Dynamika pevného tlesa

Transkript

1 Dynaia peného tlesa Dále se buee porobnji noat tuhé sousta hotných bo jao oelu peného tlesa. ento speciální pípa soustay hotných bo lze jenouše charaterizoat nennýi zálenosti ezi jenotliýi boy, teré jsou slee jejich onstantních proi. žišt tuhé soustay á tey taé nennou, onstantní polohu : ro r onst. tžišt tuhého tlesa Pro pohyb peného tlesa saozej platí šechny ronice, oozené pechozích apitolách pro obecnou soustau hotných bo : Pi stuiu choání tlesa za rzných poíne lze ýhon yužít rozlau obecného pohybu tlesa na posuný pohyb aný pohybe tžišt a na rotaní pohyb ole osy joucí tžišt. onž jsou platné z obecného pohybu oozené poíny lioé ronoáhy tlesa, y neochází ani translaníu, ani rotaníu pohybu tlesa. Stejn ta žee yužíat ztahy oozené pro izoloanou uzaenou soustau, na terou nepsobí žáné njší síly. A saozej použíáe taé eialentní soustay sil, teré ají stejnou ýslenici i stejný ýslený siloý oent jao poní njší síly. Dále si uážee, ja nenný tar tles uožní zaeení noé fyziální eliiny - oentu setranosti tlesa - a ja tato eliina ýrazn zjenouší ruhou ipulzoou tu. ejpre se buee zabýat ineticou energii tlesa s yužití prá znalostí o rozlau obecného pohybu na pohyb translaní a pohyb rotaní. ejjenoušší jist bue ýpoet pípa translace tlesa : Kineticá energie pi posuné pohybu tlesa, y se šechny jeho boy pohybují stejnou rychlostí jao tžišt, tj. platí : o Kineticou energii tlesa poto ypoítáe, s yužití tohoto ztahu, jao souet ineticých energií šech hotných bo ále bue ytnut arát rychlosti :

2 in W estliže použijee ztah pro celoou hotnost tlesa, ostanee naonec : in W ineticá energie tlesa pi translaci Z tohoto ztahu je zejé, že ineticá energie tlesa pi translaci je rona ineticé energii tžišt. Ponu složitjší než u translace jsou žy ýpoty spojené s rotací : Kineticá energie pi rotaní pohybu tlesa ole osy procházející tžišt a pepoláeje jao íe nejjenoušší pípa pené osy, terá bue saozej opt yjáena jao souet ineticých energií šech hotných bo, s yužití znáého ztahu pro obooou rychlost ruhoého pohybu: r α s r Pro ýpoet ineticé energie potebujee oše jen eliost tohoto etoru iz obr. : sin r r α e je polor ruhoého pohybu, tj. olá zálenost hotného bou o osy rotace. Kineticá energie šech hotných bo tey bue osaíe a ytnee onstanty: in W

3 yní je prá as pro zaeení noé fyziální eliiny : oent setranosti tlesa Pozn. : Pošinte si, že tato salární eliina je urena rozložení hotných bo zhlee ané ose otáení, pi jiné ose otáení u stejného tlesa nabýá tey zcela olišné honoty. Vznilá ponu nepehlená situace, y jeno tleso á lastn neonen noho oent setranosti pro neonen noho ožných os rotace, pa byla teoreticé echanice yešena zaeení tenzoru setranosti. S yužití oentu setranosti pa ztah pro ineticou energii rotace nabue jenouchého taru, terý je foráln poobný zorci pro translaci : W in ineticá energie tlesa pi rotaci Cele pa, pro obecný pohyb tlesa, lze ineticou energii yjáit jao souet obou pechozích ýraz pro energie jeho translaního a rotaního pohybu : W in ineticá energie peného tlesa pi obecné pohybu a ale zísáe potebné eliiny a pro osazení o této ronice? Bue nutno najít a yešit pohyboé ronice tlesa - pro jeho pohyb translaní i rotaní : Z pechozích apitol íe, že translace tlesa je urena pohybe tžišt. Proto rychlost translaního pohybu tlesa, ronou rychlosti pohybu tžišt, zísáe yešení pohyboé ronice tžišt, terou již znáe z obecných ztah pro soustau hotných bo : r o F pohyboá ronice tžišt Pozn. : Pipoee, že ueená ronice znila z prní ipulzoé ty poté, yž jse efinoali tžišt a piaili jse u lastnosti celé soustay tlesa hotnost, hybnost a psobící sílu. žišt tlesa se pole této ronice pohybuje jao hotný bo o hotnosti celého tlesa, na terý psobí ýslená njší síla. Pohyboá ronice tžišt je proto prní pohyboou ronicí tlesa. 3

4 Dále už taé íe, že eistuje ateaticý ztah popisující rotaní pohyb tlesa : B M. ta ipulzoá Poznali jse, že tato ronice byla sice oozena pro inerciální souané soustay, ale že náhoou z ou hon zolených lastností tžišt platí taé sousta tžišoé - a že tey žy jenoznan popisoat rotaci ole osy joucí tžišt. Potebná úhloá rychlost se této ronici ale pío neysytuje, naší alší úole proto bue transforace.ty o noých pronných úhloých eliin : apíšee zálaní tar.ty ipulsoé s rozepsání jenotliých oent hybnosti : b M A proeee rozla šech etor o složy ronobžné s osou rotace a o složy olé této ose - sprán prostoru lastn o ou slože olých ose rotace - oše na obrázu proeené poloperspetiní zobrazení je pro jenouchost zareslena pouze jeiná olice ose ruhá by ela olo náresn, stejn ta i ronice obsahuje pouze jenu olou složu : b b M M ε s M r M b α b α b M 4

5 5 Leou stranu upraíe pole praila o eriaci soutu funcí : M M b b Osy slože jsou pípa pené osy rotace stabiln stanoeny je to lastn náš artézsý tžišoý souaný systé, proto složy etor i jejich asoé zny ají stejný sr tchto os. Z ronosti etor na praé a leé stran ronice pa plyne i ronost jejich slože, tey platí : b M b M Vnuje se ále ronobžný složá : Vypoíteje ronobžnou složu oentu hybnosti liboolného hotného bou postaí její eliost : sin r sin r sin b b α α α Použijee ješt ztah pro eliost obooé rychlosti ruhoého pohybu : sin r r α Po její osazení bue ronobžná složa oentu hybnosti : b Protože na leé i praé stran ronice jsou eliosti ronobžných etor, lze psát tuto ronici etoro : b ento ztah pa osaíe o ronice pro asoou znu ronobžné složy oentu hybnosti : b M A upraíe její leou stranu s yužití efinice oentu setranosti tlesa pro rotaci ole ané osy : ε b Vzniá ta jenouchá ronice, foráln poobná obré pro zapaatoání obyejné ewtono pohyboé ronici :

6 ε M pohyboá ronice pro rotaci tlesa ole pené osy Sloní yjáení : úhloé zrychlení rotaního pohybu tlesa je pío úrné ronobžné složce ýsleného oentu njších sil a nepío úrné oentu setranosti tlesa. Ooili jse ta : ruhou pohyboou ronici tlesa e specificé for pro rotaní pohyb ole pené osy joucí tžišt tlesa obrosý poet technicých apliací ša oáá této zjenoušené ronici ysoý stupe ležitosti. Pozn. : Kolá složa olé složy oentu njších sil se snaží pouze znit polohu osy rotace yrátit ji, u teoreticé pené osy oše bezýslen. Pecho reálnéu tlesu iž áno je znáo, že reálná tlesa se sláají z ato oleul, iont o rozrech pibližn -, což je jist eli obrá pestaa soustay hotných bo. ejich obrosý poet - áu Aogaroa ísla 3 na ol - sice praticy zneožuje ýpoty ateaticých sout su, oolí ná ša pestau hoty jao azispojitého prosteí. Pa lze efinoat eliinu V je zolený liboolný nepatrný eleent objeu a je jeho hotnost : ρ V hustota hoty Sloní yjáení : hustota hoty je íseln rona hotnosti jenotoého objeu ané íst zouaného tlesa obecn je to salární funce ísta. Poto tleso rozlené na eliý neonený poet objeoých eleent je lastn liitní pípae soustay hotných bo o hotnostech : ρ V A šechny íe probrané ateaticé suy pecházejí této liit neoneného potu objeoých eleent na urité objeoé integrály, napíla : ρ V celoá hotnost tlesa V 6

7 ro r ρ V V tžišt tlesa V ρ V oent setranosti yto integrály, eentuáln i alší poobné ýrazy pro celoou hybnost a celoý oent hybnosti, ohou být saozej aplioány nejen na pená tlesa, ale i na azispojité prosteí apalin a plyn y oše neá sysl napíla eliina oentu setranosti. Dopln : Steineroa ta iž pi zaeení oentu setranosti jse si uoili jenoznanou záislost této eliiny na rozložení hotných bo soustay tlesa onrétn na jejich zálenosti o uažoané ose rotace. e zejé, že s rostoucí záleností tlesa o osy rotace, se oent setranosti ýrazn zyšuje e zorci jsou aráty zálenosti hotných bo o osy a to neoezen a naopa pi pibližoání tlesa rotaní ose usí lesat njaé nenuloé iniální honot ro nereálného pípau, y by šechny hotné boy tlesa ležely pesn ose rotace. Pi rozboru tohoto probléu se opt projeí ýjienost hotného steu tlesa, protože pi zaané sru tj. pro šechny ožné ronobžné osy rotace - je nejenší prá oent setranosti ose procházející tžišt. Pestae si tey njaou osu rotace o a jinou osu rotace o s ní ronobžnou iz obráze : o' o z a y z α r y 7

8 8 Pole efinice platí pro oent setranosti zhlee ose o iz prní ást této apitoly : e je olá zálenost hotného bou o osy rotace o. Poto pro oent setranosti zhlee jiné ronobžné ose o bue platit analogicy: Kolou zálenost stejného hotného bou o ruhé osy rotace yjáíe s yužití souanic na obrázu : y a ento ýraz žee uprait uocnní a sesupení len : a a y a a y a ebo pole obrázu platí : y yní osaíe o ztahu pro ároaný oent setranosti, roznásobíe a rozlíe leny : a a a a V prní a tetí lenu na praé stran lze ytnout onstanty : a a Dále žee prní lenu seíst hotnosti šech hotných bo o celoé hotnosti tlesa, ruhý len je pío poní oent setranosti i ose joucí tžišt a tetí len je nuloý, nebo tžišoé sousta platí etoroá ronice plynoucí z nuloého proie tžišt : r A tato ronice je eialentní te salární ronicí pro jenotlié souanice : y z Dostááe ta jenouchý ztah :

9 a Steineroa ta ento ztah ná obe oazuje iniální honotu oentu setranost pro osu joucí tžišt, nebo jaáoli jiná ronobžná osa á oent setranosti ztšený o souin hotnosti tlesa a arátu zálenosti obou os což je lastn oent setranosti tžišt tlesa ose rotace. Steineroa ta taé ýrazn zjenoušuje ýpoty oent setranosti liboolný rotaní osá pi znalosti oenty setranosti i osá joucí tžišt tlesa. Dopln : Kyala Fyzicé yalo azýáe ta jaéoli tleso, teré je otoné ieáln bez tení ole pené ooroné osy neprocházející tžišt. e jasné, že lioé ronoážné poloze je tžišt tlesa nejnižší ožné poloze a je to ísto jeho stabilní ronoáhy. estliže yalo z ronoážné polohy ychýlíe o njaé rajní polohy a náslen uolníe, objeí se oent njší síly tíhy tlesa, terý psobí proti ýchylce a rací yalo zpt o ronoážné polohy. Bhe tohoto pohybu se oše potenciální energie yala znilá jeho ychýlení peuje pole záona zachoání echanicé energie na energii ineticou, taže se yalo olní poloze nezastaí, ale porauje pohybu na ruhou stranu, ou se jeho ineticá energie zase nepení zpt na energii potenciální e ruhé rajní poloze a opt se rací ronoážné poloze,.at. - ta zniá perioicý itaý pohyb yala. ento pohyb je oše principiáln pohybe rotaní, a tey pi jeho eatní antitatiní ešení usíe ycházet z ronice pro rotaní pohyb tlesa ole pené osy : ε M ejpre uríe sr a orientaci etoroých eliin této ronici, pito yužijee našich znalostí etoroého zápisu úhloých eliin z apitoly Kineatia hotného bou. a násleujícího obrázu terý je pro tší názornost perspetiní zobrazení je yalo zaresleno pi ýchylce opraa, y tžišt stoupá o praé rajní polohy. 9

10 ε M M ϕ ϕ ϕ z osa rotace l G Poáte ztažné inerciální soustay O je uístn na pené rotaní ose o o teré žee položit jenu ze souaných os, napíla osu z, polohoý etor tžišt je oznaen jao l. Klaný sr oetu opsaného úhlu je stanarn zolen proti sru hoinoých ruie iz obr.. Zálaní ýhoou pené osy je to, že ní leží šechny etoroé úhloé eliiny rotujícího tlesa tj. šech jeho bo etor opsaného úhlu ϕ, úhloá rychlost a úhloé zrychlení ε. Pi rychlosti tžišt pole obrázu tleso se prá ychyluje z ronoážné polohy opraa a jeho tžišt stoupá zhru je laná orientace etor a ϕ efinoána pole stanarní olby - aby spolu s etore poloru ruhoého pohybu ze l a etore rychlosti toily praotoiý systé - tj. oba etory sují z náresny ná perspeti na obrázu zpraa olea a stejn ta zolíe laný sr rotaní osy z.

11 otace tlesa se oše zpoaluje a naonec se praé rajní bo zastaí, úhloá rychlost tey lesá proto je orientace etoru úhloé zrychlení ε prá opaná záporné sru osy z o náresny, iz obr.. Poznáa : Zopaujte si za D.c. etoroé efinice úhloých eliin a proyslete, ja se buou pi alší pohybu yala nit jejich eliosti i orientace. a íe z pechozí apitoly, je prá tžišt nejjenoušší psobišt tíhy tlesa, terá je jeinou njší silou. ejí oent je pa : M l G Uážíe-li pole obrázu, že oba etory l a G leží jené roin náresn, olé ose rotace, pa pole efinice etoroého souinu taé etor siloého oentu á pesn sr této osy iz obráze. e tey etor siloého oentu pío roen sé složce ronobžné s osou rotace a taé saozej sojí z oé složce M M A jeho eliost je jao eliost etoroého souinu : M M l G sinϕ l g sinϕ Orientace tohoto etoru je ale opaná než orientace etoru úhloé rychlosti a opsaného úhlu ϕ - á sr záporné ásti rotaní osy, tj. osy z suje o náresny, iz obráze. Proto je jeho z-oá souanice záporná a absolutní eliosti roná eliosti etoru souanice na ostatních osách a y jsou saozej nuloé, tey : M z M z l g sinϕ Viíe taé, že orientace ronobžné složy oentu síly je naprosto stejná jao etoru úhloého zrychlení ε - oba etory tey ají záporné z-oé souanice a nuloé souanice a y. yto ýsley jsou oonalé sho s pohyboou ronicí ja jina : ε M protože pi žy lané oentu setranosti znaená tato ronice píou úru etor ε a M - tj. jejich stejný sr a orientaci. Abycho ohli pohyboou ronici pro rotaci onrétn yešit, usíe ji rozepsat o souanic :

12 Protože souanice etor již áe rozyšlené, je ná jasné, že ostanee jeinou nenuloou ronici, pro z-oé souanice : ε l g sinϕ Úhloé zrychlení žee stanarn yjáit jao ruhou eriaci opsaného úhlu : ϕ l g sinϕ Peeení na leou stranu a osaostatnní ruhé eriace ee e stanarníu taru iferenciální ronice : ϕ l g sinϕ Pou zaeee noou eliinu : l g a použijee ateaticého foralisu pro oznaení eriace, znine nejjenoušší ožný tar ronice : ϕ sinϕ pohyboá ronice fyzicého yala obecná ejí ešení není jenouché, nebuee ho proá, taé z ou, že zásaní ýzna á zjenoušený tar této ronice za pepolau alých ýchyle yala ateaticy neonen alých, tj. : ϕ Pa totiž platí pro funci sinus : A ostanee : sin ϕ ϕ ϕ ϕ pohyboá ronice fyzicého yala pro alé ýchyly ato ronice je foráln ateaticy stejná s ronicí lineárního haronicého oscilátoru, terou buee tepre probírat apitole Kity a lny. y y Pito si uážee, že její obecný ešení pro ýchylu y hotného bou je znáá sinusoa : y y t A sin t ϕ o V toto ztahu je A aplitua it - aiální honota ýchyly, o je fázoá onstanta a je úhloá freence yjáená poocí oby itu nebo poocí freence it f :

13 π π f ešení naší pohyboé ronice fyzicého yala tey usí taé být foráln stejná sinusoa, ale pro úhloou ýchylu : ϕ ϕ t A sin t ϕo ešení pohyboé ronice yala pro alé ýchyly Fyzicé yalo tey pi alých ýchylách oná tz. haronicé ity s úhloou freencí : l g úhloá freence fyzicého yala pro alé ýchyly Doba itu fyzicého yala je pa : π π l g oba itu fyzicého yala pro alé ýchyly Doba itu je asoou perioou pohybu aného itaého pohybu, tj. obou za terou se opauje njaý liboolný pohyboý sta - u yala ji lze názorn popsat jao obu pohybu yala z jené rajní polohy o ruhé a zpt. asto se taé použíá eliina oba yu jao oba, za terou se usutení jeen y, tj. pohyb yala z jené rajní polohy o ruhé : π l g oba yu fyzicého yala pro alé ýchyly ezapoee, že uáné ztahy platí pesn pouze liit pro neonen alé ýchyly yala. Pi nenuloých ýchylách se tyto oby ochylují, nap. : pi aplitu it A.. o, % 5....,5 %..., % Pi praticých eperientech ení se oporuují aiální ýchyly aplituy o 5. Speciální, ezní pípae fyzicého yala je tz. ateaticé yalo, teré toí alá ulia hotnosti na eli lehé zásu ély l, teoreticy žee íci, že to je hotný bo na nehotné tuhé lán iz obráze. 3

14 ϕ l G Všechny ýše ueené zorce zstáají platnosti a naíc žee lehce ypoítat oent setranosti tohoto yala iz efinici prní ásti této apitoly : l Po osazení o ztahu pro obu itu ostanee : l π π π l g l g l g Dostááe ta eli zajíaý ýslee, že itání ateaticého yala bec nezáisí na hotnosti, ale je funcí pouze ély jeho zásu : l π g oba itu ateaticého yala pro alé ýchyly Další eliinou paraetre zísané ztahu je graitaní tíhoé zrychleni graitaní onstanta, nasýtá se ta ožnost jeho stanoení ze zené oby itu a z ély zásu yala. Protože ateaticé yalo je spíše abstratní teoreticý poje a pousy o jeho realizaci eou ýrazný nepesnoste, použíá se taoéu ení graitaní onstanty yalo fyzicé. Zálaní neýhoou fyzicého yala je oše to, že o zorce pro obu itu potebujee znalost oentu setranosti. o lze ale obejít násleující zpsobe : 4

15 estliže áe ispozici fyzicé yalo s oente setranosti a alšíi paraetry a l a toto yalo á uritou obu itu pole ýše ueeného ztahu : π l g Pa jist eistuje njaé a to jeiné ateaticé yalo s taoou élou oznae ji l re, že jeho oba itu je stejná : π l g re Z ronosti tchto ztah pa plyne : l re l reuoaná éla fyzicého yala Slon : euoaná éla fyzicého yala je taoá éla yšleného ateaticého yala, teré á stejnou obu itu jao ané fyzicé yalo. Pi její znalosti bycho pa jist ohli ze zené oby itu yala urit graitaní tíhoé zrychlení ané íst. euoanou élu jaéhooli fyzicého yala lze jist principiáln ypoítat pole ueeného zorce z hotnosti yala, z jeho oentu setranosti a ze zálenosti tžišt o osy otáení. aoý ýpoet by ale byl zatížen znanou chybou, plynoucí z pesnosti zení taru yala, pesnosti jeho ýroby a z lastností použitého ateriálu hoogenita, proto se stanoení reuoané ély proáí násleující eperientální postupe : Pestae si, že u aného fyzicého yala e zálenosti l re o osy otáení na opanou stranu o tžišt ytoíe ruhou osu otáení znine tz. reerzní yalo yalo se a osai. Pa je ožno oázat, že oba itu ole této ruhé osy bue pesn stejná jao ole osy prní. Pozn. : Pouste se sai ooit - uažte, že reuoaná éla pro ity ole ruhé osy je stejná ja pro prní osu, pito použijte Steinerou tu. e tey taé zejé, že liboolné ose rotace fyzicého yala ro osy joucí tžišt žy eistuje ruhá reerzní osa se stejnou obou itu. Kažé fyzicé yalo tj. ažé tleso á proto neonen noho ožných ojic rotaních os se stejnýi obai itu oba itu jené ojice os se saozej liší o oby itu jiné ojice. 5

16 Prá tuto úahu žee obe eperientáln yužít : yž u aného fyzicého yala naleznee jaéoli rzné osy, teré ají stejné oby itu, pa jejich zálenost je roná reuoané élce tohoto yala. yto honoty žee pa osait o zorce pro ateaticé yalo : π l g re A z nj lehce ypoítáe graitaní tíhoé zrychlení : g 4 π l re Hleání ou os se stejnýi obai it je oše taé jist zatíženo nohýi nepesnosti, nebo usíe posunoat osy, ontroloat jejich ronobžnost a it jejich zálenost a oby itu. Proto se prai postupuje ta, že tyto osy se pee yrobí a pesn se stanoí jejich nenná zálenost. Pi eperientu se pa í pouze oby itu ole obou os a ní se oent setranosti yala njaou posunou ástí na yale, až se nalezne shoa jejich ob itu a tato oba se spolu se záleností os osaí o ueené ronice - iz úloha e fyziální pratiu onec apitoly K. usá, erze 3/6 re. 3/7 pián Dopln Steineroa ta a Dopln yala 6