Obrázek 34: Vznik středové kolineace

Podobné dokumenty
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

Syntetická geometrie I

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem ( ) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Syntetická geometrie I

5 Pappova věta a její důsledky

17 Kuželosečky a přímky

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

Deskriptivní geometrie 1

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.

Konstruktivní geometrie

Syntetická geometrie I

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37

Syntetická geometrie I

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

Syntetická geometrie I

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Deskriptivní geometrie 1

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

Další plochy technické praxe

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Deskriptivní geometrie 2

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

Obsah a průběh zkoušky 1PG

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

5. P L A N I M E T R I E

Imaginární elementy v geometrii

Elementární plochy-základní pojmy

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Shodná zobrazení v rovině

Petra Plichtová Webová aplikace pro výuku osové afinity a

Michal Zamboj. January 4, 2018

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Axiomy: Jsou to tvrzení o těchto pojmech a vztazích, která jsou přijata bez důkazů. Například:

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie

Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m

GEOMETRIE 4 - KMA/GE4SŽ. (celoživotní vzdělávání) Roman HAŠEK

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

1. Přímka a její části

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

Syntetická geometrie I

RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.

Syntetická geometrie I

Další servery s elektronickým obsahem

5 Kuželosečky ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 5 Kuželosečky

Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.

Michal Zamboj. December 23, 2016

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

Základy analytické geometrie. II

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

AXONOMETRIE - 2. část

Test č. 6. Lineární perspektiva

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta:

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Maturitní nácvik 2008/09

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce

O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů

Transkript:

6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se středem S 1 ) mezi dvěma různoběžnými rovinami v prostoru E 3. Obrázek 34: Vznik středové kolineace Definice 9 (Středová kolineace). Středovou kolineací (též perspektivní kolineací, osovou kolineací ci homologií) rozumíme vzájemně jednoznačné zobrazení roviny Ē2 těchto vlastností (viz Obr. 35): 1. Spojnice odpovídajících si bodů procházejí pevným bodem - středem kolineace. 2. Průsečík odpovídajících si přímek leží na pevné přímce - ose kolineace. 3. Incidence se zachovává. Poznámka. Tři kolineární body (tj. tři body na přímce) přejdou tímto zobrazením opět v body kolineární - proto KOLINEACE. Poznámka. Středová kolineace je určena: -osouo (samodružná přímka) - středem S (samodružný bod) - dvojicí odpovídajících si bodů A, A ; S AA nebo přímek p, p ; S p, p. 32

Obrázek 35: Zobrazení bodu ve středové kolineaci se středem S a s osou o PŘÍKLAD 6.1. Ve středové kolineaci určené osou o, středem S a dvojicí bodů A, A sestrojte: a) obraz bodu X, b) obraz přímky p. PŘÍKLAD 6.2. Ve středové kolineaci určené středem, osou a jedním párem odpovídajících si přímek sestrojte: a) obraz bodu B, b) obraz přímky m. Věta 15. Střed a každý bod osy kolineace jsou jejími samodružnými body. Osa kolineace a každá přímka procházející jejím středem jsou samodružné přímky. Věta 16. Kolineace je určena, je-li dán její střed, osa ajedenpár odpovídajících si bodů nebo přímek, jež nejsou incidentní ani se středem, ani s osou kolineace. Charakteristika kolineace (SA 1 AA )=(SB 1 BB )=λ PŘÍKLAD 6.3. Středová kolineace je určena středem, osou a dvojicí sobě odpovídajících bodů. Sestrojte obraz nevlastního bodu U přímky p. Řešení: Viz Obr. 36. 33

Obrázek 36: Zobrazení nevlastního bodu přímky p ve středové kolineaci se středem S a s osou o Úběžník a úběžnice Úběžník je bod, který je v dané kolineaci obrazem nevlastního bodu (viz bod U na Obr. 36). Úběžnice je přímka, která je obrazem nevlastní přímky. PŘÍKLAD 6.4. Úběžnice je rovnoběžná s osou kolineace. Dokažte. Řešení: Důkaz založíme na skutečnosti, že osa kolineace je přímkou samodružných bodů. Protože úběžnice je obrazem nevlastní přímky, nemůže mít s osou kolineace jiný společný bod než bod nevlastní. PŘÍKLAD 6.5. Sestrojte úběžnici v kolineaci dané středem, osou a a) párem odpovídajících si bodů, b) párem odpovídajících si přímek. Řešení: Řešení ad a) viz Obr. 37 PŘÍKLAD 6.6. Ve středové kolineaci najděte alespoň jeden bod V, jehož obrazem je nevlastní bod. Věta 17. V kolineaci existují dvě úbežnice (1. a 2. úběžnice nebo úběžnice a protiúběžnice). Vzdálenost středu kolineace od jedné z nich je rovna vzdálenosti osy kolineace od druhé z nich; přitom buď obě tyto úběžnice leží mezi středem a osou kolineace, nebo střed a osa kolineace leží mezi těmito úběžnicemi. Věta 18. Kolineace je určena středem, osou a jednou úběžnicí. 34

Obrázek 37: Zobrazení úběžnice u ve středové kolineaci se středem S a s osou o PŘÍKLAD 6.7. Ve středové kolineaci určené středem S, osou o a úběžnicí u sestrojte obraz bodu A. Věta 19. Dvojpoměr se kolineací zachovává. PŘÍKLAD 6.8. Střed úsečky se kolineací většinou nezachovává. Ukažte. PŘÍKLAD 6.9. Středová kolineace je dána středem S, osou o a dvojicí bodů B, B. Najděte obraz bodu A. 6.1 Kolineace kružnice a kuželosečky Kuželosečce odpovídá v kolineaci zase kuželosečka. Obrazem kružnice v kolineaci tak může být elipsa, parabola nebo hyperbola. Na čem to závisí? PŘÍKLAD 6.10. Sestrojte elipsu, která odpovídá kružnici k v kolineaci dané osou, středem a úběžnicí. Při konstrukci obrazu kuželosečky v kolineaci využíváme následující vlastnosti: 1. Tečna kuželosečky k přejde kolineací v tečnu kuželosečky k. 2. Dvojpoměr se kolineací zachovává. 3. Přímkám rovnoběžným s osou kolineace odpovídají přímky téhož směru. 4. Kuželosečky k, k odpovídající si v kolineaci mají společné průsečíky s osou kolineace a společné tečny vedené k nim ze středu kolineace. 35

5. Polární vlastnosti kuželoseček: - Je-li přímka p polárou bodu P vzhledem ke kuželosečce k, pakbodydotykut 1,T 2 tečen kuželosečky k zbodup jsou průsečíky p s k. -BodP indukuje na kuželosečce involuci. - Dva body, z nichž každý leží na poláře toho druhého vzhledem k téže kuželosečce, se nazývají sdružené póly. 6. Průměr kuželosečky - každá vlastní přímka, jejíž pól je bod nevlastní - spojnice bodu dotyku dvou rovnoběžných tečen kuželosečky (kromě paraboly) - spojnice průsečíku dvou tečen kuželosečky se středem úsečky určené body dotyku těchto tečen s kuželosečkou - spojnice středu dvou rovnoběžných tětiv - každá přímka procházející středem kuželosečky (středové) 7. Střed kuželosecky - Pro středové kuželosečky (elipsa, hyperbola) je to pól nevlastní přímky. Pól nevlastní přímky vzhledem k parabole je bod dotyku nevlastní přímky s parabolou. PŘÍKLAD 6.11. Sestrojte parabolu, která odpovídá kružnici k v dané kolineaci. PŘÍKLAD 6.12. Sestrojte hyperbolu, která odpovídá kružnici k v dané kolineaci. PŘÍKLAD 6.13. Sestrojte kuželosečku, znáte-li tři její body a dvě tečny. Řešení: Viz Obr. 38 Obrázek 38: Konstrukce kuželosečky (elipsy) z daných 3 bodů a 2 tečen PŘÍKLAD 6.14. Středová kolineace v E 2 je dána osou o: y =0, středem S =< 1, 0,a > a dvojicí bodů B =< 1, 0,b >, B =< 0, 0,b >.Volte hodnoty parametrů a, b, r tak, aby obrazem kružnice x 2 + y 2 = r 2 byla postupně parabola, hyperbola a elipsa. Sestrojte. 36