Přednáška 07 Rovinná napjatost nosné stěny Rovinná deformace Hlavní napětí Mohrova kružnice Metoda konečných prvků pro rovinnou napjatost Laméovy rovnice Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague Faculty of Civil Engineering Department of Mechanics Czech Republic Permission is granted to copy distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections no Front-Cover Tets and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
Vícerozměrné úlohy pružnosti Jednorozměrná úloha (1D) prut. Přímá či zakřivená střednice spojuje těžiště průřezů. Vnitřní síly a deformační parametry závisí na pouze souřadnici. Souřadnice yz vystupují nezávisle na průřezech. Trojrozměrná úloha (3D) napětí a deformace závisejí na souřadnicích yz. Obecně 15 neznámých 3 neznámé posuny uvw 6 složek deformací ε ε y ε z γ y γ z γ yz 6 složek napětí σ σ y σ z τ y τ z τ yz K dispozici 15 rovnic: 3 statické rovnice 6 geometrických rovnic 6 fyzikálních rovnic
Vícerozměrné úlohy pružnosti Dvojrozměrná úloha (D) rovinná nebo zakřivená střednicová plocha. Rozměr kolmý na střednicovou plochu je výrazně menší než její rozměry. Stěna rovinný D prvek zatížený pouze ve střednicové rovině. Deska rovinný D prvek zatížený pouze kolmo na střednicovou rovinu. Skořepina zakřivená střednicová plocha. Stěna Deska Skořepina 3
Rovinná napjatost stěna Zvláštní případy D úlohy y =0 z y Stěna z 0 y =y = yz =0 y z 0 y = yz =0 y Rovinná deformace přehrada dlouhá opěrná zeď zemní kolektor dlouhé potrubí z y =0 y z 0 y = yz =0 z 0 y =y = yz =0 4
Zatížení v rovině z Napětí ve stěně y z Zatížení dz Elementární dílek stěny t d Podpora Nenulové složky napětí (síly na jednotku plochy N/m =Pa) Měrné vnitřní síly (síly na jednotku délky N/m = Pa m) n z q z z n q z σ σ z τ z =τ z n n z q z =q z Normálová napětí Smyková napětí 5
Napětí a vnitřní síly ve stěně Uvažujme stěnu o konstantní tloušťce. Napětí je rozloženo rovnoměrně po tloušťce stěny. z = n t t / n = t / dy =t = n z t t / n z = t / dy=t n z = q z t t / q z = t / t / q z = t / q z =z = q z t dy=t z dy=t z n q z q z =q z 6
Rovnováha elementárního dílku směr 0 / t z 0 / t z [ 0 ] 0 / t X 0 t 0 / t Podmínka rovnováhy: : 0 / t 0 / t 0 / t 0 / t X 0 t =0 :t 7
Rovnováha elementárního dílku směr 0 / 0 / 0 / 0 / X 0 =0 0 / 0 z 0 0 0! z X=0 Cauchyho (statická) rovnice rovnováhy pro rovinnou napjatost Analogické odvození ze součtové podmínky ve směru z z z Z =0 8
Rovnováha elementárního dílku Momentová podmínka rovnováhy ke středu dílku 0 / t z z 0 / t z [ 0 ] z 0 / t 0 / t : 0 / t 0 / t z 0 / t /z 0 t =0 : t 9
Věta o vzájemnosti smykových napětí 0 / 0 / z 0 / z 0 / =0 0 / 0 0 0 z 0 =z 0! z Věta o vzájemnosti smykových napětí z =z z z z Analogickým odvozením platí věta o vzájemnosti smykových napětí i pro další komponenty ve víceosé napjatosti: τ y = τ y τ yz = τ zy. 10
Transformace složek napětí z z' α ' z d z z α z dz α dz' z ': dz dzz d cos d z dzsin =0 dz=dz cos d=dz sin = cos z sin cos sin z sin cos = cos sin z sin 11
Transformace složek napětí z' α ' z d z α z dz α dz' z': z dz dzz dsin dz dz cos=0 dz=dz cos d=dz sin = cos sin z sin sin cosz cos z z = z sin z cos Na rovnoběžném řezu s osou ' lze analogicky odvodit = sin cos z sin 1
Transformace složek napětí Mohrova kružnice cos = 1cos sin = 1 cos = cos sin z sin = 1 1cos 1 1 cosz sin = 1 1 cos z sin Etrémní hodnoty napětí σ ' se nazývají hlavní napětí σ 1 a odpovídají úhlům α 1. d d =0= sin cos z z tan = z 1 = 1 arctan z 1 13
Mohrova kružnice normálová a smyková napětí = z = cos z sin sin z cos τ z ' α=0 0 α=30 0 z z z cos z sin σ ' sin z cos z 14
Mohrova kružnice etrémní normálová napětí 1 = ± z Hlavní napětí se obvykle seřadí dle velikosti 1 τ z ' z' α 1 ' 1 α 1 1 z =0 Vektory hlavních napětí jsou na sebe kolmé (ortogonální). 1 = 1 arctan z 1 =arctan 1 z σ z 1 σ ' z z σ 1 =arctan z z =0 15
Mohrova kružnice etrémní smyková napětí ma min =± z τ ma z' α 1 ' α 3 z 34 = 1 arctan = z 45 o = 1 z z 4 σ ' 3 Ve všech případech platí invariant = 1 τ min 16
Složky deformace dz z ε normálová deformace d (1+ε )d d ve směru (změna objemu) dz d (1+ε z )dz ε z normálová deformace ve směru z (změna objemu) α γ z zkosení v rovině z dz d β z = smyková deformace (změna úhlu stejný objem) 17
Geometrické rovnice protažení u 0 / z [ 0 ] u 0 / u = lim 0 = u u = lim 0 u 0 / u 0 / Analogicky lze odvodit = w z 18
Geometrické rovnice zkosení u 0 / z [ 0 ] β α w β u u u 0 / tan = lim 0 = u 0 z u = lim 0 u 0 / u 0 / analogicky = w 0 z = 1 tan z = u z w Celkem máme 3 geometrické rovnice pro rovinnou úlohu. 19
Materiálové rovnice pro lineární isotropní materiál Jednoosé namáhání ve směru a z z =E = 1 E = E = 1 E = = E = = E Dvojosé namáhání v rovině z = 1 E E = 1 E = 1 E E = 1 E 0
Materiálové rovnice pro lineární isotropní materiál Smykové namáhání z =G z G= E 1 modul pružnosti ve smyku Maticové vyjádření pro rovinnou napjatost { 1 E z}= [ 1 0 1 0 0 0 1]{ z} { z}= E 1 [1 0 ]{ 1 0 1 0 0 z} =C =D Zobecněný Hookeův zákon C matice poddajnosti elastického materiálu D matice tuhosti elastického materiálu 1
Příklad určete posuny a napětí na okrajích stěny z f 1 AB: u=w=0 σ σ z τ z obecné D C A B f BC: uw obecné : =0 z: z =f obecné CD: uw obecné z t : z =0 obecné z: = f 1 z z z DA: uw obecné : =0 z: z =0 obecné
Řešení rovinné napjatosti pomocí metody konečných prvků Výpočet stěn pomocí MKP publikován v roce 1960 1 Neznámé pole uw které se aproimují po prvcích Nejjednodušší prvek (CST) obsahuje lineární aproimace z 1 1 u 1 w 1 u w N 1 N N 3 1 u 3 w 3 Dělení na prvky u z N 1 z u 1 N zu N 3 zu 3 w z N 1 z w 1 N z w N 3 z w 3 r={u 1 u u 3 w 1 w w 3 } T u N r 1 R. W. Clough The Finite Element Method in Plane Stress Analysis. Proceedings American Society of Civil Engineers Second Conference on Electronic Computation Pittsburgh 1960. 3
Řešení rovinné napjatosti pomocí metody konečných prvků u z = N 1 u 1 N u N 3 u 3 w z = N 1 z z w 1 N z w N 3 z w 3 u z w z z = z Aproimace deformací { N 1 z u 1 N z u N 3 z u 3 N 1 w 1 N w N 3 w 3 N 1 N z}=[ 0 0 0 N 1 z N z N 3 N 3 z 0 0 0 N 1 z N 1 N z N ] N 3 z N 3 {u1 u u 3 w 1 w w 3} Maticově =B r 4
Metoda konečných prvků princip virtuálních posunů W int =W et Princip virtuálních prací (zde Lagrangeův princip virtuálních posunů) obecný princip rovnováhy W = int z d = T d W et = uf w f z d = u N r u N r B r B r =D D B r u T f d Virtuální práce vnitřních sil Virtuální práce spojitého zatížení na hranici další zatížení neuvažováno Aproimace pole posunů napětí a deformací pro skutečný a virtuální stav r T B T DB r d = r T N T f d N T f d B T DB d r= K r=f Virtuální práce platí pro libovolné virtuální posunutí. Řešení vede na soustavu algebraických rovnic. K matice tuhosti konstrukce f vektor zatížení Metoda vážených reziduí s Galerkinovou metodou nebo princip minima potenciální energie poskytují stejné závěry. 5
Metoda konečných prvků příklad Určete velikost prvku matice tuhosti k 11 z k 11 m 1=u 1 =u 1 E=9.1 GPa ν=0.3 tloušťka 0.1 m T d =u T k 11 1 m N 1 =1 0.5 N 1 = 0.5 N 1 z =0 = = 0.5 =z =0 { z}= d =1 k 11 k 11 =0.1 0.5 5000 da=50 MN/m A [ 9100 1 0.3 1 0.3 0 0.3 1 0 0 0 0.35]{ 0.5 } 0 0 = 5000 MPa = 1500 MPa z =0 Konstantní ε a σ po prvku. 6
10 kn/m tloušťka = 0.1 m m 0 0 m z Deformace zvětšeny 3000 E=30 GPa ν=0.3. Hlavní napětí v uzlech sítě 7
Singulární body v napětí rovinná napjatost V singulárních bodech je nekonečně velké napětí podle teorie elasticity. Při výpočtu metodou konečných prvků a při použití elastického materiálového modelu dochází k nárůstu napětí při zjemňování sítě napětí diverguje. Napětí v singulárním bodě nelze přímo použít pro dimenzování. V reálném materiálu se díky plasticitě napětí otupí a redistribuuje se po okolí. Např. v železobetonu se okolí singulárních bodů více vyztuží. α>180 o α>180 o 8
10 kn 0.3 m 1 m 0.3 m 0.6 m 1 m Tloušťka 0.1 m E=30 GPa ν=0.3 Singulární body v napětí Hlavní napětí v uzlech sítě 9
Základní rovnice pro rovinnou napjatost Přemístění u w [ E 1 [ E z 1 u w z ] z [ u w z ] E u 1 z w ] X =0 [ E u 1 z w ] Z =0 Laméovy rovnice Vnější síly X Z Geometrické rovnice Statické rovnice = u z = u z w = w z Přetvoření z Materiálové rovnice = E 1 z = E 1 z = E 1 z z X=0 z z Z =0 Napětí z 30
Otázky 1. Popište rozdíl mezi rovinnou napjatostí a rovinnou deformací. Jaké složky napětí a deformace jsou nulové?. Nakreslete Mohrovu kružnici pro případ tzv. ryzího smyku kdy σ =σ z =0 a τ z 0. Najděte etrémní hodnoty normálových a smykových napětí a úhly při těchto napětích. 3. Na taženém prutu který je modelován jako stěna ukažte vliv Poissonova čísla na velikosti příčných posunů. 4. Z jakých principů vychází metoda konečných prvků? Které podmínky musí splňovat virtuální pole posunutí? Které neznámé hledáme? Jak se sestaví matice tuhosti prvku? Co znamenají její jednotlivé členy? 5. Co jsou singulární body při řešení rovinné napjatosti? Uveďte příklady pro reálné nosné stěny. 6. Nakreslete statické a kinematické okrajové podmínky na stěně. Které napětí a deformace jsou nulové na volném okraji stěny? 7. Definujte následující konstanty/proměnné popište jejich význam fyzikální smysl a v kterých rovnicích vystupují: u ε γ z ν E G X. Vytvořeno 04/011 v OpenOffice 3. Ubuntu 10.04 Vít Šmilauer ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami. 31