APLIKACE STOCHASTICKÉHO MODELU MARKOVSKÉHO TYPU APPLICATION OF A MARKOV S TYPE STOCHASTIC MODEL Ja Získal Aotace: Je uvedea ukázka využtí markovských rocesů ř ekoomckém rozhodováí a možost osu těchto stuací. Uvedeý řístu k rozhodováí eí u ás rozatím obvyklý z důvodů, které sočívaí edak v určté áročost, kterou s vyžaduí zavedeé omy a edak v určté obtížost získáváí odovídaících odkladových údaů. Naléhavost alkace markovské aalýzy v ekoom lye zeméa z rostoucího výzamu rocesů hromadé obsluhy. Klíčová slova: Markovský systém, absolutí a lmtí ravděodobost, matce řechodu, absorčí stav, systémová aalýza. Aotato: The cotrbuto cotas alcato of Markov s rocess busess decso makg ad ossbltes of descrto of such stuatos. The metoed method of decso makg s ot zet commo. The reasos are dffcultes coected wth establshed terms ad certa roblems gag relevat data sources.the ersstece of alcato of Markov s aalyss ecoomy uwds from the rasg mortace of queug models. Keywords: Markov s system, absolute ad lmt robablty, trasto matrx, absorto state ÚVOD Rozšířeé otmalzačí modely racuí často s úda, které odléhaí áhodým výkyvům (ootřebeí mechasmů, oruchy, meteorologcké vlvy atd.). Na tuto okolost lze reagovat ř ostotmalzačích úvahách ebo v rámc stochastckého rogramováí kostruovat modely, které ovažuí ěkteré velčy za středí hodoty vlastí určtému rozděleí četostí. Toto oetí eřhlíží k vtří struktuře rocesů, ale e k možým ahodlostem. Náhodý rvek e do modelu váše zvečí. K řešeí tohoto roblému lze též řstuovat ým zůsobem. Můžeme ovažovat celý modelovaý roces za áhodý. Východskem ro toto oetí může být soustava odmíěých ravděodobostí v rámc markovských rocesů. Výzam alkace markovských řetězců v ekoom roste (Získal, 2005). Využívaí se ro modelováí systémů, které se mohou acházet v edom z koečého očtu stavů a to vždy v edotlvém časovém kroku. Aalýza Markovova řetězce může být využta ř řešeí celé řady maažerských roblémů, které maí dyamckou ovahu. CÍL A METODIKA Cílem řísěvku e uozort a dolt zalost o možostech využtí modelů markovského tyu ro ředověd budoucího chováí studovaého systému. Jestlže dovedeme formulovat růběh určtého rocesu tak, že e lze rozložt a řadu stavů kterým rochází v řadě okamžků, můžeme též ocet každý stav, res. každý řechod. Pak lze vyhledávat kombace 753
edotlvých možých řechodů z edoho stavu do ého, které sou z hledska oceěí otmálí. Jedotlvé studovaé ochody musíme zkoumat tak, abychom ro ech os dostal matce ravděodobostí řechodu mez určtým stavy. Hodotové oceěí řechodů oskytue ceé formace a dovolue určtý zůsob odhadu dalšího vývoe systému a hledáí otmálí cesty ř volbě alteratv řešeí. Jestlže e ř kostrukc stochastckého modelu zdůrazě časový vývo, ak sou o sobě ásleduící stavy systému většou určtým zůsobem odmíěy a exstue mez m stá vazba. Pro os řechodu z edoho stavu systému do ásleduícího e vhodé využít odmíěých ravděodobostí. Pravděodobost mohou být odmíěy kolv edím, ale ěkolka ředchozím stavy. Uvažueme-l odmíěost ouze mez dvěma stavy, hovoříme o stochastckých modelech s edoduchou vazbou, které se též azývaí Markovovým. Pravděodobost mohou být odmíěy kol edou, ýbrž ěkolka ředchozím stavy. Zkušeost ukázaly, že ve většě říadů vysthe odstaté rysy modelu vazba edoduchá a víceásobá vazba e určtým zůsobem uřesňue získaou formac. VÝSLEDKY A DISKUSE Nedříve e uté s uřest ěkteré základí omy. Dochází-l ř zkoumáí stochastckých rocesů k řechodům mez edotlvým stavy systému v esotých okamžcích, hovoříme o Markovových řetězcích. Markovovův řetězec (systém) e defová takto (Havlíček, 99): Poslouost áhodých roměých { x },,2, K tvoří Markovovův řetězec, latí-l ro každé m 2,3, Ka ro všechy možé hodoty,, Kr těchto áhodých velč vztah ( m) P{ x x x r} P{ x x } m m m m, () Homogeí řetězec ředokládá, že ravděodobost řechodu ezávsí a výchozí stuac a eměí se v čase. Takový řetězec e urče vektorem výchozích ravděodobostí a matcí ravděodobostí řechodu (Získal, Havlíček, 2003), t. P ( 0) 0 0 0 (, K ) (2) 0, ( ),, K, r,, T K (3) Pro stochastckou matc řechodu T latí: 0 a (4) Pro vektor () osuící stuac v okamžku můžeme asat Pro -tý vektor dostaeme () ( 0). T (5) r () ( 0) P. (6) 754
( ) Vektor absolutích ravděodobostí dává odověď a otázku, aké budou stavy v ásleduícím období (Získal, Havlíček, 2003). Obecě latí ( ) ( ) +. T ebo (7) ( ) ( 0). T Výočet absolutích ravděodobostí vychází z Markovovy rovce (Havlíček, 998) ( ) ( m) ( m) k. k, m,2, K (8) k 0 Pos zkoumaého systému omocí absolutích ravděodobostí dovolue zkoumat, zda se systém ustálí v ěakém stavu č kol. Stablzovaý stav systému v daleké budoucost lze osat lmtím (ergodckým) ravděodobostm (Získal, Havlíček, 2003). Pro matc řechodu T ve stablzovaém systému latí ( ) (9) Pro výočet lmtích ravděodobostí lze odvodt vztah (Havlíček 998) r k k k + 2 + r. (0) K () Blíže k této roblematce vz také (Dömeová 2005). Jestlže e ěkterý stav absorčí, usuzueme z ovahy roblému, že se soustava může stablzovat. Pravděodobost řechodu z řechodového stavu do absorčího stavu lze osat takto (Dömeová 2005) Matcově b r + qk. bk (2) ( E Q) R B R + QB. (3) Matc s absorčím stavy lze rozložt a submatce tímto zůsobem: T E R 0 Q (4) kde E e edotková matce O e ulová matce R e matce ravděodobostí řechodu mez řechodovým a absorčím stavy Q e matce ravděodobostí řechodu mez řechodovým stavy Pro ekoomcké rozhodováí má začý výzam oceěí rocesů, kdy ravděodobost řechodu ze stavu do stavu ( ) můžeme řsoudt oceěí r vyádřeé hodotově. ( ) Jestlže ozačíme v očekávaý celkový výos rocesu o krocích, lze e ak vyádřt vztahem (Döme, 2005). 755
v [ r + v ],, K (5) ( ) ( ) Vzorec (5) vyadřue, že celkový očekávaý výos závsí a matc oceěí R ( ) a současě a celkovém očekávaém výosu ( ) v až do ředešlého kroku. r estlže ak matcově v q r ( ) ( ) q + v ( ) ( ) (6) (7) v q + T. v (8) Markovská aalýza vychází z určtých ředokladů (Získal, Havlíček 2003) a ředokládá vyhledáváí odověd a otázku co když, t. odověd a otázky, aký doad a budoucí ravděodobost budou mít změy hodot matce řechodu, aký vlv a ravděodobost vyvážeého stavu bude mít vyloučeí ebo řoeí ých stavů, aký otecoálí doad bude mít zavedeí absorčího stavu atd.. Za účelem lešího ochoeí a srozumtelost ředchozího výkladu uvedeme ásleduící lustračí říklad. Frma I vyrábí výrobek A a B a kokurečí frma II výrobek C. Podíl výrobku A a trhu čí 27,5 %, výrobku B 37,5 % a výrobku C 35 %. Frma I chce eště více ovládout trh a roto se rozhodue mez dvěma alteratvam roagace svých výrobků: a) roagovat ouze výrobek A. K tomu e třeba vestovat 300 tsíc Kč a očekává se tato matce řechodu 0,6 0,2 0,2 0,4 0,4 0,2 0,6 0, 0,3 b) roagovat e výrobek B. To bude stát 560 ts. Kč. A říslušá matce řechodu e 0, 0,2 0,3 0,5 0,8 0,5 0,4 0 0,2 Nedříve ás bude zaímat, která alteratva řese větší zvýšeí celkového odílu frmy a trhu v dlouhodobé ersektvě. Podle vztahu (0) a () dostaeme ro alteratvu a) 0,555, 2 0,223, 3 0,222, t. ro výrobky A a B frmy I to zameá 77,8 % odílu a trhu. Pro alteratvu b) ak dostaeme 0,90, 2 0,75, 3 0,095, což zameá 90,5 % odílu frmy I a trhu, čl v odstatě ovládutí trhu. V rámc ostotmalzačí aalýzy ás bude dále zaímat, která alteratva bude dlouhodobě efektvěší, čl aký bude eí říos a vestovaou koruu Jestlže ředokládáme, že vektor výchozích ravděodobostí e vektor (0) (0,275; 0,375; 0,350), ak ř alteratvě a) dode ke zvýšeí odílu a trhu o 2,8 % (0,778 0,850). Orot 0,650 ředstavue 0,28 zvýšeí o 9,6 % a a vestovaých ts. Kč to ředstavue 756
0,065 %. U alteratvy b) dode ke zvýšeí odílu a trhu o 25,5 %. Orot 0,650 to ředstavue zvýšeí o 39,2 % a a vestovaých ts. Kč e to 0,075 %. Za ředokladu, že % zvýšeí odílu a trhu ředstavue říos 20 ts. Kč, ak ř roagac výrobku A to ředstavue 392 000 Kč a o odečteí ákladů a roagac vychází říos 92 000 Kč. Př roagac výrobku B vychází čstý říos 224 000 Kč. Obdobě lze dále rozvíet a rohlubovat systémovou aalýzu. ZÁVĚR Stochastcké modely markovského tyu se využívaí ro ředověd chováí ekoomckých systémů v čase a získaé formace mohou sloužt ako základ ro rozhodováí v růzých oblastech, aříklad ř staoveí ersektvost výrobků, ř řešeí roblémů hromadé obsluhy v teor obovy, údržby, v maagemetu ekologckých hledsek aod. Z ekoomckého hledska vyžaduíí markovské řetězce určté oceěí buď stavů ebo řechodů. Pak lze vyhledávat takové cesty vývoe systému, které sou z hledska zavedeého oceěí otmálí. Markovský systém udává budoucost e a základě současost a ezá mulost. Určtým roblémem ř alkac markovské aalýzy může být staoveí matce řechodu. Pro eí kostrukc mohou osloužt buď hstorcká data ebo se využívá subektvích odhadů exertů. Kromě vlastího ozatkového říosu ro řešeí erůzěších alkací e zalost základích vlastostí markovských rocesů důležtá ro ochoeí stochastckých smulačích modelů hromadé obsluhy, obovy, zásob a ých. Lteratura. Havlíček, J.: Stochastcké modely. ČZU v Praze, PEF, 998. ISBN 80-23-040-3. 2. Získal, J., Havlíček, J.: Ekoomcko matematcké metody II. ČZU v Praze, PEF,2003. ISBN 80-23-0664-5. 3. Získal, J.: Využtí markovské aalýzy ř ekoomckém rozhodováí. Sborík Frma a kokurečí rostředí, MZLV v Brě.2003. ISBN 80-757-695-6. 4. Dömeová, L.: Stochastcké modely I. ČZU v Praze, PEF. 2005. ISBN 80-23-37-4. Kotaktí adresa autora Prof. Ig. Ja Získal, CSc., PEF ČZU v Praze, Katedra oeračí a systémové aalýzy. E_mal: zskal@ef.czu.cz, tel. 224 382 355 757