KŘIVKY Přednáška DG*A 7. týden
Pjmem křivka zumíme dáhu phybujícíh se bdu. Je t tedy mnžina neknečnéh pčtu bdů, kteé závisí na paametu (čase). Pt můžeme křivku také nazvat jednpaameticku mnžinu bdů. ROZDĚLENÍ KŘIVEK Otevřené a uzavřené křivky Otevřené křivky (neb též bluky) jsu takvé křivky, kteé mají kncvé bdy. Tedy uzavřené křivky nemají žádné kncvé bdy. Rvinné a pstvé křivky Křivka, jejíž všechny bdy leží v vině, se nazývá vinná křivka. Jejím pakem je křivka pstvá. Jednduchá křivka Jednduchá křivka je takvá, kteá neptíná sama sebe.
VZÁJENÁ POLOHA PŘÍKY A KŘIVKY áme dánu křivku a na ní si zvlíme bd T a v jeh klí bd A. Pkud spjíme bdy AT d přímky, získáme sečnu křivky. Přibližujeme-li bd A k bdu T tak dluh, až tyt dva bdy splynu, pak získáme tečnu křivky v bdě T a bd T je bdem dtyku tečny. T t A s Úsečka na sečně, kteá je mezena dvěma bdy na křivce, je tětiva. Klmice, kteá je sestjená v bdě dtyku na tečnu, se nazývá nmála křivky. Všechny nmály v bdě křivky k tvří svazek přímek v tzv. nmálvé vině, tj. v vině, kteá pchází daným bdem křivky klm k tečně t. n T t Tečna, kteá se dtýká křivky v nevlastním bdě (v neknečnu), je asympttu křivky.
KLASIFIKACE ODŮ NA KŘIVCE. Rzdělení bdů, v nichž má křivka jedinu tečnu: t Nech t je dána křivka, na ní bd T a v bdě T je dána tečna t ke křivce. V klí bdu T zvlíme bd křivky A. Pkud se bd A phybuje p křivce, pak se také phybuje sečna křivky AT. Splyne-li bd A s bdem T, splývá sečna s tečnu. d A se při phybu p křivce, phybuje také p sečně (přímce). T A s Pkud se nemění smysl phybu bdu A, ani přímky AT, pak se bd A nazývá egulání. Pkud se mění smysl phybu bdu A p křivce, neb se mění smysl phybu přímky AT, příp. bjíh, pak bd A se nazývá singulání.
SINGULÁRNÍ ODY a) inflexní bd bd A se phybuje d bdu T a pté d bdu A. Přitm se přímka AT phybuje p směu hdinvých učiček až d plhy tečny v bdě T ke křivce a pté se phybuje d plhy A T pti směu hdinvých učiček (mění se smysl phybu). b) bd vatu. duhu bd A se phybuje p křivce d bdu T a ten pté d bdu A. Při tmt phybu se změní smě jeh phybu. Sečna s přejde d plhy tečny t a pak d plhy sečny s, přičemž se smě phybu nezmění. A T s A A t t s=s A s c) bd vatu. duhu smě phybu bdu A p křivce d bdu A i smě phybu sečny s d plhy sečny s se mění s T s A A T t
. dy v nichž má křivka více tečen: - vždy singulání. Typy dvjnásbných bdů (křivka má v tmt bdě dvě tečny) : a) uzlvý bd t t b) bd vatu. duhu v bdě je jedna dvjnásbná tečna c) izlvaný dvjnásbný bd v bdě jsu dvě kmplexně sdužené tečny Další typy vícenásbných bdů: např. tjnásbný bd, takndální bd (křivka se v něm dtýká sama sebe).
PRŮVODNÍ TROJHRAN KŘIVKY Pvky půvdníh tjhanu křivky v jejím eguláním bdě křivky jsu tři přímky: tečna t, binmála b, hlavní nmála n a tři viny: nmálvá vina ν nb (ν t), skulační vina π tn (ω b) a ektifikační vina ρ tb (ρ n). Nmálvá vina ν je klmá v bdě T k tečně křivky. Každá přímka, kteá leží v tét vině, se nazývá nmála křivky. Nmála, kteá leží záveň v skulační vině, se nazývá hlavní nmála n. Nmála, kteá je k skulační vině klmá, je binmála b. Pkud je křivka vinná, pak její vina je záveň skulační vinu tét křivky. Tedy, je-li křivka vinná, pak leží v skulační vině, kteá je p všechny její bdy stejná. b T n t
OSKULAČNÍ KRUŽNICE Křivky v malém klí eguláníh bdu lze nahadit tzv. skulační kužnicí (kužnicí křivsti), jejím plměem je plmě křivsti a středem střed křivsti. Oskulační kužnice je takvá kužnice, kteá má v bdě A s křivku k splečnu tečnu t, stejnu křivst (esp. stejný plmě křivsti) a splečnu hlavní nmálu. Střed křivsti v bdě T křivky lze sestjit tak, že v bdě T učíme tečnu t a v klí bdu T na křivce bd. Kužnice, kteá pchází bdy, T a záveň, aby tečna t ke křivce byla také její tečnu, je jediná. Střed takvé kužnice leží na nmále křivky v bdě T. Pkud se bd bude limitně přibližvat k bdu T, pak na nmále v bdě T učíme střed skulační kužnice. T S n t Evluta křivky je mnžina všech středů skulačních kužnic (středů křivsti) dané křivky. U kuželseček jsme se již setkali s pjmem skulačních kužnic v jejich vchlech. Nazývali jsme je také hypeskulačními kužnicemi, ptže mají s kuželsečkuv jejím vchlu čtyřbdvý styk.
ROVINNÉ KŘIVKY Křivka je vinná, pkud všechny její bdy leží v jedné (skulační) vině. Všechny tečny křivky leží v vině křivky.. áme-li zadánu vinnu křivku, kteu nelze ppsat vnicí (neb její vnici neznáme), lze získat její tečnu v bdě T křivky následující přibližnu knstukcí. Zvlíme si kužnici se středem v bdě T křivky k a s libvlným plměem. dem T vedeme přímku p, kteá ptne křivku v bdě P a kužnici ptne v P a P. Na přímce p pak učíme bdy P a P tak, že TP = TP + TP, TP = TP + TP. Tut knstukci něklikát pakujeme. dy P pak leží na křivce k a bdy P na křivce k. Půsečíky těcht křivek k a k s kužnicí l pchází tečna ke křivce v bdě T. k P P P T l P P k t p k Křivky k, k sestjené způsbem ppsaným výše (neb sestjené pmcí zdílu úseček) se nazývají kisidy.
. Přibližná knstukce tečny z danéh bdu. Z tht bdu sestjujeme sečny na křivce. Křivka, kteá spjuje středy tětiv, jež vytínají zmíněné sečny, pchází bdem T na křivce. d T je hledaným bdem dtyku tečny spuštěné na křivku z danéh bdu. T A k
3. Přibližná knstukce nmály křivky v daném bdě, kteý na křivce neleží. Ze středu ýsujeme kužnice ůzných plměech. Pté nalezneme středy bluků, kteé na křivce vytíná křivka. Křivka, kteá pchází těmit středy bluků, ptíná křivku v bdě N, kteým pchází hledaná nmála. n N k
áme-li dánu sustavu vinných křivek, pak křivka, kteá se dtýká všech daných křivek, se nazývá bálka sustavy křivek. Např.: kuželsečka je bálka amen pavéh úhlu, jehž duhé amen pchází hniskem a vchl se phybuje p vchlvé kužnici, ppř. p vchlvé přímce. v C A F S E D
NĚKTERÉ ROVINNÉ KŘIVKY a) Achimédva spiála vznikne slžením dvu vnměných phybů. d se vnměně vzdaluje d zvlenéh bdu na přímce, kteá se klem bdu táčí. 3 4 5
b) Cyklida vznikne jak dáha bdu, kteý je pevně spjenu s kužnicí k, kteá se ktálí p jiné pevné kužnici k neb p pevné přímce Pevná křivka je kužnice: Epicyklida jsu-li kužnice vně sebe (pkud jsu plměy kužnic shdné, nazýváme tut epicyklidu kadiida, jsu-li v pměu :, nazýváme jí nefida) Peicyklida leží-li pevná kužnice uvnitř phybující se kužnice Hypcyklida leží-li phybující se kužnice uvnitř pevné kužnice (jsu-li plměy kužnic v pměu :4, nazýváme jí asteida) k k k k k k Vznik epicyklidy Vznik peicyklidy Vznik hypcyklidy
Je-li pevná křivka přímka: Pstá cyklida vznikne, když její tvřící bd leží přím na phybující se kužnici y Zkácená cyklida tvřící bd leží uvnitř kužnice 0 x y 0 x Pdlužená cyklida tvřící bd leží vně kužnice y 0 x
REKTIFIKACE Rektifikace bluku křivky znamená, že tent bluk nahadíme úsečku, kteá má stejnu délku jak zmiňvaný bluk křivky. Při zvinutí (ektifikaci) bluku křivky na ní zvlíme vhdný pčet bdů a nahadíme bluk lmenu čau. Samzřejmě, čím větší pčet bdů zvlíme, tím přesnější ektifikace bude. Nikdy však nebude úplně přesná.
Nejčastěji je třeba zvinut kužnici ppřípadě její bluk. K tmut účelu pužíváme přibližné knstukce. Kchaňskéh ektifikace služí ke zjištění délky půlkužnice AT = A = π. Sbtkva ektifikace je vhdná puze p bluky d 30 A = A. d Ocagnva ektifikace pužívá se p středvé úhly d 90 AR = A, AP = P. 30 T p A S A P Q R A S Kchaňskéh ektifikace Sbtkva ektifikace d`ocagnva ektifikace
PRŮĚT PROSTOROVÉ KŘIVKY Věta: Půmětem křivky je vždy křivka. Je-li křivka vinná a střed pmítání leží v její vině, pak půmětem křivky je přímka. ezi bdy vinné křivky a jejím půmětem platí středvá klineace, jejímž středem je střed pmítání. Věta: Regulání (singulání) bd se zbazí d eguláníh (singuláníh) bdu. Pkud vedeme bdem v pstu vnběžky s tečnami pstvé křivky, pak dstaneme kuželvu plchu, kteé říkáme řídící kuželvá plcha. Pkud je křivka knstantníh spádu (tg α = spád křivky je knstantní, a je dchylka tečny v bdě křivky d zvlené viny), ptm řídící kuželvá plcha je tační. k
ŠROUOVICE - pstvá křivka ppsaná vektvu vnicí t = cs φ, sin φ, bφ Z vnic x = cs φ, y = sin φ je vidět, že učují kužnici plměu v vině (xy). Suřadnice z ppisuje psunutí ve směu sy z. Záveň velikst psunutí je přím úměná veliksti tčení. Pdle těcht vnic můžeme vidět, že šubvice vzniká psunutím a táčením, tedy šubvým phybem bdu. Šubvý phyb vzniká slžením vnměnéh táčivéh phybu klem přímky (p kužnici) a vnměnéh psuvnéh phybu ve směu tét přímky. Pevná přímka se nazývá sa šubvéh phybu. Osa šubvéh phybu p šubvici se nazývá sa šubvice.
Pdle definice šubvéh phybu bdu můžeme říct, že šubvice leží na tační válcvé plše, kteá vznikne tací přímky vnběžné s su šubvéh phybu klem tét sy. Osa válcvé plchy je ttžná s su šubvice a její plmě je vný vzdálensti tvřícíh bdu šubvice d sy. v z= Šubvý phyb je dvjíh duhu, levtčivý a pavtčivý. Stejně tak šubvice je pavtčivá a levtčivá, pdle th zda táčení bdu při šubvém phybu je p (levtčivá) neb pti (pavtčivá) směu chdu hdinvých učiček. x = O y Pavtčivý phyb (+) Levtčivý phyb (-)
Pkud se bd při šubvém phybu tčí 360 ( = ) pak se psune ve směu sy výšku v, kteu nazýváme výšku závitu. Při tčení ad se bd psune výšku b, kteu nazýváme edukvanu výšku závitu. v = πb z= Šubvý phyb je učen su, směem táčení (pavtčivý/levtčivý) a edukvanu výšku závitu. Ptže tečny šubvice svíají s její su knstantní úhel, šubvice je křivku knstantníh spádu. Pt je také řídící kuželvá plcha tečen šubvice tační. Za její řídící kužnici vlíme řídící kužnici válcvé plchy šubvice. Vchl řídící kuželvé plchy je d viny řídící kužnice vzdálen edukvanu výšku závitu b. x O y
CHARAKTERISTICKÝ TROJÚHELNÍK Rzvineme-li část válcvé plchy, na kteé je jeden závit šubvice, pak řídicí kužnice válcvé plchy (šubvice) můžeme zvinut d úsečky délky (bvd řídicí kužnice) a šubvice se zvine vněž d úsečky, kteá je přepnu pavúhléh tjúhelníka s dvěsnami, kteé jsu tvřeny úsečkami a v=. Pavúhlý tjúhelník nazýváme chaakteistický tjúhelník šubvice. z= v v x = O y b
Pmcí chaakteistickéh tjúhelníku šubvice lze při řešení knstuktivních úlh šubvici nalézt: a) edukvanu výšku závitu b při známé výšce závitu v a napak Redukvaná výška závitu b je velikst psunutí, kteé přísluší k tčení úhel vný adiánu. V chaakteistickém tjúhelníku šubvice naneseme na plpřímku délku plměu řídicí kužnice válcvé plchy, na níž šubvice leží. Tím získáme bd V, ve kteém vztyčíme klmici k, tat klmice ptne v bdě V. Úsečka VV má délku b. b) psunutí z příslušné k tčení úhel a napak Na úsečce sestjíme bd X tak, aby X =. dem X dále sestjíme klmici k plpřímce. Ta nám ptne plpřímku v bdě X. Pak platí, že XX = z příslušné k tčení úhel. X v V b V X z
c) úhel, kteý svíají tečny šubvice s vinu klmu k její se Všechny tečny šubvice svíají s vinu klmu k její se knstantní úhel, kteý je ven veliksti úhlu při vchlu v chaakteistickém tjúhelníku šubvice. Úhel nazýváme sklnem šubvice. Pznámka: tg = b/, kde tg nazýváme spádem šubvice. Řídicí kuželvá plcha šubvice Řídicí kuželvu plchu šubvice nazýváme kuželvu plchu, jejíž pvšky jsu vnběžné s tečnami šubvice. Při pmítání, kdy sa šubvice je klmá na půdysnu, vlíme vchl V řídicí kuželvé plchy na se tak, že z V = b. Pak je řídicí kužnice šubvice mnžinu půdysných stpníků pvšek řídicí kuželvé plchy. Je-li řídicí kuželvá plcha šubvice učena, lze sestjvat tečny šubvice jak vnběžky s pvškami řídicí kuželvé plchy.
ZORAZENÍ ŠROUOVICE V ONGEOVĚ PROÍTÁNÍ P jednduchst knstukcí budeme umísťvat šubvici tak, že její sa bude klmá k půdysně. V takvém případě se v ngevě pmítání zbazí šubvice v půdysu jak kužnice a v náysu jak sinusida. Na bázku je znázněn půdys a náys pavtčivé šubvice s su, výšku závitu v a s tvřícím bdem A. Jsu sestjeny půměty bdů šubvice pstupným táčením bdu A úhel / (k tčení úhel /6 přísluší psunutí v/). A v, y A 0 0 v 9 9 3 8 8 4 7 7 5 6 y, A = A 6 3 4 5
Příklad: Pavtčivá šubvice je dána su, edukvanu výšku závitu b a bdem. Nalezněte náys bdu X šubvice, je-li dán jeh půdys X. Úlhu lze také fmulvat jak nalezení psunutí, kteé přísluší tčení učitý úhel, neb jak sestjení půsečíků šubvice s vinu α. y, X
y, X
y, X X b z X
X z y, X X b z X
Příklad: Pavtčivá šubvice je dána su, edukvanu výšku závitu b a bdem. Najděte její půsečík X s vinu α. Pznámka: Stejné řešení má také úlha k danému psunutí najděte příslušné tčení. y,
z y, V b
z y, V b X z X
X z y, X V b X z X
PRŮVODNÍ TROJHRAN ŠROUOVICE Tečna: Půdys tečny t v bdě je tečna kužnice. Řídící kuželvu plchu (vchl) umístíme d bdu na se, kteý je d půdysny vzdálen vzdálenst b. Půdys tét řídící kuželvé plchy (kužnice) splývá s půdysem šubvice. b t Půdys: Vchlem řídící kuželvé plchy (splývá s ) vedeme vnběžku t s tečnu t (viz bázek). Půdysný stpník P leží na pdstavě řídící kuželvé plchy. Učíme jeh plhu pdle stupání šubvice. Náys: Náysem půdysnéh stpníku P a náysem vchlu řídící kuželvé plchy vedeme přímku t. S tut přímku je vnběžná tečna t, kteá pchází bdem. Hlavní nmála: Hlavní nmála šubvice je vždy klmá na su a vždy ji ptíná. Půdys: Vždy je n klmý na tečnu t a pchází. Náys: n je vnběžná se základnicí y,. n P b t t t= b n y, inmála: inmála je přímka klmá na skulační vinu, kteá je učena tečnu a hlavní nmálu. Tedy půdys a náys binmály jsu klmé na půdysnu a náysnu stpu skulační viny, kteu sestjíme pmcí stpníků tečny a hlavní nmály. Půdys binmály vždy splývá s půdysem tečny. P n
Příklad: Pavtčivá šubvice pchází bdem K [0, -5, 35], má edukvanu výšku závitu b = 3 a su, O, O [50, 0, 0]. d K přešubujte d bdu L úhel t = 05. Přitm platí, že z L > z K.
Příklad: Levtčivá šubvice pchází bdem A [30, 30, 6], má edukvanu výšku závitu b = 0 a su, O, O [36, 0, 0]. Sestjte její půsečíky, C s vinu =(3, -, ), kteé jsu na jednm závitu s bdem A. Sestjte také část náysu šubvice mezené bdy, C.
ŠROUOVICE V PRAVOÚHLÉ AXONOETRII z (z) (v) (b) (O) (v/) (x) b O v/ (y) I x () y v (O) V b X z X v/
ŠROUOVICE V KOSOÚHLÉ PROÍTÁNÍ z V ksúhlém pmítání se zbazí šubvice jak křivka. Je-li její sa klmá k půdysně, pak jejím ksúhlým půmětem je elipsa. v s k Při sestjvání šubvice a při řešení úlh šubvici v ksúhlém pmítání pstupujeme bdbně jak v pavúhlé axnmetii, puze musíme přihlédnut k příslušným zdílům, mezi těmit zbazvacími metdami. O k y s k s x k x