7 Analytická geometrie v rovině
|
|
- Stanislav Kolář
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat i geometrické útvary Tuto metodu použil poprvé francouzský matematik a filozof René Descartes, který je považován za zakladatele analytické geometrie Tato matematická disciplína popisuje geometrické útvary pomocí aparátu aritmetiky a algebry právě prostřednictvím souřadnic Délka úsečky AB (vzdálenost bodů AB):, Je-li A= [ a1; a], B = [ b1; b], pak AB = ( b a ) + ( b a ) 1 1 Střed úsečky AB, kde A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] je bod S = [ s1; s] AB takový, že SA = SB : s a + b ; a + = s = b Příklad 1: Jsou dány body A = [ 4; ], B = [ 3;5] Určete bod C tak, aby ležel na ose y a ABC byl rovnoramenný trojúhelník se základnou AB Řešení: Hledané souřadnice označme C = [ c1; c] Má-li být C y, musí být c 1 =, tedy C = [; c ] Má-li být dále AC = BC, dostáváme: ( 4) + ( c + ) = 3 + ( c 5) /( ) c c c c = c = 14 c = 1 Zkouškou se snadno přesvědčíme, že jsme skutečně našli kořen rovnice, hledaný bod má tedy souřadnice C = [;1] 7 Vektory v rovině V kpt 68 jsme zavedli pojem orientované úsečky, na který nyní navážeme Vektor: je množina všech shodných souhlasně orientovaných úseček Označujeme ho buď tučně u nebo (spíše v ručně psaném textu) šipkou u r 147
2 Libovolnou orientovanou úsečku AB vektoru u (tj je-li AB u ) nazýváme umístěním, popř reprezentantem tohoto vektoru Reprezentujeme-li vektor u úsečkou AB, říkáme, že jsme vektor u umístili do bodu A Místo AB u píšeme obvykle AB = u Je třeba si však vždy uvědomit, že na pravé straně této symbolické rovnosti je vektor (množina) a na levé jeho umístění (prvek této množiny) Připouštíme i tzv nulový vektor jako množinu všech úseček nulové délky, tj = AA Velikost (délka) vektoru: velikostí (délkou) vektoru u rozumíme velikost (délku) jeho libovolného reprezentanta Značíme u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, nazýváme jednotkový vektor Součet bodu a vektoru: Umístěme vektor u do bodu A a koncový bod tohoto umístění označme B Bod B nazýváme součtem bodu A a vektoru u, značíme B = A+v Vektor u nazýváme rozdílem bodů BA ; (v tomto pořadí), značíme u = B A Násobení vektoru reálným číslem (skalárem): Nechť k je libovolné reálné číslo, u libovolný vektor Součinem čísla k a vektoru u rozumíme vektor k u, rovnoběžný souhlasně (pro k > ) resp nesouhlasně (pro k < ) s vektorem u Velikost tohoto vektoru je k u Speciálně: je-li k = 1, je k u = 1 u = u Tento vektor nazýváme vektorem opačným k vektoru u O souhlasně, popř nesouhlasně rovnoběžných vektorech říkáme, že - jsou kolineární - leží v jedné přímce (je-li totiž u = AB ; v = AC ; u = k v, pak body ABC,, leží na téže přímce) Součet dvou vektorů: Nechť u ; v jsou dva libovolné vektory; u = AB Umístěme vektor v do bodu B, koncový bod tohoto umístění označme C, tj v = BC Součtem vektorů u ; v rozumíme vektor u+ v = AC Tuto definici součtu vektorů znázorňuje připojený obrázek vlevo Při konstrukci součtu dvou vektorů se často používá tzv doplnění na rovnoběžník (viz obrázek vpravo) Mějme dva nekolineární vektory e1; e, tj dva nenulové vektory, které neleží v jedné přímce Pak každý vektor u v rovině lze vyjádřit ve tvaru u = u1e1 + ue, kde u1; u Říkáme, že jsme vektor u zapsali ve tvaru lineární kombinace vektorů e1; e Uspořádanou dvojici vektorů [ e1; e ], nazýváme bází, vektory e1; e bázové 148
3 vektory, čísla u1; u nazýváme souřadnice vektoru u v bázi ; u = u ; u [ e e ] Píšeme pak ( ) 1 1 Dvojici navzájem kolmých vektorů nazýváme ortogonální bází, jsouli navíc oba tyto vektory jednotkové, hovoříme o ortonormální bázi Složky ortonormální báze značíme většinou i,j Dále budeme pracovat výhradně s touto ortonormální bází Uveďme nyní do souvislosti takto zavedené souřadnice vektoru v ortonormální bázi s kartézskými souřadnicemi, které jsme zavedli v kpt 51 a se kterými jsme pracovali rovněž v kpt 51 Je-li rovina opatřena kartézskou souřadnou soustavou Oxy,,, lze zvolit ortonormální bázi [ i,j ], kde bázové vektory jsou rovnoběžné se souřadnými osami Umístěme libovolný vektor do počátku Jeho souřadnice jsou rovny kartézským souřadnicím koncového bodu tohoto umístění Pak je např: i = (1;) ; j = (;1) Je-li u = AB ; A= [;]; B = [3;], je u = (3;) Je-li obecně A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] ; C = [ c1; c] ; u = ( u1; u) ; v = ( v ; v ); u = AB, je: 1 u = B A= [ b ; b ] [ a ; a ] = ( b a ; b a ) = ( u ; u ) v = ( v ; v ) = v i+ v j v = v + v k u = k ( u ; u ) = ( ku ; ku ) u = ( u ; u ) = ( u ; u ) 1 1 u+ v = ( u ; u ) + ( v ; v ) = ( u + v ; u + v ) C + u = [ c ; c ] + ( u ; u ) = [ c + u ; c + u ] Příklad: Je dáno k = ; v = (3;5) Určeme vektor u = k v Řešení: u = k v = v = (3;5) = ( 3; 5) = (6;1) Příklad: Určeme souřadnice vektoru u = AB, kde A= [3;7]; B = [ 1;] Řešení: u = B A= ( 1 3; 7) = ( 4; 5) 3 Příklad: Zjistěme, zda body A= [ ;1] ; B = [7,3] ; C = [1;5] leží na jedné přímce Řešení: Položme u = AB = B A= (7+ ;3 1) = (9; 7) ; v = AC = C A= (1+ ;5 1) = (3; 5) 149
4 Protože vektor v není násobkem vektoru u, body ABC,, neleží na jedné přímce 4 Příklad: Určeme součet a rozdíl vektorů u = (3; ) ; v = (1;8) Řešení: u+ v = (3; ) + (1;8) = (3+ 1; + 8) = (4; 6), u v = (3; ) (1;8) = (3 1; 8) = (; 1) 5 Příklad: Určeme souřadnice těžiště trojúhelníka ABC, je-li A = [1;] ; B = [3;1] ; C = [5;3] Řešení: Těžiště T leží např na těžnici t a = AS a, kde S a je střed úsečky BC Je tedy b1 + c1 b + c Sa = ; = ; = [4;], u ASa = Sa A= (4 1; ) = (3;) u Těžiště T rozdělí těžnici AS a tak, že AT = AS a = (3;) = (;) Protože AT = T A, 3 3 je T = A+ AT = [1;] + (;) = [3;] Řešme příklad 5 obecně pro vrcholy A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] ; C = [ c1; c] : b1 + c1 b + c Sa = ; u b1 c1 b c b1 c1 a1 b ca ASa Sa A + a1; + a + ; + = = = u b1 + c1 a1 b + c a b1 + c1 a1 b + c a AT = ASa = ; = ; b1 + c1 a1 b + c a b1 + c1 a1 b + c a T = A+ AT = [ a1; a] + ; = a1 + ; a + = a + b + c a 3 a + b + c a a + b + c a + b + c = = ; ; Úhel dvou vektorů: Úhlem dvou nenulových vektorů rozumíme úhel, který svírají jejich reprezentanti Úhel vektorů, z nichž alespoň jeden je nulový, se nedefinuje Skalární součin: Skalárním součinem dvou nenulových vektorů u ; v rozumíme číslo pro které je u v = u v cosϕ ; u v, kde ϕ je úhel vektorů u ; v Skalární součin vektorů u ; v, z nichž alespoň jeden je nulový, je roven nule Vlastnosti skalárního součinu: ( k u) v = k u v cos ϕ = k ( u v cos ϕ) = k ( u v ), ( u+ v) w = ( u+ v) w Jsou-li vektory uv ; kolineární, je ϕ = cosϕ = 1 u v = u v cosϕ = u v Speciálně u u = u u = u 15
5 π Jsou-li vektory uv ; ortogonální, je ϕ = cosϕ = u v = u v cosϕ = Je-li u = ( u1; u) = u1i+ uj; v = ( v1; v) = v1i+ vj, je u v = ( u ; u ) ( v ; v ) = ( u i+ u j) ( vi+ v j) = uv i i+ uv i j+ uv ji + uv j j Vektory ij ; jsou ortogonální, je tedy i j= ji = Protože u v = uv + uv 1 1 i i = i =1 ; j j= j =1, je Známe-li souřadnice vektorů, můžeme snadno zjistit jejich úhel: je-li u = ( u1; u) ; v = ( v ; v ), je 1 u v uv uv u v = u v cosϕ cosϕ = cosϕ = u v u + u v + v Příklad: Určeme vektor v, který má velikost v = 5 a je kolmý k vektoru u = (16;1) Řešení: Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule: u v = uv uv = Ze zadané velikosti hledaného vektoru je: v1 + v = 5 Pro neznámé souřadnice v1; v vektoru v tak máme soustavu dvou rovnic: uv + uv = 1 1 v + v = 5 1 Do první rovnice dosadíme známé souřadnice vektoru u = (16;1) : 16v1 + 1v =, 1v 3v vyjádříme např v 1 : v 1 = = 16 4 a dosadíme do druhé rovnice pro velikost vektoru: 3v + v = Po dosazení do rovnic pro skalární součin je: v + v = v + 16 v = v = 5 16 v = 16 v =± 4 16v + 1 ± ( 4) = 16v ± 48= 16v = m 48 v = m
6 V tomto zápisu jsou skryty dvě rovnice (jedna pro v =+ 4, druhá pro v = 4 ) Všimněte si přehození znaménka (v rámečku) při převodu z jedné strany rovnice na druhou Úloha má dvě řešení: v 1 = (4; 3) ; v = ( 4;3) (při zápisu řešení je třeba brát současně vždy jen horní nebo jen dolní znaménka) 7 Příklad: Dokažme kosinovou větu užitím skalárního součinu vektorů Řešení: V kpt 66 jsme dokazovali kosinovou větu synteticky (bez použití souřadnic) Chápeme-li strany trojúhelníka jako vektory, je důkaz velmi jednoduchý: c = c = ( b a) = b ab+ a = b abcosγ + a Neřešené úlohy: 1) V pravidelném šestiúhelníku ABCDEF je B A= u ; E A= v Pomocí uv ; vyjádřete a) D C b) E D c) F E d) A F e) C A ) Určete lmn ; ; tak, aby vektory xy ; byly kolineární (rovnoběžné): a) x = 3u v+ w; y = u+ mv+ nw b) x = u+ 3v+ mw ; y = lu 6v+ w 3) Vektory uv ; svírají úhel vektorů u+ v; u v π ϕ = a mají velikosti = 3; = 1 6 4) Určete úhel vektorů uv; ; jestliže u = 5; v = 8; u v = 7 5) Vypočtěte u v, když u = 13; v = 19; u+ v = 4 u v Vypočtěte velikosti a úhel 6) Vypočtěte obsah a velikosti vnitřních úhlů ABC, je-li a) A= [;]; B = [7;1]; C = [;6] b) A= [,5]; B = [ 4;]; C = [9; 3] 7) Určete úhel úhlopříček čtyřúhelníka ABCD, je-li A= [5;]; B = [ 1;6]; C = [ 3; ]; D = [; 5] 8) Vypočtěte velikosti výšek ABC, je-li a) A= [5;]; B = [1;5]; C = [ ;1] b) A= [7;8]; B = [5; ]; C = [ 3; 6] Výsledky 1 a) v u b) u c) v d) u v e) u+ v ) a) 3) u+ v = 7 ; u v = 1; o β = 53 8' b) 5 5;5; b) o ϕ = 4 54' 4) 69 S = ; ; 74; o α = 14 37' ; 1 1 m = ; n = b) l = 4; m = o o ϕ = 6 5) 6) a) S = ; α = γ = 63 6' ; o β = 47 36' ; o γ = 7 47' 7) o ω = 84 4' 8) a) 15
7 73 Přímka v rovině Pomocí souřadnic bodů můžeme číselně charakterizovat různé geometrické útvary Např pro souřadnice každého bodu L = [ xy ; ] v 1 kvadrantu platí x ; y Říkáme, že tyto nerovnosti charakterizují 1 kvadrant, resp že jsou jeho analytickým vyjádřením Podobně analytickým vyjádřením přímky rozumíme každý předpis, kterému vyhovují souřadnice libovolného bodu této přímky a žádné jiné Uvažujme nyní libovolnou přímku p Zvolme libovolný bod A p a libovolný nenulový vektor u rovnoběžný s přímkou p Pro libovolný bod přímky X přímky p označme v = X A Vektory u ; v jsou rovnoběžné, vektor v je tedy násobkem vektoru u, tj existuje reálné číslo t takové, že v = t u Je tedy v= X A v = t u X A= t u X = A+ t u ; t Poslední rovnici (v rámečku) nazýváme parametrickou rovnicí přímky Číslo t nazýváme parametr bodu X Probíhá-li parametr všechna reálná čísla, probíhá příslušný bod X celou přímku p Geometrický význam parametru t : Uvažujme reprezentanta vektoru u s počátkem v bodě A, koncový bod tohoto reprezentanta označme B 1) Bod X má od bodu A vzdálenost AX = t u = t AB Je-li tedy speciálně vektor u jednotkový, tj u = AB = 1, je t = 1 ) Je-li t, pak bod X leží na polopřímce AB Speciálně pro t = 1 je X B, pro t = je X A 3) Je-li t X A, pak bod X leží na polopřímce opačné k AB Speciálně pro t = je opět Zapišme parametrickou rovnici X = A+ t u v souřadnicích Je-li X = [ xy ; ]; A= [ a1; a] ; u = ( u1; u), dostáváme: [ xy ; ] = [ a ; a ] + t ( u ; u ) 1 1 [ xy ; ] = [ a ; a ] + ( t u ; t u ) 1 1 [ xy ; ] = [ a + t u ; a + t u ] 1 1 Jestliže se však dle poslední rovnice mají rovnat dva body, musí se rovnat jejich souřadnice Dostáváme tedy dvojici parametrických rovnic x = a + t u 1 1 y = a + t u ; t 1 Příklad: Jsou dány body A = [1;] ; B = [4;8] Určete parametrické rovnice suur a) přímky AB b) polopřímky AB c) úsečky AB d) polopřímky BA Řešení: Ve všech případech budeme potřebovat směrový vektor Můžeme položit suur u = B A= (3;6) Pak je AB X = A+ t u ; t ; což rozepsáno do souřadnic je: 153
8 suur AB x = 1+ 3 t a) ; t y = + 6 t b) Rovnice budou stejné, pouze podle výše uvedeného bodu ) musí být t, tedy AB x = 1+ 3 t ; t y = + 6 t c) Rovnice budou opět stejné Opět podle bodu ) musí být t Pro t = je X A, s rostoucím parametrem se proměnný bod X vzdaluje od bodu A Protože u = B A, je podle bodu ) X B pro t = 1 Je tedy AB x = 1+ 3 t ; t ;1 y = + 6 t d) Řešení případu b) svádí k závěru, že rovnice polopřímky BA budou BA x = 1+ 3 t ; t y = + 6 t To ovšem není správně, neboť se v tomto případě jedná o rovnici polopřímky opačné k polopřímce AB, což samozřejmě není polopřímka BA Polopřímka BA má počátek v bodě B, musí tedy být BA x= 4 3 t ; t y = 8 6 t Poznámka: Pokud jde o rovnici přímky, nezáleží ani na velikosti ani na orientaci směrového vektoru Pro t jsou rovnice x = 1+ 3 t ; y = + 6 t x = 1+ t ; y = + t x = 1 t y = t rovnicemi téže přímky U polopřímky samozřejmě záleží na orientaci směrového vektoru - jestliže ji měníme, pak měníme polopřímku v polopřímku opačnou Chceme-li vyjádřit tutéž polopřímku, musíme se změnou orientace směrového vektoru současně změnit znaménko parametru, např: BA x = 1+ 3 t y = + 6 t ; t BA x = 4 + t y = 8+ t ; t BA x = 4 t y = 8 t ; t Obecná rovnice přímky v rovině: Uvažujme přímku vyjádřenou obecně parametrickými rovnicemi x = a + t u 1 1 y = a + t u ; t Z této soustavy dvou lineárních rovnic vyloučíme parametr: 154
9 1 1 1 x = a + t u / u 1 1 ( ) y = a + t u / u ux uy ua + ua = ux = ua + t u u uy = ua t u u ux uy = ua ua Poslední rovnici většinou píšeme ve tvaru ax+ by+ c =, kde abc,, a nazýváme ji obecnou rovnicí přímky v rovině Z předchozí úpravy je zřejmé, že v tomto tvaru je a = u; b u1 vektor přímky a označíme-li n = ( ab ; ) = ( u; u1) n u = ( u ; u ) ( u ; u ) = uu uu = , je = Je-li = ( u ; u ) u směrový Vektory nu ; jsou tedy na sebe kolmé Vektor n = ( ab ; ) nazýváme normálovým vektorem přímky Převod parametrických rovnic na rovnici obecnou je v konkrétních případech většinou jednodušší: 1 Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky zadané parametrickými rovnicemi: x= 7+ 6t y = 3+ /3 t x= 7+ 6t (3 y = 9+ 6) t x 3y = 16 x 3y+ 16= Lze také využít toho, že koeficienty ab, v obecné rovnici jsou souřadnicemi normálového vektoru: Je-li x = 7+ 6t p, y = 3 + t pak směrový vektor je s = (6;) a normálový n = (; 6) Obecná rovnice této přímky je tedy x 6y+ c = Koeficient c určíme z podmínky, že bod A= [ 7;3] leží na hledané přímce a jeho souřadnice musí tedy obecné rovnici vyhovovat: ( 7) 6 3+ c = c = 3 Hledaná rovnice je tedy x 6y+ 3= (můžeme pak samozřejmě ještě vydělit dvěma) Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která prochází body A= [3;7]; B = [ ;1] Řešení: a) Pomocí parametrických rovnic: Směrovým vektorem je vektor s = B A= ( 3;1 7) = ( 5; 6) a přímka prochází např bodem A= [3;7] Je tedy: 1 155
10 x = 3 5/6 t y = 7 6/( t 5) 6x 5y = 17 6x 5y+ 17 = b) Pomocí normálového vektoru: Směrový vektor je s = B A= ( 5; 6), normálový tedy n = (6; 5) Připomeňme, že ns =, proto je třeba zaměnit souřadnice a u jedné z nich změnit znaménko Obecná rovnice je 6x 5y+ c = a protože např A p, je c = c = 17 Hledaná rovnice je tedy 6x 5y+ 17 = Směrnicový tvar rovnice přímky: Vyjádřeme z obecné rovnice ax+ by+ c = proměnnou y: a c y = x b b Dostáváme tzv směrnicový tvar rovnice přímky Tuto rovnici píšeme obvykle ve tvaru y = kx+ q, kde k= tgϕ je tzv směrnice přímky (ϕ je orientovaný úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x) a q je úsek, který přímka vytíná na ose y Je-li přímka zadána dvěma body A = [ a ; a ]; B [ b ; b ] 1 =, pak pro její směrnici platí: b k= b 1 a a 1 1 Má-li přímka rovnici y = kx+ q a prochází-li bodem o souřadnicích [ ; ] x y, dostáváme po dosazení y = kx + q q = y kx, tedy y = kx+ y kx y y = kx ( x ) 3 Příklad: Napišme rovnici přímky, která prochází body A= [3;7]; B= [ ;1] b a Řešení: Podle výše uvedených vzorců je k = = = a položíme-li např b a 3 5 [ 3;7 ] [ ; ] A= = x y, dostáváme: 1 1 y y = kx ( x ) 6 y 7 = ( x 3) y = x y = x+ (směrnicový tvar) 5 y = 6 x x 5 y+ 17 = (obecný tvar)
11 Úsekový tvar rovnice přímky: Obecnou rovnici přímky ax+ by+ c =, kde c, lze zapsat ve tvaru ax+ by+ c = ax+ by = c/:( c) ax by + = 1 c c c c Pro ab, lze položit = p ; = q a dostáváme a b tzv úsekový tvar rovnice přímky: x y + = 1 p q Čísla pq, jsou úseky, které přímka vytíná na souřadných osách 4 Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která na ose x vytíná úsek p = 3 a na ose y úsek q = Řešení: x y + = 1 3 x+ 3y = 6 x 3y 6= Řešení: 3x y+ 4= 3x y = 4 3x y = x y 4 + = 1 p = ; q = Vzdálenost bodu od přímky: Určení vzdálenosti bodu X = [ x; y] od přímky p ax+ by+ c = spočívá ve stanovení velikosti úsečky PX, kde P = [ p1; p] je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p Vzhledem k tomu, že vektor n p = ( ab ; ) je normálovým vektorem přímky p, musí být současně směrovým vektorem přímky q, která je na přímku p kolmá Je tedy np = ( ab ; ) = s q Protože navíc X = [ x; y] q, je kolmice q určena parametrickými rovnicemi q x = x + at y = y + bt Vzdálenost v libovolného bodu X = [ xy ; ] q od bodu X = [ x; y] q je pak [ xy ; ] q v = ( x x ) + ( y y ) = ( x + at x ) + ( y + bt y ) = at + bt = t a + b Je-li X P (tj X p q), musí tento bod splňovat současně rovnice přímek pq ; a pro hodnotu parametru t tak máme: ax ( + at) + by ( + bt) + c= 5 Příklad: Převeďme na úsekový tvar obecnou rovnici přímky : 3x y+ 4= ax + at+ by + bt+ c= ( a + b ) t = ax by c ax + by + c t = a + b 157
12 Dosazením do výše uvedeného vztahu pro vzdálenost dostaneme: ax + by + c ( ax + by + c) a + b ax + by + c v = t a + b = a + b = = a + b a + b a + b Pro vzdálenost v bodu X = [ x; y] od přímky p ax+ by+ c = tedy platí v = ax + by + c a + b 6) Příklad: Určeme výšku v a v ABC, je-li A= [;1]; B = [6; 1] ; C = [4;5] Řešení: Hledaná výška je vzdálenost vrcholu A od přímky p suur BC Směrový vektor této přímky je např BC = C B = (4 6;5+ 1) = ( ;6) a protože B p, je p x = 6 t y = + 6t Vyloučením parametru dostaneme obecnou rovnici tvaru p 3x+ y 16=, a tedy Neřešené úlohy: v ax + by + c a + b = = = = 1) Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u: a) A= [7; 1] ; u = (3; 4) b) A= [ ; 3] ; u = (;4) c) A= [;3]; u = ( 7;) d) A= [;] ; u = (1;) ) Jsou dány body A= [5;] ; B = [3;7] ; C = [ 4;9] Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A rovnoběžně s přímkou určenou body BC, 3) Zjistěte, zda dané body leží na přímce x = 1 t; y = 3t: a) A= [3; 7] b) B = [;3] c) C = [ 5;18] d) D = [ 14; 1] 4) Zjistěte vzájemnou polohu daných přímek Jestliže se protínají, najděte jejich průsečík: a) x = 7 ; sy = 3+ s a x = 4 t; y = 3t b) x = 5 3; sy = 3+ s a x = + 9; t y = 8 3t 5) Najděte obecné rovnice přímek: a) x = 7+ 6; t y = 3+ t b) x = 3; t y = 1 t c) x = 4 3; t y = t 6) Rozhodněte, zda body A= [ 3;1] ; B = [7;]; C = [;5] leží na přímce 4x 3y+ 15= 7) Jaké podmínky musí splňovat koeficienty abc,,, aby přímka ax+ by+ c = a) byla rovnoběžná s osou x a nesplynula s ní? b) byla osou x? c) byla rovnoběžná s osou y a nesplynula s ní? d) byla osou y? e) procházela počátkem? 8) Napište rovnici osy úsečky AB, je-li A= [ 3;1] ; B = [4; 3] 9) Napište obecnou rovnici přímky, která prochází body: 158
13 a) A= [ 7;8]; B = [3; ] 4 b) M = ; ; N = 7; c) E = [3;9]; F = [ 3;15] d) G = [; 3]; H = [15; 3] 1) Na přímce 4x 1y = najděte bod, který má od přímky 5x+ 1y+ 5= vzdálenost v = 3 Výsledky: 1) a) x = 7+ 3; t y = 1 4t b) x = ; y = 3+ 4t c) x = 7; t y = 3 d) x = t; y = 11 7 ) x = 7; t y = 5+ t 3) a) ne b) ano c) ano d) ne 4) a) různoběžky, P = ; 5 5 b) splývající rovnoběžky 5) a) x 3y+ 1= b) x+ 3y 3= c) x+ 3y 4= 6) AC, leží, B neleží 7) a) a = ; c b) a = c = c) b= ; c d) c = 8) 14x 8y 15= 9) a) x+ y 1= b) 3x+ 76y 5= c) x 3= d) y + 3= ) M1 = 4; ; M = ; Dvě přímky v rovině Dvě přímky v rovině mohou mít následující vzájemné polohy: a) Přímky jsou různoběžné - mají společný právě jeden bod (průsečík) b) Přímky jsou rovnoběžné různé - nemají žádný společný bod c) Přímky jsou splývající - mají nekonečně mnoho společných bodů 1 Příklad: Určeme průsečík přímek: x+ y+ 1= p x= 3+ t q x= s a) b) 3x y+ = y = 1 t y = 1+ s c) p 7x 9y+ = q x= 6 t y = 15t Řešení: a) Průsečík dvou přímek jako jejich společný bod musí vyhovovat oběma rovnicím, řešíme tedy soustavu dvou rovnic: x+ y+ 1= 3x y+ = 7x+ 5= 5 x= 7 Dosazením např do první rovnice pak dostaneme 1 y = Průsečíkem je tedy bod P = ; 7 7 b) Opět řešíme soustavu rovnic 3+ t = s + (1 t = 1 + s) 4+ t = 1 t = 3 s = 5 Dosazením do kterékoliv parametrické rovnice dostáváme P = 3;4 [ ] c) Parametrické vyjádření přímky q dosadíme do obecné rovnice přímky p : 7(6 ) t 9(15 t) + = 4 14t 135t+ = 44 t = 149 Dosazením zjištěné hodnoty parametru do parametrických rovnic přímky q dostáváme x= 6 t = 6 = ; y = 15t = 15 =, tedy P = ;
14 Příklad: Ukažme, že dané přímky jsou rovnoběžné: a) x+ 3 y 1 = 4x+ 6y+ 5= b) p x= t q x= 3 s y = 1+ t y = 4+ s c) p x+ y+ 1= q x = t y = 3+ t Řešení: Pokusme se zopakovat řešení soustav z předchozího příkladu: x+ 3y 1= /( ) a) 4x+ 6y+ 5= b) 7= t = 3 s + (1+ t = 4+ ) s c) 3= 7 t+ (3 + t) + 1= 7= Ani v jednom případě soustava nemá řešení Soustavy jsme však vůbec řešit nemuseli, stačilo si všimnout normálových, resp směrových vektorů daných přímek V případě a) jsou normálové vektory n (,3) ; n (4,6), normálové vektory a tedy i přímky samotné jsou a = b = rovnoběžné V případě b) jsou směrové vektory s = a ( 1;1) ; s = ( ;) b opět rovnoběžné V případě c) je normálový vektor první přímky n = a (1;), směrový vektor druhé s = b ( ;1) Tyto vektory jsou navzájem kolmé, směrové vektory tedy musí být rovnoběžné 3 Příklad: Určeme vzájemnou polohu přímek: a) x+ y 1= 6x+ 3y 3= b) p x= 3+ 5t q x= 1s y = 1 t y = + s c) p x+ y 5= q x= 1 t y = 3+ t Řešení: a) Druhá rovnice je trojnásobkem rovnice první, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení a přímky splývají b) c) 3+ 5t = 1s (1 t) + (3+ ) t 5= 1 t = + s/5 t+ 3+ t 5= 3+ 5t = 1s = 5 5t = 1+ 1s 8= 8 Také v těchto dvou případech dostáváme nekonečně mnoho řešení přímky splývají Jestliže jsou dvě přímky různoběžné, svírají spolu úhel, který nazýváme odchylkou přímek Tato odchylka je rovna úhlu, který svírají směrové resp normálové vektory těchto přímek Úhel dvou vektorů vypočítáme dle kpt 7 Pro přímky zadané obecnými rovnicemi ax+ by+ c =, ax + by + c = dostáváme pro jejich odchylku ϕ vzorec cosϕ = aa + bb 1 1 a + b a + b 1 1 Speciálně pro dvě navzájem kolmé přímky platí aa 1 bb 1 + = 16
15 a1 a Jednoduchou úpravou tohoto vztahu obdržíme b b 1 = 1 Tyto zlomky jsou však směrnicemi k1; k daných přímek (viz předchozí kapitolu) Pro kolmé přímky ve směrnicovém tvaru tedy platí kk 1 = 1 Neřešené úlohy: 1) Určete průsečík přímek (pokud existuje): a) 6x 5y+ 5= ; x = 5+ 5; t y = 1+ 6t b) 3x 7y+ 9= ; x = t; y = 3+ 6t c) x 5y+ 6= ; 8x+ 15y+ 1= d) x+ y 7= ; 9x+ 9y 14= ) Určete koeficient a tak, aby přímka ax 3ay + 5= procházela průsečíkem přímek 3x+ y 6= ; 5x 7y+ = 3) Stanovte koeficient a tak, aby přímka ax+ 4y 9= byla kolmá k přímce x 3y+ 7= 4) Napište rovnici přímky, která prochází bodem B = [3;5] kolmo k přímce x 7y+ 3= 5) Vypočtěte odchylku přímek a) x 3y+ 4= ; x y+ 1= b) 3x 7= ; x+ y+ 13= Výsledky: 1) a) přímky splývají b) přímky rovnoběžné různé c) různoběžky, d) přímky rovnoběžné různé ) 31 a = 3) a = 6 4) 7x y Kuželosečky P = ; 5 + = 5) a) 11 51'11'' b) 45 Sestrojme řez rotační kuželové plochy rovinou ρ, která neprochází vrcholem kuželové plochy Dostaneme křivku zvanou kuželosečka Podle vzájemné polohy roviny ρ a kuželové plochy je to kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola Jednotlivé případy zachycuje připojený obrázek 161
16 Kružnice: je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu (středu S ) stálou vzdálenost (poloměr r ) Kružnice, která má střed v bodě S = [ mn ; ], má tedy rovnici (tzv středová rovnice) ( x m) ( y n) r + = Pro střed v počátku je tedy speciálně x + y = r Středovou rovnici lze roznásobením upravit na rovnici obecnou: x + y + Ax+ By+ C = Kružnice je určena třemi svými body 1 Příklad: Určeme rovnici kružnice, je-li znám její střed a poloměr: a) S = [; 3] ; r = b) S = [ 1;1] ; r = 1 Řešení: a) ( ) ( x ) ( y 3) x ( y 3) + + = + + = b) Příklad: Najděme střed a poloměr kružnice: a) ( x 1) ( y 1) = k x y x y = b) k x + y + 4x+ 6y+ = Řešení: Rovnici kružnice doplníme na úplný čtverec: a) b) 5 5 x + y + 4x+ 6y+ = x 5x+ + y + 4y+ 4= x + 4x+ 4+ y + 6y+ 9= ( x+ ) + ( y+ 3) = 7 x + ( y+ ) = Tedy S = [5; ] ; r = 35 Rovnice není rovnicí kružnice 3 Příklad: Najděme střed a poloměr kružnice, která prochází body K = [5,5] ; L = [3,1] ; M = [,] Řešení: Má-li kružnice procházet zadanými body, musí souřadnice těchto bodů vyhovovat rovnici kružnice Dosazením např do obecné rovnice x + y + Ax+ By+ C = tak obdržíme pro neznámé koeficienty ABC,, soustavu tří rovnic: K k + + A+ B+ C = : L k + + A+ B+ C = : M k + + A+ B+ C = : Kružnice má tedy obecnou rovnici x y y Z poslední rovnice je okamžitě C =, je tedy 5A + 5B = 5 A = ; B = 1 3A+ B= = Jejím doplněním na čtverec dostaneme x + y 1y+ 5= 5 x + ( y 5) = 5 Je tedy S = [;5] ; r = 5 Elipsa: Je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů (ohnisek EF), stálý součet vzdáleností ( a ) viz připojený obrázek na další straně Pro libovolný bod M elipsy tedy platí ME + MF = a Spojnici libovolného bodu elipsy s ohniskem nazýváme průvodič Střed S úsečky EF nazýváme středem elipsy Body AB, jsou hlavní vrcholy elipsy, platí SA = SB = a, a je hlavní poloosa CD, jsou vedlejší 16
17 vrcholy, platí SC = SD = b, b je vedlejší poloosa, ES = FS = e výstřednost (excentricita) elipsy Dále je a = b + e, EC = FC = ED = FD = a Elipsa se středem v bodě S = [ mn ; ], hlavní poloosou a rovnoběžnou s osou x a vedlejší poloosou b rovnboběžnou s osou y má rovnici (tzv středová rovnice elipsy) ( x m) ( y n) + = 1 a b x y Pro střed v počátku je tedy speciálně + = 1 Platí a b> Je-li a = b, dostáváme a b speciálně kružnici se středem S a poloměrem r = a = b Je-li hlavní poloosa a rovnoběžná ( x m) ( y n) x y s osou y, je + = 1, resp + = 1 b a b a Středovou rovnici lze roznásobením upravit na rovnici obecnou: Ax By Cx Dy E kde pro A= B se speciálně opět jedná o kružnici = ; A>, B>, 4 Příklad: Zjistěme, zda rovnice 3x + y + 6x 5= je rovnicí elipsy s osami rovnoběžnými se souřadnými osami Je-li tomu tak, určeme střed a poloosy Řešení: 3x + y + 6x 5= 3( x + x) + y + 6x= 5 3( x + x+ 1) + y + 6x= ( x+ 1) + y = 8/:8 3( x+ 1) y + = ( x+ 1) y + = Jedná se tedy o elipsu se středem S = [ 1;] a poloosami b = 4 = ; rovnoběžná s osou y a = 8 3, hlavní osa je Hyperbola: je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou bodů (ohnisek EF), stálou absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností ( a ) viz připojený obrázek Pro libovolný bod M hyperboly tedy platí ME MF = a Spojnici libovolného bodu elipsy s ohniskem nazýváme průvodič Střed S úsečky EF nazýváme středem hyperboly Body AB, jsou hlavní vrcholy hyperboly, platí SA = SB = a, a je hlavní poloosa CD, 163
18 jsou vedlejší vrcholy, platí SC = SD = b b je vedlejší poloosa, ES = FS = e, e je výstřednost (excentricita) hyperboly Dále je e = a + b Hyperbola se středem v bodě S = [ mn ; ], hlavní poloosou a rovnoběžnou s osou x a vedlejší poloosou b rovnboběžnou s osou y má rovnici (tzv středová rovnice hyperboly) ( x m) ( y n) = 1 a b x y Pro střed v počátku je tedy speciálně = 1 Je-li hlavní poloosa a rovnoběžná s osou a b ( x m) ( y n) x y y, je + = 1, resp 1 b a a + b = Přímky a ; a procházející středem 1 b hyperboly se směrnicemi ± se nazývají asymptoty Je-li a = b, nazýváme hyperbolu a rovnoosou Otočíme-li rovnoosou hyperbolu se středem v počátku okolo tohoto počátku c o 45 o, přejde její rovnice do tvaru y = takto otočená rovnoosá hyperbola je grafem x nepřímé úměrnosti Středovou rovnici hyperboly lze roznásobením upravit na rovnici obecnou: Ax By Cx Dy E = ; A>, B> pro hyperbolu s hlavní osou rovnoběžnou s osou x, resp Ax + By + Cx+ Dy+ E = ; A>, B> pro hyperbolu s hlavní osou rovnoběžnou s osou y 5 Příklad: Zjistěme, zda rovnice 9x 16y 36x+ 3y 14= je rovnicí hyperboly s osami rovnoběžnými se souřadnými osami Je-li tomu tak, určeme její střed a poloosy Řešení: 9x 16y 36x+ 3y 14= 9( 4 ) 16 ( ) = 14 x x y y 9( x 4x+ 4) 16 ( y y+ 1) = ( x ) 16 = 144/:144 9( x+ 1) 16( y 1) = ( x ) ( y 1) = Jedná se tedy o hyperbolu se středem S = [;1] a poloosami a = 4; b= 3, její hlavní osa je rovnoběžná s osou x 164
19 Parabola: je množina všech bodů v rovině, které mají od dané přímky (řídicí přímka d ) a daného bodu, který na této přímce neleží (ohnisko F ), stejnou vzdálenost viz připojený obrázek Kolmice spuštěná z ohniska na řídicí přímku se nazývá osa paraboly, vzdálenost p ohniska od řídicí přímky se nazývá parametr paraboly Střed úsečky určené ohniskem a průsečíkem osy paraboly se řídicí přímkou se nazývá vrchol paraboly Parabola, jejíž vrchol má souřadnice V = [ mn, ] a osa je rovnoběžná s osou x, má rovnici p ( y n) px ( m) F = = m+ ; n ; p ( y n) px ( m) F = = m ; n ; je-li osa je rovnoběžná s osou y, pak p x n = py m F = mn ; p ( x n) = py ( m) F = mn ; + ( ) ( ) ; Jedná se o tzv vrcholové rovnice paraboly Speciálně pro vrchol v počátku přejdou tyto rovnice na tvary: y = px ; y = px ; x = py ; x = py Roznásobením mocnin ve vrcholových rovnicích paraboly s vrcholem V = [ mn, ] obdržíme obecnou rovnici paraboly, která je tvaru y Ax By C = ; A pro osu rovnoběžnou s osou x, resp x Ay Bx C = ; A pro osu rovnoběžnou s osou y 5 Příklad: Zjistěme vrchol, ohnisko, parametr a polohu paraboly y x y = Řešení: = y x y y y x + 6 = 4 1 y y x = y x ( + 3) = 4( + ) Vrchol paraboly tedy je V = [ mn ; ] = [ ; 3], osa paraboly je rovnoběžná s osou x, p =, p F = m+ ; n = [ 1; 3] 165
20 Neřešené úlohy: 1) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku a prochází bodem a) A = [ 3;4] b) B = [ 1;5] ) Napište rovnici kružnice, která má střed S = [;3] a prochází bodem M = [ 1;7] 3) Zjistěte, zda dané rovnice jsou rovnicemi kružnice, pokud ano, najděte středy a poloměry a) x + y x+ 4y = 4 b) 3x + 3y + 8x 6= c) x + y + x = d) x + y + y+ 1= 4) Napište rovnici kružnice, která prochází body A = [5;1] ; B = [;6] ; C = [4; ] 5) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu v ose x a vedlejší osu v ose y, je-li dáno a) a = 5; b= 3 b) a = 13; e= 1 c) a+ b= 9; e= 3 6) Zjistěte poloosy elipsy a) 16x + 5y = 4 b) 4x + 9y = 36 c) x + 4y = 16 7) Zjistěte, zda jde o elipsu, pokud ano, udejte střed, polohu os a poloosy: a) 9x + 5y 54x 1y 44= b) 4x + 5y 4x+ 1y+ 139= c) 7x + 5y 8x+ 38= d) 9x + y + 9x 4y = e) 9x + 4y 36x+ 7y+ 36= 8) Najděte rovnici hyperboly o středu S = [;], je-li a) a = 8; b= 4 b) a = 4; e= 5 c) b= 3; e= 5 9) Zjistěte, zda jde o hyperbolu, pokud ano, udejte střed, polohu os a poloosy: a) 9x + 16y + 9x+ 64y 35= b) x y + 6x 8y 17= c) 9x 4y + 36x+ 8y+ 3= 1) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku a ohnisko v bodě 3 a) F = ; b) F = [ 3;] c) F = [; 1] 11) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku a prochází bodem A = [;6] 1) Určete vrchol a ohnisko paraboly a) c) x x y = Výsledky: 1) a) x + y = 5 b) x y x y = b) x x y = + y = 169 ) ( x 1) + ( y 3) = 5 3) a) S = [1; ]; r = b) S = ; ; r = 34 3 c) S = ; ; r 3 = d) není rovnicí kružnice 4) x + y y 4= 5) a) 9x + 5y = 5 b) 5x + 169y = 4 5 c) 16x + 5y = 4 6) a) a = 5; b= 4 b) a = 3; b= c) a = 4; b= 7) a) S = [3,]; a = 5; b= 6; hlavní osa rovnoběžná s x b) není elipsa c) není elipsa d) S = ; ; a ; b = = ; hlavní osa 6 rovnoběžná s y e) pouze bod [; 9] 8) a) x 4y = 64 b) 9x 16y = 144 c) 9x 16y 144 = 9) a) S = [5; ]; a = 3; b= 4; hlavní osa rovnoběžná s y b) S = [ 3; 4]; a = b= 1 ; hlavní osa rovnoběžná s x c) není hyperbola 1) a) 4 y = 1x c) x = 4 y 11) x = y ; y = 18x 1) a) [ 4;3]; ;3 3 V = F = 9 5 b) V = [4; ]; F = 4; 4 c) 5 V = [5;4]; F = 5; 4 y = 6x b) 166
21 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat i geometrické útvary Tuto metodu použil poprvé francouzský matematik a filozof René Descartes, který je považován za zakladatele analytické geometrie Tato matematická disciplína popisuje geometrické útvary pomocí aparátu aritmetiky a algebry právě prostřednictvím souřadnic Délka úsečky AB (vzdálenost bodů AB):, Je-li A= [ a1; a], B = [ b1; b], pak AB = ( b a ) + ( b a ) 1 1 Střed úsečky AB, kde A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] je bod S = [ s1; s] AB takový, že SA = SB : s a + b ; a + = s = b Příklad 1: Jsou dány body A = [ 4; ], B = [ 3;5] Určete bod C tak, aby ležel na ose y a ABC byl rovnoramenný trojúhelník se základnou AB Řešení: Hledané souřadnice označme C = [ c1; c] Má-li být C y, musí být c 1 =, tedy C = [; c ] Má-li být dále AC = BC, dostáváme: ( 4) + ( c + ) = 3 + ( c 5) /( ) c c c c = c = 14 c = 1 Zkouškou se snadno přesvědčíme, že jsme skutečně našli kořen rovnice, hledaný bod má tedy souřadnice C = [;1] 7 Vektory v rovině V kpt 68 jsme zavedli pojem orientované úsečky, na který nyní navážeme Vektor: je množina všech shodných souhlasně orientovaných úseček Označujeme ho buď tučně u nebo (spíše v ručně psaném textu) šipkou u r 147
22 Libovolnou orientovanou úsečku AB vektoru u (tj je-li AB u ) nazýváme umístěním, popř reprezentantem tohoto vektoru Reprezentujeme-li vektor u úsečkou AB, říkáme, že jsme vektor u umístili do bodu A Místo AB u píšeme obvykle AB = u Je třeba si však vždy uvědomit, že na pravé straně této symbolické rovnosti je vektor (množina) a na levé jeho umístění (prvek této množiny) Připouštíme i tzv nulový vektor jako množinu všech úseček nulové délky, tj = AA Velikost (délka) vektoru: velikostí (délkou) vektoru u rozumíme velikost (délku) jeho libovolného reprezentanta Značíme u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, nazýváme jednotkový vektor Součet bodu a vektoru: Umístěme vektor u do bodu A a koncový bod tohoto umístění označme B Bod B nazýváme součtem bodu A a vektoru u, značíme B = A+v Vektor u nazýváme rozdílem bodů BA ; (v tomto pořadí), značíme u = B A Násobení vektoru reálným číslem (skalárem): Nechť k je libovolné reálné číslo, u libovolný vektor Součinem čísla k a vektoru u rozumíme vektor k u, rovnoběžný souhlasně (pro k > ) resp nesouhlasně (pro k < ) s vektorem u Velikost tohoto vektoru je k u Speciálně: je-li k = 1, je k u = 1 u = u Tento vektor nazýváme vektorem opačným k vektoru u O souhlasně, popř nesouhlasně rovnoběžných vektorech říkáme, že - jsou kolineární - leží v jedné přímce (je-li totiž u = AB ; v = AC ; u = k v, pak body ABC,, leží na téže přímce) Součet dvou vektorů: Nechť u ; v jsou dva libovolné vektory; u = AB Umístěme vektor v do bodu B, koncový bod tohoto umístění označme C, tj v = BC Součtem vektorů u ; v rozumíme vektor u+ v = AC Tuto definici součtu vektorů znázorňuje připojený obrázek vlevo Při konstrukci součtu dvou vektorů se často používá tzv doplnění na rovnoběžník (viz obrázek vpravo) Mějme dva nekolineární vektory e1; e, tj dva nenulové vektory, které neleží v jedné přímce Pak každý vektor u v rovině lze vyjádřit ve tvaru u = u1e1 + ue, kde u1; u Říkáme, že jsme vektor u zapsali ve tvaru lineární kombinace vektorů e1; e Uspořádanou dvojici vektorů [ e1; e ], nazýváme bází, vektory e1; e bázové 148
23 vektory, čísla u1; u nazýváme souřadnice vektoru u v bázi ; u = u ; u [ e e ] Píšeme pak ( ) 1 1 Dvojici navzájem kolmých vektorů nazýváme ortogonální bází, jsouli navíc oba tyto vektory jednotkové, hovoříme o ortonormální bázi Složky ortonormální báze značíme většinou i,j Dále budeme pracovat výhradně s touto ortonormální bází Uveďme nyní do souvislosti takto zavedené souřadnice vektoru v ortonormální bázi s kartézskými souřadnicemi, které jsme zavedli v kpt 51 a se kterými jsme pracovali rovněž v kpt 51 Je-li rovina opatřena kartézskou souřadnou soustavou Oxy,,, lze zvolit ortonormální bázi [ i,j ], kde bázové vektory jsou rovnoběžné se souřadnými osami Umístěme libovolný vektor do počátku Jeho souřadnice jsou rovny kartézským souřadnicím koncového bodu tohoto umístění Pak je např: i = (1;) ; j = (;1) Je-li u = AB ; A= [;]; B = [3;], je u = (3;) Je-li obecně A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] ; C = [ c1; c] ; u = ( u1; u) ; v = ( v ; v ); u = AB, je: 1 u = B A= [ b ; b ] [ a ; a ] = ( b a ; b a ) = ( u ; u ) v = ( v ; v ) = v i+ v j v = v + v k u = k ( u ; u ) = ( ku ; ku ) u = ( u ; u ) = ( u ; u ) 1 1 u+ v = ( u ; u ) + ( v ; v ) = ( u + v ; u + v ) C + u = [ c ; c ] + ( u ; u ) = [ c + u ; c + u ] Příklad: Je dáno k = ; v = (3;5) Určeme vektor u = k v Řešení: u = k v = v = (3;5) = ( 3; 5) = (6;1) Příklad: Určeme souřadnice vektoru u = AB, kde A= [3;7]; B = [ 1;] Řešení: u = B A= ( 1 3; 7) = ( 4; 5) 3 Příklad: Zjistěme, zda body A= [ ;1] ; B = [7,3] ; C = [1;5] leží na jedné přímce Řešení: Položme u = AB = B A= (7+ ;3 1) = (9; 7) ; v = AC = C A= (1+ ;5 1) = (3; 5) 149
24 Protože vektor v není násobkem vektoru u, body ABC,, neleží na jedné přímce 4 Příklad: Určeme součet a rozdíl vektorů u = (3; ) ; v = (1;8) Řešení: u+ v = (3; ) + (1;8) = (3+ 1; + 8) = (4; 6), u v = (3; ) (1;8) = (3 1; 8) = (; 1) 5 Příklad: Určeme souřadnice těžiště trojúhelníka ABC, je-li A = [1;] ; B = [3;1] ; C = [5;3] Řešení: Těžiště T leží např na těžnici t a = AS a, kde S a je střed úsečky BC Je tedy b1 + c1 b + c Sa = ; = ; = [4;], u ASa = Sa A= (4 1; ) = (3;) u Těžiště T rozdělí těžnici AS a tak, že AT = AS a = (3;) = (;) Protože AT = T A, 3 3 je T = A+ AT = [1;] + (;) = [3;] Řešme příklad 5 obecně pro vrcholy A= [ a1; a] ; B = [ b1; b] ; C = [ c1; c] : b1 + c1 b + c Sa = ; u b1 c1 b c b1 c1 a1 b ca ASa Sa A + a1; + a + ; + = = = u b1 + c1 a1 b + c a b1 + c1 a1 b + c a AT = ASa = ; = ; b1 + c1 a1 b + c a b1 + c1 a1 b + c a T = A+ AT = [ a1; a] + ; = a1 + ; a + = a + b + c a 3 a + b + c a a + b + c a + b + c = = ; ; Úhel dvou vektorů: Úhlem dvou nenulových vektorů rozumíme úhel, který svírají jejich reprezentanti Úhel vektorů, z nichž alespoň jeden je nulový, se nedefinuje Skalární součin: Skalárním součinem dvou nenulových vektorů u ; v rozumíme číslo pro které je u v = u v cosϕ ; u v, kde ϕ je úhel vektorů u ; v Skalární součin vektorů u ; v, z nichž alespoň jeden je nulový, je roven nule Vlastnosti skalárního součinu: ( k u) v = k u v cos ϕ = k ( u v cos ϕ) = k ( u v ), ( u+ v) w = ( u+ v) w Jsou-li vektory uv ; kolineární, je ϕ = cosϕ = 1 u v = u v cosϕ = u v Speciálně u u = u u = u 15
25 π Jsou-li vektory uv ; ortogonální, je ϕ = cosϕ = u v = u v cosϕ = Je-li u = ( u1; u) = u1i+ uj; v = ( v1; v) = v1i+ vj, je u v = ( u ; u ) ( v ; v ) = ( u i+ u j) ( vi+ v j) = uv i i+ uv i j+ uv ji + uv j j Vektory ij ; jsou ortogonální, je tedy i j= ji = Protože u v = uv + uv 1 1 i i = i =1 ; j j= j =1, je Známe-li souřadnice vektorů, můžeme snadno zjistit jejich úhel: je-li u = ( u1; u) ; v = ( v ; v ), je 1 u v uv uv u v = u v cosϕ cosϕ = cosϕ = u v u + u v + v Příklad: Určeme vektor v, který má velikost v = 5 a je kolmý k vektoru u = (16;1) Řešení: Skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule: u v = uv uv = Ze zadané velikosti hledaného vektoru je: v1 + v = 5 Pro neznámé souřadnice v1; v vektoru v tak máme soustavu dvou rovnic: uv + uv = 1 1 v + v = 5 1 Do první rovnice dosadíme známé souřadnice vektoru u = (16;1) : 16v1 + 1v =, 1v 3v vyjádříme např v 1 : v 1 = = 16 4 a dosadíme do druhé rovnice pro velikost vektoru: 3v + v = Po dosazení do rovnic pro skalární součin je: v + v = v + 16 v = v = 5 16 v = 16 v =± 4 16v + 1 ± ( 4) = 16v ± 48= 16v = m 48 v = m
26 V tomto zápisu jsou skryty dvě rovnice (jedna pro v =+ 4, druhá pro v = 4 ) Všimněte si přehození znaménka (v rámečku) při převodu z jedné strany rovnice na druhou Úloha má dvě řešení: v 1 = (4; 3) ; v = ( 4;3) (při zápisu řešení je třeba brát současně vždy jen horní nebo jen dolní znaménka) 7 Příklad: Dokažme kosinovou větu užitím skalárního součinu vektorů Řešení: V kpt 66 jsme dokazovali kosinovou větu synteticky (bez použití souřadnic) Chápeme-li strany trojúhelníka jako vektory, je důkaz velmi jednoduchý: c = c = ( b a) = b ab+ a = b abcosγ + a Neřešené úlohy: 1) V pravidelném šestiúhelníku ABCDEF je B A= u ; E A= v Pomocí uv ; vyjádřete a) D C b) E D c) F E d) A F e) C A ) Určete lmn ; ; tak, aby vektory xy ; byly kolineární (rovnoběžné): a) x = 3u v+ w; y = u+ mv+ nw b) x = u+ 3v+ mw ; y = lu 6v+ w 3) Vektory uv ; svírají úhel vektorů u+ v; u v π ϕ = a mají velikosti = 3; = 1 6 4) Určete úhel vektorů uv; ; jestliže u = 5; v = 8; u v = 7 5) Vypočtěte u v, když u = 13; v = 19; u+ v = 4 u v Vypočtěte velikosti a úhel 6) Vypočtěte obsah a velikosti vnitřních úhlů ABC, je-li a) A= [;]; B = [7;1]; C = [;6] b) A= [,5]; B = [ 4;]; C = [9; 3] 7) Určete úhel úhlopříček čtyřúhelníka ABCD, je-li A= [5;]; B = [ 1;6]; C = [ 3; ]; D = [; 5] 8) Vypočtěte velikosti výšek ABC, je-li a) A= [5;]; B = [1;5]; C = [ ;1] b) A= [7;8]; B = [5; ]; C = [ 3; 6] Výsledky 1 a) v u b) u c) v d) u v e) u+ v ) a) 3) u+ v = 7 ; u v = 1; o β = 53 8' b) 5 5;5; b) o ϕ = 4 54' 4) 69 S = ; ; 74; o α = 14 37' ; 1 1 m = ; n = b) l = 4; m = o o ϕ = 6 5) 6) a) S = ; α = γ = 63 6' ; o β = 47 36' ; o γ = 7 47' 7) o ω = 84 4' 8) a) 15
27 73 Přímka v rovině Pomocí souřadnic bodů můžeme číselně charakterizovat různé geometrické útvary Např pro souřadnice každého bodu L = [ xy ; ] v 1 kvadrantu platí x ; y Říkáme, že tyto nerovnosti charakterizují 1 kvadrant, resp že jsou jeho analytickým vyjádřením Podobně analytickým vyjádřením přímky rozumíme každý předpis, kterému vyhovují souřadnice libovolného bodu této přímky a žádné jiné Uvažujme nyní libovolnou přímku p Zvolme libovolný bod A p a libovolný nenulový vektor u rovnoběžný s přímkou p Pro libovolný bod přímky X přímky p označme v = X A Vektory u ; v jsou rovnoběžné, vektor v je tedy násobkem vektoru u, tj existuje reálné číslo t takové, že v = t u Je tedy v= X A v = t u X A= t u X = A+ t u ; t Poslední rovnici (v rámečku) nazýváme parametrickou rovnicí přímky Číslo t nazýváme parametr bodu X Probíhá-li parametr všechna reálná čísla, probíhá příslušný bod X celou přímku p Geometrický význam parametru t : Uvažujme reprezentanta vektoru u s počátkem v bodě A, koncový bod tohoto reprezentanta označme B 1) Bod X má od bodu A vzdálenost AX = t u = t AB Je-li tedy speciálně vektor u jednotkový, tj u = AB = 1, je t = 1 ) Je-li t, pak bod X leží na polopřímce AB Speciálně pro t = 1 je X B, pro t = je X A 3) Je-li t X A, pak bod X leží na polopřímce opačné k AB Speciálně pro t = je opět Zapišme parametrickou rovnici X = A+ t u v souřadnicích Je-li X = [ xy ; ]; A= [ a1; a] ; u = ( u1; u), dostáváme: [ xy ; ] = [ a ; a ] + t ( u ; u ) 1 1 [ xy ; ] = [ a ; a ] + ( t u ; t u ) 1 1 [ xy ; ] = [ a + t u ; a + t u ] 1 1 Jestliže se však dle poslední rovnice mají rovnat dva body, musí se rovnat jejich souřadnice Dostáváme tedy dvojici parametrických rovnic x = a + t u 1 1 y = a + t u ; t 1 Příklad: Jsou dány body A = [1;] ; B = [4;8] Určete parametrické rovnice suur a) přímky AB b) polopřímky AB c) úsečky AB d) polopřímky BA Řešení: Ve všech případech budeme potřebovat směrový vektor Můžeme položit suur u = B A= (3;6) Pak je AB X = A+ t u ; t ; což rozepsáno do souřadnic je: 153
28 suur AB x = 1+ 3 t a) ; t y = + 6 t b) Rovnice budou stejné, pouze podle výše uvedeného bodu ) musí být t, tedy AB x = 1+ 3 t ; t y = + 6 t c) Rovnice budou opět stejné Opět podle bodu ) musí být t Pro t = je X A, s rostoucím parametrem se proměnný bod X vzdaluje od bodu A Protože u = B A, je podle bodu ) X B pro t = 1 Je tedy AB x = 1+ 3 t ; t ;1 y = + 6 t d) Řešení případu b) svádí k závěru, že rovnice polopřímky BA budou BA x = 1+ 3 t ; t y = + 6 t To ovšem není správně, neboť se v tomto případě jedná o rovnici polopřímky opačné k polopřímce AB, což samozřejmě není polopřímka BA Polopřímka BA má počátek v bodě B, musí tedy být BA x= 4 3 t ; t y = 8 6 t Poznámka: Pokud jde o rovnici přímky, nezáleží ani na velikosti ani na orientaci směrového vektoru Pro t jsou rovnice x = 1+ 3 t ; y = + 6 t x = 1+ t ; y = + t x = 1 t y = t rovnicemi téže přímky U polopřímky samozřejmě záleží na orientaci směrového vektoru - jestliže ji měníme, pak měníme polopřímku v polopřímku opačnou Chceme-li vyjádřit tutéž polopřímku, musíme se změnou orientace směrového vektoru současně změnit znaménko parametru, např: BA x = 1+ 3 t y = + 6 t ; t BA x = 4 + t y = 8+ t ; t BA x = 4 t y = 8 t ; t Obecná rovnice přímky v rovině: Uvažujme přímku vyjádřenou obecně parametrickými rovnicemi x = a + t u 1 1 y = a + t u ; t Z této soustavy dvou lineárních rovnic vyloučíme parametr: 154
29 1 1 1 x = a + t u / u 1 1 ( ) y = a + t u / u ux uy ua + ua = ux = ua + t u u uy = ua t u u ux uy = ua ua Poslední rovnici většinou píšeme ve tvaru ax+ by+ c =, kde abc,, a nazýváme ji obecnou rovnicí přímky v rovině Z předchozí úpravy je zřejmé, že v tomto tvaru je a = u; b u1 vektor přímky a označíme-li n = ( ab ; ) = ( u; u1) n u = ( u ; u ) ( u ; u ) = uu uu = , je = Je-li = ( u ; u ) u směrový Vektory nu ; jsou tedy na sebe kolmé Vektor n = ( ab ; ) nazýváme normálovým vektorem přímky Převod parametrických rovnic na rovnici obecnou je v konkrétních případech většinou jednodušší: 1 Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky zadané parametrickými rovnicemi: x= 7+ 6t y = 3+ /3 t x= 7+ 6t (3 y = 9+ 6) t x 3y = 16 x 3y+ 16= Lze také využít toho, že koeficienty ab, v obecné rovnici jsou souřadnicemi normálového vektoru: Je-li x = 7+ 6t p, y = 3 + t pak směrový vektor je s = (6;) a normálový n = (; 6) Obecná rovnice této přímky je tedy x 6y+ c = Koeficient c určíme z podmínky, že bod A= [ 7;3] leží na hledané přímce a jeho souřadnice musí tedy obecné rovnici vyhovovat: ( 7) 6 3+ c = c = 3 Hledaná rovnice je tedy x 6y+ 3= (můžeme pak samozřejmě ještě vydělit dvěma) Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která prochází body A= [3;7]; B = [ ;1] Řešení: a) Pomocí parametrických rovnic: Směrovým vektorem je vektor s = B A= ( 3;1 7) = ( 5; 6) a přímka prochází např bodem A= [3;7] Je tedy: 1 155
30 x = 3 5/6 t y = 7 6/( t 5) 6x 5y = 17 6x 5y+ 17 = b) Pomocí normálového vektoru: Směrový vektor je s = B A= ( 5; 6), normálový tedy n = (6; 5) Připomeňme, že ns =, proto je třeba zaměnit souřadnice a u jedné z nich změnit znaménko Obecná rovnice je 6x 5y+ c = a protože např A p, je c = c = 17 Hledaná rovnice je tedy 6x 5y+ 17 = Směrnicový tvar rovnice přímky: Vyjádřeme z obecné rovnice ax+ by+ c = proměnnou y: a c y = x b b Dostáváme tzv směrnicový tvar rovnice přímky Tuto rovnici píšeme obvykle ve tvaru y = kx+ q, kde k= tgϕ je tzv směrnice přímky (ϕ je orientovaný úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x) a q je úsek, který přímka vytíná na ose y Je-li přímka zadána dvěma body A = [ a ; a ]; B [ b ; b ] 1 =, pak pro její směrnici platí: b k= b 1 a a 1 1 Má-li přímka rovnici y = kx+ q a prochází-li bodem o souřadnicích [ ; ] x y, dostáváme po dosazení y = kx + q q = y kx, tedy y = kx+ y kx y y = kx ( x ) 3 Příklad: Napišme rovnici přímky, která prochází body A= [3;7]; B= [ ;1] b a Řešení: Podle výše uvedených vzorců je k = = = a položíme-li např b a 3 5 [ 3;7 ] [ ; ] A= = x y, dostáváme: 1 1 y y = kx ( x ) 6 y 7 = ( x 3) y = x y = x+ (směrnicový tvar) 5 y = 6 x x 5 y+ 17 = (obecný tvar)
31 Úsekový tvar rovnice přímky: Obecnou rovnici přímky ax+ by+ c =, kde c, lze zapsat ve tvaru ax+ by+ c = ax+ by = c/:( c) ax by + = 1 c c c c Pro ab, lze položit = p ; = q a dostáváme a b tzv úsekový tvar rovnice přímky: x y + = 1 p q Čísla pq, jsou úseky, které přímka vytíná na souřadných osách 4 Příklad: Napišme obecnou rovnici přímky, která na ose x vytíná úsek p = 3 a na ose y úsek q = Řešení: x y + = 1 3 x+ 3y = 6 x 3y 6= Řešení: 3x y+ 4= 3x y = 4 3x y = x y 4 + = 1 p = ; q = Vzdálenost bodu od přímky: Určení vzdálenosti bodu X = [ x; y] od přímky p ax+ by+ c = spočívá ve stanovení velikosti úsečky PX, kde P = [ p1; p] je pata kolmice spuštěné z bodu X na přímku p Vzhledem k tomu, že vektor n p = ( ab ; ) je normálovým vektorem přímky p, musí být současně směrovým vektorem přímky q, která je na přímku p kolmá Je tedy np = ( ab ; ) = s q Protože navíc X = [ x; y] q, je kolmice q určena parametrickými rovnicemi q x = x + at y = y + bt Vzdálenost v libovolného bodu X = [ xy ; ] q od bodu X = [ x; y] q je pak [ xy ; ] q v = ( x x ) + ( y y ) = ( x + at x ) + ( y + bt y ) = at + bt = t a + b Je-li X P (tj X p q), musí tento bod splňovat současně rovnice přímek pq ; a pro hodnotu parametru t tak máme: ax ( + at) + by ( + bt) + c= 5 Příklad: Převeďme na úsekový tvar obecnou rovnici přímky : 3x y+ 4= ax + at+ by + bt+ c= ( a + b ) t = ax by c ax + by + c t = a + b 157
32 Dosazením do výše uvedeného vztahu pro vzdálenost dostaneme: ax + by + c ( ax + by + c) a + b ax + by + c v = t a + b = a + b = = a + b a + b a + b Pro vzdálenost v bodu X = [ x; y] od přímky p ax+ by+ c = tedy platí v = ax + by + c a + b 6) Příklad: Určeme výšku v a v ABC, je-li A= [;1]; B = [6; 1] ; C = [4;5] Řešení: Hledaná výška je vzdálenost vrcholu A od přímky p suur BC Směrový vektor této přímky je např BC = C B = (4 6;5+ 1) = ( ;6) a protože B p, je p x = 6 t y = + 6t Vyloučením parametru dostaneme obecnou rovnici tvaru p 3x+ y 16=, a tedy Neřešené úlohy: v ax + by + c a + b = = = = 1) Napište parametrické rovnice přímky určené bodem A a vektorem u: a) A= [7; 1] ; u = (3; 4) b) A= [ ; 3] ; u = (;4) c) A= [;3]; u = ( 7;) d) A= [;] ; u = (1;) ) Jsou dány body A= [5;] ; B = [3;7] ; C = [ 4;9] Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A rovnoběžně s přímkou určenou body BC, 3) Zjistěte, zda dané body leží na přímce x = 1 t; y = 3t: a) A= [3; 7] b) B = [;3] c) C = [ 5;18] d) D = [ 14; 1] 4) Zjistěte vzájemnou polohu daných přímek Jestliže se protínají, najděte jejich průsečík: a) x = 7 ; sy = 3+ s a x = 4 t; y = 3t b) x = 5 3; sy = 3+ s a x = + 9; t y = 8 3t 5) Najděte obecné rovnice přímek: a) x = 7+ 6; t y = 3+ t b) x = 3; t y = 1 t c) x = 4 3; t y = t 6) Rozhodněte, zda body A= [ 3;1] ; B = [7;]; C = [;5] leží na přímce 4x 3y+ 15= 7) Jaké podmínky musí splňovat koeficienty abc,,, aby přímka ax+ by+ c = a) byla rovnoběžná s osou x a nesplynula s ní? b) byla osou x? c) byla rovnoběžná s osou y a nesplynula s ní? d) byla osou y? e) procházela počátkem? 8) Napište rovnici osy úsečky AB, je-li A= [ 3;1] ; B = [4; 3] 9) Napište obecnou rovnici přímky, která prochází body: 158
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
M - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Gymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
Cyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
PLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Rovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
3. Analytická geometrie
3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Důkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
Shodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární
VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
P L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Syntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku