Téma 4 Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem)

Pružnost a pasticita, 2.ročník bakaářského studia Téma 4 ormáové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým takem) Zákadní vztahy a předpokady řešení apětí a přetvoření osově namáhaného prutu Úohy staticky určité a staticky neurčité Pružno-pastické přetvoření Katedra stavební mechaniky Fakuta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osový (prostý) tah nebo tak Jediná nenuová sožka vnitřních si v ibovoném průřezu prutu je normáová sía. T 0 V V 0 M y M 0 y z z 0 tah a b + R a tah F 0 tak a b - R a Zákadní vztahy a předpokady řešení tak F 2 / 73

Předpokady řešení a) průřezy zůstávají rovinnými a komými k ose i po deformaci (Bernouiova hypotéza) d d Předpokad má povahu deformačně geometrickou. Příčné průřezy se nezkřiví a zůstanou vzájemně rovnoběžné. před i po deformaci Důsedek: b) podéná vákna na sebe vzájemně netačí y z konst. 0 0 y z pro = konst. Danie Bernoui (1700-1782) y z 0 Zákadní vztahy a předpokady řešení 3 / 73

Jednoosá napjatost Ze 6 sožek napětí je pouze 1 nenuová Tenzor napětí: 0 sym. y y 0 0 z yz z 0 0 0 Vektor napětí: 0 0 0 0 0 T 0 Veikost normáového napětí: A da da. A A A Zákadní vztahy a předpokady řešení 4 / 73

Omezená patnost předpokadů řešení a) soustředěné zatížení na koncích prutu: v okoí konce prutu nastanou poruchy stavu napjatosti. Ze Saint-Venantova principu okánosti vypývá, že tato obast je omezená. Saint - Venantův princip okáního účinku (Téma 1) F neovivněná část obast poruchy neovivněná část q F obast poruchy konst. konst. Zákadní vztahy a předpokady řešení 5 / 73

Omezená patnost předpokadů řešení b) pruty proměnného průřezu: pro pruty s povovnou změnou průřezu patí odvozené předpokady. áhé průřezové změny, vyvoané otvorem, vruby či zúžením způsobí nepatnost předpokadu 1) d q A net, ma k. A net průřezová pocha v místě osabení 2) q b q k součinite koncentrace napětí, závisí na geometrii prvku d/b 0,1 2,72 k 0,6 2,11 q Zákadní vztahy a předpokady řešení 6 / 73

7 / 73 Přetvoření taženého (tačeného) prutu apětí a přetvoření prutu osově namáhaného A E A E E.. d. d d d 0 0 0 0 z Hookova zákona k EA.. EA k k tuhost prutu stáého průřezu v tahu Příčné deformace EA h E h h h h Z..... h Změna tepoty T C T T T T T T.. d. d 0 0,

8 / 73 Obecný případ osově zatíženého prutu s proměnným průřezem nebo normáovou siou apětí a přetvoření prutu osově namáhaného d 0 u, M d u 0,u F M před deformací po deformaci u du u u u u d d d d d u u d d d d d d d d d

Obecný případ osově zatíženého prutu s proměnným průřezem nebo normáovou siou du d E A. E du d diferenciání rovnice taženého prutu Řešení: u E. A d C C integrační konstanta, ze určit z okrajové podmínky 0 F, u Okrajová podmínka u0 0 apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 9 / 73

Příkad (osově zatížený prut s proměnným průřezem) Zadání: Protažení táha? ( = konst.) 2h 0 F b 2A 0 F 0,u A 0 h 0 b F apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 10 / 73

Příkad (osově zatížený prut s proměnným průřezem) 0, h 0 Průřezová pocha A A 0 h. b A 0 0 2h A 0. b 2 0 A 0 2h 0 b b,u A A0. ormáová sía 2A 0 F 0 F konst. u F E A d F. E. A0. d F E. A. d F E. A. 0 0.. n C apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 11 / 73

Příkad (osově zatížený prut s proměnným průřezem) F E A.. n C u. 0 0, Okrajová podmínka u 0 u F E..n C 0. A0 C F..n E A 2. 0 F 0,u Rovnice protažení F F u 2 E A E. A..n..n. 0 0 F. u 2 E. A. n n 0 0, apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 12 / 73

Řešení příkadu [m] 0,0000 Protažení táha u [m ] -0,0297-0,0276-0,0256-0,0237-0,0219-0,0201-0,0185-0,0168-0,0153-0,0138-0,0123-0,0109-0,0096-0,0082-0,0070-0,0057-0,0045-0,0033-0,0022-0,0011 0,0000 0,00 0,60 1,20 1,80 2,40 3,00 3,60 4,20 4,80 5,40 6,00-0,0500 F E h b 0 6 1 m 750 210 5 cm cm k GPa F. u 2 E. A 0,u 0 Maimání protažení u ma u 0 F F. F. F. u 0. n n 2 n(2). 0,693147. E. A E. A E. A 0. n n 0 0 apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 13 / 73

Příkad (osově zatížený prut s proměnnou normáovou siou) Zadání: Protažení táha? (A = konst.) h b A konst..a. ormáová sía tíha spodní odděené části prutu 0 0. A.. A..g měrná tíha 0,u u u. A. E. A. E 2 2 d C apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 14 / 73

Příkad (osově zatížený prut s proměnnou normáovou siou) u. E 2 2 C 0, h b A konst. Okrajová podmínka u 0 u. 2 2E C 0. 2 C 2E 0,u Rovnice protažení 2 2.. 2 2. u 2E 2E 2 2. u 2E 2E 0, apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 15 / 73

Řešení příkadu [m] h b A konst. Protažení táha -0,01168-0,01165-0,01156-0,01142-0,01121-0,01095-0,01063-0,01025-0,00981-0,00932-0,00876-0,00815-0,00748-0,00675-0,00596-0,00511-0,00421-0,00324-0,00222-0,00114 0,00000 0,00 25,00 50,00 75,00 100,00 125,00 150,00 175,00 200,00 225,00 250,00 0,0000-0,0200 E u [m] 250 m 210 GPa 78,5 k. m 3 F 0,u Maimání protažení u u 0 u ma 0 2 2. u 2 E 2. 2 E apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 16 / 73

ávrh a posouzení taženého (tačeného) prvku ávrh nosné konstrukce, Ed, Amin f d A min f Ed d zvětšit Ed Dimenzování Posouzení návrhu de MS únosnosti Ed Ed Rd A. f 1 d Rd f d fk M Reaizace apětí a přetvoření prutu osově namáhaného 17 / 73

Vstupní prostor nádraží v Sofii, Buharsko 18 / 73

Loděnice Savia, Praha 22 / 73

Pavion V z roku 2000, Výstaviště, Brno 23 / 73

Ivančický viadukt, 1887 a 1976 27 / 73

Dáničně-žeezniční most přes Dunaj, Bratisava Rozpětí 460,8 m, 4 poe, modu příhrady 12,8 m. 28 / 73

Dáničně-žeezniční most přes Dunaj, Bratisava 29 / 73

Dáničně-žeezniční most přes Dunaj, Bratisava 30 / 73

Pavion G1 z roku 1996, Výstaviště, Brno 31 / 73

Kenba s táhem v Chrámu sv.víta, Praha 34 / 73

Kenba s táhem v Chrámu sv.víta, Praha 35 / 73

Zastřešení hangáru, Praha - Ruzyně 36 / 73

Zastřešení hangáru, Praha - Ruzyně 37 / 73

Most Mioše Sýkory, Ostrava Oceový příhradový obouk o rozpětí 60 m a vzepětí 7 m, ceková déka 92 m, šířka 16 m, vyrobeno 1913. 38 / 73

ČEZ Aréna, 1980, Ostrava - Vítkovice Půdorys 125109 m, výška 31 m 42 / 73

ČEZ Aréna, 1980, Ostrava - Vítkovice Půdorys 125109 m, výška 31 m. 43 / 73

Poanecká spojka, 1964, Ostrava - Zábřeh 44 / 73

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU, Ostrava Soustava dřevěných příhradových vazníků konstrukce střechy 47 / 73

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU, Ostrava Soustava dřevěných příhradových vazníků konstrukce střechy 48 / 73

Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU, Ostrava Konstrukce oboukové nosné konstrukce s táhem 49 / 73

Avion Shopping Park Ostrava Zavěšení podhedů systémem táhe 52 / 73

Avion Shopping Park Ostrava Stojkování betonového stropu 58 / 73

Staticky neurčité úohy Předpokad: pružné chování materiáu Staticky neurčité úohy: počet neznámých > počet podmínek rovnováhy Řešení: počet neznámých = podmínky rovnováhy + podmínky deformační Úohy staticky určité a staticky neurčité 62 / 73

Případ 1: Oboustranně vetknutý soup R b Předpokad: pružné chování materiáu b 2 eznámé v úoze: R a R, 1 b 2 F Podmínka rovnováhy: R z 0 : R a R b F 0 1 Podmínka deformační: 0 : a R a 11 22 E1. A1 E2. A2 1 2 0 Úohy staticky určité a staticky neurčité 63 / 73

Případ 2: Žeezobetonový soup Předpokad: Pružné chování materiáu a rovnoměrného roznesení zatížení do průřezu F oce (stee) eznámé v úoze: s, c Podmínka rovnováhy: F s c beton (concrete) Podmínka deformační: s c s. E. A s s c. E. A c c Úohy staticky určité a staticky neurčité 64 / 73

Případ 3: Zavěšená deska Předpokad: Pružné chování materiáu táhe a tuhé chování desky eznámé v úoze:, 1 2 a R a 0 1 1 F 1 2 2 1 F 2 Podmínka rovnováhy: M a 0 : 1. 1 2. 2 F. F Podmínka deformační: 1 1 2 2 1 1 2. 2 0 2 E.. 1 1 2 2. 1. A1 E2. A2 1 2 Úohy staticky určité a staticky neurčité 65 / 73

Příkad: Zavěšená deska Předpokad: Pružné chování materiáu táhe a tuhé chování desky Zadání: Geometrie: 1 2 2m 3m 1 5 2 m 4m F Průřez táhe: a 1 2 1 2 A d 1 d2 20mm 4 2 1 A2 3,14.10 m R a 0 1 F Zatížení: F 80k F 2 Materiá: oce Fe360/S235 1,15 M E 210GPa Úohy staticky určité a staticky neurčité 66 / 73

Příkad: Zavěšená deska Předpokad: Pružné chování materiáu táhe a tuhé chování desky a R a 0 1 1 F 1 2 2 1 F 2 2 Podmínka rovnováhy: M a 0 : Podmínka deformační: 1 1 2 2 2 1. 1 2. 2 F. F 0 F. F 2. 2 1 1 1 2. 2 1. 2. 1 1. 1 2. E. A E. A Výsedky: 1 2 1 F. F. 2 2 2 F. F. 2 1 2 2 1 2 2 1 Úohy staticky určité a staticky neurčité 67 / 73

Příkad: Zavěšená deska Předpokad: Pružné chování materiáu táhe a tuhé chování desky a R a F. 0 1 M c 0 : R a 1 F 1 2 2 Úohy staticky určité a staticky neurčité F 2. 2 F 1 2 1 2 c 4,706k Konkrétně: Kontroa R z 0 : 1 1 F. F. 28, 235k 2 2 1 2 2 F. F. 47, 059k 2 2 R a 1. E. A 1 2. E. A 2 1 2 1 2 F 2 0,856mm 1,427mm 80k 68 / 73

Staticky neurčité soustavy v pružnopastickém oboru Předpokad: Ideáně pružno-pastické chování materiáu táhe a tuhé chování desky Mezní pastická únosnost v tahu a 1 1 2 2 p p p f yd p E. A. A 64,198k. 1,946mm a) Zpastizování prutu 2: R a 0 1 F F 2 p 2 p 1 1 p. 1,168mm 2 2 1 p F E. A. 1 1 1. 1 p. 2 F 38,519k 109,136k Pružno-pastické přetvoření 69 / 73

Ideáně pružno-pastický materiá stav I. stav II. f y Y f y Y 2.prut 2.prut 0 1.prut 0 1.prut stav F [k] 1 [k] 1 [mm] 2 [k] 2 [mm] I. 80 28,235 0,856 47,059 1,427 II. 109,136 38,519 1,168 64,198 1,946 Pružno-pastické přetvoření 70 / 73

Staticky neurčité soustavy v pružnopastickém oboru Předpokad: Ideáně pružno-pastické chování materiáu táhe a tuhé chování desky Mezní pastická únosnost v tahu a 1 p 2 1 2 p p p f yd p. A 64,198k. E. A 1,946mm R a 0 1 F 2 p p Pružno-pastické přetvoření. 2 1 F b) Zpastizování prutů 1 i 2: 1 p 1 p 1,946mm F 2 2 p. 3,244mm p 1. 1 p. 2 F 2 p 128,396k 71 / 73

Ideáně pružno-pastický materiá stav II. stav III. f y Y f y Y 2.prut 1.prut 2.prut 0 1.prut 0 stav F [k] 1 [k] 1 [mm] 2 [k] 2 [mm] I. 80 28,235 0,856 47,059 1,427 II. 109,136 38,519 1,168 64,198 1,946 III. 128,396 64,198 1,946 64,198 3,244 Pružno-pastické přetvoření 72 / 73

Okruhy probémů k ústní části zkoušky 1. apětí při osovém tahu a taku 2. Přetvoření taženého a tačeného prutu 3. ávrh a posudek osově namáhaného prutu 4. Staticky neurčité případy tahu a taku 5. Staticky neurčité osově namáhané soustavy v pružno-pastickém oboru Podkady ke zkoušce 73 / 73