odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní četnost A za podmínky H jsme v popisné statistice zavedli vztahem p(a/h) p(a H) p(h). Tato podmíněná relativní četnost se s rostoucím počtem pokusů ustaluje kolem konstanty (A/H), kterou považujeme za podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky H. 5.. Definice: Nechť (Ω, A, ) je pravděpodobnostní prostor, H A. jev s nenulovou pravděpodobností. odmíněnou pravděpodobností za podmínky H rozumíme funkci (./H): A R danou vzorcem: A A : (A/H) (A H). (H)
odmíněná pravděpodobnost 5.3. Věta: odmíněnápravděpodobnost je pravděpodobnost ve smyslu axiomatickédefinice a kromě toho pro ni platí: a) (A A ) (A ) (A /A ) pro (A ) 0. b) (A A ) (A ) (A /A ) pro (A ) 0. c) Jevy A, A jsou stochasticky nezávislé, právě když(a /A ) (A ) nebo (A ) 0 a právě když (A /A ) (A ) nebo (A ) 0. Důkaz: Stačí ověřit platnost axiómů, 0, 5. ad a), ad b) lyne přímo zdefiničního vzorce. ad c) NechťA, A jsou stochastickynezávislé ( ) ( A ) ( )( ) A A A A ( ) / A A ( ) ( ). A A Nechť naopak (A /A ) (A ). Zdefinice: ( ) ( A ) A A ( ) ( ) ( )( ) / A A A A A A ( A ), tedy A, A jsou stochasticky nezávislé.
říklad 5.4. říklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padlo sudé číslo, je-li známo, že padlo číslo menší než5? Ω { ω, K, ω 6 }, A padlo sudé číslo, A { ω, ω 4, ω 6 }, H padlo číslo menšínež5, H { ω, ω, ω 3, ω 4 } { ω ω } A H, ( A/ H) 6 4 ( A H) () H 4 6, říklad: Dvakrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet přesáhne 0, víme-li, že padla (aspoň jedna) šestka? {[6,5],[5,6],[6,6]} ( A H ) 6 6 5 + 6 6 3 3
Věta o násobení pravděpodobností 5.5. Věta: (Věta o násobení pravděpodobností) Nechť (Ω, A, ) je pravděpodobnostní prostor, A, A,..., A n takové jevy, že (A... A n- ) 0. ak (A A... A n ) (A ) (A /A ) (A 3 /A A )... (A n /A... A n- ). Důkaz: Matematickou indukcí. ředpokládáme, že vztah platí pro libovolné přirozené n a dokážeme jeho platnost pro n+: n n n ( A K An An+ ) I Ai An+ IAi An+ / IAi ( A) ( A / A) K( An+ / A K An) i i i 5.6. říklad: Ze skupiny 00 výrobků, která obsahuje 0 zmetků, vybereme náhodně bez vracení 3 výrobky. Vypočtěte pravděpodobnost jevu, že první dva výrobky budou kvalitní a třetí bude zmetek. Jev A i znamená, že i-tý vybraný výrobek je kvalitní, i,, 3. očítáme (A A A 3 ) (A ) (A /A ) ( A 3 /A A ) 90 89 0 00 99 98 0,083. 4
Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesův vzorec 5.7. Věta (vzorec pro výpočet úplnépravděpodobnosti a Bayesůvvzorec) Nechť (Ω,A,) je pravděpodobnostníprostor, H i A, i I (I je nejvýše spočetná indexová množina) takové jevy, že (H i ) > 0, U H i i I Ω, H i H j pro i j (říkáme, že jevy H i, i Itvoří úplný systém hypotéz). a) ro libovolný jev A A platí vzorec úplnépravděpodobnosti: (A) (Hi )(A/H i ) b) ro libovolnou hypotézu H k, k Ia jev A A s nenulovou pravděpodobnostíplatí Bayesůvvzorec: (H k /A) (H )(A/H (A) ) k k. ((H k /A) se nazývá aposteriorní pravděpodobnost hypotézy H k, (H k ) je apriornípravděpodobnost.) Důkaz: ad a) Jev A vyjádříme jako sjednocení neslučitelných jevů: A ( A H ) ak () A ( ) ( ) ( )( ) U A Hi A Hi Hi A/ Hi i I i I i I ( H ) k A (H k )(A/H k ) ad b) ( H / A) k () A (A) U i I. i i I Ilustrace vzorce pro úplnou pravděpodobnost 5
6 ) Bez vracení taháme z urny s a černými a b bílými koulemi. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém tahu vytáhneme černou kouli, jestliže v prvním tahu jsme vytáhli kouli bílou? ) V dostihu zvítězí kůň A (B) s pravděpodobností 0,5 (0,3). Kůň A ztratil na startu příliš a je jisté, že nezvítězí. Jakáje nyní pravděpodobnost, že zvítězí B? říklad ) ( + + + + + + b a a b a b a b a b b a a b a b H A 0,6 0,5 0,3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( H A H H A H A
říklad V první urně je 6 bílých a černé koule, ve druhé jsou 4 bílé a černé koule. Náhodně zvolíme urnu a vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? ravděpodobnost tahu z první (resp. druhé) urny, je /. Označíme-li B [tah bílékoule], U i [tah z urny i], je podle věty o celkovépravděpodobnosti 6 4 7 B) ( B U ) ( U) + ( B U ) ( U ) + 6 + 4 + 4 ( 0,708 7
říklad Automat X vyrobí za směnu dvakrát více výrobku než automat Y. ravděpodobnost vzniku zmetku je u automatu X 0,0, u Y 0,05. o skončení směny se výrobky ukládají do jedné bedny. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek náhodně vybraný z této bedny není zmetek? odle věty o celkovépravděpodobnosti (poměr výrobků v bedně je : ve prospěch automatu X, tj. /3 výrobků pochází od X a /3 od Y),9 ( A) 0,98 + 0,95 3 3 3 0,97 8
říklad Mezi 0 střelci jsou 4 výborní, 0 dobrých a 6 průměrných s pravděpodobnostmi zásahu 0,9, 0,7 a 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že dva náhodně vybraní střelci oba zasáhnou cíl? odle toho, kterádvojice bude vybrána 4 3 4 0 0 9 ( A) (0,9 0,9) + (0,9 0,7) + K + (0,5 0,5) 0 9 0 9 0 9 0,46 9
Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesův vzorec Thomas Bayes (70 76): resbytariánskýduchovní 5.8. oznámka (Návod na použití vzorce pro výpočet úplnépravděpodobnosti a Bayesova vzorce) Nejprve podle textu úlohy stanovíme úplný systém hypotéz, tj,. jevy, které se navzájem vylučujía přitom vyčerpávají všechny možnosti. Vúlohách vedoucích na vzorec pro výpočet úplnépravděpodobnosti se zajímáme o pravděpodobnost jevu, který shypotézami nesouvisí, zatímco vúlohách vedoucích na Bayesůvvzorec nás zajímápravděpodobnost některéhypotézy za podmínky, že nastal jev, který shypotézami nesouvisí. 0
říklad 5.9. říklad: Test obsahuje 00 otázek. Zkoušený si nejprve vylosuje otázku a pak si jeho postup zjednodušeně představíme takto: zná.li správnou odpověď, zatrhne ji. Nezná-li správnou odpověď, zvolí se stejnou pravděpodobností kteroukoliv ze čtyř možných odpovědí. ředpokládejme, že ve skutečnosti zná zkoušený právě k správných odpovědí. a) S jakou pravděpodobností správně odpoví? b) S jakou pravděpodobností je při správné odpovědi pravdivé tvrzení, že zkoušený ve skutečnosti jenom hádal? H zkoušený zná správnou odpověď, H zkoušený nezná správnou odpověď, A zkoušený správně odpoví k 00 00 k 00 ( H ),( H ), ( A / H ),( A / H ) ad a) ( A) ( H ) ( A / H ) + ( H ) ( A / H ) ad b) ( H / A) 00 k k 00 4 ( H ) ( A / H ) 00 00 k ( A) 3k + 00 3k + 00 400 4 00 k + 00 4 3k + 00 400 k 0 0 50 90 (A) 0,5 0,35 0,65 0,95 (H /A) 0,69 0, 0,07
říklad ( ) A 3k + 00 ( H / A) 400 00 k 3k + 00 (A),,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Závislost (A) na k 0, -0 0 0 40 60 80 00 0 k (H k /A),,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 Závislost (H k /A) na k -0, -0 0 0 40 60 80 00 0 k
říklad 5.0. říklad: K osevu byly vybrány dvě odrůdy pšenice, a to 0% první odrůdy a 80% druhé odrůdy. ravděpodobnost, že ze zrna vyroste klas, je pro první odrůdu 0,95 a pro druhou odrůdu 0,98. Jaká je pravděpodobnost, že a) z náhodně vybraného zrna vyroste klas? b) náhodně vybrané zrno, z něhož vyrostl klas, pocházelo z první odrůdy pšenice? c) náhodně vybrané zrno, z něhož vyrostl klas, pocházelo z druhé odrůdy pšenice? d) náhodně vybrané zrno, z něhož nevyrostl klas, pocházelo z první odrůdy pšenice? e) náhodně vybrané zrno, z něhož nevyrostl klas, pocházelo z druhé odrůdy pšenice? Jev A z náhodně vybraného zrna vyroste klas Jev H zrno pochází z první odrůdy pšenice Jev H zrno pochází z druhé odrůdy pšenice ( H ) 0,, ( A H ) 0,95, ( H ) 0,8, ( A H ) 0, 98 ad a) ( A) ( H ) ( A / H ) + ( H ) ( A / H ) 0, 0,95 + 0,8 0,98 0,9 + 0,784 0, 974 ad b) ( ) ( H) ( A / H) 0, 0,95 H / A 0,95 ( A) 0,974 ad c) ( ) ( H ) ( A / H ) 0,8 0,98 H / A 0,8049 ( A) 0,974 ad d) ( ) ( H ) ( H ) H / A ( A A) / ad e) ( ) ( H ) ( H ) H / A ( A A) / 0, 0,05 0,0 0,974 0,06 0,8 0,0 0,06 0,974 0,06 0,3846 0,654 3
říklad ) Jeden ze 3 střelců s pravděpodobnostmi zásahu 0,3, 0,5, 0,8 vystřelil a zasáhl. Jaká je pravděpodobnost, že střílel druhý střelec? 0,5 5 ( A) 3 0,35 0,3 + 0,5 + 0,8 6 3 3 3 ) Mezi 0 střelci je 5 výborných, 9 dobrých a 6 průměrných s pravděpodobnostmi zásahu 0,9, 0,8 a 0,7. Náhodně vybraný střelec ze ran trefil jednou. Jaká je pravděpodobnost, že šlo o výborného (dobrého, průměrného) střelce? 5 0,9 0, ( byl to výborný ) 0 0,43 5 9 6 0,9 0, + 0,8 0, + 0,7 0,3 0 0 0 ( byl to dobrý) 0,457 ( byl to průměrný ) 0,4 4
říklad Víme-li, že pravděpodobnost odhalení AIDS při testu je 0,999, že pravděpodobnost správného otestování zdravého jedince je 0,99 a že AIDS se vyskytuje u 0,006 lidí, jakáje pravděpodobnost, že člověk, u kterého byl test pozitivní, AIDS skutečně má? Označíme-li A [má AIDS], T [test říká AIDS], známe (T A) 0, 999, ( T A) 0,99, (A) 0, 006. Bayesova věta nám dá ( A T ) ( T ( T A) ( A) A) ( A) + ( T A) ( A) 0,999 0,006 0,999 0,006 + ( 0,99) ( 0,006) 0,376 5
Geometrická pravděpodobnost 6.. Motivace: Vněkterých situacích je vhodnézvolit za základníprostor nikoliv obecnou množinu Ω, ale n-rozměrný prostor R n a za možnévýsledky reálnévektory ( x,, x n ) K. Za jevovépole však nevezmeme systém všech podmnožin prostoru R n (ten totižobsahuje i tzv. neměřitelné množiny), ale méně podrobné borelovsképole B n. ÉmileBorel(87 956) francouzský matematik politik, zabýval steorií míry, teorií pravděpodobnosti a teorií her. Byl poslancem francouzskéhoparlamentu a ministrem námořnictva. Na borelovském poli pak speciálním způsobem zavedeme geometrickou pravděpodobnost a dostaneme pravděpodobnostníprostor (R n, B n, Q). 6
Borelovské pole, Borelovské množiny 6.. Definice (Není podstatné, že borelovské pole je generováno právě intervaly typu (, x K (, xn. Mohlo by být generováno i jinými typy intervalů.) 6.3. Věta: Borelovské pole je jevové pole, tzn., že splňuje axiómy J, J6, J8. 6.4. Věta: Mezi borelovské množiny náleží zejména prázdná množina, celý základní prostor, všechny jednobodové, konečné a spočetné množiny, intervaly všech typů, všechny uzavřené a otevřené oblasti a všechna konečná a spočetná sjednocení a průniky těchto množin. Rovněž kartézský součin borelovských množin je borelovská množina, ovšem vyšší dimenze. 7
Borelovsky měřitelná zobrazení, Borelovské funkce 6.5. Definice 6.6. Věta: Mezi borelovské funkce náleží zejména všechny spojité a po částech spojité funkce. Rovněž limita všude konvergentní posloupnosti borelovských funkcí je borelovská funkce. 6.7. Definice: 8
Geometrická pravděpodobnost 6.8. Definice: 6.9. Věta: Geometrická pravděpodobnost je pravděpodobnost ve smyslu axiomatické definice, tj. splňuje axiómy, 0, 5. Trojice (R n, B n, Q) je tedy pravděpodobnostní prostor. 9
říklad 6.0. říklad: Na úsečce AB délky d jsou náhodně zvoleny body X a Y, přičemžvzdálenost bodu X od bodu A je menší nežvzdálenost bodu Y od bodu A. Jakáje pravděpodobnost, že délkaúsečky AX je větší neždélka úsečky XY? ( ) G { } ( ) x, y R ;0 x d,0 y d, x y, B { > } x, y G;x x y y x y A X Y B d G B d x d d d d d mes () () () () B mes G, mes B, Q B 4 mes() G Délka úsečky AX je větší neždélka úsečky XY spravděpodobností0,5. 0
říklad Dívka a chlapec si smluvili schůzku mezi :00 a 3:00. řijdou náhodně v tomto rozmezí a čekají na sebe 0 minut, nejdéle však do 3:00. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají? 3:00 B G mes( G) 5 mes( B) 9 :0 :00 :0 3:00 Q( B) 5 9
říklad Volíme náhodně dvě čísla z intervalu (0,). Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet je menší nežjedna a současně jejich součin menší než0,09? y Řešení 0,09 x x x x + 0,09 0 x 0,, x 0,9 x Q( B) 0,9 0,09 x dx x 0, 0,9775
říklad Buffonova úloha. V rovině jsou rozmístěny rovnoběžky ve vzdálenosti d > 0. Na rovinu hodíme náhodně jehlu délky 0 < l < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou rovnoběžku? Řešení ředpokládejme, že náhodně znamená, že každá poloha (středu) a každá orientace jehly je stejně pravděpodobná a že tyto dvě nahodile proměnné jsou na sobě nezávislé. Nechť x je vzdálenost středu jehly od nejbližší rovnoběžky a φ je úhel, který jehla svírá s rovnoběžkami. mes( A) l sinϕ dϕ 0 Q( A) mes( Ω) πd π l πd 3