Téma 2 Deformace staticky určitých prutových konstrukcí

Transkript

1 Statika stavebních konstrukcí I.,.ročník bakaářského studia Téma Deformace staticky určitých prutových konstrukcí Katedra stavební mechaniky Fakuta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Osnova přednášky Poem deformace Princip virtuáních prací Deformace nosníku v osové úoze Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) Deformace přímého nosníku v krutové úoze Deformace rovinně omeného nosníku v rovinné úoze Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze Deformace rovinného koubového příhradového nosníku Osnova přednášky / 6

3 Deformace (přetvoření) Deformace (přetvoření): a) Ceková podoba deformované konstrukce b) Některá okání soţka deformace v určitém místě konstrukce (posun, pootočení) Označení a kadné smysy posunů a pootočení těžiště průřezu Obr... / str. 4 Poem deformace 3 / 6

4 Deformace (přetvoření) Proč se zabýváme deformacemi?. Použitenost konstrukce. Řešení staticky neurčitých konstrukcí 3. Ověřování správnosti výpočtu měřením Předpokady výpočtu: Fyzikání inearita (patí Hookův zákon) Geometrická inearita (teorie maých deformací Důsedek: Podmínky rovnováhy se sestavuí na nedeformované konstrukci teorie. řádu Patí princip superpozice a princip úměrnosti Poem deformace 4 / 6

5 Deformace (přetvoření) Neineární mechanika: Teorie. řádu podmínky rovnováhy se sestavuí na deformované konstrukci (deformace maé) Fyzikání neinearita (neineárně pružné nebo trvaé deformace) Teorie vekých deformací Konstrukce s ednostrannými vazbami Nosná ana a anové konstrukce Poem deformace 5 / 6

6 Práce vněších si a momentů Práce (eterní) bodové síy: L e P P cos c Práce - skaár, vyadřue se v ouech (J = N.m), kj, MJ Práce bodového momentu: L e M. Poznámka: Předpokadem e, ţe () byo vyvoáno inou příčinou neţ P (M). Práce e kadná, shoduí-i se smys vektoru síy a posunu, momentu a potočení. Princip virtuáních prací Práce bodové síy a bodového momentu Obr... / str. 6 6 / 6

7 Práce spoitého siového a momentového zatíţení Práce vněších si a momentů: b a L q( ) w( ) d L m( ) ( ) e e b a Předpokad veikost zatíţení se během posunu nemění. d Práce siového iniového zatížení Obr..3. / str. 6 Princip virtuáních prací 7 / 6

8 Virtuání práce ) Reáný zatěţovací stav ) Virtuání zatěţovací stav: a) Deformační virtuání stav a) Deformační virtuání práce b) Siová virtuání práce L L e e P w c P w c b) Siový virtuání stav Deformační virtuání práce vypracovaná Lagrangem ke studiu rovnováhy konstrukcí. Princip virtuáních prací K pomu virtuání práce Obr..4. / str. 7 8 / 6

9 Práce vnitřních si Prostorově namáhaný přímý prut: N, M y, M z, V z, V y, T Souřadnicová soustava prutu Obr..5. / str. 8 Princip virtuáních prací 9 / 6

10 / 6 Práce vnitřních si Princip virtuáních prací Práce vnitřních si prutu Obr..6. / str. 8 y z z z y y i T v V w V M M u N L d d ˆ d ˆ d d d Kadné smysy vnitřních si Práce vnitřních (interních) si: Vnitřní síy brání vzniku deformace, maí opačné smysy neţ na obr..6., proto záporné znaménko při výpočtu L i.

11 Princip virtuáních prací Aiom: Ceková virtuání práce na vyšetřované konstrukci (t. součet virtuáních prací vněších i vnitřních si) e roven nue. L e L i A) Deformační princip virtuáních prací (princip virtuáních posunů) B) Siový princip virtuáních prací (princip virtuáních si) Virtuání vnitřní síy Reáné vnitřní síy, způsobuí deformace N du d EA d y M EI y y d N, M y, M z, Vz, Vy, T d z M EI z z d wˆ V z d * GAz d vˆ V y d * GAy d d T GI t d Princip virtuáních prací / 6

12 L e Deformační zatíţení, způsobené otepením Siový princip virtuáních prací: NN M ym EA EI y y ez t th ( td th) h du t d t M z EI M z t z V zv VyV z y TT t t d N tt M y t M z t d * * GAz GAy GIt h b t t d t y d t h d h Rovnoměrné otepení a rozkad ineárně proměnného otepení po výšce průřezu Obr..7. / str. 9 Princip virtuáních prací / 6

13 Bettiho věta o vzáemnosti virtuáních prací (87) M y,im y,ii P P d EI y M y,iim y,i P3 3 M 4 4 d EI y Enrico Betti (83-89) P P P3 3 M 4 4 Virtuání práce vněších si I. stavu na odpovídaících deformacích II. stavu e rovna virtuání práci vněších si II. stavu na odpovídaících deformacích I. stavu. K odvození Bettiho věty Obr..8. / str. 3 Princip virtuáních prací 3 / 6

14 I I Maweova věta o vzáemnosti posunů Zváštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích stavů působí na konstrukci ediná sía P nebo ediný moment M. P P P P P II II I II I II James Cerk Mawe (83-879) Posun způsobený první siou v místě a ve směru druhé síy e roven posunu způsobeném druhou siou v místě a ve směru první síy. Zváštní případ Bettiho věty, kdy v každém z obou zatěžovacích stavů působí na konstrukci ediná sía P nebo ediný moment M. K odvození Maweovy věty Obr..9. / str. 3 Princip virtuáních prací 4 / 6

15 Metoda ednotkových si NN M ym y M zm z VzV VyV z y TT Le. * EA EI y EI z GAz GAy GI t * d Siové zatíţení t t Ntt M yt M zt d h b Otepení Metoda ednotkových si Obr... / str. 3 Princip virtuáních prací 5 / 6

16 Deformace nosníku v osové úoze Siové zatíţení u e E Otepení NN A d Stáý průřez Proměnný průřez Simpsonovo pravido u f e EA A NNd EA ( ) d f 4( f f3 ) f f4 3 N d ue tt Nd tt A N Deformace nosníku v osové úoze Obr... / str. 33 Deformace nosníku v osové úoze 6 / 6

17 A = 64 mm, Příkad. Nutno určit pro siový zatěţovací stav i rovnoměrné ochazení vodorovný posun u c E =,. 8 kpa, t =,. -5 K - Siový zatěţovací stav: R R a a 8,4.,5 8 3kN N 3 8,4. u c,. NN AN d EA EA 9, 8.6,4. 5,685 m Deformace nosníku v osové úoze Zadání a řešení příkadu. Obr... / str / 6

18 Příkad. Posun způsobený ochazením: u u c c N t,. t 5 d t t Nd t.( ).,48 m,48mm t A N Zadání a řešení příkadu. Obr... / str. 34 Deformace nosníku v osové úoze 8 / 6

19 Příkad. Nutno určit svisý posun horního konce soupu w b od vastní tíhy. Beton r = 4 kg.m -3 E =. 7 kpa Zadání a řešení příkadu. Obr..3. / str. 35 Deformace nosníku v osové úoze 9 / 6

20 Příkad. z A ( z).(,8,8. ),8,. z Nm 3 4kNm 3 n( z) A (,8,. z).4 9, 4,8. z z N( z) (9, 9, 4,8. z). 9,. z,4. z w b E 4 in i NN dz EA E 9,. z i,4. z,8,. z i 4 N dz A i z i Z E Zadání a řešení příkadu. Obr..3. / str. 35 Deformace nosníku v osové úoze / 6

21 Příkad. Řešení s využitím ) Simpsonova pravida 4 i z A N N/A m m kn knm -,8,. -,6 -,.6, -48-4, 3 3,4-79, -56, ,6-5, -7, d 4 f ( )d ( f 4( f f3) f f4) d N A dz ( 4.(,6 56,57).4 7) 3 54,895kNm w b 54, ,745. m. 7,7745 mm Deformace nosníku v osové úoze / 6

22 Příkad. Řešení s využitím ) Obdéníkové metody (numerická integrace) n z w b z i Z E 4,4 n 54,9756 7, m i z i N i /A i m knm -,,87486,6 5, , 8,64 4,4, ,8 4,5986 6, 7,379 7,6, ,, ,4 5,46 3,8 7,59385 S N i /A i 54,9756 Deformace nosníku v osové úoze / 6

23 Nosník v osové úoze - soup Odstupňovaný průřez soupu konstrukce výškové budovy, Chicago, USA Ukázka konstrukce s nosníkem v osové úoze 3 / 6

24 Deformace přímého nosníku v příčné úoze Siové zatíţení MM VV d E I G * A d Stáý průřez MMd VVd * EI GA Otepení t t M d h Druhy přímých nosníků v příčné úoze Obr..4. / str. 36 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 4 / 6

25 Vereščaginovo pravido Pomůcka pro výpočet integráu M Md A. M M T Vereščaginovo pravido Obr..5. / str. 37 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 5 / 6

26 Vereščaginovo pravido Paraboické části momentových obrazců při použití Vereščaginova pravida Obr..6. / str. 38 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 6 / 6

27 Příkad.3 S vyuţitím Vereščaginova pravida určete svisý průhyb = w a. Ţeezobetonová konzoa E =,. 7 kpa Moţno zanedbat práci posouvaících si. Zadání a řešení příkadu.3 Obr..7. / str. 38 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 7 / 6

28 Příkad.3 3 bh EI E,. 3 7,446 knm w 3 d EI,5 5, ,446. S M 3,333.(,75),5kNm S M.(,5) 5kNm S a MM EI MMd A MMd A MMd A M 3 3.(,667),667 knm 7,8.,8. ( S ,547 m M M M S S ) Zadání a řešení příkadu.3 Obr..7. / str. 38 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 8 / 6

29 Příkad.4 Výpočet příkadu.3 s uvaţováním práce posouvaících si. Ţeezobetonová konzoa G = 9,4. 6 kpa w A c * GA S S w w c c w * 6 9,4..,4 3,888. V,. V, 6 3, * ( S bh,8.,8,4m, A A VV d * GA GA. V.( ) knm V 6..( ) 6kNm S 9,76.,93.,7 5,47 ) 5 5 kn m,93mm Reáné a virtuání posouvaící síy konzoy z příkadu.3 Obr..8. / str. 39 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 9 / 6

30 Tabuka. Vzorce pro výpočet integráů MMd str. 4 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 3 / 6

31 Nutno určit svisý průhyb w c a pootočení a Příkad.5 Dřevo E = 7 kpa Zadání a řešení příkadu.5 Obr..9. / str. 4 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 3 / 6

32 Tabuka.3 Lokání deformace konzoy a prostého nosníku stáého průřezu str. 4 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 3 / 6

33 Příkad.6 Lineární otepení po výšce průřezu. Nutno určit průhyb w c a w s. Oce t =,. -5 K - h =,4 m t h t tt Md h A M Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) Zadání a řešení příkadu.6 Obr... / str / 6

34 Příkad ttm tt tt wc d Md A Mc h 9. 9 h t h t ws A Ms h AMs A Mc w c 7.,75 5,..6.( 9),7 m 7,mm,4 6,5 w s 5,..6.6,5,49 m,4 4,9mm Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) Zadání a řešení příkadu.6 Obr... / str / 6

35 Příkad.6 Tvar, zatíţení - příkad.3 Proměnný průřez Ţeezobetonová konzoa E =,. 7 kpa Zadání a řešení příkadu.7 Obr... / str. 44 Deformace přímého nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině z) 35 / 6

36 Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava Konzoa ochozu: Oceový svařovaný a vácovaný profi I Trapézový pech Betonová podaha Ukázka konstrukce s proměnivým průřezem 36 / 6

37 Výzkumné energetické centrum, VŠB-TU Ostrava Konzoa ochozu: Oceový svařovaný a vácovaný profi I Trapézový pech Betonová podaha Ukázka konstrukce s proměnivým průřezem 37 / 6

38 Deformace přímého nosníku v krutové úoze Siový virtuání stav Krutové pootočení c TT GI t d GI t TTd A GI T t Deformace nosníku v krutové úoze Obr... / str. 45 Deformace přímého nosníku v krutové úoze 38 / 6

39 Příkad.8 Metodou ednotkových si nutno určit krutové pootočení pravého konce b Oce - G = 8,. 7 kpa 4 4 It I p ( r r ) (3 4 ) 7,59. mm 7 7 GI 8,..7,59. 6,8466 knm t TT GI t d GI t AT TTd GI AT.(,7,5)..,7.,6,336 knm,336 o b,384 rad, 6,8466 Deformace přímého nosníku v krutové úoze t Zadání a řešení příkadu.8 Obr..3. / str / 6

40 4 / 6 Deformace rovinně omeného nosníku v rovinné úoze Deformace rovinně omeného nosníku v rovinné úoze m A VV G I MM E A NN E * d d d Tři okání soţky deformace: u, v a m I MM E d U staticky určitých případů se zanedbává práce posouvaících a normáových si c c c u w V bodě c c c w u tan Otepení m t h M t N t,, d d Stáý průřez m MM I E d

41 Nutno určit u d, w d, a d Příkad.9 Oce I = m 4 I = 3,8. -5 m 4 I 3 = 9,. -5 m 4 E =,. 8 kpa Zadání a řešení příkadu.9 Obr..4. / str. 47 Deformace rovinně omeného nosníku v rovinné úoze 4 / 6

42 Rámová oceová konstrukce průmysové hay Rozpětí,5 m Ukázky konstrukcí rovinně omeného nosníku 4 / 6

43 Haa pro výrobu komponent aderných eektráren, Vítkovice Půdorys 3 3 m Jeřáby o nosnosti 8 a t Poddoované území Ukázky konstrukcí rovinně omeného nosníku 43 / 6

44 Víceúčeová haa, Frýdek - Místek Čtvercový půdorys o straně 8,6 m, výška 3,6 m Havní nosný prvek střechy rámy tvaru A Rozpětí 8, m, vzdáenost, m Průřez truhíkový 3,65 m,8 m Ukázky konstrukcí rovinně omeného nosníku 44 / 6

45 Víceúčeová haa, Frýdek - Místek Rámová oceová konstrukce Ukázky konstrukcí rovinně omeného nosníku 45 / 6

46 Tribuna fotbaového stadiónu na Bazaech, Ostrava Poddoované území Ukázky konstrukcí rovinně omeného nosníku 46 / 6

47 Tribuna fotbaového stadiónu na Bazaech, Ostrava Detai momentového koubu Ukázky konstrukcí rovinně omeného nosníku 47 / 6

48 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze Rozpětí, vzepětí f, poměrné vzepětí F Φ f Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úoze Obr..5. / str. 48 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 48 / 6

49 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze Rozpětí, vzepětí f, poměrné vzepětí F Φ f Vzepětí f a poměrná vzepětí F rovinných zakřivených nosníků Obr..6. / str. 49 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 49 / 6

50 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze Pouţití metody ednotkových si Siové zatíţení Tepotní zatíţení L NN EA MM VV d s ds EI * GA L L ds t t L Nds tt L M h ds Řešení ds d cos Po úpravě: Siové zatíţení E b a NN d Acos E b a MM d I cos G b a VV d * A cos Tepotní zatíţení t t b a N d tt cos b a M d hcos Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 5 / 6

51 5 / 6 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze Výpočet přetvoření Numerická integrace Simpsonovo pravido Obdéníková metoda 3 ) )... ( )... 4( ( )d ( 4 3 d f f f f f f f f f n n n n i i i i i n i i i i i n i i i i i i n i i i i i i s I M M E s A N N E I M M E A N N E I MM E A NN E b a b a cos cos d cos d cos Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze

52 Příkad. Nutno určit u b Paraboická střednice z ( ) k. k z a a z b b tg dz d k.. k. cos sin tg tg tg EI = 6,7. 4 knm Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze Zadání a řešení příkadu. Obr..7. / str. 5 5 / 6

53 Příkad. i [m] tg ψ cos ψ M [knm] [m] M/ cos ψ [knm ] - 5, - 3,75 -,,5 3 -,5 -,8 -,6 -,4 -,,788 7,8574 9,984 8, ,,, 5,5,, ,5,4, ,75,6, ,,8,788 7,,, 8,4375,875 9,8 47,5,5 76,739 57,875,875 9,35 57,5, 5, 43,5,875 8,46 8,75,5 46,447 4,375,875 4,668,,, Zadání a řešení příkadu. Obr..7. / str. 5 Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 53 / 6

54 Rovinně zakřivený nosník Gateway Arch, rozpětí a vzepětí oceového obouku z roku 966 9,5 m, Saint Louis, Missouri. Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 54 / 6

55 Rovinně zakřivený nosník Gateway Arch, rozpětí a vzepětí oceového obouku z roku 966 9,5 m, Saint Louis, Missouri. Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 55 / 6

56 Rovinně zakřivený nosník Rovinně zakřivený vazník, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úoze 56 / 6

57 57 / 6 Deformace rovinného koubového příhradového nosníku Deformace rovinného koubového příhradového nosníku p p p A N N E A N N E EA N N. d d Otepení Virtuání práce pouze normáových si p t p t p t t N t N t N,,, d d

58 Příkad. Nutno určit w c A = m 4 A =. -4 m 4 A 3 = m 4 A 4 = m 4 A 5 =. -4 m 4 A 6 =. -4 m 4 A 7 = m 4 = 3 = 6 =,36 m Tabukový výpočet Deformace rovinného koubového příhradového nosníku Zadání a řešení příkadu. Obr..8. / str / 6

59 Příkad. Tabukový výpočet A [m ] [m] N [kn] Ñ [] (N Ñ /A ). -3 [kn/m],4, -9, -, 75,,,36 34,64,36 559,7 3,8,36-67,8,, 4,8, -6, -, 33,333 5,,,,, 6,,36 67,8,36 79,58 7,8, -6, -, 33,333 8,9 w c 7 3 N N 8,9 3 5,6 m 8 E A, 5,6mm Deformace rovinného koubového příhradového nosníku 59 / 6

60 Ţeezniční most, Poanecká spoka Ukázky koubových příhradových konstrukcí Most přes ţeezniční trať v Poance z r / 6

61 Ţeezniční most, Poanecká spoka Most přes řeku Odru z r.964, Poanecká spoka, Ostrava Zábřeh Ukázky koubových příhradových konstrukcí 6 / 6

62 Siniční most, Ostrava - Hrabová Příhradový most přes řeku Ostravici Ukázky koubových příhradových konstrukcí 6 / 6