Národí iformačí středisko ro odoru kvality
Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR
UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3
UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI Předokládá se : ormálí rozděleí N(, ) sledovaého zaku jakosti; k odskui stejého rozsahu jedotek ( k* = N ). USL 6 LSL s R/d ; s/4 ; k k sj j Průměrá směrodatá odchylka s charakterizuje variabilitu uvitř k odskui stejého rozsahu. Roztyl roztylem j-té odskuiy a odskuiách. s k k s j j s j (ij j) j ro j =,,..., k je je růměrá směrodatá odchylka v k 4
- roces eí zůsobilý (USL - LSL) = 4 = 0,67 0,45 0,40 0,35 LSL USL 0,30 0,5 4 0,0 0,5 0,0 0,05,8%,8% 0,00-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 5
= - roces je blízký zůsobilosti (USL - LSL) = 6 =,0 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 LSL 6 USL 0,0 0,05 0,3% 0,3% 0,00-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 6
,33 - roces je zůsobilý (USL - LSL) = 8 =,33 0,45 0,40 0,35 LSL USL 0,30 0,5 8 0,0 0,5 0,0 0,05 3 m 3 m 0,00-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 7
,67 - roces je zůsobilý (USL - LSL) = 0 =,67 0,45 0,40 0,35 LSL USL 0,30 0,5 0 0,0 0,5 0,0 0,05 0,3 m 0,3 m 0,00-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 8
k mi USL 3, LSL 3 s R/d ; s/4 ; k k sj j k j k j 9
=,67 - zůsobilé rocesy, šatě cetrovaé k = 0 ; k =,67 ; k = 0,33 0 0
0,45 0,40 0,35 L U 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 6-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0,33,00 0,66 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 5 3-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0,33,67,00 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 4 4-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 0,33,33,33 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 3 5-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 -,33,00,67 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 6-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 LSL USL -,33 0,66,00
UKAZATEL ZPŮSOBILOSTI eřihlíží k otázce cetrováí rocesu. harakterizuje ouze ČEHO JSME SHOPNI DOSÁHNOUT UKAZATEL ZPŮSOBILOSTI k řihlíží k dosažeému stui cetrováí rocesu. harakterizuje ČEHO JSME SKUTEČNĚ DOSÁHLI
INTERPRETAE VLASTNOSTÍ UKAZATELŮ ZPŮSOBILODSTI A VÝKONNOSTI. Všechy ukazatele zůsobilosti a výkoosti jsou bezrozměré veličiy.. Má-li áhodá veličia ormálí rozděleí N(, ) a roces robíhá za ůsobeí ouze áhodých říči variability, t.j. roces je ve statisticky zvládutém stavu z hlediska růměru rocesu je cetrová (tedy latí = (USL + LSL) / a z hlediska variability má stálou a zámou směrodatou odchylku, otom a) garace, ař. ři =, vyjadřuje, že odíl eshodých v rocesu bude v růměru 0,7 % a ikoliv, že odíl eshodých v rocesu eřesáhe 0,7 % ; b) jakost odhadu ukazatele, k závisí a jakosti odhadu říslušé směrodaté odchylky. 3
DOHODA MEZI ODBĚRATELEM A DODAVATELEM Při každém vyšetřováí zůsobilosti, ožadovaém zejméa odběratelem je uto staovit (dohodout): odmíky eerimetu, jako ař.: očet odskui, rozsah odskui, kotrolí iterval, zůsob odběru vzorků, secifikace, metodu statistické regulace; ostu zracováí výsledků, jako ař.: zůsob odhadu směrodaté odchylky, aalytický tvar ukazatele zůsobilosti, kofidečí úroveň -. 4
Hustoty rozděleí ravděodobosti odhadů koeficietů 5
Tvary hustot Tvar hustoty rozděleí ravděodobosti odhadu závisí a tyu odhadu arametru σ. σ je odhaduta z ozorováí. σ je odhaduta z ozorováí ve skuiách: a) a základě rozětí ve skuiách b) a základě směr. odchylky ve skuiách 6
) Náhodý výběr,,..., z rozděleí zaku jakosti N(, ) s odhadem směrodaté odchylky s, s i i, ak Ĉ USL LSL 6s s. Tvar hustoty kde f Ĉ ; () e ro > 0, f Ĉ () 0 ro 0. 7
Nař. ro = 50, =,33 jsou kvatily : ( ) 0,0,076 0,05, 0,05,43 0,5,339 0,95,598 0,975,657 0,99,73 8
Tvary hustoty odhadu Ĉ ro růzé očty ozorováí; odhad s 4,0 3,5 3,0,5,0,5 =,33 ; = 75 =,33 ; = 50 =,33 ; = 5 =,67 ; = 75 =,67 ; = 50 =,67 ; = 5,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4,6,8 9
a) Výběr je rovede z odskui o rozsahu, k disozici je k odskui ozorováí ij, i =,,..., k ; j =,,...,. Směrodatá odchylka je odhadováa omocí odhadu kde, R i = ma ij - mi ij. Hustotu lze ak aroimovat tvarem: s R R d (), f Ĉ e k k ro > 0, f Ĉ 0 ro 0. Koeficiety a jsou tabelováy v závislosti a rozsahu odskuiy. Platí E R i, D R i. 0
Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: ( ) 0,0,045 0,05,08 0,05,5 0,5,330 0,95,649 0,975,78 0,99,830
Tvary hustoty odhadu odhad Ĉ ro růzé očty ozorováí; R d () 3,5 3,0,5 =,33 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5 =,67 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5,0,5,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4,6,8 3 3,
Tabulka koeficietů a,8 0,853 3,693 0,888 4,059 0,880 5,36 0,864 6,534 0,848 7,704 0,833 8,847 0,80 9,970 0,808 0 3,078 0,797 3,73 0,787 3,58 0,778 3 3,336 0,770 4 3,407 0,76 5 3,47 0,755 6 3,53 0,749 7 3,588 0,743 8 3,640 0,738 9 3,689 0,733 0 3,735 0,79 3
4 b) Výběr je rovede z odskui o rozsahu, k disozici je k odskui ozorováí ij,, i =,,..., k ; j =,,...,. Směrodatá odchylka je odhadováa omocí odhadu kde,. Hustotu lze ak aroimovat tvarem: ro > 0 ro 0 kde a () s s 4 s i s i k s j i ij i s b a k Ĉ k b a e f 0 f Ĉ ) ( a ) ( b,,,.
Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: ( ) 0,0 0,965 0,05,009 0,05,050 0,5,330 0,95,85 0,975,95 0,99,37 5
Tvary hustoty odhadu odhad Ĉ ro růzé očty ozorováí; s () 4,5,0,5 =,33 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5 =,67 ; = 5 k = 5 k = 0 k = 5,0 0,5 0,0 0,7 0,9,,3,5,7,9,,3,5,7,9 3, 3,3 3,5 3,7 3,9 6
Tvary hustoty odhadu ro = 5; k = 0; (tj. N = 00) a =,33; Ĉ R odhady s,, d () s 4() 4,5 4,0 3,5 3,0,5 s R d () s () 4,0,5,0 0,5 0,0,,4,6,8,,4 7
Hustota sti ro odhad ukazatele =,33 ři užití rozětí R, k=5, =4 3.549 4 3 f( ) 0 0 3 %-kvatil =, 0.5 3 99%-kvatil=,66 8
Hustoty rozděleí ravděodobosti odhadů koeficietů k 9
Odhad je založe a výběru,,..., či a výběru seskueého do tříd získaého měřeím zaku jakosti, který lze osat ormálím rozděleím N(, ). Platí kde K USL k = (-K), LSL, = 0.5 (USL LSL), tudíž Ĉ ( Kˆ ) k Ĉ, kde Kˆ USL LSL. Důležité: veličiy Kˆ a jsou ezávislé, vycházíme-li z N(, ). Ĉ 30
Oět máme tři možosti jak odhadout :. je odhadut omocí s,. je odhadut omocí s R, s s ( j ) j R R d ().. 3. je odhadut omocí s s, s s s () 4. Koeficiety d () a 4 () jsou tabelováy, ař. viz ČSN ISO 858. 3
Tvar hustoty rozděleí ravděodobosti ro veličiu Kˆ :. ro říad s : f Kˆ () 6 6 T 6 T kde T USL LSL, = 0.5 (USL LSL), t e t Uvažujeme kde f Ĉ () e ro > 0,. 3
. ro říad s R či s s : f Kˆ () 6 k 6 k T 6 k T kde k je očet odskui, je rozsah odskuiy. V říadě s R je f Ĉ e k k ro > 0 ; v říadě s s je f Ĉ e k a b a b k ro > 0. Uvažovaé koeficiety,, a a b byly již defiováy. Defiičí obor hustoty ravděodobosti () je ( -,. Mimo teto obor je vždy () = 0. f Kˆ f Kˆ 33
Obecý vzorec ro hustotu ravděodobosti odhadů Ĉ k je: f Ĉ k () u f Ĉ (u) f Kˆ u du ro > 0, f Ĉ k () 0 u f Ĉ (u)f Kˆ u du ro 0. Problém je v tom, že ěkteré vzorce ro hustotu f Ĉ k vyjádřit elicitě, roto uvedeme jejich grafické vyjádřeí. ( ) elze 34
Ad ) Nař. ro = 50, =,33 jsou kvatily: k ( ) 0,0,059 0,05,094 0,05,6 0,5,30 0,95,577 0,975,635 0,99,708 35
Tvary hustoty odhadu Ĉ k ro říad odhadu s 4,0 3,5 3,0,5 =,33 = 5 = 50 = 75 =,67 = 5 = 50 = 75,0,5,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4,6,8 3 Pozámka: = 0; LSL = -; USL = + 36
Ad ) Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: k ( ) 0,0,08 0,05,064 0,05,098 0,5,3 0,95,66 0,975,705 0,99,806 37
Tvary hustoty odhadu Ĉ k ro říad odhadu s R 3,5 3,0,5 =,33 =,33 5 = 50 5 = 75 50 = 75 =,67 k =,67 = = = 505 = = 7550 = 75,0,5,0 0,5 0,0 0,8,0,,4,6,8,0,,4,6,8 3,0 Pozámka: = 0; LSL = -; USL = + 38
Ad 3) Nař. ro k = 0, = 5, =,33 jsou kvatily: k ( ) 0,0 0,95 0,05 0,994 0,05,034 0,5,3 0,95,790 0,975,94 0,99,08 39
Tvary hustoty odhadu Ĉ k ro říad odhadu s s,5,0,5 =,33 = 5 = 50 = 75 =,67 = 5 = 50 = 75,0 0,5 0,0 0,5 0,7 0,9,,3,5,7,9,,3,5,7,9 3, 3,3 3,5 3,7 3,9 4, 4,3 4,5 Pozámka: = 0; LSL = -; USL = + 40
Tvary hustoty odhadu ro = 5; k = 0; (tj. N = 00) a =,33; Ĉ k R odhady s,, d () s 4() 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0,5 s R d () s () 4,0 0,5 0,0 0,8,,4,6,8,,4 4
Hustota sti ro odhad k=,064 ři užití rozětí R, k=5, =4 k=(-k) K=(μ-T)/Δ 5 5 4 ( ) 3 0 0 0 3 %-kvatil= 0,874 0 3 99%-kvatil=,34 4
Testováí zůsobilosti výrobího rocesu 43
Nejjedodušší říad: jedoduchá hyotéza H : = 0 (eí zůsobilý), jedoduchá alterativa A : = (je zůsobilý), budeme ředokládat, že 0 <, ař. 0 =,33, =,67. Odhad ukazatele je získá vždy ze stejého očtu měřeí, těchto úseků měřeí je k a ředokládáme, že jsou avzájem ezávislé a ocházejí z N(, ). V každém úseku měřeí je získá jede odhad ukazatele a základě odhadu směrodaté odchylky s i (i ) i, je rozsah ozorováí v každém úseku. 44
45 Vyjděme z tvaru hustoty rozděleí ro odhad : (v rámci jedoho úseku). Pak sdružeá hustota (řes k úseků) má tvar Test je odvoze od logaritmu věrohodostího oměru který má elicití tvar (*) Ĉ 0 Ĉ e () f k i i Ĉ k Ĉ ) ( f ),...,, ( f H A,...,, f,...,, f l 0 k i 0 i l k,..
46 Kritická oblast ro zamítutí hyotézy H (a hladiě výzamosti ) má tvar: kde k je (- )% - í kvatil rozděleí testové statistiky (*) ři latosti hyotézy H. Lze sado uravit a tvar: Protože ak erovost lze vyjádřit jako k l k 0 k i 0 i k i i 0 0 k l ) k( i i s Ĉ k i 0 i 0 0 s k l ) k (,..
Tudíž k 0 si k( ) l k ( ) 0 0 i. Za ředokladu ormality má veličia a ravé straě erovosti (k(-)) rozděleí. Tedy hyotéza H se zamítá a hladiě výzamosti, když k i ( s ) i q (k( )) kde q (k(-)) je %-í kvatil (k(-)) rozděleí, které jsou tabelováy. Odtud ihed, k k( )l 0 0 0 q (k( )). 47
Fiálí tvar kritické oblasti: kde je odhad koeficietu z i-tého úseku. Nejobvyklejší říad je k =. Hyotéza H se a základě měřeí zaku jakosti zamítá a hladiě výzamosti eboli Ĉ i ( ( ) i k, když ) Ĉ 0 q (k( Ĉ )) 0 Ĉ 0 i q ( q ( ) ).,, Nař. ři = 0,05 a = 50 se hyotéza H : = 0 zamítá, když 49 Ĉ 0 0,07 33,93 ři 0 =,33 máme rávo hyotézu H zamítout, když,5983. Ĉ 48
o z toho lye?. Kritická oblast ezávisí a, tz. že je stejá ro všechy hodoty > 0. Tím vlastě testujeme jedoduchou hyotézu H : = 0 roti složeé alterativí hyotéze A : > 0.. I když bude aměřeá hodota a hyotézu H : = 0 tím ezamítáme, ezameá to, že hyotéza = 0 musí již latit. Bude-li ař. 0 =,33, Ĉ =,45, = 50, = 0,05, ak je sice Ĉ =,45,5983 a hyotézu ezamítáme, ale a základě týchž dat ezamítáme ai hyotézu ař. H : 0 =,5, rotože Ĉ 0 q ( ) 49,45,5 =,50. 33,93 49
ožaduje, aby 3. V rai se ři ožadavku a, ař. =,33 Ĉ,33. Z ředchozího je vidět, že teto ožadavek ám ezaručuje, že skutečě =,33. Terve hodota větší ežli 0 q ( ) ám zaručuje zamítutím hyotézy =,33 (ale oět e 00%-ě), že > 0 a lze ak tvrdit, že roces má zůsobilost větší ežli je hodota koeficietu ři ulové hyotéze. 50
Jaké máme záruky ři zamítutí hyotézy? H: = 0? Míra záruky je dáa očtem ozorováí. Čím více ozorováí (čím větší ), tím je větší záruka, že hyotézu zamíteme, když skutečě elatí (souvisí s tzv. silou testu -, kde je tzv. ravděodobost chyby. druhu, se kterou hyotézu H ezamíteme, i když tato elatí). Na druhou strau každý test je soje i s tzv. ravděodobostí chyby. druhu (hladia výzamosti), se kterou je hyotéza H : = 0 zamítá, i když tato latí. Tedy s ravděodobostí - se očekává, že okud roces je a úroví = 0, teto stav bude a základě měřeí deteková. 5
Síla testu - bude vyjadřovat řáí zákazíka, aby test s touto ravděodobostí detekoval stav rocesu, ař. ři hodotě =, kde samozřejmě > 0 (tedy ař. ři 0 =,33 a =,67). Jiými slovy, když skutečě bude roces a úrovi =, aby tato úroveň byla zamítuta s ravděodobostí. Jak toho dosáhout? Odověď: Zaručeím miimálího očtu ozorováí. 5
Máme určeo: 0,,,. Jaký má být očet ozorováí, aby test hyotézy H : = 0 roti alterativí hyotéze A : > 0 toto slňoval? Pravděodobost chyby. druhu vyjadřuje ožadavek, aby P Ĉ 0 ( ) 0 a současě chceme, aby síla testu byla -, tj. aby, P Ĉ. ( ) 53
Z toho lye, že musí latit erovost čili v krajím říadě 0 ( ) ( ), 0 ( ( ) ). Z tohoto vztahu lze určit ožadovaý očet ozorováí. 54
Při volbě = je miimálí očet ozorováí urče jedozačě: Tabulka. = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 0,5 3, 0,73,7 30,55,87 40,46,7 50,40,6 60,36,54 = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 00,6,39 0,4,35 40,,3 60,0,30 80,9,8 00,7,6 70,33,49 80,30,45 90,8,4 55
Tabulka. = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 = = 0,05 / 0 = = 0,0 / 0 0,645,08 0,37,58 30,8,43 40,3,35 50,0,30 0,,75 40,,6 60,0,5 80,095,4 00,09,3 60,8,7 70,65,4 80,5, 90,4, 00,3,0 56
Příklad. Pokud chceme zajistit, aby áš roces slňoval ožadavek > 0 =,33 a hladiě výzamosti = 0,05 a se silou testu - = 0,95 ři =,67, je uté vzít ejméě (viz. Tabulka.) 0,67,33,6, čemuž odovídá = 00 ozorováí a hyotéza H: =,33 se zamítá a hladiě výzamost 0,05, okud aměřeá hodota řekročí hraici (viz Tabulka.) Ĉ,33,3,509. Terve ak lze garatovat téměř s jistotou, že skutečě zůsobilost tohoto rocesu je větší ežli,33. 57
Lze ostuovat ři testováí zůsobilosti výrobího rocesu i aoak, totiž tím zůsobem, že řehodíme roli hyotézy a alterativy z ředchozí aalýzy. Oět vyjdeme z jedoduché hyotézy H: =, roti jedoduché alterativě A: = 0, kde yí ale > 0. Tedy hyotéza vyjadřuje zůsobilost rocesu, ale alterativa jeho ezůsobilost. Obdobým zůsobem jako ři ředchozím testováí omocí věrohodostího oměru dosějeme k ásledujícímu tvaru kritické oblasti: Hyotéza o zůsobilosti a úrovi se zamítá, když k i q ) i (Ĉ (k( )), kde (Ĉ ) i je odhad koeficietu z i-tého úseku, je rozsah ozorováí v každém úseku, je kladia výzamosti testu a q - (k(-)) je (- ) % - í kvatil (k(-)) rozděleí. 58
Oět v rai bývá ejčastější říad s k =, ak hyotéza H: = se zamítá a hladiě výzamosti, když: Ĉ q ( ). Proces tedy lze ovažovat za zůsobilý a úrovi =, když bude latit oačá erovost: Ĉ q ( ). Nař. ři = 50, = 0,05 to zameá, že ři =,33 musíme odhad Ĉ dostat ad mez 49 Ĉ,33,43. 66,34 Při =,67 emáme důvod hyotézu o zůsobilosti zamítout (ři = 50, = 0,05), když bude Ĉ,435. 59
Oět je uté zdůrazit, že tvar kritické oblasti ezávisí a hodotě 0 v alterativě, tudíž teto test lze současě okládat za test jedoduché hyotézy H: =, roti složeé alterativě A: <. Teto ostu ři testováí zůsobilosti výrobího rocesu by se měl rovádět v rai, eboť okud je roces a úrovi zůsobilosti =, ak hodoty odhadů kolísají kolem této hodoty s jistou mírou variability, která je ředevším odvislá od očtu ozorováí, z ichž se odhad Ĉ očítá. Ĉ 60
Závěr. Kdy a jak vůbec hodotit zůsobilost rocesu?. Sledovaý zak jakosti musí být osatelý ormálím rozděleím.. Proces musí být statisticky zvládutý, tedy stabilizovaý a hlídaý omocí regulačích diagramů. 3. Musí být staoveo, kolik ozorováí budeme oužívat ro výočet odhadu. Ĉ 4. Musí být staoveo, jak často budeme zůsobilost odhadovat. 5. Používat statistické testy ro hodoceí zůsobilosti, rotože ouhé slěí ožadavku Ĉ 0 (ožadovaá úroveň) estačí ro garaci této úrově. 6
UKAZATELE VÝKONNOSTI Má smysl za ředokladu: ormálí rozděleí N(, ) sledovaého zaku jakosti; jede áhodý výběr rozsahu N. P USL 6 LSL tot tot s tot N i N i tot N tot i N i elková směrodatá odchylka s tot charakterizuje celkovou variabilitu ve výběru N ozorováí (okud je výběr rozděle do k odskui stejého rozsahu je N = k*). 6
UKAZATELE VÝKONNOSTI Neředokládá se : ormálí rozděleí sledovaého zaku jakosti. Uvažuje se jede áhodý výběr rozsahu N. P USL U LSL L U je 99,865 % -í kvatil L je 0,35 % -í kvatil Jedá se o kvatily aktuálího rozděleí sledovaé jakostí vlastosti. Tyto kvatily odovídají 3 u ormálího rozděleí N(, ). 63
P k mi USL U Me Me, Me Me LSL L Me je mediá P M 6 U USL L / 6 LSL Me T 64
P mi USL k 3 tot 3, LSL tot tot s tot N i N i tot N tot i N i 65
UKAZATELE VÝKONNOSTI VYHÁZEJÍ Z ELKOVÉ VARIABILITY PROESU ZA DELŠÍ OBDOBÍ UKAZATEL VÝKONNOSTI P eřihlíží k otázce cetrováí rocesu. harakterizuje ČEHO JSME SHOPNI DLOUHODOBĚ V PROESU DOSÁHNOUT UKAZATEL VÝKONNOSTI P k řihlíží k dosažeému stui cetrováí rocesu. harakterizuje ČEHO JSME SKUTEČNĚ DLOUHODOBĚ V PROESU DOSÁHLI 66
67