INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student má nárok. Bude vypsáno 5 termínů během zkouškového období, 1 prázdninový termín(v případě zájmu)a2termínyvzáří. Zkouška má písemnou a ústní část. Na vypracování písemné části mají studenti 120 minut. Sestává z pěti příkladů z následujících okruhů: 1. primitivní funkce, 2. určitý integrál, 3. diferenciální rovnice, 4. extrémy funkcí více proměnných. Pátá úloha je nepovinná, student si může úspěšným vyřešením vylepšit bodové hodnocení. Spočívá v nalezení příkladu(např. posloupnosti, funkce nebo množiny) s danými vlastnostmi. Postupy je potřeba podrobně zdůvodňovat, uvádět použité věty a ověřovat jejich předpoklady. K úspěšnému absolvování písemné části a postupu k ústní zkoušce potřebuje student získat nadpoloviční počet z maxima daného součtem bodů za příklady 1 4. Pokud student při druhém opravném termínu nedosáhne nadpolovičního počtu bodů, rovněž postupuje k ústní zkoušce. Úspěšně napsanou písemku není třeba při dalším termínu opakovat. Ústní část zkoušky se koná tentýž nebo následující den po písemné části. Během nísistudentvylosujedefiniciavětu,kterézformuluje,adalšívětu,unížjekromě formulace požadován důkaz. Definice, věty a důkazy požadované v této části zkoušky jsou uvedené na seznamu níže. Zkouška může pokračovat dalšími dotazy na související témata(včetně početních metod, které na seznamu nejsou). Na přípravu k ústní části budemítstudentcca30minut. Používání kalkulaček, mobilních telefonů ani písemných materiálů během zkoušky není povoleno. Společenský oděv nevyžaduji. DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib Čísla odkazují k číslování definic a tvrzení z přednášek. Předpokládá se znalost a správné používání logických symbolů a základních pojmů teorie množin, jako jsou množinové operace, relace, uspořádání, zobrazení a související pojmy, dále znalost číselných oborů a jejich vlastností a znalost látky zimního semestru, která souvisí se zkoušenou látkou letního semestru. Definice Primitivní funkce 6.1 Racionální funkce dvou proměnných 6.2 I Dělení uzavřeného intervalu, norma dělení 7.1 Horní součet pro funkci na omezeném uzavřeném intervalu 7.2 Dolní součet pro funkci na omezeném uzavřeném intervalu 7.2 Zjemnění dělení intervalu, společné zjemnění dvou dělení 7.3
Horní Riemannův integrál 7.4 Dolní Riemannův integrál 7.4 Riemannův integrál funkce na intervalu 7.5 Stejnoměrně spojitá funkce 7.6 Zobecněná primitivní funkce 7.8 Newtonův integrál funkce na intervalu 7.9 Délka grafu funkce 7.11 ParametrickyzadanákřivkavR 2 7.12 II Obyčejná dif. rovnice n-tého řádu 8.1 Řešení obyčejné dif. rovnice n-tého řádu 8.1 Otevřená množina 8.3 Souvislá množina, oblast 8.3 Maximální řešení dif. rovnice 8.5 Homogenní funkce stupně p 8.6 Fundamentální systém 8.7 Wronského determinant 8.8 Charakteristický polynom lineární dif. rovnice s konstantními koeficienty 8.9 Metrika, metrický prostor 9.1 Norma, normovaný lineární prostor 9.2 Kruhové, prstencové okolí bodu v metrickém prostoru 9.3 LimitaposloupnostivR n 9.4 Omezenáposloupnostprvků R n 9.5 Limita funkce více proměnných 9.6 Spojitost funkce více proměnných 9.7 Vzdálenost dvou množin v metrickém prostoru 9.8 Vzdálenost bodu od množiny v metrickém prostoru 9.8 HromadnýbodmnožinyvR n 9.9 IzolovanýbodmnožinyvR n 9.9 Limita funkce vzhledem k množině 9.10 Spojitost funkce v bodě vzhledem k množině 9.10 Uzavřenápodmnožina R n 9.11 Omezenápodmnožina R n 9.12 Kompaktnípodmnožina R n 9.13 Parciální derivace funkce více proměnných 9.14 Parciální derivace druhého a vyššího řádu 9.15 Totální diferenciál funkce v bodě 9.16 (Ostré) lokální minimum funkce více proměnných 9.17 (Ostré) lokální maximum funkce více proměnných 9.17 Stacionární bod funkce více proměnných 9.18 Hessova matice, hessián 9.19 Vnitřní bod množiny 9.20 Hraniční bod množiny 9.20 Lagrangeovy multiplikátory 9.21
Derivacevesměru9.22 Gradient funkce 9.23 Jacobiho matice, jakobián 9.24 Věty Jednoznačnost primitivní funkce 6.1 Základní věta o existenci primitivní funkce 6.2 Spojitost primitivní funkce 6.3 Integrace per partes 6.5 1. substituční metoda 6.6 2. substituční metoda 6.7 I Lemmaohornímadolnímsoučtupřizjemnění7.1,7.2 Charakteristika existence Riemannova integrálu pomocí hor. a dol. součtů 7.3 Věta o Riemannově integrálu pro monotónní funkce 7.4 Stejnoměrná spojitost spojité funkce 7.5 Věta o Riemannově integrálu pro spojité funkce 7.6 Funkcionální vlastnosti Riemannova integrálu 7.7 + 7.8 + 7.9 = 7.10 Věta o Riemannově integrálu absolutní hodnoty 7.12 Aditivita Riemannova integrálu vzhledem k mezím 7.13 Riemannův integrál po změně na konečné množině 7.15 Důsledek pro funkce s konečně mnoha body nespojitosti 7.16 Vztah primitivní funkce a Riemannova integrálu 7.17 Newtonův vzorec 7.18 Jednoznačnost zobecněné primitivní funkce 7.19 Funkcionální vlastnosti Newtonova integrálu 7.20 Aditivita Newtonova integrálu vzhledem k mezím 7.21 Stejnoměrná spojitost a spojité rozšíření 7.22 Věta o konvergenci Newtonova integrálu spojité omezené funkce 7.23 Per partes pro určitý integrál 7.24 Věta o substituci pro určitý integrál 7.25 Vztah Riemannova a Newtonova integrálu 7.26, 7.27 Výpočet délky křivky 7.28 II PeanovavětaoexistenciřešeníODR8.1 Věta o jednoznačnosti řešení ODR 8.2 Věta o existenci a jednoznačnosti řešení lineárních ODR 1. řádu 8.3 Věta o existenci a jednoznačnosti řešení lineárních ODR vyšších řádů 8.4 Lineární nezávislost a Wronského determinant 8.5 Tvrzení o Wronského determinantu množiny řešení lineární ODR 8.6-8.7 Konstrukce fundamentálního systému lin. ODR s konstantními koeficienty 8.11 VětaovariacikonstantprolineárníODR8.12 Věta o rovnicích se speciální pravou stranou 8.13
Norma generuje metriku 9.1 Cauchyho-Schwarzova nerovnost pro euklidovskou normu 9.2 Trojúhelníková nerovnost pro euklidovskou metriku 9.3 Nerovnostimezimetrikamina R n (ekvivalencemetrik)9.5 Konvergence v metrice je konvergencí po složkách 9.6 AritmetikalimitposloupnostívR n 9.7 Věta o spojitosti složené funkce více proměnných 9.9 Věta o limitě složené funkce více proměnných 9.10 WeierstrassovavětavR n (ovybranéposloupnosti)9.11 Spojitý obraz kompaktní množiny 9.12 Extrémy spojité funkce na kompaktní množině 9.13 Vztah spojitosti a parciálních derivací 9.14 VětaopřírůstkuvR n 9.15 Věta o záměnnosti parciálních derivací druhého řádu 9.16 Věta o koeficientech totálního diferenciálu 9.18 Vztah parciálních derivací a totálního diferenciálu 9.18, 9.19 Nutná podmínka pro lokální extrém 9.20 Postačující podmínka pro lokální extrém 9.22 Věta o Lagrangeových multiplikátorech 9.23 Vztah derivací ve směru a totálního diferenciálu 9.24 Totální diferenciál složené funkce 9.25 Důsledek pro parciální derivace složené funkce 9.26 Důkazy Spojitost primitivní funkce 6.3 Integrace per partes 6.5 1. substituční metoda 6.6 2. substituční metoda 6.7 I Lemmaohornímadolnímsoučtupřizjemnění7.1 Charakteristika existence Riemannova integrálu pomocí hor. a dol. součtů 7.3 Věta o Riemannově integrálu pro monotónní funkce 7.4 Stejnoměrná spojitost spojité funkce 7.5 Věta o Riemannově integrálu pro spojité funkce 7.6 Aditivita Riemannova integrálu 7.8 Věta o Riemannově integrálu absolutní hodnoty 7.12 Aditivita Riemannova integrálu vzhledem k mezím 7.13 Vztah primitivní funkce a Riemannova integrálu 7.17 Newtonův vzorec 7.18 Jednoznačnost zobecněné primitivní funkce 7.19 Aditivita Newtonova integrálu vzhledem k mezím 7.21 Stejnoměrná spojitost a spojité rozšíření 7.22 Věta o konvergenci Newtonova integrálu spojité omezené funkce 7.23 Per partes pro určitý integrál 7.24
Věta o substituci pro určitý integrál 7.25 Výpočet délky křivky 7.28 II Lineární nezávislost a Wronského determinant 8.5 Tvrzení o Wronského determinantu množiny řešení lineární ODR 8.6-8.7 Norma generuje metriku 9.1 Cauchyho-Schwarzova nerovnost pro euklidovskou normu 9.2 Trojúhelníková nerovnost pro euklidovskou metriku 9.3 Konvergence v metrice je konvergencí po složkách 9.6 WeierstrassovavětavR n (ovybranéposloupnosti)9.11 Spojitý obraz kompaktní množiny 9.12 Extrémy spojité funkce na kompaktní množině 9.13 Vztah parciálních derivací a totálního diferenciálu 9.18 Nutná podmínka pro lokální extrém 9.20 V Praze dne 15.5.2011 Eva Murtinová