Relatiistiká dynaika Díky Lorentzoý transforaí ají základní ronie elektroagnetiké teorie Maxwelloy ronie nenný tar e šeh ineriálníh sostaáh. To saozej neplatí pro základní ronie ehaniky Newtonoy pohyboé ronie, které jso inariantní poze pi transforaíh Galileoýh. Je proto nezbytné nalézt i pro základní zákony ehaniky hodný tar, inariantní pi transforaíh speiální teorie relatiity. Klasiké pohyboé ronie oše ožjí spolehlié ýpoty poalýh ineriálníh sostaáh a íe již také, že Galileoy transforae jso liitní pípade Lorentzoýh transforaí pro alé ryhlosti (e sronání s ryhlostí stla. Proto by bylo ideální, kdyby se noý tar ehanikýh pohyboýh roni píliš nelišil od klasikého Newtonoa tar a pi liit nízkýh ryhlostí se pak s ní pío ztotožnil. K noý pohyboý ronií lze dospt - jako ždy pi odozoání fyzikálníh ztah - rzn koplikoanýi zpsoby, které se liší zejéna stpn obenosti podínek a ateatikýh postp. V následjííh ádíh proedee odození dosti jednodhý zpsobe, s yžití již získanýh znalostí (o transforaíh ryhlostí a také s yžití té sktenosti, že ehanie kro Newtonoýh zákon existjí i jiné (z nih odozené ronie, které yjadjí tak zásadní fyzikální ztahy e st, že lze oekáat jejih platnost i teorii relatiity. Jde napíklad o tz. zákony zahoání (hybnosti, oent hybnosti a energie Prozkoeje proto nyní podínky platnosti prn jenoaného zákona zahoání elkoé hybnosti zaené sosta hotnýh bod. Sledje konkrétn dokonale pržno srážk do stejnýh kolí, ideáln hladkýh. Tyto pedpoklady znaenají, že na kole nepsobí žádné njší síly, a že nitní síly sostay tj. síly zájeného psobení (pi sráže - jso konzeratiní, že tedy platí zákon zahoání elkoé ehaniké energie (a nedohází k její pen na teplo. Dokonale hladký kloý porh pak zarje, že pi sráže neexistjí tené síly (které by zpsobily rotai, poze síly sjíí do sted kolí. Stejné kole pak saozej ají stejno hotnost (zeno soadné sosta, kde jso kole klid to je tz. klidoá hotnost tlesa. Pro srážk kolí stanoíe dále tyto podínky : Kole íslo o hotnosti neh je nejpre klid sosta S poátk této sostay a kole íslo o hotnosti ( je klid na njaké íst kladné ásti osy y sosta S, která se pohybje nášio ryhlostí e sr spolenýh x-oýh os (šehny tyto osy leží e odoroné roin.
Pozoroatel sosta S neh poto ypstí koli íslo z poátk této sostay kladné sr osy y ryhlostí a koli íslo ypstí pozoroatel sosta S (e hodné ase, aby došlo k zájené sráže z ísta na kladné ásti osy y záporné sr této osy ryhlostí, která je stejn elká (absoltn, jinak á opaný sr jako ryhlost prní kole (iz obr.. Vektory poáteníh ryhlostí thto kolí ped srážko jso tedy definoány : p p ( 0, ( 0, ( 0, Pedpokládeje nyní, že pro hybnost hotného bod (tlesa bez rotae bde e speiální teorii relatiity platit foráln stejný ztah jako klasiké fyzie : p A napiše zákon zahoání hybnosti sosta S, i sosta S, e for ronosti elkoé hybnosti obo kolí ped srážko a po sráže : p p po po p p po po S pooí obrázk si pak žee proyslet, jak obo sostaáh ypadají jednotlié ektory ryhlostí. Uaže pito, že pi pržné sráže bez rotae se nezní kinetiká energie posného pohyb kole a nezní se tedy elikost její ryhlosti. V dsledk entrálníh sil pi sráže (hladký porh se pak prní kole pohybje po sráže stejno ryhlostí na ose y, ale opaný sre, stejn tak se zní y-oá soadnie ryhlosti drhé kole, ale její x-oá soadnie zstane stejná (podobn sosta S
Dostááe tedy : p ( 0, p (, po ( 0, (, po p (, ( 0, po (, po ( 0, p Kopletní dkaz by yžadoal požití zákona zahoání hybnosti obo sostaáh. Pro získání ýsledk šak postaí ýpoet jedné sosta (požití drhé sostay ede ke stejné ztah, dokazje poze jeho obeno platnost e šeh ineriálníh sostaáh. 3
4 Dosadíe proto ýše edené soadnie ryhlostí do ektoroé ronie zákona zahoání hybnosti sosta S, tj. dosadíe nejpre x-oé a poto y-oé soadnie. Dostanee tak d ronie skalární : 0 0 ( ( Prní ronie dáá triiální ztah, ale ronie drhá poskytje žitený ýsledek : Požije nyní inlé kapitole odozenýh transforaníh ztah pro ryhlosti ineriálníh sostaáh. Napiše konkrétn ztah pro ryhlost, která je y-oo soadnií ryhlosti drhé kole sosta S (tto ryhlost áe zadano poze sosta S jako, pito x-oá soadnie je zde ždy nloá, iz ýše ektory ryhlostí : 0 y y x Po dosazení ýsledk do ronie ráek dostanee : Po ykráení žee konstatoat, že ezi hotnosti do stejnýh tles jedné sosta ( S, které se od sebe odlišjí poze sýi ryhlosti, je tedy ztah : Lze také íi, že jde o hotnosti jednoho a téhož tlesa rznýh pohyboýh staeh., které jso reny da ryhlosti : lastní ryhlostí kole a nášio ryhlostí sostay. Pro jednoznané stanoení pohyboého sta je ntné li jedné ryhlosti yloit. Neh tedy poátení ryhlost ypštní kolí konergje k nle, tj. srážka je nekonen poalá : 0 Poto již dostanee jednoznan :.. je hotnost kole, která je klid S. tz. klidoá hotnost tlesa o.. je hotnost kole, která S á ryhlost. tz. okažitá hotnost tlesa A žee napsat : o (
Ryhlost zde již neystpje jako nášiá ryhlost e ztah do sosta, nyní to je ryhlost tlesa (hotného bod ineriální sosta, proto proedee ješt zn na standardní oznaení této ryhlosti ( : o ( okažitá hotnost tlesa Hotnost tlesa dané ineriální sosta je rostoí fnkí elikosti okažité ryhlosti, ktero se tleso této sosta pohybje. Ve speiální teorii relatiity již tedy není hotnost nenno eliino, ale je záislá na pohyboé sta tlesa, na rozdíl od klidoé hotnosti, která sí být stejná každé ineriální sosta (je to inariantní eliina. Ze ztah pro hotnost idíe jasn fyzikální dod konené (ezní ryhlosti tles e speiální teorii relatiity : kdyby se ryhlost tlesa la piblížit ryhlosti stla, pak by se hotnost tlesa zyšoala nade šehny eze : o ( A ronž by do nekonena rostla práe potebná pro takoé ryhlení tlesa (jeho kinetiká energie iz další kapitola ož jist také není ožné. Záre si šine, že je opt otrzena požitelnost klasiké fyziky pro alé ryhlosti : této liit pehází pronná relatiistiká hotnost na konstantní hotnost klidoo : 0 o ( o Nezapoee, že jse zkoali platnost zákona zahoání hybnosti teorii relatiity a nalezený ztah pro hotnost je lastn podínko pro to, aby hybnost tlesa (hotného bod ohla být definoána jako klasiké fyzie soine jeho hotnosti a hybnosti : p ( o relatiistiká hybnost V dané ineriální sosta S pak e shod s klasiko ehaniko pokládáe asoo zn hybnosti tlesa za proje síly, která této sosta na tleso psobí : dp dt F pohyboá ronie e speiální teorii relatiity 5
V toto tar již pohyboá ronie je inariantní i Lorentzo transforai, tj. pejdee-li k jiné ineriální sosta (árkoané, bde opt platit : dp F dt Základní ronie ehaniky á tedy nyní e šeh ineriálníh sostaáh stejný tar, splje již také prní Einstein postlát. Je eli ýhodné, že se foráln shodje s klasiko Newtonoo pohyboo ronií, poze konstantní hotnost tlesa je nahrazena pronno relatiistiko hotností, záislo na ryhlosti tlesa. To je také dod, pro teorii relatiity neže platit znáý inženýrský ztah : F a nebo již není ožné ytknot deriai konstant : dp F d d d dt dt dt dt ( d a a Oše s tí, jak se liit alýh ryhlostí okažitá hotnost stáá konstantní, se prní len na praé stran blíží nle a je tak zela jasné, že klasiké Newtonoy ronie jso opt liitní pípade relatiistikýh ztah pro ryhlosti, daleko enší než ryhlost stla. dt Neáe tedy oprad žádné dody nit kli teorii relatiity ýpotoé postpy klasiké ehaniky pi bžnýh tehnikýh aplikaíh e strojírenstí, staebnití, dopra, atd. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- kone kapitoly K. Rsák, erze 04/005 ást. re. 03/007 6