Kružnice ve středové kolineaci v rovině. I AB o. IA ' 3. SB 4. B' SB IA'. II AC o. IIA ' 3. SC 4. C' SC IIA' Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.
Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice má s úběžnicí právě jeden společný bod. Obraz má právě jeden nevlastní bod Tímto obrazem je křivka zvaná parabola. Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice má s úběžnicí právě dva společné body. Obraz má právě dva nevlastní body. Tímto obrazem je křivka zvaná hyperbola.
Kružnice ve středové kolineaci mezi rovinami Kružnice ve středové kolineaci mezi rovinami
Kružnice ve středové kolineaci mezi rovinami
Elipsa: E; F ohniska EM ; FM průvodiče EM + FM = a AB hlavní osa CD vedlejší osa EC = FC = a ECS charakteristický trojúhelník a = e + b
Elipsa: Bodová konstrukce. M ' µ EF k E; r = AM '. ( ) 3. k ( F; r = BM ') Elipsa: Oskulační kružnice. k ( D; a). k ( A b) ; 3. p 4. O p CD 5. O p AB o O; r = O A 6. ( ) 7. o ( O; r = OD )
Elipsa:. Zvolme T t : osa FTG 3. Q : Q ET ; FQ t 4. T': T' t; T' T FT' QT' ET ' + QT ' = ET ' + FT ' ET ' + QT ' > EQ = a T vně elipsy t je tečna elipsy Elipsa: Konstrukce tečny elipsy z daného bodu: Q:. d ( E;a). k ( M; r = MF ) 3. Q d k 4. t : osa FQ 5. T t EQ
Elipsa: Konstrukce tečny elipsy z daného bodu: P: EQ = a SP = a P v ( S; a) Konstrukce:. v ( S; a). k - Thaletova nad MF 4. t MP 5. r: r SP; E r Hyperbola: EM FM =± a SHA charakteristický trojúhelník e = a + b OH HS O - střed oskulační kružnice
Hyperbola: Bodová konstrukce: Zvolím M ': Eµ M ' F. k ( E; r = BM '). k ( F; r = AM ') 3. M k k Hyperbola: Tečna hyperboly d - řídicí kružnice v - vrcholová kružnice
Parabola: Parabola: Bodová konstrukce:. Zvolím M ' o. m: M ' m; m d k F; r = dm 3. ( ) 4. M; M k d
Projektivní vlastnosti kuželoseček ( PQAB ; ; ; ) = TT - polára vzhledem k P Je-li Q střed TT, pak P; Q polárně sdružené Průměry a střed kuželosečky Středy všech vzájemně rovnoběžných tětiv kuželosečky leží na téže přímce Průměr kuželosečky přímka určená středy dvou navzájem rovnoběžných tětiv
Průměry a střed kuželosečky Všechny průměry kuželosečky se protínají v jednom bodě Střed kuželosečky průsečík dvou průměrů Průměry a střed kuželosečky
Průměry a střed kuželosečky Projektivní vlastnosti kuželoseček Q polárně sdružený ( PQAB ; ; ; ) = ( PQA B) ; ; ; = ( PQA ; ; ; B) ( P; QA ; ) = = ( PQA ; ; ) = A je střed PQ ( P; QA ; ) ( P; Q; B)
Konstrukční úloha x x Sestrojte parabolu, jsou-li dány její tečny t y = 30, t y = 50 a na nich body dotyku 3 T = [ 30;? ]; T = [?; 30]. Sdružené průměry Průměr kuželosečky je sdružený s tětivou právě tehdy, když prochází jejím středem Průměry kuželosečky jsou vzájemně sdružené právě tehdy, když jeden je sdroženou tětivou druhému.
Afinita mezi kružnicí a elipsou. p - osa SS '. O p o k '' = o, r = SO 4. I, II k '' o 3. ( ) Afinita mezi kružnicí a elipsou Využití proužkové konstrukce: Dáno A;B; obecný bod M. o - osa AB. k ( M ; a) 3. P k o 4. R PM AB 5. b = MR
Afinita mezi kružnicí a elipsou Rytzova konstrukce: Dány stružené průměry MN; PQ; Navrhli: Bezierovy křivky Pierre Étienne Bézier (90-999) pro firmu Renault. Paul de Casteljau (nar. 930) pro firmu Citroën. stupně úsečka: ( ) = P0 + ( P 0) ( ) = P0 + Pt P0t ( t) P ( t) + P Qt Qt Q P t = t 0 ( ) p0 ( ) () p ( ) q t = t + p t q t = t + p t 0 Rhinoceros: Křivka/Volný tvar/řídicí body, zadat stupeň
. stupně: Bezierovy křivky A B () t = P0 ( t) + P t () t = P ( t) + P t () = A()( t t) + B() t t () t 0 ( t) t ( t) B() t () t = P ( ) + P ( ) + Qt Q = P + P + t Q t t t 0 P ( t) P t t () P0 ( t) P t ( ) P + + Q t = + t + t Rhinoceros: Křivka/Volný tvar/řídicí body, zadat stupeň 3. stupně: Bezierovy křivky A B () t = P0 ( t) + P t () t = P ( t) + P t () ( ) ( t) ( ) () t = P ( t) + P3 t () ( ) ( t) () () ()( t) () C t D E t Qt = A t + B t t = Bt + Dt t = C t + E t t 3 = Qt () P i B i( t ) i= 0 3 (3) B0 () t ( t) (3) B () t = 3t t ; (3) = ; B () t 3t( t) (3) 3 ( ) B3 () t = t Rhinoceros: Křivka/Volný tvar/řídicí body, zadat stupeň 3 = ;
B-splajn křivky Křivka: () t c ( t) c ( t) c ( t) c0( t) + c ( t) +... + cn ( t) = Bázové funkce - 0( ); ( );...; n ( ) Splajnové funkce ( ) ( ) ( ) Q = 0 P0 + P +... + n P n Bázové splajnové funkce = bázové + splajnové c t c t c t jsou lineárně nezávislé c0 t ; c t ;...; c n t umožňují napojování až do hladkosti ( n ) G Bázové splajnové křivky (B splajn křivky) určeny bázovými splajnovými funkcemi Nedostatky B-splajn křivek: ) Nelze přesně modelovat eliptické a hyperbolické oblouky ) Nejsou invariantní vůči projektivním transformacím NURBS křivky P0; P;...; P n euklidovští reprezentanti bodů projektivního prostoru, f0() t ; f() t ;...; fn () t bázové funkce takové, že t D: f0( t) + f( t) +... + fn ( t) = NURBS křivka v projektivním prostoru: () t ω f () t ω f () t... ω f () t ω f () t Q = P + P + + P = P 0 0 0 ω0; ω;...; ω n váhy bodů P0; P;...; P n ω= ( ω0; ω;...; ωn ) váhový vektor Geometrický význam váhy Rhinoceros: n n n i i i i= 0 n Změna vah všech bodů ve stejném poměru nemá vliv na tvar křivky
V projektivním prostoru Rational Non-Uniform Rational Basic Spline Curves ( t) ω f ( t) ω f ( t) ω f ( t) Q = 0 0 P0 + P +... + n n P n Q Q ( t) = ω f ( t) ( p ; p ;) + ω f ( t) ( p ; p ;) +... + ω f ( t) ( p ; p ;) 0 0 0 0 n n n n ( 0 0 0 n n n ( t) = ω f ( t) p + ω f ( t) p + + ω f ( t) p ω ( ) + ω ( ) + + ω ( ) ω0f0( t) + ωf ( t) +... + ωnfn( t))... ; f t p f t p... f t p ; 0 0 0 n n n Q = ( i i i i i i i i ) () t ω f () t p ; ω f () t p ; ω f () t ωifi t pi ωifi t p i Kartézské souřadnice: Qt () = ; ωifi() t ωifi() t ( ) ( ) NURBS křivka. stupně ( ω ; ω ; ω ) ( ; ω;) 0 = ; 0 t V ( ) ω OV = OP + ω = Q ω = OV ω OP = = + ω OP ( POV ; ; ) = a ( ) POVV ; ; ; ' = parabola
NURBS křivka. stupně ( ω ; ω ; ω ) ( ; ω;) 0 = ; 0 t V ( ) OV ω OP + ω = Q = ω < OV < VP ω + ω < ( PV ; ) ( POV ; ; ) = < ( OV ; ) ( POV ) ( POVV) ( POV) ; ; ; ' ; ; ; ' = = ; ; = ; ; ' ; ' ( ) ( OV POV ) ( PV) < ( P V ) ( O V ) ; ' > ; ' elipsa ( 0;) NURBS křivka. stupně ( ω ; ω ; ω ) ( ; ω;) V 0 ( ) = ; 0 t OV ω OP + ω = Q = ω ω > + ω > OV > VP ( POV) ( PV ; ) ( OV ; ) ( POV ) ( POV) < ; ; = < 0 ( POVV) ( OV) ( ) ; ; ; ' ; ; ; ' = = ( POV ; ; ) = ; ; ' ; ' PV ( ;0) ( P V ) ( O V ) ; ' < ; ' hyperbola Rhinoceros: Zobrazit jakoukoli kružnici, elipsu, parabolu, hyperbolu a podívat se na váhy >