Syntetická geometrie I

Podobné dokumenty
Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I

Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:

Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

Syntetická geometrie I

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Obrázek 101: Podobné útvary

Syntetická geometrie II

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Obrázek 34: Vznik středové kolineace

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Syntetická geometrie I

Cesta z roviny do prostoru od vlastností kružnic ke kulové inverzi

5. P L A N I M E T R I E

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

Pomocný text. Kruhová inverze

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

MATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci

5 Pappova věta a její důsledky

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem ( ) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

Shodná zobrazení v rovině

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

Geometrická zobrazení

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Seznam pomůcek na hodinu technického kreslení

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Základy geometrie - planimetrie

Polibky kružnic: Intermezzo

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

17 Kuželosečky a přímky

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

p ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm

Přípravný kurz - Matematika

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

PLANIMETRIE úvodní pojmy

9. Planimetrie 1 bod

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

P L A N I M E T R I E

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Geometrická zobrazení

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

Elementární plochy-základní pojmy

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Extremální úlohy v geometrii

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

RNDr. Zdeněk Horák IX.

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

1. Přímka a její části

Čtyři body na kružnici

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

Trojúhelník. Jan Kábrt

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

1 Připomenutí vybraných pojmů

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,

Digitální učební materiál

Test Zkušební přijímací zkoušky

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

Transkript:

Kruhová inverze Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/

Sférická inverze Autoportrét v kulovém zrcadle M.C.Escher, 1935 Pozor! jen pro ilustraci, inverze a zrcadlení se značně liší

Kruhová inverze Definice (Kruhová inverze) Je dána kružnice z(s, r) v rovině ρ. Kruhová inverze je zobrazení v rovině ρ \ {S}, které každému bodu X S přiřazuje bod X polopřímky SX tak, že platí SX SX = r 2. Kružnice z se nazývá řídící kružnice. Pozn. někdy se definuje SX SX = λ. Body se pro λ < 0 zobrazují na opačných polopřímkach. Pozn. někdy se bodu S přiřazuje (právě jeden) bod v nekonečnu. Samodružné body: body řídící kružnice. Samodružné přímky: přímky procházející bodem S (bez bodu S). Vnitřní body kružnice z se zobrazují na vnější a opačně.

Kruhová inverze Konstrukce (Sestrojte z, je li dáno S, X, X ) Z Eukleidovy věty o odvěsně: 1 k t (S, X) 2 l; l SX, X l 3 Z l k t 4 z(s, SZ ) (resp. zaměnit X, X )

Zobrazení přímky Věta (Obrazem přímky S / p je kružnice) Obrazem přímky p, neprocházející středem S řídící kružnice z(s, r) kruhové inverze, je kružnice p, procházející bodem S (ale bez bodu S). Důkaz Dokazujeme vlastně dvě implikace: 1) Najdeme kružnici, která splňuje, že její body jsou obrazy bodů v inverzi: Sestrojíme patu P kolmice na přímku p vedené bodem S. Najdeme obraz P bodu P a sestrojíme Thalétovu kružnici k t nad průměrem SP. Necht X = k t SX, kde X je libovolný bod na přímce p. Pravoúhlé trojúhelníky SPX SX P jsou podobné dle (u, u) a pro každý bod X platí: r 2 = SP SP = SX SX. Body X jsou obrazy bodů X z definice kruhové inverze.

Zobrazení přímky Věta (Obrazem přímky S p je kružnice) Obrazem přímky p, neprocházející středem S řídící kružnice z(s, r) kruhové inverze je kružnice p, procházející bodem S (ale bez bodu S). Důkaz 2) Dokážeme, že obraz každého bodu kružnice k leží na nějaké kružnici k : Z inverze máme SX SX = SP SP a platí rovnost poměrů SX SP = SP SX. Trojúhelníky SPX a SX P mají společný úhel a jsou si podobné dle (s, u, s). Úhel při vrcholu X v SX P je tedy taky pravý a bod X leží na Thalétově kružnici nad průměrem SP.

Zobrazení přímky Důsledek: Kruhová inverze nezachovává kolineárnost bodů. Zachovává se incidence.

Zobrazení kružnice Věta (Obrazem kružnice S k je přímka) Obrazem kružnice k, procházející středem S řídící kružnice z(s, r) kruhové inverze, je přímka p, neprocházející bodem S. Důkaz Stačí si uvědomit, že kruhová inverze je involuce. Potom je to důsledek předešlé věty.

Zobrazení kružnice

Věta (Obrazem kružnice S / k je kružnice) Obrazem kružnice k, neprocházející středem S řídící kružnice z(s, r) kruhové inverze, je kružnice k, neprocházející bodem S. Důkaz Znovu dokazujeme dvě implikace: 1) Najdeme kružnici, pro kterou to platí: Označme P, Q body kružnice k, které leží na jejím průměru procházejícím středem S řídící kružnice a určeme jejich obrazy P, Q. SP Z inverze platí: SQ = SQ SP a sestrojíme kružnici k nad průměrem P Q. Platí, že kružnice k, k jsou ve stejnolehlosti se středem S. Necht X je libovolný bod kružnice k a Y druhý průsečík k SX, a průsečíky k SX jsou Y, X. Z mocnosti bodu S ke kružnici k platí: SX SY = m = SP SQ. Ze stejnolehlosti k a k platí: SP SY = SQ SX. Dosazením např. pro SY : SX SP SX SQ A body X k jsou obrazy bodů X k. = SP SQ SX SX = SQ SQ = r 2

Věta (Obrazem kružnice S / k je kružnice) Obrazem kružnice k, neprocházející středem S řídící kružnice z(s, r) kruhové inverze, je kružnice k, neprocházející bodem S. Důkaz 2) Dokážeme, že obrazy bodů kružnice k v inverzi leží na nějaké kružnici k. Stejně jako v 1) označme P, Q body kružnice k, které leží na jejím průměru procházejícím středem S řídící kružnice a určeme jejich obrazy P, Q. Necht X je libovolný bod kružnice k a Y druhý průsečík k SX, jejich obrazy jsou X, Y. Z inverze platí: SP SX = SX SQ SP a taky SX = SX SQ a dvojice trojúhelníků PSX X SP a QSX X SQ se společným úhlem ve vrcholu S jsou si podobné. Platí tedy, že SX P SX Q = SPX SQX = π QPX PQX = π 2. Bod X tedy leží na Thalétově kružnici nad průměrem P Q.

Zobrazení kružnice

Samodružné kružnice Věta (Samodružné kružnice) Řídící kružnice a kružnice, které jsou kolmé na řídící kružnici, jsou samodružné v kruhové inverzi. Důkaz Necht T je průsečík kružnice k a řídící kružnice z. ST je tečna kružnice k. Bodem S ved me libovolnou sečnu s kružnice k : X, Y k s. Z mocnosti bodu S ke kružnici k platí SX SY = ST 2 = r 2. Bod X je v inverzi obrazem bodu Y a opačně.

Kruhová inverze Věta (Konformita kruhové inverze) Kruhová inverze je konformní zobrazení, t.j. zachovává úhly.

Zobrazení kružnice

Kruhová inverze

Kruhová inverze

Kruhová inverze

Kruhová inverze

Kruhová inverze Příklad (1) Je dána řídící kružnice z(s, r), kružnice n(n, r n ), která je uvnitř z a S n a kružnice m(m, r m ), která má vnější dotyk s kružnicí n. Sestrojte obrazy kružnic m, n v kruhové inverzi.

Kruhová inverze Příklad (2 - cv.) Je dán ABC. 1 Sestrojte jeho obraz v kruhové inverzi, kde řídící kružnice, je kružnice trojúhelníku vepsaná. 2 Sestrojte dále obraz kružnice opsané v dané kruhové inverzi. 3 Určete poloměry kružnic, které jsou obrazy přímek AB, BC, AC a kružnice opsané ABC.