Hrosdasca Problém hrosdasc s vzahuj nsjné vlos dagonálních prvů ovaranční mac Σ voru náhodných slož ε jdnorovncového onomrcého modlu. Mac Σ j v omo případě dagonální avša jjí dagonální prv rozpl náhodných slož v jdnolvých obdobích) nmají sjnou vlos nlz d psá lnárního rgrsního modlu. Σ σ Ngavní důsld hrosdasc :.I což b odpovídalo homosdascě V důsldu oho ž rozpl náhodných slož njsou sjně vlé nmá v éo podobě zobcněného lnárního rgrsního modlu moda OLS opmální vlasnos přsněj nposuj vdané odhad bť o zůsávají nsranné. Abchom zísal vdané odhad j nuno použí vážnou modu njmnších čvrců WLS což j spcální jdnodušší) případ zobcněné mod njmnších čvrců GLS. Njčasější příčn hrosdasc : ) Chbná spcfac modlu d vnchám něrou podsanou vsvělující proměnnou. ) Kumulac chb měřní proměnných př rosoucí hodnoě vsvělované proměnné mající za násld zvěšování rozplu náhodných slož násldně rzduí). 3) Značná rozdílnos vlos da v rámc jdnoho náhodného výběru a odud vplývající závslos rozplu vsvělované proměnné násldně rozplu náhodných slož) na vlos hodno něré z vsvělujících proměnných 4) Použí nolv původních pozorování al supnových průměrů spočných z nějaým způsobm sříděných údajů. Ad 3) Hrosdascu lz zaznamna časěj u modlů založných na průřzových dach nž u modlů vužívajících časových řad. U modlů časových řad jsou ož zařazné proměnné vsvělované vsvělující) zpravdla hodnoam poměrně blízé zaímco srovnávám-l průřzová daa např. frmní v rámc určého odvěví) budou ao poznamnána až řádově) rozdílnou nnzou onomcé čnnos podnu poč zaměsnanců objm ržb zásob hospodářsý výsld apod). Vážná moda njmnších čvrců Odhadová func pro vor paramrů β j dána vzahm ˆ β d X ' Σ X ) X ' Σ jdnolvé prv dagonální mac Σ - jsou rcproé hodno původních rozplů j. [ σ ] σ / σ. Moda posuj v modlu zaížném pouz hrosdascou) nsranné a vdané odhad paramrů.
V pracé suac j ovšm nuno nahrad nznámé rozpl nějaým jjch nsranným) odhad s. Poud bchom výjmčně) znal vlčn σ σ můžm posupova a ž všchn proměnné modlu j. vsvělovanou vsvělujících) vdělím směrodaným odchlam σ. aová ransformac modlových vlčn povd možnos uplanění prosé mod OLS na ao ransformovaný modl přčmž s zachovají všchn příznvé sascé vlasnos éo mod. Pracujm d s vlčnam: / σ j j / σ j ; přčmž Posup navržné ndac hrosdasc v modlu V přdchozích dslích blo vvnuo něol sů ré umožňují ndova hrosdascu případně odhadnou míru jjího vlvu. V prvních dvou sch s přdpoládá ž a) Kolísání náhodné slož j spojno s proměnlvosí určé vsvělující proměnné a násldně éž s varablou vsvělované proměnné). b) Náhodné slož mají normální rozdělní ab blo možno formulova příslušné sascé s. ) GOLDFELDův - QUANDův s přdpolad: a) Kolísání náhodné slož j spojno s proměnlvosí určé vsvělující proměnné a násldně éž s varablou vsvělované proměnné b) Náhodné slož mají -rozměrné normální rozdělní GoldfldS. QuandR. : Nonlnar Mhods n Economrcs.
3 movac su: přdpolad a) užval b měl rozhodnou o om rá proměnná j njvíc svázána s varablou náhodných slož. provdní su: A. Všch pozorování s uspořádá podl vlos domnělé vsvělující proměnné.j. Současně s z vzoru vnchá určý poč prosřdních pozorování přčmž hodnoa s volí a ab poč zbývajících avně uplaněných pozorování bl sudý. Formálně vjádřno X 3 3 3 3 3 3 3.. B. Zbývající pozorování rozdělím do dvou sjně počných supn o ). / prvcích. První supna obsahuj vzor s nízým hodnoam proměnné.j druhá supna vzor s vsoým hodnoam. X 3 3 3 3 3 3 3.. C. Pro aždou z obou supn zvlášť odhadnm prosou modou njmnších čvrců OLS) vor paramrů β β a násldně spočm příslušné vor rzduí
jao X. b rsp. X. b. Spočm souč čvrců rzduí v první supně označím SSE ) v druhé supně označím SSE ) d SSE SSE D. Z zísaných hodno vvořím sasu př vzsupném uspořádání) SSE ) F SSE SSE SSE ao sasa má př splnění homosdasc Fshr-Sndcorovo rozdělní F o - -)/ a opě - -)/ supn volnos. Sasou F lz sova příomnos zčás supň hrosdasc: Poud hodnoa F mprcá) < F abulová) acpujm nulovou hpoézu o homosdascě rozpl v supnách s lší sasc nvýznamně) Poud naopa hodnoa F mprcá) > F abulová) zamíám nulovou hpoézu v prospěch alrnavní H a vvodím odud ž v modlu j příomná znalná hrosdasca. Míru jjí síl rámcově posoudím rozdílm F - F. poznám a modfac: Poč vnchávaných pozorování ovlvňuj průaznos sílu) su. J-l malé pa rozdíl souču čvrců rzduí mz horní a dolní čásí vzoru nmusí bý výrazné a s ndac hrosdasc npovd. Naopa j-l vlé j rozdíl průaznější al poč supňů volnos můž bý př malém ) nízý a síla su bud slabá. Proo s pro mprcé úloh běžného rozsahu 30 až 60) doporučuj jao vzí něco mz /4 a /8 např. /6). Odud j vdě výhodnos volb sjného poču pozorování pro horní a dolní čás vzoru: F-sasa nabývá njjdnoduššího možného varu. 4
) GLEJSERův s 3 přdpolad: a) Kolísání náhodné slož j spojno s proměnlvosí určé vsvělující proměnné a násldně éž s varablou vsvělované proměnné movac su: sílu rgrsní závslos mz absoluním hodnoam rzduí a poncální vlvovou proměnnou ověřím pomocí -sas v jdnoduché rgrs mz vorm absoluzovaných rzduí a ouo proměnnou. provdní su: A. Formulujm výchozí rgrsní závslos mz vsvělovanou proměnnou a mací vsvělujících proměnných β β β. β. β. ε. B. Určím odhad paramrů OLS βˆ a násldně vor rzduí Xβˆ. C. Formulujm varanně rgrsní vzah mz vorm absoluních hodno rzduí a vorm přdpoládané ovlvňující vsvělující proměnné Rgrsní závslos mohu bý např. ěcho pů :.j α γ ) j j j ) α γ j α 3 γ ln. j 3) 3 4) α γ j D. Spočou s hodno rgrsních ofcnů v ěcho rgrsích α γ a zjména hodno -sas příslušných ěmo paramrům α γ. Poud j něrá z hodno γ sasc významná pa j o ndací příslušné lnární nbo nlnární) orlovanos voru absoluních hodno rzduí s vlčnou..j Nasan-l o u víc formulovaných závslosí pa vbrm u závslos d jsou rgrsní paramr α γ njvíc sasc významné. a pa dává podně pro onréní podobu ransformac modlových vlčn. poznám a modfac: ) Podl oho zda jsou sasc významné oba rgrsní ofcn α γ nbo jn jdn γ rozlšujm hrosdascu smíšnou nbo čsou. ) Gljsrův s má zpravdla všší sílu v srovnání s sm Goldflda a Quanda. 3 Gljsr H.: A Nw s for Hroscdasc. Journal of h Amrcan Sascal Assocaon 64/969 s.36-33. 5
3. SPEARMANův orlační ofcn pořadové orlac) 4. přdpolad: a) Kolísání náhodné slož j spojno s proměnlvosí určé vsvělující proměnné a násldně éž s varablou vsvělované proměnné b) Náhodné slož mají -rozměrné normální rozdělní movac su: přdpolad a) užval b měl rozhodnou o om rá proměnná j njvíc svázána s varablou náhodných slož. provdní su: A. Sřadím hodno domněl ovlvňující nzávsl proměnné podl vlos zpravdla od njmnší po njvěší). Podl ohoo sřazní přsupím éž hodno pozorování osaních vsvělujících vlčn prmuacm řádů mac X ) a éž hodno vsvělované proměnné v voru. B. Formulujm rgrsní závslos na přsupné) vsvělující proměnné p p p p p p p. j : β β. β. β. j j β. ε a určím sjně jao v Goldfld-Quandově su bz ohldu na znaména) rzdua. C. Vpočm Sparmanův ofcn pořadové orlac podl vzorc : 6. d RS d ) d jsou dfrnc v pořadích odpovídajících s j. sjnému řádu mac X pařících) dvojc a j Hodno Sparmanova orlačního ofcnu mají obdobnou nrprac jao u lascého párového orlačního ofcnu. Hodno blízé 0 naznačují norlovanos hodno blízé rajním bodům nrvalu přípusných hodno < > pa udávají slnou zápornou rsp. ladnou orlovanos. V omo druhém případě j parné ž v modlu j příomná zřlná hrosdasca. U vlčn R s lz sova zda j hodnoa Ρ s v záladním souboru rovna nul. s významnos vlčn R s j založn na sasc QS Rs. R j poč supňů volnos Sudnova -rozdělní rou sasa Q s d má př nulové hpoéz H 0 rá odpovídá absnc hrosdasc. Poznáma 3 : Časo s v pra zusmo pro polační hrosdasc používá logarmcá ransformac da ať už mírnější s přrozným nbo s 4 Sparman Ch. 6
osřjší s dadcým logarmm. Sjnou úlohu můž spln aé např. odmocnnná ransformac. Posup j obhajlný poud o nní v rozporu s pozna onomcé or chararzujícím povahu závslosí vlčn v uvažovaném rgrsním vzahu. 4. WHIEův obcný s [980] 5 Abchom mohl formulova příhodnější obcněj uplanlné s) s j nzbné spcfova přnjmnším v hrubé podobě povahu hrosdasc. Njlpší b blo poud bchom mohl sova obcnou hpoézu v varu H 0 : σ σ pro všchna pro alrnavě H : σ σ aspoň pro jdno Proož s vša nacházím v modlu rý má obcně různých paramrů rozuměno σ σ. σ ) j aovýo cíl obcně ndosažlný. Ncméně WHIE [980] navrhl jsé řšní v podobě obcného su: Jím navržný s j založn na sučnos ž OLS smáor ovaranční mac j v případě výsu hrosdasc nonzsnní. Nchť ) j vor OLS rzduí a nchť OLS smáor rozplu j σ ˆ ). Př snc homosdasc budou smáor Σ b ~ Σ. ' Σ a ˆ σˆ Σ.X ' X onzsnním smáor éž ovaranční mac Σ. Poznáma: Přsná ovaranční mac smáoru OLS prosé mod njmnších čvrců) v modlu zaížného jn) hrosdascou má var Cov ˆ). X ' X ) X ' VX ) X ' X ) OLS β σ přčmž jjíž onzsnní) odhad lz poříd pomocí výrazu přdsavujícího zv. WHIEův smáor Cov ˆ ˆ ˆ OLSWh β ˆ) X ' X ). ') X ' X Konvnční běžně užívaný) OLS-smáor v oméž modlu) vša má var ˆ Cov ˆ ˆ ˆ) s X ' X ) OLS β. ) 5 WhH.: A Hroscdasc Conssn Covaranc Mar Esmaor and a Drc s for Hroscdasc. Economrca 48/980b s. 87-838. 7
Za příomnos hrosdasc budou mí oba o smáor ndnc s rozcház vžd romě jdné zvlášní suac d b hrosdasca nbla nja závslá na obsahu mac X o j vša dos nobvlá suac). Druhý smáor OLS) dává ož onzsnní odhad Cov βˆ OLS ) jn hd dž hrosdasca v modlu příomna nníj-l příomna pa j nonzsnní). Bud d možné založ s na rozdílu obou ěcho odhadů ovaranční mac ím ž s bud sova zda j rozdíl mz oběma smáor sasc významný. Konréní provdní su: Prosá oprační vrz j dána vlčnou mnohonásobné orlac určný v rgrs voru 6. Zapíšm-l mac.r d rozměrů [] ) sruurně dosanm: 3 3 3 3 Každý z prvů éo mac j -člnný vor). 3 3 R j čvrc ofcnu na všchn proměnné v mac Mac vsvělujících proměnných vša přdím případně upravím a ž a) všrnm z ní všchn proměnné ré jsou rdundanní o jsou na smrcých pozcích) b) zařadím do ní jdnčový vor. jslž am původně nbl. 3.. 3 Rgrsní rovnc d vpadá ao: 3 3 3.. 0 α α α α α33 α33 α α ς Z ní spočm ofcn drmnac ~ R ζ a' Z ' Za ~ R obvlým způsobm: 6 Jd o Kroncrův součn mac zd v onu vorů) 8
.R Za nulové hpoéz což j vša šrší suac nž hrosdasca) má sasa asmpoc normální χ rozdělní o ola supních volnos ol j poč vsvělujících proměnných v pomocné rgrs avša po ubrání onsan). Poud njsou žádné rdundanc v supňů volnos d rovn d.. Vlasnos su: a obsahuj onsanu pa j poč Whův s j mmořádně obcný. Abchom jj mohl provés npořbujm čn žádné spcální přdpolad o varu hrosdasc. Bť j oo zřjmě přdnosí j o poncálně úsalí. s sc ož můž odrý hrosdascu al můž aé pouz odrý určou spcfační chbu např. vnchání vsvělující vlčn. v běžné rgrs. Můž vša aé ndova jné chbné spcfac jao chbná spcfac func [ ] '. β E nbo orlac mz X a příomnou v modlu s sochascým rgrsor. Sílu su éž nlz přsvědčvě vhodno: vůč něrým alrnavám můž bý slabá. Slabnou j d nonsruvnos su: zamínm-l homosdascu ndávají výsld su návod co učn dál. Avša poud j výzumní dos sbjsý ž s v modlu o problém nvsují můž bý s dosačně účnný pro dc hrosdasc. s j podobný jným sům jao LM-su. Modfac: Hsh [983] modfoval no s pro s hrosdasc a hrošpčaos a všřoval jho sílu př malých výběrch pomocí Mon Carlo prmnů. 9
5. BREUSCH-PAGANův éž GODFREYho) ES [979] 7 Goldfld Quandův s lz poláda za přměřně slný poud jsm schopn dnfova proměnnou podl ré lz provés rozdělní daového vzoru na on dvě čás ré pa slouží jao zálad su). no asp j vša poněud lmující: V něrých suacích j ož proměnlvos dsurbancí vázána supně víc njn jdné vsvělující proměnné. Brusch a Pagan navrhl s založný na prncpu Lagrangových mulpláorů rý suj hpoézu σ σ f α α' z ) d z j vor - nzávsl proměnných rgrsorů) z 3.. ). Modl j zřjmě homosdascý jslž plaí α 0. s lz provés jdnoduchou rgrsí s sasou Lagrangových mulpláorů 8 : 0 LM /. vsvělný souč čvrců v rgrs Provdní su: ' / Pro výpoční účl vzmm Z jao mac [ ] pozorování proměnných ) a nchť g j sloupcový) vor hodno LM ' ζ ' ζ KB. 3. ' ζ ' g / g'. ZZ'Z) Z'. g ζ ζ. ζ.... ζ ζ.. ' ζ na z. 9. sová sasa má var '. ' Lz uáza ž za planos nulové hpoéz j. př dodržní homosdasc) j vlčna LM asmpoc rozdělna jao χ rozdělní o supních volnos. Poznáma: Blo namíáno ž Brusch-Paganův s j přílš clvý na dodržní přdpoladu o normalě náhodných slož z 7 Brusch. Pagan A.: A smpl s for Hroscdasc and Random Coffcn Varaon. Economrca 47/979 s.87-94 8 Brusch. Pagan A.: h LM s and Is Applcaons o Modl Spcfcaon n Economrcs. Rvw of Economc Suds 47/980 s.39-54 9 V podsaě jd o čvrc onréního rzdua od čvrc. průměrného rzdua. 0
KOENKER-BASSEův s Proo Konr [98] 0 a Konr/Bass [98] navrhl ab výpoč vlčn LM bl založn na robusnějším smáoru σ ˆ rozplu σ náhodných slož nž j SSE / jmnově na vlčně ' V. Nní-l vor náhodných slož ε rozdělný normálně nbud rozpl 4 σ. Vzměm d vor ) jdnč. Označm sasc ϑ a nchť. ) SSE ϑ ' ε rovn ι j vor. Po éo změně bud výpoč LM založn na ϑ ϑ ι )'. ZZ' Z) Z'. ϑ ϑ ι ) KB V nbol KB. V ' ζ ' ζ. ' ζ ζ ζ. ζ.... ζ ζ. ζ '. '. ' Za přdpoladu normal bud ao modfovaná sasa mí oéž asmpocé rozdělní jao Brusch-Paganova sasa. Př absnc normal jsou názna oho ž no bud s slnější. Waldman [983] uázal ž poud naplním všchn sloupc v mac Z sjným rgrsor jao v případě Wh-ova su budou oba s obsahm výpoču shodné. Ja j parné an Whův an Brusch-Paganův an Konr-Bassův s nvžadují spcfac proměnné na níž domněl závsí varabla náhodných slož. V omo směru jsou zřlně obcnější nž s Goldfldův-Quandův a Gljsrův. 0 KonrR.: A No on Sudnzng a s of Hroscdasc. Journal of Economrcs 7/98 s. 07- KonrR.Bass G.: Robus s for Hroscdasc Basd on Rgrsson Quanls. Economrca 50/98 s.43-6. Jd o výběrovou) sřdní vadracou odchlu vlčn