1 z + A ( 1) M d = 4, 5 knm, M d = 9, 75 knm = 4, 8 + A sin α = 4, 8 + 11, 65 0, 6 = 11, 775 kn intervl (d; b) 74

5,7 3 VNITŘNÍ SÍLY V (s) = 3, 6 + A cos α 9, 6 = 3, 9 kn M (s) = 3, 6 s + A cos α (s 1, 5) 9, 6 (s 3, 75) M db = 9, 75 knm M bd = 0 knm Nebo ohybový moment: M (,z) N (s) = F 1 z + A ( 1) F ( 3) M db = 9, 75 knm, M bd = 0 knm = 4, 8 + A sin α 7, = 4, 575 kn -3,6 5,7 V [kn] -3,6-4,5-3,9 M [knm] -3,9 4,8 11,775 9,75 N [kn] 11,775 4,575 75

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.4. N lomeném nosníku určete průběhy vnitřních sil. Zkontrolujte rovnováhu vnitřních sil ve styčníku c 14 knm e 8 kn d c kn/m b 4 1,5 1,5 3 [m] Řešení: Velikost rekcí určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci: b : 8 B = 0 B = 8 kn : A 6 + 14 + 8 3 1, 5 = 0 A = 3, 5 kn : B z A 3 = 0 B z = 9, 5 kn 8 kn d Q = 3 = 6kN 1,5 m kn/m c b B =8 kn 14 knm e B z =9,5 kn s α α A=3,5 kn Řešení vnitřních sil intervl (; e) 76

3 VNITŘNÍ SÍLY l b = 3 + 4 = 5, cos α = 3 5, sin α = 4 5 V (s) = A cos α = 3, 5 3 5 =, 1 kn Ohybový moment lze řešit buď v závislosti n proměnné s: M (s) = A cos α s =, 1 s M e = 0 knm M e =, 1, 5 = 5, 5 knm nebo lze ohybový moment vyjádřit jko funkci proměnné (v tomto přípdě nepltí Schwedlerov vět): M () = A = 3, 5 M e = 0 knm, M e = 3, 5 1, 5 = 5, 5 knm N (s) = A sin α = 3, 5 4 5 intervl (e; c) =, 8 kn V (s) = A cos α = 3, 5 3 5 Buď =, 1 kn M (s) = A cos α s + 14 =, 1 s + 14 nebo M ec =, 1, 5 + 14 = 8, 75 knm M ce =, 1 5 + 14 = 3, 5 knm M () = A + 14 M ec = 3, 5 1, 5 + 14 = 8, 75 knm, M ce = 3, 5 3 + 14 = 3, 5 knm N (s) = A sin α = 3, 5 4 5 intervl (d; c) =, 8 kn V () M () N () = 8 kn = 8 M dc = 0 knm M cd = 8 = 16 knm = 0 kn intervl (b; c) 77

3 VNITŘNÍ SÍLY V () = B z + V bc = 9, 5 kn V cb = 9, 5 + 3 = 3, 5 kn M () N () = B z M bc = 0 knm M cb = 9, 5 3 3 = B = 8 kn = 19, 5 knm 8 -,1-3,5 8-9,5-5,5 16 3,5 19,5 V [kn] 8,75 M [knm] -,1,8-8 -8 N [kn],8 Kontrol rovnováhy ve styčníku c: 78

3 VNITŘNÍ SÍLY c : 16 + 3, 5 19, 5 = 0 : 0 + 3, 5, 1 cos α, 8 sin α? = 0 3, 5, 1 3, 8 4 5 5? = 0 0 = 0 : 8 8 +, 1 sin α, 8 cos α? = 0, 1 4, 8 3 5 5? = 0 0 = 0 16 0 8 3,5 c 19,5,8 c,1 3,5 8 Styčník je v rovnováze. Příkld 3.4.3 N šikmém nosníku určete průběhy vnitřních sil. f =,5 kn/m f 1 =4 kn/m b c,5 0,75 3 1 [m] Řešení: Velikost rekcí určíme z podmínek rovnováhy n celé konstrukci: : B = 0 kn : B z 3 + 4 1, 5 3, 5 +, 5 4 = 0 B z = 1, 5 kn : A + B z, 5 4 4 1, 5 = 0 A =, 5 kn 79

3 VNITŘNÍ SÍLY m Q =, 5 4 = 10kN f =,5 kn/m Q 1 = 4 1, 5 = 5kN c f 1 =4 kn/m B =0 kn b 3,5 m B z =1,5 kn 1,5m A=,5 kn Ztížení zdné n průmět nosníku je nutné přepočítt n délku střednice. f L = f L f = f L L =,5 4 5 = kn/m Q =, 5 4 = 10kN f =,5 kn/m c b f = kn/m Q = 10kN b c L = 5m L = 4m Pro výpočet V N je třeb rozložit ztížení do směru kolmého ke střednici do směru střednice nosníku: cos α = 4 = 0, 8 5 sin α = 3 = 0, 6 5 f 1 cos α = 4 0, 8 = 3, kn/m f 1 sin α = 4 0, 6 =, 4 kn/m f cos α = 0, 8 = 1, 6 kn/m f sin α = 0, 6 = 1, kn/m 80

3 VNITŘNÍ SÍLY f 1 cos α = 4 0, 8 = 3, kn/m f 1 sin α = 4 0, 6 =, 4kN/m f cos α = 0, 8 = 1, 6kN/m c f sin α = 0, 6 = 1, kn/m b 1,5 m α s 3,75 m Řešení vnitřních sil intervl (; b) V (s) = A cos α f cos α s V b =, 5 0, 8 = kn V b = 1, 6 3, 75 = 4 kn M (s) = A cos α s f cos α s N (s) M b = 0 knm M b = 3, 75 1, 6 3,75 = 3, 75 knm = A sin α + f sin α s N b =, 5 0, 6 = 1, 5 kn N b = 1, 5 + 1, 3, 75 = 3 kn intervl (b; c) V (s) = V b + B z cos α f 1 cos α (s 3, 75) f cos α (s 3, 75) M (s) V bc = 4 + 10 = 6 kn V cb = 6 3, 1, 5 1, 6 1, 5 = 0 kn = M b + (V b + B z cos α) (s 3, 75) f 1 cos α (s 3,75) f cos α (s 3,75) M bc = 3, 75 knm M cb = 3, 75 + 6 1, 5 3, 1,5 1, 6 1,5 = 0 knm N (s) = N b B sin α + f 1 sin α (s 3, 75) + f sin α (s 3, 75) N bc = 3 7, 5 = 4, 5 kn N cb = 4, 5 +, 4 1, 5 + 1, 1, 5 = 0 kn 81

3 VNITŘNÍ SÍLY 6 V [kn] 1,5m -3,75-4 1 m M [knm] 1,5 3-4,5 N [kn] -1,5 8

3 VNITŘNÍ SÍLY 3.5 Vnitřní síly n konstrukcích se zkřiveným prutem Příkld 3.5.1 N kružnicovém prutu stnovte průběhy vnitřních sil 5 kn/m r=4 m 4 sr r r b 4 [m] Řešení: z podmínek rovnováhy n nosníku určíme podporové rekce. b : B z 5 4 = 0 B z = 0 kn : A 4 5 4 = 0 A = 10 kn : A B = 0 B = 10 kn m Q = 5 4 = 0kN 5 kn/m A=10 kn z 4 r s ϕ 4 b B =10 kn z B z =0 kn Dále si zvolíme jednk polární souřdnicový systém s počátkem v bodě s, jednk souřdnicovou soustvu -z s počátkem v podpoře. Mezi oběm systémy můžeme vyjádřit trnsformční vzthy: 83

3 VNITŘNÍ SÍLY = r sin ϕ = 4 sin ϕ z = r r cos ϕ = r (1 cos ϕ) = 4 (1 cos ϕ) Vyjádření vnitřních sil: V (ϕ) M (,z) = A sin ϕ Q (ϕ) cos ϕ = 10 sin ϕ 5 cos ϕ = 10 sin ϕ 5 4 sin ϕ cos ϕ V b = 0 kn V b = 10 0 = 0 kn = A z 5 M b = 0 knm M b = 10 4 5 4 = 0 knm Q(ϕ) = 5 = 5 4 sinϕ A z ϕ r V ϕ A A sinϕ Q(ϕ) ϕ Q(ϕ) cosϕ N (ϕ) = A cos ϕ 5 4 sin ϕ sin ϕ = 10 cos ϕ 0 sin ϕ N b = 10 kn N b = 0 kn 84

3 VNITŘNÍ SÍLY Q(ϕ) = 5 = 5 4 sinϕ A z r N A cosϕ ϕ A Q(ϕ) sinϕ ϕ Q(ϕ) ϕ Funkci ohybového momentu lze rovněž vyjádřit jko funkci ϕ: M (ϕ) = A r (1 cos ϕ) 5 Výpočet etrému posouvjící síly V: (r sin ϕ) = 40 (1 cos ϕ) 40 sin ϕ poloh V m : V m dv = 10 cos ϕ 0 dϕ cos ϕ + 0 sin ϕ = 0 10 cos ϕ 0 cos ϕ + 0 (1 cos ϕ) = 0 10 cos ϕ 0 cos ϕ + 0 0 cos ϕ = 40 cos ϕ + 10 cos ϕ + 0 = 0 cos ϕ 1 = 0, 593 úhel mimo řešenou konstrukci cos ϕ = 0, 843 ϕ = 3, 54 V m = 10 sin 3, 54 5 4 sin 3, 54 cos 3, 54 = 3, 691 kn Výpočet etrému ohybového momentu M: přechodový průřez: V ( ϕ) = 0 10 sin ϕ 5 4 sin ϕ cos ϕ = 0 cos ϕ = 1 ϕ = 60 pozn: (sin ϕ 0) = 4 sin 60 = 3, 464 m z = 4 (1 cos 60 ) = m M m vyjádrřen z M (,z) M m = 10 5 3,464 = 10 knm M m vyjádrřen z M (ϕ) M m = 40 (1 cos 60 ) 40 sin (60 ) = 10 knm 85

3 VNITŘNÍ SÍLY V [kn] V (ϕ = 3, 51 ) = 3, 691kN r ϕ z 10 M [knm] -10 r ϕ = 60 z N [kn] -10 z -0 86

3 VNITŘNÍ SÍLY Příkld 3.5. N prbolickém oblouku vykreslete průběhy vnitřních sil. Středníce oblouku je prbol je dán třemi body 6 kn/m c 8 z 10 10 b 5 kn [m] Souřdnice bodů prboly [m]: [0; 0] b [0; 0] c [10; 8] Výpočet podporových rekcí z podmínek rovnováhy n celké konstrukci: : A 5 = 0 A = 5 kn : B 0 60 5 = 0 B = 15 kn : A z + B 60 = 0 A z = 45 kn 5 m Q = 6 10 = 60kN 6 kn/m c 15 m A = 5kN b 5 kn A z = 45kN B = 15kN Určení rovnice střednice nosníku: Obecnou rovnici prboly můžeme npst ve tvru: z () koeficienty, které je nutné dopočítt. = k 1 + k + k 3 kde k i jsou 87

3 VNITŘNÍ SÍLY bod : z (=0) = 0 = k 1 0 + k 0 + k 3 k 3 = 0 bod b : z (=0) = 0 = k 1 0 + k 0 + k 3 k = 0 k 1 bod c : z (=10) = 8 = k 1 10 + k 10 + k 3 8 = k 1 10 + ( 0 k 1 ) 10 8 = k 1 100 k 1 = 0, 08 k = 0 k 1 = 1, 6 Rovnice střednice prutu: z () = 0, 08 1, 6 Směrnice tečny ke střednici: tg ϕ = dz () d = 0, 16 1, 6 c ϕ tečn z b Hodnoty posouvjící normálové síly v bodě nosníku určíme ze vzthů: V N = F h sin ϕ F v cos ϕ = F h cos ϕ F v sin ϕ F h N ϕ ϕ ϕ V ϕ F v Určíme funkce vnitřních sil v jednotlivých intervlech nosníku Intervl (; c) 88

3 VNITŘNÍ SÍLY V (ϕ) N (ϕ) = A sin ϕ + A z cos ϕ 6 cos ϕ = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 cos ϕ = A cos ϕ + A z sin ϕ 6 sin ϕ = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 sin ϕ M (,z) M () = A [( z)] + A z 6 pozn.: (z < 0) M () = A [ (0, 08 1, 6 )] + A z 3 =, 6 + 37 po doszení: bod : tg ϕ = 0, 16 0 1, 6 = 1, 6 ϕ = 58 V c N c M c = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 0 cos ϕ = 19, 61 kn = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 0 sin ϕ = 40, 81 kn =, 6 0 + 37 0 = 0 knm bod c : tg ϕ = 0, 16 10 1, 6 = 1, 6 ϕ = 0 V c = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 10 cos ϕ = 15 kn (= A z Q) N c = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 10 sin ϕ = 5 kn (= A ) M c =, 6 10 + 37 10 = 110 knm Polohu etrému M m určíme z podmínky: dm () d = V () V (p) = 0 dm () d = 5, + 37 0 = 5, p + 37 p = 7, 115 m M m =, 6 7, 115 + 37 7, 115 = 131, 635 knm Polohu etrému M m můžeme rovněž určit z podmínky: V (ϕp) = 0 V (ϕp) = A sin ϕ p + A z cos ϕ p 6 p cos ϕ p = 0 / 1 cos ϕ p 0 = A tg ϕ p + A z 6 p tg ϕ p = Az A + 6 p A = 45 5 + 6 5 p = 9 + 1, p z (tg ϕ p ) dosdíme dříve určený výrz (tg ϕ p ) = 0, 16 p 1, 6 0, 16 p 1, 6 = 9 + 1, p p = 7,4 1,04 Intervl (c; b) = 7, 115 m V (ϕ) N (ϕ) = A sin ϕ + A z cos ϕ Q cos ϕ = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 60 cos ϕ = A cos ϕ + A z sin ϕ Q sin ϕ = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 60 sin ϕ M (,z) = A [( z)] + A z Q ( 5) pozn.: (z < 0) M () = A [ (0, 08 1, 6 )] + A z Q ( 5) po doszení: M () = 0, 4 3 + 300 89

3 VNITŘNÍ SÍLY bod c : tg ϕ = 0, 16 10 1, 6 = 1, 6 ϕ = 0 V cb N cb M cb = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 10 cos ϕ = V c = 15 kn = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 10 sin ϕ = N c = 5 kn =, 6 10 + 37 10 = M c = 110 knm bod b : tg ϕ = 0, 16 0 1, 6 = 1, 6 ϕ = 58 V bc N bc M bc = 5 sin ϕ + 45 cos ϕ 6 10 cos ϕ = 3, 71 kn = 5 cos ϕ + 45 sin ϕ 6 10 sin ϕ = 15, 37 kn = 0, 4 0 3 0 + 300 = 0 knm Pro lepší předstvu o průbězích vnitřních sil je možno vyčíslit jejich hodnoty ve více bodech. bod [m] z [m] ϕ [ ] V [kn] N [kn] M [knm] 0 0 57, 995 19, 610 40, 810 0 1 -,88-5,001 16,376-9,083 63,600 4-5,1-43,831 11,686-18,150 106,400 3 6-6,7-3,619 4,885-9,063 18,400 4 8-7,68-17,745-4,381-3,848 19,600 c 10 8 0 15, 000 5, 000 110, 000 5 1-7,68 17,745-1,76-9,334 81,600 6 14-6,7 3,619-9,939-1,97 56,400 7 16-5,1 43,831-7,358-13,995 34,400 8 18 -,88 5,001-5,95-14,899 15,600 b 0 0 57, 995 3, 710 15, 370 0 90

3 VNITŘNÍ SÍLY V [kn] -15 19,61 7,115 m -3,71 M [knm] 110 131,63 7,115 m N [kn] -5-40,81-15,37 91

3 VNITŘNÍ SÍLY 3.6 Vnitřní síly n složených soustvách Příkld 3.6.1 N složené soustvě vykreslete průběh vnitřních sil kn/m b c I 4 3 kn/m 5 d II e 5 [m] Nejprve určíme rekci v podpoře vnitřní rekce v kloubu d. Rekce ve vetknutí e počítt nemusíme. N desce I pltí: : D = 0 kn d : A 5 5, 5 = 0 A = 5 kn : D z + 5 5 = 0 D z = 5 kn kn/m Q = 5 =10 kn,5 m b I c A=5 kn D =0 kn D z =5 kn d D =0 kn d Q = 3 5 =15 kn,5 m 3 kn/m D z =5 kn II e Zvolíme spodní vlákn vypočteme vnitřní síly. intervl (; b) 9

3 VNITŘNÍ SÍLY V () M () N () = 0 kn = 0 knm = 5 kn intervl (b; c) V () M () N () = A = 5 V bc = 5 kn V cb = 5 kn přechodový průřez leží uprostřed intervlu = 5 M bc = 0 knm M cb = 5 5 5 = 0 knm mimální moment M m : M m = 5, 5,5 = 6, 5 knm (= 1 8 5 ) = 0 kn intervl (c; d) V () M () N () = 0 kn = 0 knm = A 5 = 5 kn intervl (d; e) V () = D z 3 = 5 3 V de = 5 kn V ed = 0 kn přechodový průřez n intervlu není M () N () = 5 3 M de = 0 knm M ed = 5 5 3 5 = 0 kn = 6, 5 knm 93

3 VNITŘNÍ SÍLY 5 V [kn],5 m -5 M [knm] -5-0 6,5-6,5 N [kn] -5-5 -5-5 Příkld 3.6. N trojkloubovém rámu určete průběhy vnitřních sil Při řešení rekcí i výpočtu vnitřních sil lze využít symetrie konstrukce ztížení. 94

c 3 VNITŘNÍ SÍLY 4 kn/m e g c I II d f 1 kn 1 kn 3 1,5 b 3 3 [m] Při výpočtu rekcí nejprve z podmínek rovnováhy n celé konstrukci určíme A z B z. b : A z 6 + 1 3 1 3 4 6 3 = 0 A z = 1 kn : A z 4 6 + B z = 0 B z = 1 kn nebo ze symetrie : A z = B z = 4 6 = 1 kn Q = 4 6 = 4kN 4 kn/m e g c I II d f 1 kn 1 kn A B = A b A z =1 kn B z = A z =1 kn V dlším kroku vypočteme vodorovné rekce A rovnováhy n jedné z desek I nebo II. desk I : B. Určíme je z momentové podmínky : A 4, 5 + A z 3 1 1, 5 4 3 1, 5 = 0 A = 3 kn 95

3 VNITŘNÍ SÍLY Q 1 = 4 3 = 1kN 4 kn/m 4 kn/m e I 1,5 m c C C c II g d 1 kn C z =0 kn C z =0 kn f 1 kn A =3 kn B = A =3 kn b A z =1 kn B z = A z =1 kn Výpočet vnitřních sil: intervl (; d) V () M () N () = A = 3 kn = 3 M d = 0 knm M d = 3 3 = 9 knm = A z = 1 kn intervl (d; e) V () = 3 1 = 18 kn M () = 3 1 ( 3) M de = M d = 9 knm M ed = 3 4, 5 1 1, 5 = 18 knm N () intervl (e; c) = A z = 1 kn V () M () N () = A z 4 V ec = 1 kn V ce = 0 kn = M ed + A z 4 M ec = 18 knm M ce = 18 + 1 3 4 3 = 0 knm = A 1 = 3 1 = 18 kn 96

3 VNITŘNÍ SÍLY N zbývjících intervlech určíme nlogicky. M N vycházejí číselně i znménkově stejně, V má opčná znménk. 1 e -18 c g -1 18 3-18 d -3 f 18 V [kn] 3-3 b -18-18 -18 e c g -18 d 9 9 f M [knm] b e -1 c -1 g -18-18 d f N [kn] -1-1 b Příkld 3.6.3 N Gerberově nosníku vykreslete průběhy vnitřních sil 60 1 kn 5 kn/m d b c e f 1,5 4 1 3 3 [m] Řešení: nejprve řešíme rekce vnitřní sily od svislého ztížení. Od vodorovného ztížení (F = 6 kn) vniká pouze normálová síl N, kterou vyřešíme n závěr příkldu. 97

F z = 1 sin60 = 10, 39kN 5 kn/m 60 d b c e f F = 1 cos60 = 6kN cos60 = 0, 5 sin60 = 3 = 0, 866 3 VNITŘNÍ SÍLY Než zčneme řešit rekce od svislého ztížení, určíme si hierchii nosníku. Rekce určujeme nejprve n horních, to znmená n nesených nosnících. V nšem přípdě to jsou rekce E z F z n nosníku e-f. : E z = F z = 5 3 E z = F z = 7, 5 kn Rekcemi E z, F z ztížíme spodní nesoucí nosníky pokrčujeme ve výpočtu rekcí A, B potřebných pro řešení vnitřních sil. nosník d-e b : A 4 10, 39 5, 5 + E z 1 = 0 A = 1, 414 kn : B 10, 39 + A E z = 0 B = 5, 478 kn 5 kn/m E z =7,5 kn F z =7,5 kn F z = 10, 39kN E z =7,5 kn F z =7,5 kn d b c 1 3 A=1,414 kn B=5,478 kn e Zbývjící svislé momentové rekce pro vykreslení vnitřních sil nepotřebujeme můžeme zčít řešit průběhy M V. intervl (d; ) f V (1 ) = F z = 10, 39 kn M (1 ) = 10, 39 1 M d = 0 knm M d = 10, 39 1, 5 = 15, 588 knm intervl (; b) V (1 ) = F z + A = 10, 39 + 1, 414 =, 0 kn M (1 ) = 10, 39 1 + A ( 1 1, 5) M b = M d = 15, 588 knm M b = 10, 39 5, 5 + 1, 414 (5, 5 1, 5) = 7, 5 knm 98

3 VNITŘNÍ SÍLY intervl (b; e) V (1 ) = F z + A + B = 10, 39 + 1, 414 + 5, 478 = 7, 5 kn = E z M (1 ) = 10, 39 1 + A ( 1 1, 5) + B ( 1 5, 5) M be = M b = 7, 5 knm M eb = 10, 39 6, 5 + 1, 414 (6, 5 1, 5) + 5, 478 (6, 5 5, 5) = 0 knm bod e je vnítřní kloub ohybový moment ve vnitřním kloubu = 0 intervl (e; f) V ( ) = E z 5 V ef = 7, 5 5 0 = 7, 5 kn V fe = 7, 5 5 3 = 7, 5 kn M ( ) = E z 5 intervl (f; c) M ef = M fe = 0 knm vnitřní klouby přechodový průřez leží uprostřed vloženého pole ( p = 1, 5 m) mimální moment M m M m = 1 8 f l = 1 8 5 3 = 5, 65 kn V (3 ) = F z = 7, 5 kn M (3 ) = F z 3 = 7, 5 3 M fc = M fe = 0 knm vnitřní kloub M cf = 7, 5 3 =, 5 knm V [kn] d -10,39 M [knm] d 7,5 7,5,0,0 e b -10,39-15,588-7,5 b e f c -7,5-7,5 -,5 Společná tečn f c 5,65 Nyní můžeme přistoupit k řešení normálové síly N. N stticky určitých spojitých nosnících se veškeré vodorovné ztížení přenese prostřednictvím vnitřních kloubů do jediné neposuvné podpory. V nšem přípdě je to vetknutí. Zde vznikne jediná vnější vodorovná rekce C = 6kN. Můžeme vykreslit průběh N. 99

3 VNITŘNÍ SÍLY d F =6 kn b c e f C =6 kn N [kn] d b e f c -6-6 -6-6 -6-6 100

3 VNITŘNÍ SÍLY 3.7 Vnitřní síly n prostorově ztížených konstrukcích Příkld 3.7.1 N prostorově ztížené konzole určete průběhy vnitřních sil z y 3 kn/m b 0 kn 0,3 0, [m] Řešení: N konzole zvedeme prvotočivý souřdný systém. Budeme řešit od volného konce, tj. ze záporné plošky (při pohledu do průřezu směřuje kldná poloos od nás). Podle znménkové konvence směřují kldné směry vektorů vnitřních sil n záporné plošce ve směru záporných poloos. M z V z M y V y N y d M z záporná plošk Řešení vnitřních sil: konstrukci si rozdělíme n jednotlivé intervly ve kterých se budou vnitřní síly skokem měnit (změn tvru průřezu, konstrukce nebo změn ztížení) - tomto přípdě pouze jeden intervl -b. Q = 3 = 6 kn 1 m 3 kn/m b 0 kn 0,3 y z 0, [m] 101

3 VNITŘNÍ SÍLY V z() = 3 V z V b z = 0 kn = 3 = 6 kn posouvjící síl V z vyvozuje ohybový moment M y M y() = 3 M y = 0 knm M b y = 3 = 6 knm V y() M z() = 0 kn posouvjící síl V y vyvozuje ohybový moment M z = 0 M z = 0 knm M b z = 0 = 40 knm N () = 0 kn M () = 0 0,3 + 3 0, = 3 + 0, 3 M je lineární funkce! M = 3 knm M b = 3 + 0, 3 =, 4 knm Vnitřní síly je nutné vykreslovt ve správných rovinách, ohybové momenty se nvíc musí kreslit n strnu tžených vláken. V z, M y... v rovině z V y, M z... v rovině y N, M... můžeme vykreslovt v libovolné rovině (obvykle v rovině z) 10

3 VNITŘNÍ SÍLY V z [kn] -6 V y [kn] -0-6 y -0 z M y [knm] M z [knm] 40 y z M [knm] -,4 N [kn] -3 Příkld 3.7. N prostorově ztíženém sloupu určete průběhy vnitřních sil 100 kn 15 kn b 3 1 c 0,4 0, [m] Řešení: n konzole zvedeme prvotočivý souřdný systém. Vnitřní síly budeme řešit od volného konce, tj. z kldné plošky (při pohledu do průřezu směřuje kldná poloos proti nám). Podle znménkové konvence směřují kldné směry vektorů vnitřních sil n kldné plošce ve směru kldných poloos souřdného systému. 103

3 VNITŘNÍ SÍLY M N kldná plošk V y M y V z d M z y z Řešení vnitřních sil: konstrukci si rozdělíme n jednotlivé intervly ve kterých se budou vnitřní síly skokem měnit (změn tvru průřezu, konstrukce nebo změn ztížení) - tomto přípdě dv intervly -b b-c. 100 kn 15 kn b 3 1 y 15 kn 100 kn 0, y c z 0,4 [m] z 0,4 intervl (; b) N () V y() V z() M () = 100 kn = 0 kn = 0 kn = 0 knm M y() = 100 0, = 10 knm vyvozuje posouvjící síl V z M z() = 100 0,4 = 0 knm vyvozuje posouvjícíc síl V y intervl (b; c) 104

3 VNITŘNÍ SÍLY N () V y() V z() = 100 kn = 0 kn = 15 kn M () = 15 0,4 = 3 knm M y() = 100 0, + 15 (3 ) vyvozuje posouvjícíc síl V z M b y M c y = 100 0, = 100 0, + 15 (3 3) = 10 knm + 15 (3 0) = 55 knm M z() = 100 0,4 = 0 knm vyvozuje posouvjícíc síl V y Vnitřní síly je nutné vykreslovt ve správných rovinách, ohybové momenty se nvíc musí kreslit n strnu tžených vláken. V z, M y... v rovině z V y, M z... v rovině y N, M... můžeme vykreslovt v libovolné rovině N [kn] V y [kn] V z [kn] M [knm] M y [knm] M z [knm] -100-0 10-15 -3 b 10 y c z -100 y z y z -15 y z -3 y z -0 y z 55 105

4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY 4 Průřezové chrkteristiky 4.1 Těžiště, centrální/hlvní momenty setrvčnosti elips setrvčnosti Příkld 4.1.1 Vypočtěte hlvní centrální momenty setrvčnosti vykreslete elipsu setrvčnosti složeného průřezu 150 330 s 80 150 70 40 300 180 480 [mm] Řešení: Nejprve určíme polohu těžiště vzhledem k pomocnému souřdnému systému y, z. Souřdnice těžišť k pomocným osám y, z plochy dílčích částí průřezů jsou: 360 y 10 150 1 150 3 C 1 C 3 140 C i y i [mm] z i [mm] A i [mm ] 1-150 10 16000-360 140 37800 3-150 150-0106,193 celková ploch Σ A 143693,807 [mm] Souřdnice těžiště průřezu: y c = z Sz,i Ai = (Ai y i ) Ai = 16000 ( 150)+37800 ( 360) 0106,193 ( 150) = 949071,05 160000+37800 0106,193 143693,807 y c = 05, 4 =. 05 mm Sy,i z c = (Ai z Ai = i ) Ai = 16000 10+37800 140 0106,193 150 = 8736071,05 160000+37800 0106,193 143693,807 z c = 199, 981. = 00 mm 106

4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY y 00 3 C 3 C y c C 1 C 1 z 05 [mm] z c V dlším kroku vypočteme iální momenty setrvčnosti deviční moment setrvčnosti k těžišťovým osám y c z c. I yc = (I yci + A i z i ) = = 1 1 300 403 + 16000 (10 00) + + 1 36 180 403 + +37800 (140 00) { π 804 4 + 0106, 193 (150 00) } I yc = 18, 648 10 8 + 5, 065 10 8 0, 84 10 8 =, 889 10 8 mm 4 I zc = (I zci + A i y i ) = = 1 1 40 3003 + 16000 ( 150 ( 05)) + + 1 36 40 1803 + 37800 ( 360 ( 05)) { π 804 4 + 0106, 193 ( 150 ( 05)) } I zc = 13, 6 10 8 + 9, 76 10 8 0, 930 10 8 =, 094 10 8 mm 4 D ycz c = (D yci zc i + A i y i z i ) = = 0 + 16000 ( 150 + 05) (10 00) + + 1 7 180 40 + 37800 ( 360 + 05) (140 00) {0 + 0106, 193 ( 150 + 05) (150 00)} D yc z c = 0, 693 10 8 + 4, 309 10 8 + 0, 553 10 8 = 5, 555 10 8 mm 4 Pokud vyšel D ycz c > 0, prochází os, k níž je moment setrvčnosti mimální, druhým čtvrtým kvdrntem. Výpočet hlvních centrálních os setrvčnosti hlvních centrálních momentů setrvčnosti: Nejprve určíme úhel pootočení hlvních centrálních os: tg( α 0 ) = Dyczc I zc I yc = 5,555 10 8,094 10 8,889 10 8 = 13, 975 α 0 = 85, 91 α 0 = 4, 96 107

Výpočet hlvních centrálních momentů setrvčnosti: I m,min = Iyc +I zc ± ( Iyc I zc I m,min =,889 108 +,094 10 8 ± ) + D y cz c I m = 8, 061 10 8 mm 4 = I y0 I min = 16, 9 10 8 mm 4 = I z0 Výpočet poloměrů setrvčnosti: 4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY (,889 108,094 10 8 ) + (5, 555 10 8 ) i m = i y0 = i min = i z0 = Im = 8,061 10 8 = 139, 74 mm A 143693,807 Imin = 16,9 10 8 = 108, 5 mm A 143693,807 Vykreslíme elipsu setrvčnosti. Jednotlivé poloměry se vynášejí kolmo n příslušnou osu. y0 y c α 0 i min C i m z0 z c Musí pltit: I yc + I zc = I m + I min, 889 10 8 +, 094 10 8 = 8, 061 10 8 + 16, 9 10 8 44, 983 10 8 = 44, 983 10 8 Příkld 4.1. Určete momenty setrvčnosti k hlvním centrálním osám průřezu vykreslete elipsu setrvčnosti. L 1001006 143 IPN 360 100 43 360 100 [mm] 108

4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY Přehled průřezových chrkteristik jednotlivých profilů: I y = 8, 17 10 6 mm 4 = 8, 17 10 6 m 4 y z I z = 1, 96 10 8 mm 4 = 196 10 6 m 4 A = 9700 mm = 9, 7 10 3 m 6,4 73,6 y z 6,4 73,6 I y = I z = 1, 11 10 6 mm 4 = 1, 11 10 6 m 4 D yz = 6, 5 10 5 mm 4 = 0, 65 10 6 m 4 A = 1179 mm = 1, 179 10 3 m Nejprve určíme polohu těžiště celého průřezu vzhledem k pomocným osám y z: 180 180 6,4 100 73,6 y = y C1 C 1 y C C 45,1 71,5 71,5 z = z C1 z C 6,4 [mm] y c = Σ S z0,i = (Ai y i ) i>1 A Ai y c = 0, 04 m =, 4 mm z c = Σ S y0,i = (Ai z i ) i>1 A Ai z c = 0, 0049 m = 4, 9 mm = 0+1,179 10 3 ( 0,180 0,064) =,433 10 4 9,7 10 3 +1,179 10 3 10,879 10 3 = 0+1,179 10 3 (0,0451) 10,879 10 3 = 5,317 10 5 10,879 10 3 184 y C 66,6 76,4 4,9 C 1,4 C C 40, 33,4 66,6 0 158 z C 100 [mm] 109

4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY Dále vypočteme momenty setrvčnosti deviční moment k těžišťovým osám y c, z c : I yc = Σ i>1 (I yc,i + A i z c,i) = = 8, 17 10 6 + 9, 17 10 3 ( 4, 9 10 3 ) + + 1, 11 10 6 + 1, 179 10 3 (40, 10 3 ) I yc = 1, 14 10 5 m 4 I zc = Σ i>1 (I zc,i + A i y c,i) = = 196 10 6 + 9, 17 10 3 (, 4 10 3 ) + + 1, 11 10 6 + 1, 179 10 3 ( 184 10 3 ) I zc = 4, 189 10 5 m 4 D ycz c = Σ i>1 (D yc,i z c,i + A i y c,i z c,i ) = = 0 10 6 + 9, 17 10 3 (, 4 10 3 ) ( 4, 9 10 3 ) 0, 65 10 6 + 1, 179 10 3 ( 184 10 3 ) (40, 10 3 ) D yc z c = 1, 044 10 5 m 4 Úhel ntočení hlvních centrálních os: tg( α 0 ) = Dyczc I zc I yc = ( 1,044 10 5 ) 4,189 10 5 1,14 10 5 = 0, 0906 α 0 = 5, 177 α 0 =, 589 Výpočet hlvních centrálních momentů setrvčnosti: Iyc +Izc I m,min = ± 1 (Iyc I zc ) + 4 Dy cz c I m,min = 1,14 10 5 +4,189 10 5 ± 1 (1, 14 10 5 4, 189 10 5 ) + 4 ( 1, 044 10 5 ) I m = 4, 36 10 5 m 4 = I y0 I min = 16, 9 10 5 m 4 = I z0 Výpočet poloměrů setrvčnosti: i m = i y0 = i min = i z0 = Im A Imin A = 4,36 10 5 10,879 10 3 = 0, 149 m = 1,095 10 5 10,879 10 3 = 0, 03 m Vykreslení elipsy setrvčnosti: 110

4 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY y 0 α0 =, 589 i m imin y C C z 0 z C 111

5 POMŮCKY 5 Pomůcky 5.1 Pomůck pro vykreslování vnitřních sil Zde uvádíme čtyři zákldní typy ztížení s vykreslením průběhů V M. Při vykreslování vnitřních sil je dobré vědět, že posun křivky mezi ztížením, posouvjící silou ohybovým momentem je vždy o jeden stupeň. Tedy: ztížení osmělou silou nebo momentem V je konstntní M lineární spojité rovnoměrné ztížení V je lineární M prbol spojité lineárně proměnné ztížení V je prbol M prbol 3 F M l l l l R = F R b = F R = M l R b = M l R R R R V V M R b R b M R b l R l R l f f l l R = 1 f l R b = 1 f l R = 1 3 f l R b = 3 f l V R V R l l R b R b M M M m = l 8 f l M m 3 11

5 POMŮCKY 5. Pomůck pro odhd centrální elipsy setrvčnosti V následujících obrázcích jsou nkresleny průřezy skládjící se z jednotlivých čtverců. Byl proveden odhd hlvní centrální elipsy setrvčnosti její vykreslení. Dále je možné pozorovt vliv polohy souřdného systému n znménko devičního momentu určeného k osám y 1 z 1. y 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 D y1 z 1 > 0 D y1 z 1 < 0 D y1 z 1 = 0 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 113

UPOZORNĚNÍ: přes veškerou péči, kterou jsme příprvě sbírky věnovli, se v ní prvděpodobně objevují drobné chyby nebo nejsnosti. Proto vám budeme moc vděčni, když všechny chyby, které ve sbírce objevíte, ohlásíte milem n dresu les.jir@cvut.cz ISBN: 978-80-01-06301-9 Vydání: 1. Dtum poslední revize: 3. prosince 018 Vydvtel: České vysoké učení technické v Prze, Zikov 1903/4, 166 36 Prh 6 Zprcovl: Fkult stvební - ktedr mechniky, Thákurov 6, 166 9 Prh 6 Editoři: Aleš Jír, Dgmr Jndeková, Adél Hlobilová, Elišk Jnouchová Lukáš Zrůbek Poděkování: sbírk příkldů vznikl z podpory RPMT 017 č. 105 1051758A006

FAKULTA STAVEBNÍ ČVUT V PRAZE