Obsah 1 Diferenciální rovnice prvního řádu 1 1.1 Lineárnírovnice připomenutí........ 1 1.2 Ukázkypoužití...... 7 1.3 Cvičení........... 1 2 Základní pojmy 13 2.1 Úvod............ 13 2.2 Existenčnívěty...... 15 2.3 Rovnicevyššíchřádů... 18 2.4 Separaceproměnných... 2 2.5 Rovnicepříbuzné..... 22 2.6 Cvičení........... 25 3 Lineární diferenciální rovnice 27 3.1 Lineárnídiferenciálnírovnice n-téhořádu... 27 3.2 Redukceřádurovnice... 32 3.3 Rovniceskonstantnímikoeficienty...... 33 3.4 Ukázkypoužití...... 37 3.5 Cvičení........... 38 4 Systémy lineárních diferenciálních rovnic 41 4.1 Motivace.......... 41 4.2 Variacekonstantprosystémy......... 45 4.3 Cvičení........... 48 5 Systémy rovnic s konstantními koeficienty 49 5.1 Úvod............ 49 5.2 Nalezenínezávislýchřešení... 5 5.3 KvalitativnívlastnostiřešenísoustavODR... 69 5.4 Cvičení........... 73 6 Laplaceova transformace 75 6.1 Motivace.......... 75 6.2 Rozkladnaparciálnízlomky.......... 77 6.3 Laplaceovatransformace............ 79 6.4 Některéjednoduchéaplikace.......... 83 6.5 Aplikacenasystémyrovnic........... 86 6.6 Dalšívlastnosti L-transformace........ 9 v
vi OBSAH 6.7 L-periodicita...... 93 6.8 Cvičení......... 94 7 Řešené úlohy 95 7.1 Rovnice2.řádu srovnání... 95 7.2 Úlohynavlastníčíslaavlastnívektorymatic......... 96 7.3 ÚlohynasoustavyODR.......... 98 8 Praktické úlohy 15 8.1 Lineárnírovnice1.řádu.......... 15 8.2 Nelineárnírovniceprvníhořádu...... 17 8.3 Systémlineárníchrovnic1.řádu...... 116 9 Historické poznámky 123 9.1 Trochahistorie.... 123
Kapitola 4 Systémy lineárních diferenciálních rovnic Mnoho fyzikálních a technických úloh lze popsat systémem diferenciálních rovnic. Takové systémy lze relativně snadno sestavit; otázky nalezení řešení jsou podstatně složitější. V této kapitole se budeme zabývat soustavami ODR, tj. soustavami, kdy neznámé funkce závisí pouze na jediné proměnné(v praxi často vyjadřující čas t). Derivace podle proměnné t se často značí tečkou. Dále se budeme zabývat systémy diferenciálních rovnic. V této části budeme užívat další poznatky z algebry. Následující výklad ukazuje jejich využití. Úvodní ilustrativní příklad nám ukáže, že se budeme moci omezit, podobně jako již dříve, na systémy(soustavy) rovnic prvního řádu. 4.1 Motivace Příklad4.1.1.Mechanickoukonfiguraci,vnížjenapružiněotuhosti k 1 zavěšenozávaží ohmotnosti m 1,nakterémjenapružiněotuhosti k 2 zavěšenozávažíohmotnosti m 2, popisuje systém m 1 y 1 = m 1g k 1 y 1 + k 2 (y 2 y 1 ), m 2 y 2 = m 2g k 2 (y 2 y 1 ). Předpokládáme, že kromě gravitační síly nepůsobí na systém žádná další vnější síla. Funkce y 1 a y 2 popisujívýchylkyzávažíodrovnovážnéhostavu.pomocísubstituce y 1=(1/m 1 )y 3, y 2 =(1/m 2)y 4 dostanemesystémprvníhořádu y 1 =(1/m 1)y 3, y 2 =(1/m 2)y 4, y 3=m 1 g k 1 y 1 + k 2 (y 2 y 1 ), y 4 = m 2g k 2 (y 2 y 1 ). Předešlý příklad lze snadno zobecnit: každý podobný systém lze analogicky převést na systém prvního řádu. Dále ukážeme, jak ve speciálních případech řešit systém(soustavu) 41
42 Systémy lineárních diferenciálních rovnic diferenciálních rovnic prvního řádu y 1=f 1 (x, y 1, y 2,...,y n ), y 2 = f 2(x, y 1, y 2,...,y n ),. y n=f n (x, y 1, y 2,...,y n ), který jsme zkráceně zapisovali ve vektorovém tvaru y = f(x, y), aprokterýmáme lokální existenčnívětu2.3.1. Příklad4.1.2. Snadnozjistíme,ževektorováfunkceu(t)=(cos t,sin 2 t), t (,π)jeřešenímsoustavy y 1 = y 2 1 + y 2 y 2 1 y 2 = 2y 1 y2. Chceme-li systém prakticky řešit, jsou zjednodušení nutná: omezíme se proto na lineární systémy. Obecně jde totiž o složitý problém, avšak, stejně jako výše, pro speciální případy je k dispozici poměrně jednoduchá teorie. Budeme se tedy zabývat systémem y 1 (x)=a 11(x)y 1 + a 12 (x)y 2 + +a 1n (x)y n + b 1 (x), y 2 (x)=a 21(x)y 1 + a 22 (x)y 2 + +a 2n (x)y n + b 2 (x),. (4.1) y n (x)=a n1(x)y 1 + a n2 (x)y 2 + +a nn (x)y n + b n (x), kterýbudemezapisovat maticově vetvaru y = A(x) y+ b(x); zde yabchápemejakosloupcové n-rozměrnévektory, Aječtvercovámaticetypu n n, jejímižprvkyjsou(reálné)funkce.přitombudemepředpokládat,že a jk a b j jsouspojité funkcenaotevřenémintervalu I R.Vtomtopřípaděprokaždýbod[x, y ] I R n existujepodlevěty2.3.5právějednořešení ϕ=(ϕ 1,...,ϕ n )definovanénaintervalu I, splňujícípodmínku ϕ(x )=y. Není příliš překvapující, že budeme uvažovat opět dva systémy rovnic, a to jednak systém y = A(x) y+ b(x), (4.2) apaksystém y = A(x) y. (4.3) Postupně odvodíme tvrzení, která budou obdobná jako v případě jediné lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Lemma 4.1.3. Všechna řešení systému(4.3) definovaná na tomtéž intervalu tvoří lineární prostor. Speciálně to platí pro všechna maximální řešení.
4.1. Motivace 43 Důkaz.Prořešení y 1, y 2 systému(4.3)ac 1, c 2 R zřejměplatí což dokazuje tvrzení. ( c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 A(x)y 1 + c 2 A(x)y 2 = A(x)(c 1 y 1 + c 2 y 2 ), Nyní ukážeme, že tento prostor má dimenzi n. Nejprve budeme řešit důležitou otázku, kdyjsou n-rozměrnévektorovéfunkce g k (x)=(gk 1(x), g2 k (x),..., gn k (x)), x I, k=1,...,n, lineárně nezávislé na intervalu I R. Jsou-li lineárně závislé, pak musí existovat netriviální lineárníkombinacetěchto vektorůskoeficienty c = (c 1, c 2,...,c n )tak,že(vektorová) funkce c 1 g 1 (x)+ +c n g n (x), tj.tatokombinaceje n-rozměrnýmnulovýmvektoremvkaždémbodě x I.Ktomu jenutné,abydeterminantmatice,jejížsloupcetvořívektorovéfunkce g 1 (x),...,g n (x), x I, byl na I nulovou funkcí. Determinant funkční matice, jejíž sloupce tvoří funkce g 1 (x),...,g n (x), x I,máanalogickévlastnostijakodřívezavedenýWróńskihodeterminant. To nám bude vodítkem pro další postup. Pomocí Věty 2.3.5 o jednoznačnosti najdeme n lineárně nezávislých řešení y 1 =(y 1 1, y2 1,..., yn 1 ),..., y n=(y 1 n, y2 n,...,yn n ), kterásplňujírovnici(4.3)apronějaké x Ipodmínku y k (x )=e k, k=1,...,n; (4.4) vektore k jestandardnísouřadnicovývektor(,,...,1,...,),kterýmá k-tousouřadnici rovnou 1, zatímco ostatní jsou rovny. Řešení jsou opravdu lineárně nezávislá, protože z n k=1 c ky k =plynedosazením x rovnost n n c k y k (x )= c k e k =. k=1 Protožee k, k=1,..., n,jsoulineárněnezávislé,plyneodtud c 1 = c 2 = =c n =. Lemma 4.1.4. Všechna maximální řešení systému(4.3) tvoří lineární prostor dimenze n. Důkaz.Zpředchozí úvahyvyplývá, žedimenze tohotoprostorujealespoň n.je-li y libovolnéřešenísystému(4.3),je y (x )=h=(h 1, h 2,...,h n )ay (x )= n k=1 hk e k.pak podlevětyojednoznačnostije y (x)= n k=1 hk y k (x)provšechna x I. Jsou-lifunkce g 1,...,g n,resp.jejichsložky g k j, j, k=1,2,..., n,funkcemizc k (I),jei jejichdeterminantfunkcízc k (I).PřitomjeprolineárnězávisléfunkcerovenvšudevI. Ukážeme,ževpřípaděvektorovýchfunkcí y 1, y 2,..., y n,kteréjsouřešenímisystému(4.3), platíalternativav silnější podobě:je-lideterminantmatice ( y k j) různýodalespoňv jednomboděintervalu I,jenenulovývevšechbodech I.Je-litotižnulovývnějakémbodě x I,existujenetriviálnílineárníkombinacetaková,že c 1 y 1 (x )+ +c n y n (x )=. Pak podle věty o jednoznačnosti je k=1 c 1 y 1 (x)+ +c n y n (x)= provšechna x I.Jestližesrovnámedosudnalezenépoznatkystím,cojsmeodvodili pro lineární rovnici n-tého řádu, vidíme, že je účelné i v tomto případě zavést pojem fundamentálního systému řešení.
44 Systémy lineárních diferenciálních rovnic Definice 4.1.5. Množinu každých n lineárně nezávislých řešení systému(4.3) na intervalu (c, d) nazýváme fundamentální systém řešení soustavy(4.3) na(c, d). Matici, jejíž sloupce tvoří fundamentální systém maximálních řešení soustavy(4.3), nazýváme fundamentální maticísoustavy(4.3).budemejiznačit Y := Y(x).Jetedy y1 1 y2 1... yn 1 y1 2 y2 2... y 2 n Y(x):=.... (4.5). y1 n y2 n... yn n Důsledek 4.1.6. Determinant fundamentální matice systému(4.5) je na I všude různý od. Příklad 4.1.7. Uvažujme soustavu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic(oldr) y = Ay, kde A= 1 3 1 2 2 2 1. (4.6) Ověříme, že y 1 (x)= 2e x 2e x 3e x, y 2 (x)= e x cos2x, y 3 (x)= tvoří fundamentální systém řešení soustavy(4.6). Je(z praktických důvodů přejdeme k označení derivací pomocí teček): ẏ 1 (x)= 2e x 2e x 3e x, ẏ 3 (x)= ẏ 2 (x)= +2e x cos2x +2 e x cos2x 2 +2e x cos2x Podosazenído(4.6)zjistíme,že y k, k=1,...,3,jsouřešenímidanésoustavy.abychomověřili, že tato řešení tvoří fundamentální systém, stačí spočítat hodnotu determinantu dety()=det 2 2 1 3 1 = 2. ProtožejedeterminantdetY()různýodnuly,tvoří y 1, y 2 a y 3 fundamentálnísystém.fundamentální matice pro soustavu(4.6) má tvar Y(x)=. 2e x 2e x e x cos2x. (4.7) 3e x Metodou nalezení fundamentálního systému řešení pro soustavy typu(4.6) se budeme zabývat později v kapitole 5.,
4.2. Variace konstant pro systémy 45 Označíme-li c=(c 1, c 2,...,c n )sloupcovývektor,můžemezkrácenězapisovatobecné řešeníjakomaticovýsoučin y(x)=y(x) c.snadnonahlédneme,žeivtomtopřípaděplatí analogická tvrzení jako pro lineární rovnici n-tého řádu; jejich důkaz by byl jen opakováním úvah, které jsme již jednou prováděli a které mají elementární charakter. Shrneme tyto poznatky do jediného tvrzení: Tvrzení 4.1.8. Obecné řešení systému(4.3) obdržíme jako množinu všech lineárních kombinací fundamentálního systému řešení soustavy(4.3); závisí tak na n parametrech, kterými jsou koeficienty této lineární kombinace. Rozdíl každých dvou řešení systému(4.2) je řešením(4.3). Proto obecné řešení systému(4.2) obdržíme jako(množinový) součet obecného řešení systému(4.3) a(jednoho) partikulárního řešení systému(4.2). 4.2 Variace konstant pro systémy Jestliže známe fundamentální systém řešení systému(4.3), můžeme pro určení partikulárního řešení systému(4.2) užít metodu variace konstant. Při jejím odvození použijeme výhodný maticový zápis. Budeme hledat řešení systému(4.2) ve tvaru y(x)=y(x) c(x), kde sloupcový vektor c(x) je(vektorovou) funkcí na intervalu I a Y(x) je fundamentální maticesystému(4.3),kterájetedyregulárnívkaždémbodě x Iajejížprvkyjsouspojité funkce na I. Pro toto řešení dostaneme Y (x) c(x)+y(x) c (x)= ( Y(x) c(x) ) = A(x) Y(x) c(x)+b(x). Protože Y (x) = A(x) Y(x),porovnánímvýrazůstojícíchvlevoavpravo vyplývá, že Y(x) c (x)=b(x), x I,atedy c (x)=y 1 (x) b(x). Inverznímatice Y 1 jeregulárnívkaždémbodě x Iajejíprvkyjsouspojitéfunkcena I;toplynezvlastností Y azevzorceprovýpočetprvkůinverznímatice.protonapravé straně předcházející rovnosti stojí spojitá vektorová funkce. Integrací poslední rovnosti (vmezích x a x)dostanemeprokaždé x Ivzorec c(x)=c(x )+ x x Y 1 (t) b(t)dt. Věta 4.2.1. Jestliže jsou maticová funkce A a vektorová funkce b spojité na otevřeném intervalu I Raje-li x I,máCauchyhopočátečníúlohaprosystém y = A(x) y+ b(x), y(x )=y, právějednořešenína Iprokaždýbod y R n.totořešeníjepopsánovzorcem y(x)=y(x)y 1 (x ) y + Y(x) x x Y 1 (t) b(t)dt, x I. (4.8)
46 Systémy lineárních diferenciálních rovnic Důkaz.Prodůkazsprávnostivzorcesistačíuvědomit,ževýrazvpravojevbodě x roven vektoru y. Příklad 4.2.2. Nalezněte řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici zapsanou v maticovém tvaru 1 y = 3 1 2 y+, y()= 1. (4.9) 2 2 1 e x cos2x 1 Zdeje x =.PorovnánímsPříkladem4.1.7vidíme,žeřešímeobdobnýpříklad,tentokrátvšak s nenulovou vektorovou funkcí b. Fundamentální matici homogenní soustavy již známe, je popsána v(4.7).abychommohliužítvztah(4.8),musímevypočítat Y 1 (t)ay 1 ().Posnadném,ale poněkud pracném výpočtu obdržíme 1 Y 1 2 (x)= cos2x 3 2sin2x cos2x sin2x e x, sin2x+ 3 2 cos2x sin2x cos2x atedy Dosazením do(4.8) máme Y 1 ()= 1 2 1 3 2 1 y(x) = Y(x)Y 1 () y + Y(x) Y 1 (t)b(t)dt= x = e x cos2x sin2x +X(x) cos2tsin2t dt= cos2x+sin2x cos 2 2t = e x cos2x sin2x +X(x) 1 8 (1 cos4x) = cos2x+sin2x x 2 1 8 sin4x = e x cos2x (1+ 1 2 x)sin2x. (1+ 1 2 x)cos2x+5 4 sin2x Poznámka4.2.3.Předpokládejme,žejsmenalezlijednořešení y P (x), x I,soustavy x. y (x)=a(x) y(x)+b(x). (4.1) Takovéřešeníbudemezpravidlanazývatpartikulárnířešení(protoužívámeindex P ).Naším cílem je nalézt všechna řešení uvedené soustavy na intervalu I, a tak položíme a dosadíme do(4.1). Postupně dostaneme: z(x)=y(x)+y P (x) z (x)=y (x)+y P(x)=A(x) y(x)+a(x)y P (x)+b(x). Odtud plyne, že každé řešení z(x), x I, soustavy(4.1) je součtem partikulárního řešení y P (x)anějakéhořešeníhomogennísoustavy y (x)=a(x) y(x).
4.2. Variace konstant pro systémy 47 Je-li interval I maximální, tj. pracujeme-li s maximálními řešeními, získáme tímto způsobem všechna maximální řešení soustavy(4.1), tj. její obecné řešení. Budeme-li chápat symboly množinově,pakvezřejmémsmysluproobecnéřešení y OB platí y OB (x)=y H (x)+y P (x), x I, kde y H (x)jelibovolnéřešeníhomogennísoustavy y (x)=a(x) y(x). Strukturou obecného řešení homogenní soustavy jsme se již zabývali. Příklad 4.2.4. Ukažme si ještě jiné řešení Příkladu 4.2.2. S ohledem na předchozí poznámku lze Cauchyovu úlohu(4.9) řešit následujícím způsobem, který bývá v konkrétních situacích zpravidla jednodušší:označíme u i, i=1,2,3,řešeníhomogennísoustavy(4.9),tj.sloupcematice Y(x) v(4.7).hledámeneznáméfunkce c k = c k (x), k=1,2,3tak,aby u(x)=c 1 (x)u 1 (x)+c 2 (x)u 2 (x)+c 3 (x)u 3 (x) bylořešenímsoustavy(4.9).užijeme fyzikální symbolikuabudemeopětderivaciznačittečkou. Snadno zjistíme, že u(x)=ċ 1 (x)u 1 (x)+ċ 2 (x)u 2 (x)+ċ 3 (x)u 3 (x)+c 1 (x) u 1 (x)+c 2 (x) u 2 (x)+c 3 (x) u 3 (x). Dosazenímdosoustavy(4.9)avyužitímfaktu,že u k (x)=a(x)u k (x), k=1,2,3,dostáváme soustavu(algebraických rovnic) pro neznámé funkce: ċ 1 (x) 2e x 2e x 3e x +ċ 2 (x) e x cos2x +ċ 3 (x) = Celousoustavuvydělímekladnoufunkcíe x azprvnírovnicesoustavymáme e x cos2x ċ 1 (x)=, atedy c 1 (x)= (konstantu lze volit libovolně, pro usnadnění je zpravidla výhodné volit nulu). Další rovnice soustavy pak mají tvar: ċ 2 (x)cos2x+ċ 3 (x)sin2x = ċ 2 (x)sin2x ċ 3 (x)cos2x = cos2x. Jak snadno spočteme, je determinant této soustavy roven 1, a tedy hledaná řešení jsou: ċ 2 (x) = sin2xcos2x ċ 3 (x) = cos 2 2x. Po integrování(integrační konstanty volíme opět nuly) máme: ċ 2 (x) = 1 (1 cos4x) 8 ċ 3 (x) = x 2 1 8 sin4x.
48 Systémy lineárních diferenciálních rovnic Partikulární řešení má tedy tvar u P (x)= 1 (1 cos4x) 8 e x cos2x ( x 2 +1 8 sin4x ) Z řešení příkladu na str. 44 víme, že libovolné řešení homogenní soustavy(4.7) lze psát ve tvaru 2e x u H (x)=c 1 2e x +C 2 e x cos2x +C 3 3e x kde C k, k=1,2,3,jsoukonstanty.obecnéřešenísoustavy(4.9)mátvar u OB (x)=u H (x)+u P (x). AbychomnalezliřešeníCauchyovyúlohy,musímeurčitkonstanty C k, k=1,2,3,zpočáteční podmínky. Dostáváme soustavu lineárních algebraických rovnic: 2 u OB ()= C 1 2 +C 2 1 +C 3 + = 1. 3 1 1 Jaksnadnozjistíme,mátatosoustava(jediné)řešení C 1 =, C 2 =1, C 3 = 1.Tedyhledané řešení Cauchyovy úlohy je 2e x u(x) = 2e x 3e x +1 e cos2x 1 + + 1 (1 cos4x) 8 e x cos2x ( x 2 +1 8 sin4x ) Po úpravě dostáváme hledané řešení Cauchyovy úlohy: u(x)=e x cos2x (1+ 1 2 x)sin2x. (1+ 1 2 x)cos2x+5 4 sin2x 4.3 Cvičení 1. Řešte soustavu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic(oldr) 1 1 y = Ay, kde A= 1 4. 1 4 [ Charakteristická rovnice má tvar 1+λ 1 det 1+λ 4 =λ 3 +6λ 2 +9λ=λ(λ+3) 2 =. 1 4+λ Řešení je pak tvaru y(x)=c 1 4 4 1 +C 2 xe 3x ( 2x+1)e 3x (x 1)e 3x +C 3 e x 2e 3x e 3x.]..