I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)

Transkript

1 VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a) ( ) + ( ) ( 6 ), b) ( π ). a) +, b) +, c) + + 4, f (4) (0) = 48, d) + 4 4, e) + 0, f), g) , h) , i) 4 j) + 6 k) o( ), 8 4. a), b), c), d) -, e) 4 log a, f) 0, g), h), i), j), k) 6, l) 6. a) n = 7, limita je rovna, b) n =, limita, c) n = 4, limita 0 6. a = 4, b = 7. a =, b =, limita je rovna 0 8. P () = , limita vyjde ( + ) + ( + ) ( + ) 0. a) absolutně konverguje (AK), b) diverguje (D), c) AK, d) AK, e) D, f) AK, g) pro α > AK, jinak D, h) pro α 4 AK, jinak D, i) D. a), b) 840 4, c) (n+)!. a), 78888, b), 6, c), ,00 4 6,

2 II. MOCNINNÉ ŘADY. a) R=; pokud p > pak AK pro a D jinak; pokud p (0, ] pak AK pro <, K pro = a D jinak; pokud p 0, pak AK pro < a D jinak b) R=/, AK pro + < R, K pro = /, jinak D c) R=, AK pro < R, jinak D e d) R=, pokud a > pak AK pro R a jinak D, pokud a pak AK pro < R a jinak D e) R =, AK pro < R, jinak D 4 f) R=ma{a, b}, AK pro < R, jinak D g) R=, AK pro R, jinak D h) R = +, AK pro všechna R i) R = +, AK pro všechna R j) R = 4, AK i K pro 4 < < 4 k) R =, AK pro < <, K pro < e e e e e l) R=, AK i K pro < < m) R=, AK i K pro < < e e e n) R=, AK pro < <, K pro <. a) n n=0 ( )n, R n! b) n+ n=0 ( )n, (, ) n+ c) n=0 n, (, ) d) ( ) n+ n n= n, R (n)! e) + n+ ( )n+ n= ( / n(n+) f) n= g) n= ( ( )n ) n, < / n ) ( ) n n, < / ( ) n n h) arctg + n= n, < / n i) n= nn, < j) n+ n=0, < n+ k) l) n=0 b n n, kde b k =, b k+ =, b k+ = 0, b N 0 c) log( ). a) e 4, R b), (, ) ( ) 0 pro = 0 d) (+), (, ) e) ( ), (, ) f) ( ) (+) g) e/ 9 ( + 9) +, R h) cosh, R[hint: n=0 (cos + cosh ), R i) j) 4 ( ) ( ), (, ) 4. a) log b) c) π 4 i) 4 e log( ) +, 0 <, součet je n = +( ) n (n)! n=0 n ] n! d) 8 e) 8 f) arctg(/) g) π 4 h) log( )+ 4

3 III. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE Výsledky jsou uvedeny vždy až na konstantu :. a) 0 + log 0 e sin na (, 0) a (0, ) b) e + ( ) 6, R 6 c) na (, 0) a (0, ) d) ( ) + ( ), R e) f) g) h) i) j) tg na ( π/ + kπ; π/ + kπ), k Z l) m) n) tg(/) na ( π + kπ; π + kπ), k Z o) p) q) arctg, D f = R. a), R { sin + 4k [ π b) F () = + kπ, π + kπ], k Z sin + 4k + ( π + kπ, π + kπ), k Z c) 4, R { d) F () = cos( ) cos( ) < e) F () = ( ) k ( cos + sin ) + k, [ π + kπ, π + (k + )π], k Z 4 4 (, 0) { e f) F () = [0, ] g) F () = < 0 + e 0 (, ) 6 4. a) log cos na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z b) log sin na každém z intervalů (kπ, (k + )π), k Z c) tg na každém z intervalů ( π + kπ, π + kπ), k Z d) arctg, R e) log log na (0, ) a (, ) f) +, R g) log log(log ) na (, e) a (e, ) h) F () = { ( + ) < + +. a) 4( +7) 7 4, D 6 f = (0, ) b) 7 + 9, D f = (0, ) c) log 4 log 6 log 9 f = R d) arctg, D f = R e), Df = (, ) f) 4 arctg(4 ), D f = R g) cos( ), D f = R\{0} R h) + sin(), D 4 f = R i) arctg( +), D f = R j) arctg(sin ), D f = k) l) m) n) o) ( sin() cos()); R p) q) ( 8 sin() + sin(4)); R

4 r) s) t) u) v) cos, D f = k Z ( π + kπ, π + kπ) 6. a) arcsin + sin( arcsin ) = arcsin + 4, D f = (, ) b) tg(arcsin ) =, D f = (, ) c) sin(arctg ) = a a a, D a + f = R d) a(arcsin cos(arcsin )) = a arcsin a a a a, ( a, a) 7. a) cos + sin + 6 cos 6 sin, R b) (e sin + e cos ), R c) log, (0, ) d) I n := n e d = n e ni n ; I := e e, R e) 4 ( log ), (0, ) f) e ( sin + cos sin ), R g) pro a + b 0: ea (a sin(b) b cos(b)) ; pro a = b = 0: ; oboj pro R a +b h) i) j) ( + π) ln( + π) ; ( π, ) 8. a) b) 8 + 7, D 8 f = R \ { } c) d) log ( log ), D f = R \ {0} e) arctg log( + ), D f = R f) cos() + sin(), D 4 f = R g) ( / log 4 log + 8 9), Df = (0, ) h) e ( + + ), D f = R i) (log + log + ), D f = (0, ) j) ( )e, D f = R k) ( )e, D f = (0, ) l) (6 ) cos 6( ) sin, D f = (0, ) m) arcsin( / sin )/ ; R n) o) p) q) ( 9. j) log log + 6 log + ), D 6 f = R \ {,, } k) 7+8 log + +, D + f = R\{ } l) +log log +, D f = R\{, } m) 8 log( + +)+ arctg( +) 8 log( +)+ + n) + log log ( ++) 9 9 ( + + ) + 8 o) log arctg( ), D f = R + arctg ( ), D f = R \ {}, D ( ) f = R \ {} 0. a) log cos, D 4 +cos (cos +) f = R\ k Z {kπ, π +kπ} [dá se řešit substitucí t = cos ] tg, b) tg +log (tg +) Df = R\ k Z {kπ, π +kπ, π +kπ} [dá se řešit substitucí t = tg ] 4 c) log(cos + ) log(cos ), D f = R \ k Z { π + kπ} d) tg + log tg tg +, Df = R \ k Z { π + kπ, π 6 + kπ, π 6 + kπ} ( e) log(cos +) log(cos +)+ log( cos ) = log ( cos )(cos +), D 6 6 f = R\ k Z { {kπ} arctg(tg ) arctg( tg ) + kπ( / ) ( π f) F () = + kπ, π + kπ), k Z π π + kπ( / ) = π + kπ, k Z (+cos ) )

5 ( ) log tg tg + + ( ) arctg tg 6 (tg +) ( π + kπ, π + kπ) 4 g) F () = π 6 ( ) = π + kπ log tg tg + + ( ) k Z arctg tg 6 (tg +) + π ( π + kπ, π + kπ) 4 h) viz cvičení 7. března 07 i) arctg(sin ), D f = R j) viz příklad. z materiálů Luboše Picka k) viz příklad. tamtéž l) viz příklad. tamtéž ( ) m) F () = 6 arctg tg ( ) + k π 6 pro ( π + kπ, π + kπ), k Z 6 π + k π 6 pro = π + kπ, k Z 6 6 { ( ) tg arctg 8 n) F () = tg + kπ pro ( π + kπ, π + kπ), k Z 4(tg +) 8 π + kπ pro = { π + kπ, k Z 8 ( 8 ) o) F () = arctg tg + + kπ pro ( π + kπ, π + kπ), k Z π + kπ pro = π + kπ, k Z. a) log(e /6 + ) log( e / + ) arctg(e /6 ), D f = R b) viz příklad.4 z materiálů Luboše Picka c) log( + e ) + e +, D f = R d) + log e + 6 log(e + ), D f = R \ {0}. a) log( + ), D f = (0, ) [dá se řešit substitucí t = ] b) ( 6 + ) ( 6 + ) + ( 6 + ) ( 6 + ) 6 7 ( 6 + ) 7 + log ( + ( 6 + ) ) 6 arctg ( 6 + ), D f = (, ) [dá se řešit substitucí t = 6 + ] c) ( + ) 4 ( + ) log + + log (( + ) ) arctg ( ( +)+ 7 7 ), D f = R \ { } [dá se řešit substitucí t = + ] d) e) ( ++ f) log ) , D f = (, ). b) + a + a log( + + a ), D f = R c) a sgn() a log( + a ), (, a), (a, ) d) ln( + + 4) e) ln + + ( ) + 4. a) + sgn() log( + ), D f = (, ] [, ) b) + a a log( + + a ), D f = R c) log( + + ), D ++ f = R d) sgn( ), D + f = (, ) (, ). a) (t +t+) b) (t t+) c) (t+) ( t+) = +, =. Pak na intervalu (, ) vede na integrál z t ( ) ; na intervalu ( (t ), ) vede na integrál z t ( ). (t )

6 V. RIEMANNŮV A NEWTONŮV INTEGRÁL. a) π b) c) log d) 4π e) f) 00 g) π h) a4 π i) e 6 ab j) log π k) ( ) ( π l) log m) π n) 6 π o) log a) (q p)(b a) b) π c) 9 4 d) e) n n+ f) 4 g) h) π a tg() arctg( ) ) b ( +). a) konverguje (K) b) diverguje (D) c) K d) K e) D f) K právě tehdy, když (p < a q < ) g) K právě tehdy, když (q < a p < /) h) K i) K právě tehdy, když (q > 0 a p > 0) j) K právě tehdy, když m < k) K právě tehdy, když k < l) K m) K právě tehdy, když α < < α + β n) K právě tehdy, když α (, ) o) K právě tehdy, když (α + γ > a β γ > ) 4. a) K b) K. a) K právě tehdy, když p > nebo (p = a q > ) b) K pro a R c) K právě tehdy, když a (, ) d) K právě tehdy, když p > e) K 7. a) konverguje neabsolutně (NAK) b) NAK c) NAK d) K právě tehdy, když α (, ) e) NAK f) NAK g) K právě tehdy, když q < / 8. a) NAK b) K právě tehdy, když α > c) K právě tehdy, když α < < β nebo β < < α d) K právě tehdy, když α (, 0); absolutně konverguje (AK) právě tehdy, když α (, ) 9. a) arctg / b) 6/ c) 9/4 d) / 0. a) a sinh(b/a) b) log / c) 8 (0 ) d) 6 + log e) 7 4 ln(e4 + ) ( ). a) V = 4π, S = 4π b) 6π c) V = π a b, S = 4π ab d) π( ) e) 8π + ln(+ ) 6. a) K b) D c) K d) K

7 VI. METRICKÉ PROSTORY. a) ano b) ne c) ne. a) ano b) ano c) ne d) ne e) ano. 4. ano a) b) f 4 n ano, g n ne 8. a) b) a = 6 9. obě tvrzení platí pokud je metrika generovaná normou, jinak ne (jako příklad lze vzít prostor s diskrétní metrikou) 0.. a) je uzavřená, má prázdný vnitřek, N = N = N b) Int Q =, Q = Q = R, Q není otevřená ani uzavřená. c) Množina není uzavřená ani otevřená, vnitřek je prázdný, hranice i uzávěr jsou { : n N} {0}. d) Množina není uzavřená ani otevřená. Vnitřek je n {[, y] R : > 0, y < 0}, uzávěr {[, y] R : 0, y 0}, hranice{[, y] R : 0 & y 0 & ( = 0 y = 0)}. e) Otevřená, uzávěr {[, y] : + y 0}, hranice {[, y] : + y = 0}. f) Uzavřená, vnitřek {[, y] : > y}, hranice {[, y] : = y}. g) Uzavřená, prázdný vnitřek. h) Ani uzavřená ani otevřená, vnitřek prázdný, hranice i uzávěr {[, y, z] R : 0, y 0, + y =, z 0}. i) Uzavřená, prázdný vnitřek. j) Otevřená, uzávěr {f C[0, ] : f( ) [0, ]}, hranice {f C[0, ] : f( ) {0, }} k) Uzavřená, prázdný vnitřek.. a) platí A B A B ale naopak ne (třeba pro A = Q, B = R \ Q v R) b) platí Int(A \ B) Int(A) \ Int(B) ale naopak ne (třeba pro A = [, 4], B = [, ] v R) c) rovnost platí pro A otevřenou. pokud není A uzavřená, ekvivalence neplatí (například pro = 0 a A = (0, ) v R)

8 VII. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH - LIMITY, DERIVACE. viz pdf limita a spojitost funkce. viz pdf limita a spojitost funkce. viz pdf limita a spojitost funkce 4. a) b) = mm y n, (, y) R. d) pro 0. pro 0 neeistují. = y + z, = nm y n pro (, y) R. c) = + y, = + y pro (, y, z) z R. (, y) = sgn y pro y 0. f) (0, 0) = (0, 0) = 0. (, y) = sgn(y + cos ) sin, = yey, = ey pro (, y) = y sgn e) (0, y) pro y 0 a (, 0) (, y) = sgn(y + cos ), pokud y cos. (, cos ) neeistuje pro R. (kπ, ( )k+ ) = 0 pro k Z. (, cos ) neeistuje pro kπ. g) (, y) = cos sgn(sin sin y), (, y) = cos y sgn(sin sin y), pokud sin sin y. ( π + kπ, π + lπ) = ( π + kπ, π + lπ) = 0. V ostatních bodech parciální ( ) derivace neeistují. h) Pokud, y > 0 nebo, y < 0, pak = z z ; ( ) = z z ; y y y y ( ) z = z y log. i) Pokud > 0 a z 0, pak = y y z ; = y z log ; y z z = y z log y. j) Pokud > 0, pak = z z cos(y ) y y; = cos(y ) y log. k) = π e +y+y π(+y), = π ( +y+y ) e +y+y π(+6y) pro (, y) (0, 0); v bodě (0, 0) ( +y+y ) jsou obě parciální derivace nulové. l) Pokud > y, pak +y ; +y. Jinak parciální derivace nemají smysl.. a) ne b) ne c) ano d) ne e) ano f) ano = = y 6. a) f(, y) = ( (4 +y 4 ) ( y )4 ( 4 +y 4 ), y(4 +y 4 ) ( y )4y ( 4 +y 4 ) ) pro (, y) (0, 0), v bodě (0, 0) totální diferenciál neeistuje b) f(, y) = (, 0) pro > y, f(, y) = (0, y ) pro < y, f(0, 0) = (0, 0), v bodech (a, a) kde a 0 totální diferenciál neeistuje 7. viz pdf parc. derivace a tot. dif.