projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická geometrie roině: definice, odchylky, zdálenosti, zájemné polohy. Materiály jso rčeny pro bezplatné požíání pro potřeby ýky a zděláání na šech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další yžití podléhá atorském zákon.
Analytická geometrie roině: definice, odchylky, zdálenosti, zájemné polohy Vektor je množina sohlasně orientoaných úseček téže elikosti. Každá z těchto úseček je jeho místění. Vektor je zadán elikostí, směrem, orientací. Pokd = AB, pak x B x A ; y B y A. Délka ektor AB AB xb x A y B y A. Operace s ektory: 1) násobení racionálním číslem 1; 1 1 1 1; 1 ) sčítání ektorů 1 ; ; 1 ; 1 1 ; pro sčítání ektorů platí AC CB AB ) rozdíl ektorů 1 1 ; - 4) skalární sočin cos 11
Přímka 1) Obecná ronice přímky: ax by c 0 (směroý ektor (- b; a), normáloý ektor n (a; b) ) p p y ) Směrnicoá ronice přímky: y = px + q p...směrnice přímky, tangens úhl, který sírá přímka s kladným směrem osy x α x O ) parametrická ronice přímky: X = A + t procházející bodem A(xA; ya) a ronoběžná s ektorem (1; ) x x A t 1 tedy: y y A t t R (pro polopřímk t 0;, pro úsečk t 0;1 ) Střed úsečky S A B x xb y A y B tedy S A ; Úhel φ nenloých ektorů a : cos φ Úhel φ nenloých přímek: ( ; jso bď směroé nebo normáloé ektory) cos φ
Vzájemná poloha přímek: 1. ronoběžné přímky (ronoběžky) a ǁ b k b a k R a b (směrnicoé nebo normáloé ektory jso kolineární, žádný společný bod) a. totožné přímky a b k A k R A a A b (směroé nebo normáloé ektory jso kolineární, nekonečně mnoho společných bodů) b. různoběžné přímky (různoběžky) a b k (směroé nebo normáloé ektory nejso kolineární, existje 1 společné řešení) a b Vzdálenost bod M od přímky p: V roině nazýáme zdálenost bod M od paty kolmice edené bodem M k přímce p. A; p ax0 by 0 c a b M (x0; y0) p: ax + by + c = 0
1. Určete ektor 1 ; tak,aby platilo 4 5w,je-li 5; 7, w ;. 5; 6. Najdete ektor tak,aby s ektorem ; 1 byly nazájem kolmé. každý ektor, který je kolineární s 1;. Dokažte, že trojúhelník KLM, kde K 4;, L[1; 9], M[1; 7] je praoúhlý. KL MK 0 4. Dokažte,že čtyřúhelník KLMN, kde K[1; ], L[-1; 9], M[-, -4], N[0; -10] je ronoběžník. KL NM 5. V roině E jso dány body K[; -], L[-1; 0], M[0; ].Určete bod N E tak, aby čtyřúhelník KLMN byl ronoběžník. N[; 1] 6. V roině E najděte bod, který má od bodů A[4; -1], B[7; ], C[-; 11] stejno zdálenost. X[1; 5] 7. Body A[1; ] a B[4; 0] jso da sosední rcholy ronoběžník E, jehož střed je bodě S[; ]. Najděte sořadnice zbýajících do rcholů. C[5; ], D[0; 4]
8. Na ose x najděte bod, který má stejno zdálenost od počátk jako od bod A[-; 6]. X[-7,5; 0] 9. Najděte bod E, který má stejno zdálenost od obo sořadnicoých os a od bod A[; 4]. X[10; 10], Y[; ] 10. Čterec se středem počátk sostay sořadnic má jeden rchol bodě A[4; ]. Vypočítejte: a) obsah čterce b) poloměr kržnice opsané. a) S = 50 b) r = 5 11. Vypočítejte obsah krh epsaného a opsaného čterci, jehož střed je bod S a jeden z rcholů bod A, je-li: a) S[1,1], A[4; 5] b) S[-1,-], A[4; 9] c) S[1,], A[5; -1] d) S[-,-1], A[1; -5] a) SV 5 b) SV 169 c) SV 5 S O 5 d) SV 5 S O 5 S O 5 S O 169
1. Napište parametrické, obecno i směrnicoo ronici přímky roině E, která je rčena body A[; -], B[0; 1]. x = + t; y = - - t; t R x + y - 1 = 0 y = - x + 1 1. Napište obecno ronici přímky E, která prochází středem úsečky AB; A[; 1], B[1; 5] a je kolmá na úsečk AB. x-y+=0 14. V roině E rčete sořadnice rcholů trojúhelníků (pokd existje), jehož strany leží na přímkách daných ronicemi: x - y + 1 = 0; x - y + 7 = 0; x - y + 4 = 0. A[4; 5], B[-; 1], C[; ] 15. Napište parametrické a obecno ronici přímky E, která prochází bodem A[0; -4] a je kolmá k přímce spojjící body B[-5; 0] a C[-1; 8]. x + y + 8 = 0 16. Spočtěte zdálenost bod A[4; ] od přímky dané parametrickými ronicemi x = 1 - t, y = + t, t R. 17. Vypočítejte obsah trojúhelník, který toří přímka o ronici x - 4y - 1 = 0 a sořadné osy. S=6 18. Přímka E je dána ronicí x x + 5 = 0. Určete neznámé sořadnice bodů A[ 1; a], B[b; 0] a C[; c] dané přímky. a = 1, b = 5 /, c =
19. Určete reálná čísla p, q tak, aby ronice x + (1 + q)y p q = 0 a x (q + 4p)y + 6p + q = 0 yjadřoaly ttéž přímk. p = 1, q = 0. Určete obecno ronici přímky E, která je dána body A[6; ], B[ ; 4]. Dále rčete sořadnice průsečíků této přímky se sořadnými osami. Tyto da body toří s počátkem sořadnic trojúhelník. Jeho obsah ypočtěte. x + 9y 0 = 0, X[15; 0], Y[0; 10 ], S = 5 1. Určete obecno ronici přímky, která prochází bodem A[1; ] a průsečíkem přímek daných ronicemi x + 4y 1 = 0 a x + y 4 = 0. 5x + y 11 = 0. Napište ronici přímky E, která prochází středem úsečky AB, kde A[; ], B[1; ] a je ronoběžná s přímko dano ronicí x y + 10 = 0. x y + 6 = 0. Určete parametr c ronici přímky x + y + c = 0 tak, aby tato přímka a přímky o ronicích x + 4y + 1 = 0 a x y = 0 se protínaly jednom bodě. c = 1 4. Určete šechny hodnoty parametr m tak, aby přímky dané ronicemi mx + y 7 = 0 a x + y = 0 byly ronoběžné. Dále rčete elikost úhl, který tyto přímky sírají s kladno polooso x. m 5 ; d 6
5. Úsečka AB má krajní body A[1; ] a B[ 4; 1]. Určete ronici přímky, která prochází středem úsečky AB a průsečíkem přímek daných ronicemi x y + 4 = 0 a x + 5y 7 = 0. y= 6. Určete obsah trojúhelník omezeného přímkami o ronicích x y = 0, x y 1 = 0 a oso x. S=9 7. Trojúhelník má rcholy A[4; ], B[; ], C[ ; 1]. Napište obecné ronice přímek, na nichž leží strany a těžnice tohoto trojúhelník. AB: x + y 6 = 0 ta: 5x + 9y = 0 BC: x 5y + 4 = 0 tb: 7x y 8 = 0 AC: x + 7y + 10 = 0 tc: x 6y = 0 8. Určete reálný parametr a tak, aby přímky AB a AC byly kolmé, je-li A[ 1; ], B[a; ], C[1; 4]. a = 9. Určete parametricko a obecno ronici přímky, která prochází bodem A[; 1] a je kolmá k přímce o ronici x y + 4 = 0. x = + t; y = 1 t x + y = 0 0. Trojúhelník ABC má rcholy A[ 1; 0], B[6; ], C[; 5]. Napište obecné ronice přímek, na nichž leží ýšky tohoto trojúhelník. a : x y 1 0 b : x 5 y 0 c : 7 x y 1 0
1. Které body E, ležící na přímce p, mají od počátk zdálenost d? Vypočítejte sořadnice těchto bodů, znázorněte graficky. a) p: 4x + y 5 = 0 d=1 b) p: x + y 5 = 0 d= c) p: x + 5y + 9 = 0 d=1 4 a) X ; 5 5 b) X 1 ; 1 ; X 1; c) takoé body neexistjí. Určete zájemno poloh dojic přímek p, q, je-li: a) p: x + y = 0 q: x = 7 t; y = 1 + t b) p: x y + 4 = 0 q: x + 4y 11 = 0 c) p: x = t; y = 1 + t q: x = 1 + ; y = 10 a) ronoběžné různé b) různoběžné s průsečíkem P 1; c) totožné. Napište obecno ronici přímky, která prochází bodem A a je ronoběžná s přímko p = KL. A[; ], K[ 1; 1], L[ ; 1]. MZLU x y 1 0 4. Napište obecno ronici osy úsečky AB; A[7; ], B[ ; 1]. MZLU 5x y 1 0 5. Určete zájemno poloh přímek p, q. U ronoběžek ypočítejte jejich zdálenost, různoběžek sořadnice jejich průsečík P.
a) p: 5x + y 11 = 0 q: x = t b) p: x 5y + = 0 q: 5x + y + 5 = 0 c) p: x + y 5 = 0 5 q: y = ; x = d) p: x 5y + 7 = 0 q: 8x + 15y + 7 = 0 MZLU a) totožné b) různoběžné P 1; 0 c) ronoběžné 10 d) různoběžné P ; 5 6. Určete odchylk přímek AB a CD, kde A[; 4], B[4; 5], C[; 4], D[4; 7]. VUT 4 7. Určete elikost ýšky c trojúhelník ABC, A[; ], B[6; 1], C[5; ]. VUT 8. Určete směrnici přímky bx + cy m = 0. VUT b k ;c 0 c 9. V roině jso dány body A[ ; 5], B[0; b], C[ ; 5], D[7; 0]. a) Určete číslo b R tak, aby byly přímky AB a CD na sebe kolmé. b) Určete číslo b R tak, aby byly přímky AB a CD ronoběžné.
VUT a) b = 9 b) b = 4 40. Určete, zda přímka p: x + y 7 = 0 protíná úsečk AB. A[1; 1], B[5; ]. VUT Ano, bodě C[; ] 41. Je dán ektor ; 1. Určete sořadnice ektor, který sírá s ektorem úhel 60 a jehož elikost je 4. 1 0; 4 ; ; 4. Je dán ektor 4; 9. Určete m R tak, aby ektor m; byl kolmý k ektor. 9 m
Literatra: Sbírka příkladů z matematiky k přijímacím zkoškám na Marta Rosická a Lada Eliášoá ISBN 80-86119-6-9 Matematika příklady pro přijímací zkošky RNDr. Petr Rádl a kolekti ISBN 80-7157-65-5