Metod mreže za PDJ paraboličnog tipa

Metod mreže za PDJ paraboličnog tipa Jednačine provodjenja toplote = 1D Difuziona jednačina: u t = u a x, Mešoviti problem jednačine provodjenja toplote: u t = u a + f(x, t), 0 x l, t 0 x (P) u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t), t > 0 granični uslovi u(x, 0) = g(x), 0 < x < l početni uslov Blac-Scholes PDJ: σ s U(s, t) U(s, t) U(s, t) + rs + ru(s, t) = 0 s s t Mešoviti problem jednačine Blac-Scholes: (BS) σ s U(s, t) U(s, t) U(s, t) + rs + ru(s, t) = 0, 0 s <, 0 t T s s t lim U(s, t) = r 1 (t), lim U(s, t) = r (t), 0 t T granični uslovi s 0 s U(s, T ) = h(s), s > 0 početni uslov Smenom x = log s + (r σ τ r(t y(x, τ) = e σ ) U )(T t), τ = σ (T t) ( r x ( e σ 1)τ, T τ ) σ jednačina Blac-Scholes se transformiše u jednačinu provod enja toplote. y(x, τ) τ = y (x, τ) x Numeričim metodama mešovite probleme rešavamo na D = {(x, t) : 0 x l, 0 t T }, D = {(s, t) : 0 s S, 0 t T } Numeriči metodi: Esplicitni diferencni metod Implicitni diferencni metod Θ metod Cran-Nicolsonov metod 1

Kora 1. - onstrucija mreže: čvorovi mreže (x i, t j ) prostorna disretizacija: x i = ih, i = 0, 1,,..., N + 1 vremensa disretizacija: t j = j, j = 0, 1,,..., M Slia 1: Mreža jednačine provodjenja toplote oraci mreže h = l N, = T M - poznate vrednosti u(x i, t j ) = u ij iz početnih i graničnih uslova: u(0, t) = p(t) = u 0,j = p(t j ) = p j, j = 0, 1,,..., M u(l, t) = q(t) = u N+1,j = q(t j ) = q j, j = 0, 1,,..., M u(x, 0) = g(x) = u i,0 = g(x i ) = g i, i = 0, 1,,..., N - približne vrednosti u i,j u(x i, t j ) oje treba odrediti Esplicitni metod Kora. - aprosimacija jednačine: Za aprosimaciju parcijalnog izvoda u t oristimo operator prednje razlie tj. aprosimaciju u t (x i, t j ) = u(x i, t j+1 ) u(x i, t j ) 1 u tt(x i, η j ), t j < η j < t j+1 do za aprosimaciju parcijalnog izvoda u xx oristimo operator centralne razlie tj. aprosimaciju (1) u xx (x i, t j ) = u(x i+1, t j ) u(x i, t j ) + u(x i 1, t j ) h Zamenom u PDJ dobija se x i 1 < ξ i < x i+1 1 h 4 u x 4 (ξ i, t j ), u(x i, t j+1 ) u(x i, t j ) = a u(x i+1, t j ) u(x i, t j ) + u(x i 1, t j ) h + f i,j + τ ij

gde je f(x i, t j ) = f i,j, τ ij = 1 4 u h x (ξ i, t 4 j ) 1 u tt(x i, η j ) = o(h ) + o() Odbacivanjem τ ij, dobija se diferencna aprosimacija jednačine provodjenja toplote () u i,j+1 u j i = a uj i+1 uj i + uj i 1 h + f j i. Ao označimo λ = a, dobija se h diferencna šema esplicitnog metoda: (3) u j+1 i = λ u j i+1 + (1 λ)uj i + λ uj i 1 f j i za { i = 0, 1,,..., N 1 j = 0, 1,,..., M 1 Slia : Grafiči priaz čvorova oji učestvuju u esplicitnoj diferencnoj šemi Diferencnu jednačinu (3) možemo zapisati u matričnom obliu: u j+1 = A u j f j za j = 0, 1,,..., M 1 gde je u 0 = g i (4) A = 1 λ λ 0 0 0... 0 0 λ 1 λ λ 0 0... 0 0 0 λ 1 λ λ 0... 0 0......... 0 0 0 0 0... 1 λ λ 0 0 0 0 0... λ 1 λ (5) u j = u 1,j u,j., f j = f 1,j f,j., g = g 1 g.. u N,j f N,j g N 3

Implicitni metod Kora. - aprosimacija jednačine: Ao za aprosimaciju parcijalnog izvoda u t oristimo operator zadnje razlie tj. aprosimaciju u t (x i, t j ) = u(x i, t j ) u(x i, t j 1 ) a (1) za aprosimaciju parcijalnog izvoda u xx, dobija se 1 u tt(x i, η j ), t j < η j < t j+1 (6) u j i u i,j 1 = a uj i+1 uj i + uj i 1 h + f j i. diferencna šema implicitnog metoda: (7) u j 1 i = λ u j i+1 + (1 + λ)uj i λ uj i 1 f j i za { i = 1,,..., N 1 j = 1,,..., M Slia 3: Grafiči priaz čvorova oji učestvuju u implicitnoj diferencnoj šemi Diferencnu jednačinu (7) možemo zapisati u matričnom obliu: Bu j = u j 1 f j za j = 1,,..., M gde je u 0 = g, u j, f j dato sa (5) i 1 + λ λ 0 0 0... 0 0 λ 1 + λ λ 0 0... 0 0 0 λ 1 + λ λ 0... 0 0 (8) B =......... 0 0 0 0 0... 1 + λ λ 0 0 0 0 0... λ 1 + λ 4

Stabilnost i analiza greše esplicitnog i implicitnog metoda Primer 1. u t = u x, 0 < x < 1, t > 0 (P 1 ) u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = g 1 (x) = sin π x, 0 < x < 1 Furijeovom metodom dobija se rešenje (9) u(x, t) = A n e (nπ)t sin(nπt), A n = n=1 1 0 g 1 (x) sin(nπx)dx Ao je g 1 (x) = sin π x, iz (9) se dobija tačno rešenje u(x, t) = e 4πt sin(πx) mešovitog problema (P 1 ) priazano na Slici 4. Slia 4: Tačno rešenje mešovitog problema (P 1 ) i (P ) Primer. u t = u x, 0 < x < 1, t > 0 (P ) u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = g (x), 0 < x < 1 gde je g (x) = Rešenje problema (P ) dato je sa (9) gde je A n = nπ { 0, 1 4 x 3 4 1, 0 x < 1 4, 3 4 < x 1 ( ( nπ cos 4 5 ) ( )) 3nπ cos 4

i priazano je na Slici 4. Za primenu esplicitnog metoda za rešavanje problema (P 1 ) nea je T = 0.1 i uzećemo N = 0, M {5, 10, 0}. Prema tome, (i) N = 0, M = 5, h = 1, = 0.0 λ = 8.8 1 (ii) N = 0, M = 10, h = 1, = 0.01 λ = 4.4 1 (iii) N = 0, M = 0, h = 1, = 0.005 λ =. 1 Odgovarajuća numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04, t = 0.1 priazana su na Slici 5. Za t = 0.0, t = 0.04 približne vrednosti su očeivane, pri čemu su za veće vrednosti M sve tačnije. Medjutim, za t = 0.1 postoji problem. Štaviše, upravo za M = 0, gde je u prethodnom slučaju metod bio najtačniji, za t = 0.1 približne vrednosti su sa veliom grešom oja oscilira. Dale, za t = 0.1 i M = 0 (λ =.), metod je nestabilan. Slia 5: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) primenom esplicitnog metoda 6

Von Neumann metod ispitivanja stabilnosti Analitiča rešenja mešovitih problema linearnih PDJ drugog reda se Furijeovim metodom dobijaju preo periodičnih funcija cos x i sin x u svaom vremensom trenutu: u(x) = sin(κx) + i cos(κx) = e i κ x, κ = π l = π Nh. Ova f-ja u disretnim čvorovima mreže x i = ih je oblia u(x i ) = e i κ x i = e i κ i h. S druge strane, u analitičom rešenje jednačine provodjenja toplote vremensa funcija je esponencijalna e κt.u disretnom slučaju esponencijalna funcija je aprosimirana sa G(κ) j, gde je G(κ) = e K(κ). Dale, rešenje u disretnom slučaju možemo tražiti u obliu (10) u j i = G(κ)j e i κ x i. Zamenom u () za f(x, t) 0 (f j i Dale, G(κ) j+1 e iκ x i G(κ) j e iκ x i = 0) dobija se G(κ) 1 = a G(κ)j e iκ x i+1 G(κ) j e iκ x i + G(κ) j e iκ x i 1 h = a G(κ) j h ( e iκ (x i +h) e iκ x i + e iκ(x i h) ) = a G(κ) j h e iκ x i ( e iκ h + e iκh) = a G(κ) j h e iκ x i ( cos(κ h) ). = a (cos(κ h) 1) h G(κ) = 1 + a h (cos(κ h) 1) = 1 + λ (cos(κ h) 1) tz. fator rasta. Osnovno pitanje je ao se G(κ) j menja u zavisnosti od vremensog indesa j. Da bi metod bio stabilan, G(κ) j mora ostati ograničeno ada j raste bez obzira na vrednost κ. Uslov stabilnosti G(κ) 1 za svao κ. U suprotnom, G(κ) j ada j. Dale, tražimo masimalne moguće vrednosti za G(κ) tao da je G(κ) 1. cos(κ h) = 1 G(κ) = 1 κ max = π h κ max h = π cos(κ h) = 1 λ 1 (11) λ 1 uslov stabilnosti esplicitnog metoda: h a M a T h. 7

Za implicitni metod, zamenom (10) u (6),za f(x, t) 0 (f j i = 0) imamo G(κ) j e iκ x i G(κ) j 1 e iκ x i 1 G(κ) 1 = a G(κ)j e iκ x i+1 G(κ) j e iκ x i + G(κ) j e iκ x i 1 h = a h (cos(κ h) 1) G(κ) = 1 1 λ (cos(κ h) 1) G(κ) 1 za svao κ implicitni metod je bezuslovno stabilan Za dati primer primene esplicitnog metoda za rešavanje problema (P 1 ), gde je T = 0.1 i N = 0, da bi bio zadovoljen uslov stabilnosti (11) mora biti M > 88.. Da bi potvrdili oretnost zaljuča na Slici 6 priazana su numeriča i tačna rešenja za M = 90. Slia 6: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) primenom esplicitnog metoda ada je ispunjen uslov stabilnosti (za λ = 0.49) Za primenu esplicitnog metoda za rešavanje problema (P ), nea je N = 6, tao da je uslov stabilnosti ispunjen za M > 145.8. Numeriča rešenja za t = 0.1 priazana su na Slici 7 redom za M = 144 (λ = 0.506), M = 145 (λ = 0.503) i M = 146 (λ = 0.499). Za primenu implicitnog metoda na mešoviti problem (P 1 ), za N = 0 i T = 0.1, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 8-(a). Primetimo da što je M veće, približna rešenja se na sva tri vremensa nivoa sve više približavaju tačnom rešenju. Za primenu implicitnog metoda na mešoviti problem (P ), za N = 30 i T = 0.1, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 8-(b). Primetimo da što je M veće, približna rešenja se na sva tri vremensa nivoa svi više približavaju tačnom rešenju. Kao i od primene esplicitnog metoda (videti Sliu 7) približna rešenja se na sva tri vremensa nivoa približavaju tačnom rešenju sa povećanjem M. Medjutim, za razliu od esplicitnog metoda, od primene implicitnog metoda rešenja tačnost se postiže za mnogo manji broj oraa M. 8

Slia 7: Rešenje mešovitog problema (P ) za t = 0.1 primenom esplicitnog metoda za λ = 0.506, λ = 0.503 i λ = 0.499 Slia 8: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) i (P ) primenom implicitnog metoda za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 9

Θ metod Analizom numeričih rešenja problema (P 1 ) sa Slie 5 i Slie 8-(a), vidimo da riva tačnog rešenja leži izmedju rivih oje su dobijene primenom esplicitnog i implicitnog metoda. Ova činjenica prirodno nameće problem onstrucije metoda oji je ombinacija esplicitnog i implicitnog metoda. Iz () i (6) imamo esplicitni metod: u j+1 i u j i = H i,j gde je implicitni metod: u j+1 i u j i = H i,j+1 H i,j = λ(u j i+1 uj i + uj i 1 ) f j i. za 0 θ 1 u j+1 i u j i = θ(u j+1 i u j i ) + (1 θ)(uj+1 i u j i ) = θh i,j + (1 θ)h i,j+1 (1) Θ metod: u j+1 i u j i = (1 θ) [ λu j+1 i+1 λuj+1 i + λu j+1 i 1 f ] j+1 i + θ [ λu j i+1 λuj i + λuj i 1 f ] j i, 0 θ 1 θ = 1 esplicitni metod θ = 0 implicitni metod Stabilnost Θ metoda: Za stabilnost metoda, zamenom (10) u (1) za f j i = 0, dobija se (G(κ) 1)G(κ) j e iκ x i = (1 θ)λ G(κ) j+1 e iκ x i ( cos(κ h) ) + θλ G(κ) j e iκ x i ( cos(κ h) ) (13) G(κ) = 1 (1 θ)λ (cos(κ h) 1) 1 + θλ (cos(κ h) 1) cos(κ h) = 1 κ = 0 G(κ) = 1 cos(κ h) = 1 κ max = π ( π ) h G = h 1 + 4(1 θ)λ 1 4θλ ( π G 1 κ; h) ( π G 1 λ(θ 1) h) 1 ao je 0 θ 1 Θ metod je bezuslovno stabilan ao je 1 < θ 1 Θ metod je stabilan za λ 1 (θ 1) 10

Prema tome, vrednost θ = 1/ je granična izmedju bezuslovne stabilnosti i uslovne stabilnosti. Ova vrednost je upravo arateristična za Cran-Nicolsonov metod i daje najmanju uupnu disretizacionu grešu od svih Θ metoda. Cran-Nicolsonov metod 1 = Θ metod Cran-Nicolsonov metod diferencna šema Cran-Nicolsonov metoda: λ u j+1 i+1 (1 + λ) uj+1 i + λ u j+1 i 1 = λ uj i+1 (1 λ)uj i λ uj i 1 + (f j i + f i,j+1) { i = 1,,..., N 1 za j = 0, 1,,..., M 1 ili u matričnom obliu (B + I)u j+1 = (A + I)u j (f j+1 + f j ) za j = 0, 1,,..., M 1 gde su matrice A i B definisane, redom, sa (4) i (8). Slia 9: Grafiči priaz čvorova oji učestvuju u Cran-Nicolsonovoj diferencnoj šemi Stabilnost metode Cran-Nicolson: Za stabilnost metoda iz (13) za θ = 1/ dobija se fator rasta u obliu 1 λ (cos(κ h) 1) G(κ) = 1 + λ (cos(κ h) 1) Dale, uslov stabilnosti G(κ) 1 je ispunjen za svao κ, pa je Cran-Nicolsonov metod bezuslovno stabilan. Za primenu Cran-Nicolsonovog metoda na mešoviti problem (P 1 ), za T = 0.1, N = 0 i M {5, 0}, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 10-(a). Primećujemo da su numeriča rešenja dobijena metodom Cran-Nicolsonova mnogo tačnija nego numeriča rešenja dobijena eplicitnom i implicitnom metodom (videti Sliu 5 i Sliu 4-(a)). Na Slici 10 za M = 0 tačno i numeričo rešenje se jedva razliuju!! Za primenu Cran-Nicolsonovog metoda na mešoviti problem (P ), za T = 0.1, N = 30 i M {5, 10, 0}, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 10- (b). Očigledno, postoji problem u oolini tačaa a = 1/4 i b = 3/4 u ojima početna funcija 11

Slia 10: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) i (P ) primenom Cran-Nicolsonovog metoda za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 ima preid prve vrste. Sa povećanjem M problem je manje izražen, a taod e sa povećanjem vremena soovi približnog rešenja su manji. L stabilnost Fator rasta Cran-Nicolsonov metode moženo priazati u obliu: G(ν) = 1 ν κ h, ν = ν(κ) = λ sin 1 + ν Kao G(ν) 1 ada ν, to znači da G(ν) j opada sa povećanjem j, ali veoma sporo ao ν(κ) raste. Ova daje objašnjenje šta se desilo u primeni Cran-Nicolsonov metode na Slici 10. Naime, brzina opadanja približnog rešenja sa soovima dobijenog Cran-Nicolsonovim metodom očigledno je nedovoljna i soovi ostaju mnogo duže nego što bi trebalo. Da bi ovo detaljnije objasnili postoje dva aspeta problema oji utiču na njegovo nastajanje. Prvo, Furijeov red onvergira u tačama preida funcije g(x), ali jao sporo, što znači da sabirci sa veliim λ n = nπ/l utiču na vrednost rešenja. Ao je κ = λ n imamo κh = nπ h l = π n n + 1 biće sin (κ h/) 1. Drugo, da bi dobili dobru aprosimaciju u tačama preida neophodno je uzeti mali ora h, što dovodi do veliih vrednosti λ izuzev ao je vremensi ora jao mali. Zajedno ove dve pojave dovode do veliih vrednosti ν(κ), što za posledicu ima da je opadanje približnog rešenja sporije u oolini tačaa preida nego što bi trebalo. Ovo taodje objašnjava i zašto problem manje izražen sa povećanjem M na Slici 10. 1

Zašto od primene implicitnog metoda nema ovavih problema? Kod implicitnog metoda fator rasta u funciji od ν(κ) je oblia G(ν) = 1 1 + ν, tao da G(ν) opada monotono a nuli ada ν. Kao rezultat imamo da ča iao je ν velio, soovi u približnom rešenju ne zadržavaju se dugo u oolini tačaa preida. Zapravo, što je ν veće, fator G(ν) j u približnom rešenju opada sve brže sa vremenom. Ovavo ponašanje približnog rešenja od neih metoda dovodi do uvodjenja jačeg uslova stabilnosti oja se naziva L-stabilnost: Ao je NM stabilan i ao G(ν) j 0 ada ν, ažemo da je L-stabilan. Cran-Nicolsonov metod nije L-stabilan, ali implicitni metod jeste. Hopscotch metod Za primenu implicitnog i Cran-Nicolsonovog metoda na svaom vremensom nivou t = t j, j = 1,,..., M treba rešiti odgovarajući sistem jednačina za izračunavanje u j i, i = 1,,..., N. Da bi se izbeglo rešavanje sistema često se u primenama oristi Hopscotch metod oji je ao i Cran-Nicolsonov metod ombinacija esplicitnog i implicitnog metoda. Naime, na svaom vremensom nivou t = t j najpre se izračunaju približne vrednosti u esplicitnim čvorovima (Slia 11) oje zatim omogućavaju diretno izračunavanje približnih vrednosti u implicitnim čvorovima. esplicitni čvorovi implicitnim čvorovi Slia 11: Hopscotch metod 13

Wolfram Demonstrations Project Numerical Solution of Some Fractional Diffusion Equations: Θ metod za λ = 1 θ (λ = 0 - implicitni, λ = 1 - esplicitni, λ = 1/ - Cran-Nicolsonov) za PDJ: gde je D 1 γ f(t) = 1 t Γ(γ) 0 u t = u D1 γ x, 0 < x < l, t > 0 f(s) (t s) 1 γ ds. Za γ = 1 dobija se jednačina provodjenja toplote. Vremensi ora t i broj vremensih oraa n se može izabrati Prostorni ora je fisiran x = 1 i broj oraa N x = 10 Početni uslov je u(x, 0) = 4x, x 1 4 1 4x, < x 1 4 + 4x, 1 < x 3 4 4 4x, 3 4 < x 1 double tent 14