VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS ŘEŠENÍ PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC FOURIEROVOU METODOU SOLVING OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BY FOURIER METHOD BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR OLDŘICH BARVENČÍK VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Ing. LUDĚK NECHVÁTAL, Ph.D. BRNO 28

Abstrakt Práce je přehedovým textem, který se zabývá řešením parciáních diferenciáních rovnic Fourierovou metodou, tj. metodou, kdy řešení (počátečně) okrajové úohy hedáme ve tvaru nekonečné Fourierovy řady. Kíčovým krokem je předpokad, že řešení ze naézt ve tvaru se separovanými proměnnými, proto se metodě někdy říká metoda separace proměnných. Podstata nejépe vynikne na homogenních úohách paraboického a hyperboického typu. V práci jsou systematicky rozebrány oba typy v jedné (prostorové) dimenzi, nejprve homogenní úoha, poté homogenní úoha s nehomogenními okrajovými podmínkami a závěrem nehomogenní úoha. Abstract Bacheor thesis is a survey text which deas with soving partia deferentia equations by Fourier method, i.e. method when we ook for a soution of (initia) boundary vaue probem in form of the infinite Fourier series. The key step is a hypothesis that the soution can be expressed in form with separated variabes, therefore the method is sometimes caed separation of variabes method. The essence can be demonstrated on paraboic and hyperboic homogeneous probems. In the thesis both types in one (space) dimension are systematicay anayzed, at first homogeneous probem, then homogeneous one with non-homogeneous boundary conditions and finay competey non-homogeneous probem. kíčová sova Parciání diferenciání rovnice, Fourierova metoda key words Partia diferentia equation, Fourier method BARVENČÍK, O.: Řešení parciáních diferenciáních rovnic Fourierovou metodou, Brno, Vysoké učení technické v Brně, Fakuta strojního inženýrství, 27 (19 stran). Vedoucí bakaářské práce Ing. Luděk Nechváta, Ph.D.

Prohašuji, že jsem bakaářskou práci Řešení parciáních diferenciáních rovnic Fourierovou metodou vypracova samostatně pod vedením Ing. Luďka Nechvátaa, Ph.D. s použitím materiáů uvedených v seznamu iteratury. Odřich Barvenčík

Děkuji svému škoitei Ing. Luďku Nechvátaovi, Ph.D. za četné rady a připomínky při vedení mé bakaářské práce. Odřich Barvenčík

Obsah 1 Úvod 1 2 Fourierovy řady 1 2.1 Zákadní pojmy................................. 1 3 Odvození vybraných rovnic matematické fyziky 13 3.1 Rovnice vedení tepa v tyči........................... 13 3.2 Rovnice kmitání struny............................. 14 3.3 Formuace úoh................................. 15 4 Řešení PDR Fourierovou metodou 16 4.1 Sturmova-Liouvieova úoha.......................... 16 4.2 Homogenní úoha................................ 17 4.3 Konvergence řešení............................... 24 4.4 Homogenní úoha s nehomogenními podmínkami............... 25 4.5 Nehomogenní úoha............................... 26 5 Závěr 27 9

1 Úvod Mnohé úohy inženýrské praxe vedou na parciání diferenciání rovnice. V některých speciáních případech je výhodné řešit tyto úohy tzv. Fourierovou metodou řad. Kíčovým krokem metody je předpokad, že řešení ze naézt ve tvaru se separovanými proměnnými, proto se metodě někdy říká metoda separace proměnných. Metoda je vhodná zejména v případě rovnic paraboického a hyperboického typu. Počátky metody spadají do druhé pooviny osmnáctého stoetí a jsou spojeny se jmény Leonhard Euer, Danie Bernoui a Jean Baptiste Joseph Fourier. Daná probematika vzbudia v té době poměrně vekou diskusi, která pramenia z nevyjasněných pojmů řady, či funkce. Práce čerpá především z pramenů [1], [2], [3], [4] a je čeněna násedovně. Druhá kapitoa obsahuje přehed zákadních výsedků z teorie Fourierových řad. Kapitoa 3 se věnuje odvození dvou typů rovnic v jedné dimenzi, konkrétně rovnice vedení tepa v tyči a rovnice kmitání struny. Diskutováno je také někoik typů okrajových podmínek. Kapitoa 4 je stěžejní částí práce, která vysvětuje Fourierovu metodu na někoika modeových příkadech. Postupně jsou probírány homogenní úoha, dáe homogenní rovnice s nehomogenními podmínkami a na závěr i nehomogenní úoha. 2 Fourierovy řady 2.1 Zákadní pojmy V řadě fyzikáních úoh se upatňují periodické děje, jde především o různá kmitání (např. akustická, mechanická), kruhové pohyby, atd. Při jejich řešení je výhodné vyjádřit přísušné funkce pomocí nekonečných Fourierových řad. Při rozvoji funkcí ve Fourierovy řady hraje zásadní roi tzv. ortogonaita systému funkcí. Definice 2.1. (ortogonáního systému funkcí) Nechť {f k (x)} je posoupnost funkcí z L 2 (I) (tj. ebesgueovsky měřitené funkce na intervau I, takové že f 2 I k (x) dx < < ). Řekneme, že množina těchto funkcí tvoří ortogonání systém funkcí na intervau I, pokud patí { =, i j, i, j = 1, 2,... f i (x)f j (x) dx., i = j I Výraz (f, g) = f(x)g(x) dx nazýváme skaární součin funkcí f, g a číso I f = (f, f) = I f 2 (x) dx nazveme normou funkce f. Norma rozdíu funkcí f, g, tj. f g, se nazývá střední kvadratická odchyka těchto funkcí. Poznámka. Princip rozvoje ve Fourierovy řady se opírá o předpokad, že funkci f ze na daném intervau vyjádřit jako nekonečnou ineární kombinaci ortogonáního systému funkcí {f k }, tj. f(x) = c k f k (x). 1

Rovnost nyní vynásobíme funkcí f m a integrujeme na daném intervau, dostáváme tak ( ) f(x)f m (x) dx = c k f k (x)f m (x) dx. I I Předpokádejme dáe, že řada c kf k na I stejnoměrně konverguje k funkci f. To umožňuje zaměnit znaky integrace a sumace I f(x)f m (x) dx = I c k f k (x)f m (x) dx. Protože funkce f k tvoří ortogonání systém, na pravé straně zbude pouze jeden čen f(x)f k (x) dx = c k fk 2 (x) dx. Pro koeficienty c k tak patí I c k = (f, f k) f k 2 = 1 f k 2 a nazveme je Fourierovými koeficienty. Definice 2.2. Nekonečná řada a 2 + ( a k cos πkx + b k sin πkx ), I I f(x)f k (x) dx, (2.1) kde a, a k, b k, jsou ibovoné konstanty, se nazývá trigonometrická řada a částečný součet této řady s n (x) = a n ( 2 + a k cos πkx + b k sin πkx ) nazveme trigonometrickým poynomem. Věta 2.3. Nekonečná množina {1, sin πx, cos πx, sin π2x, cos π2x,..., sin πkx tvoří ortogonání systém na I = c, c + 2, c R. Navíc, cos πkx,... } (2.2) 1 = 2, cos πkx = sin πkx =, k = 1, 2... Věta 2.4. Nechť trigonometrická řada konverguje stejnoměrně k funkci f na I = = c, c + 2, c R. Pak pro její koeficienty patí vztah (2.1), tedy a = 1 f(x) dx, a k = 1 f(x) cos πkx dx, b k = 1 f(x) sin πkx dx. (2.3) I Poznámka. Existují i jiné ortogonání systémy než (2.2). I I 11

Definice 2.5. Nechť f L 2 (I). Pak trigonometrickou řadu Φ f (x) = a 2 + ( a k cos πkx + b k sin πkx ), kde koeficienty a, a k, b k jsou určeny vzorci (2.3), nazýváme Fourierovou řadou funkce f(x). Lze dokázat, že ze všech trigonometrickým poynomů aproximuje funkci f ve smysu nejmenší kvadratické odchyky nejépe právě poynom s koeficienty určenými vzorci (2.3). Věta 2.6. (Besseova nerovnost) Nechť f L 2 ( c, c + 2 ) a a, a k, b k jsou koeficienty určeny vzorci (2.3). Pak patí 2 a2 + ( ) a 2 k + b 2 k f 2. Věta 2.7. (Parsevaova rovnost) Nechť f L 2 ( c, c+2 ), a, a k, b k jsou koeficienty určeny vzorci (2.3) a s n (x) představuje trigonometrický poynom s těmito koeficienty. Pak f s n 2 a2 + ( ) a 2 k + b 2 k = f 2. Poznámka. Parsevaova rovnost je ekvivaentní s úpností systému ortogonáních funkcí (neexistuje žádná daší nenuová funkce z L 2 (I) ortogonání ke všem funkcím systému). Lze dokázat, že ortogonání systém (2.2) je úpný a Parsevaova rovnost v tomto případě patí. Zabývejme se nyní otázkou konvergence Fourierových řad. Věta 2.8. (Dirichetova) Nechť funkce f spňuje na intervau c, c + 2 tzv. Dirichetovy podmínky, tj. je na tomto intervau po částech spojitá a má zde konečný počet okáních extrémů. Pak patí: Φ f (x) = f(x) v každém bodě x, kde je f spojitá, ve všech bodech x k nespojitosti funkce f, Φ f (x k ) = 1 im f(x) + im f(x) 2[ ] x x k x x k+ Φ f (c) = Φ f (c + 2) = 1 2 [ im x c+2 f(x) + im x c+ f(x)]. Na intervau (, + ) pak řada konverguje k tzv. periodickému rozšíření funkce f. Věta 2.9. Nechť řady a k, b k konvergují, a k, b k jsou Fourierovy koeficienty funkce f na intervau c, c + 2. Pak Fourierova řada Φ f konverguje k této funkci stejnoměrně (a absoutně) na c, c + 2. Věta 2.1. Pokud je f periodická po částech hadká (spojitá se svou po částech spojitou první derivací) na c, c+2, pak Φ f (x) konverguje stejnoměrně k f na (, ). 12

3 Odvození vybraných rovnic matematické fyziky Protože úohy z kapitoy 4 budeme interpretovat vždy jako úohy vedení tepa v tyči (těese), resp. kmitání tenké struny, zaměříme se na odvození právě těchto rovnic. Při odvozování vycházíme obecně z patných přírodních zákonů, např. v případě vedení tepa zákon zachování energie, v případě kmitání struny jde o druhý Newtonův pohybový zákon. Spou s těmito fyzikáními principy vstupují do rovnice tzv. konstituční vztahy, tj. vztahy mezi různými fyzikáními veičinami. 3.1 Rovnice vedení tepa v tyči Uvažujme tenkou tyč (průřez tyče je vzhedem k déce tyče zanedbatený). Souřadnice x značí poohu bodu na tyči, t je čas. Neznámou je funkce u(x, t), jež popisuje tepotu tyče v místě x a čase t. Předpokádáme, že povrch tyče je tepeně izoován (ztráty tepa do okoí přes povrch tyče ze tedy zanedbat). Uvažujme dáe ibovoný úsek tyče (x a, x b ) v ibovoném časovém intervau (t α, t β ). Provedeme tepenou bianci, pode zákona zachování energie, zanedbáme-i ztráty do okoí, patí: E = Q f Q a Q b, kde E změna vnitřní energie [J], Q f tepo, které do úseku dodáme [J], Q a, Q b tepo, které vyteče během časového intervau přes konec x a resp. x b [J]. Změnou vnitřní energie E rozumíme rozdí vnitřní tepené energie v čase t α a t β, tedy E = E tβ E tα = x b e(x, t β ) dx x b e(x, t α ) dx, x a x a kde e(x, t) představuje hustotu vnitřní energie [J.m 1 ]. Tento výraz dosadíme do rovnice, vyjádříme i ostatní veičiny pomocí integráů a dostáváme x b x b t β x b t β t β x a e(x, t β ) dx e(x, t α ) dx = f(x, t) dxdy x a +q(x b, t) dt q(x a, t) dt, t α x a t α t α kde f(x, t) hustota vnitřních zdrojů [J.m 1.s 1 ], q(x, t) tepený tok (záporné znaménko značí záporný směr toku ve smysu osy x) [J.s 1 ]. Součením integráů a úpravou pomocí integrání věty o střední hodnotě obdržíme t β x b t α (e t + q x f) dtdx =. x a 13

Protože intervay byy (x a, x b ) a (t α, t β ) voeny naprosto ibovoně, musí být integrand identicky roven nue, patí tedy e t + q x f =. Nyní využijeme zmíněné konstituční vztahy. Hustota vnitřní energie je funkcí tepoty. V určitém rozmezí tepot ze tuto závisost inearizovat. Také tepený tok závisí v určitém rozmezí ineárně na tepotním gradientu u x (tzv. Fourierův zákon), máme tedy kde e = cu + k, q = ku x, c konstanta vyjadřující tepenou kapacitu vztaženou na 1m déky [J.m 1.K 1 ], k konstanta, k součinite vedení tepa vztažený opět na 1m déky, záporné znaménko značí směr proti tepenému spádu, tento součinite uvažujeme rovněž konstantní [J.m 1.s 1.K 1 ]. Dosazením do rovnice dostáváme tj. t (cu + k ) + x ( ku x) f =, cu t = ku tt + f. Zavedením κ = k/c ze rovnici přepsat na tvar u t = κu xx + f. 3.2 Rovnice kmitání struny Předpokádejme tenkou strunu (zanedbáváme odpor vůči ohybu) podé souřadné osy x napjatou siou T. Neznámá funkce u(x, t) popisuje výchyku bodu x v čase t. Uvažujeme pouze příčné kmity, pohyby ve směru osy x tedy zanedbáváme. Nejprve provedeme siovou bianci pro část struny (x a, x b ) v čase t. Pode druhého Newtonova pohybového zákona patí F a + F b + F f = ma, (3.4) F a, F b průměty si, kterými působí zbytek struny na úsek v jeho koncích x a, x b [N], F f průmět známé vnější síy (např. gravitace) [N] m hmotnost [kg], patí m = x b x a ϱ dx, kde ϱ je déková hustota [kg.m 1 ], a zrychení, patí a = u tt [m.s 2 ]. Nyní vyjádříme jednotivé síy. Vnější síu F f vyjádříme pomocí hustoty f(x, t) F f = x b x a f(x, t) dx. 14

Na strunu působí v každém jejím bodě x sía T, která ji napíná a působí ve směru tečny ke struně. Tuto síu uvažujeme konstantní po ceé déce struny, obdržíme vztahy F a = T sin α a, F b = T sin α b, kde α a, α b jsou úhy, které svírají síy F a, F b se siou T v koncových bodech x a a x b. Díky předpokadu maých kmitů nahradíme sin α směrnicí tg α = u x, tedy Dosazením do rovnice (3.4) dostáváme F = T sin α T tg α = T u x. T u x (x b, t) T u x (x a, t) + x b x a f(x, t)dx = x b x a ϱu tt dx. Po úpravě (opět pomocí integrání věty o střední hodnotě) součíme integráy: x b ( T uxx + f ϱu tt ) dx =. Interva (x a, x b ) by opět voen ibovoně, proto patí x a ϱu tt = T u xx + f. Označíme-i c 2 = T/ϱ, dostáváme jednorozměrnou vnovou rovnici u tt = c 2 u xx + f, kde c má význam rychosti, kterou se vna šíří. Podrobnější odvození a odvození rovnic ve vyšší dimenzi rovnice ze naézt např. v [3], [4]. 3.3 Formuace úoh Samotná parciání diferenciání rovnice dává nekonečně mnoho řešení. Abychom získai jedno konkrétní, dopňujeme rovnici počátečními a okrajovými podmínkami. Dostáváme tzv. počátečně-okrajovou úohu. Počáteční podmínky popisují situaci v okamžiku t, tj. počáteční rozožení tepoty (počáteční výchyku v případě kmitání struny). Tato podmínka má tvar u(x, t ) = ϕ(x) x (a, b), v případě rovnice kmitání struny musíme přidat ještě jednu podmínku. Předepisujeme derivaci pode proměnné t podmínka má význam počáteční rychosti. u t (x, t ) = ψ(x) x (a, b), 15

Okrajové podmínky popisují situaci v konečných bodech sedovaného intervau (a, b). Rozeznáváme někoik druhů okrajových podmínek, zde jsou zákadní tři, uvedeny pro pravý konec b tyče (struny): Dirichetova podmínka u(b, t) = u b (t) určuje hodnotu funkce u v koncovém bodě intervau a je obecně funkcí času. Je tedy předepsána tepota resp. výchyka v případě rovnice kmitání struny. Neumannova podmínka u x (b, t) = ϑ(t), představuje (až na násobek konstanty) tepený tok, který je obecně opět funkcí času. V případě kmitání struny má význam síy působící na konec b. Newtonova podmínka u x (b, t) + h b u(b, t) = u b (t) je kombinací Dirichetovy a Neumannovy podmínky. Poznámka. Newtonovy okrajové podmínky (v případech vedení tepa) vycházejí z Newtonova zákona ochazování. Ten modeuje situaci, kdy koem těesa proudí vzduch (obecně jakákoi tekutina) a odvádí (přivádí) tepo. Předpokádáme-i, že u(b, t) > u b (t) (tyč je tepejší než okoí), má Newtonův zákon ochazování tvar ku x (b, t) = h [ u(b, t) u b (t) ], kde k, h jsou experimentáně zjištěné konstanty a u b (t) tepota okoí. 4 Řešení PDR Fourierovou metodou Typickými úohami, které řešíme Fourierovou metodou (metodou separace proměnných), jsou počátečně-okrajové úohy v ohraničené obasti pro paraboické a hyperboické rovnice. Podstata metody nejépe vynikne při řešení homogenních okrajových úoh. 4.1 Sturmova-Liouvieova úoha Uvažujme nyní ineární parciání diferenciání rovnici (s nekonstantními koeficienty) v jedné prostorové dimenzi ve tvaru c(x)u t [k(x)u x ] x = na (a, b), resp. ϱ(x)u tt [k(x)u x ] x = na (a, b) (4.5) dopněnou okrajovými podmínkami αu x (a) + βu(a) =, γu x (b) + δu(b) = (4.6) a počáteční podmínkou u(x, ) = ϕ(x) (v případě hyperboické úohy navíc u t (x, ) = = ψ(x). Hedáme tedy funkci u(x, t), která pro t > spňuje rovnici na intervau (a, b), okrajové a počáteční podmínky. Netriviání řešení spňující rovnici (4.5) a okrajové podmínky (4.6) hedáme ve tvaru se separovanými proměnnými u(x, t) = X(x)T (t). Dosazením do rovnice a úpravou obdržíme (ku x ) x cx = T T, resp. (ku x) x ϱx = T T. 16

Aby rovnost patia, musí se obě strany rovnat konstantě, označíme ji λ: (ku x ) x cx = λ = T T, resp. (ku x) x ϱx = λ = T T. Odtud T + λt =, resp. T + λt = [k(x)u x ] x + λc(x)x =, resp. [k(x)u x ] x + λϱ(x)x =, (4.7) přičemž X(x) musí spňovat okrajové podmínky αx + βx =, γx + δx =. (4.8) Úohu (4.7), (4.8) nazýváme Sturmovou-Liouvieovou úohou, jejíž řešitenost hraje při Fourierově metodě zásadní roi. Definice 4.1. Hodnoty λ, pro které má úoha (4.7), (4.8) netriviání řešení nazýváme vastními čísy okrajové úohy (4.7), (4.8). Dáe netriviání řešení X(x) této úohy, které přísuší těmto vastním čísům, nazveme vastními funkcemi. Věta 4.2. Nechť c(x), resp. ϱ(x) jsou kadné spojité funkce na (a, b), α, β, γ, δ jsou nezáporné konstanty takové, že α 2 + β 2, γ 2 + δ 2. Pak existuje nekonečně mnoho vastních číse λ k a k nim přísušných vastních funkcí X k (x) okrajové úohy (4.7), (4.8). Věta 4.3. (Stekovova) Každou funkci z L 2 (I) ze rozvinout do Fourierovy řady pode vastních funkcí okrajové úohy (4.7), (4.8). Tato řada konverguje absoutně a stejnoměrně na I. 4.2 Homogenní úoha Rovnice vedení tepa v tyči Nejprve se zaměříme na rovnice vedení tepa v tyči odvozené v části 3.1. Příkad 4.4. Řešme úohu vedení tepa v tyči déky bez zdroje tepa s různými typy okrajových podmínek: a) Dirichetovy okrajové podmínky: b) Neumannovy okrajové podmínky: c) Newtonovy okrajové podmínky: u x = u tt x (, ) t (, + ) (4.9) u(x, ) = ϕ(x) x (, ) u(, t) =, u(, t) = t (, + ) u x (, t) =, u x (, t) = t (, + ) u x (, t) h 1 u(, t) = u x (, t) + h 2 u(, t) = 17

Funkce u k (x, t) spňující rovnici a okrajové podmínky budeme hedat ve tvaru se separovanými proměnnými: u k (x, t) = X(x)T (t). Dosazením do rovnice (4.9) a úpravou získáváme T (t) T (t) = X (x) X(x). Protože evá strana nezávisí na x, pravá na t, a jeikož má rovnost patit pro všechna x (, π) a t (, + ), rovnají se obě strany konstantě, kterou označíme λ. Obdržíme tak T (t) T (t) = X (x) X(x) = λ, dostáváme obyčejnou diferenciání rovnici pro T která má řešení T (t) + λt (t) =, T (t) = Ce λt, kde C je konstanta. Nyní vyřešíme Sturmovu-Liouvieovu úohu X (x) + λx(x) =, X() =, X() =. Výsedné řešení bude záviset na znaménku konstanty λ. α) Pokud λ < a poožíme λ = a 2, dostáváme X = Ae ax + Be ax. β) Pokud λ =, obdržíme X = Ax + B. Rovnici a okrajové podmínky pro tyto dva případy spňuje pouze triviání řešení A = B =. γ) Pokud λ >, dostáváme Nyní dosadíme do okrajových podmínek. X = A cos λx + B sin λx. a) Dirichetovy okrajové podmínky: Dosazením do první okrajové podmínky dostáváme rovnost vyděíme T (t) a dostáváme X()T (t) =, X() = A cos λ = A =. 18

Dosazení do druhé podmínky: vyděíme opět T (t) a dostáváme X()T (t) =, X() = B sin λ = sin λ =. odtud pyne kπ λ = kπ = λ =. Funkce X k (x) a T k (t) tak mají tvar Dostáváme posoupnost funkcí X k (x) = sin kπ x, T k(t) = e k2 π 2 2 t, k = 1, 2, 3,... u k (x, t) = e k2 π 2 2 t sin kπ x, k = 1, 2, 3,... Vhodná ineární kombinace funkcí u k (x, t) vyhovuje opět rovnici a okrajovým podmínkám. Abychom vyhověi také počáteční podmínce, hedejme řešení jako nekonečnou ineární kombinaci u(x, t) = c k e k2 π 2 2 t sin kπ x. Posoupnost koeficientů c k určíme z počáteční podmínky, patí u(x, ) = c k sin kπ = ϕ(x), odtud pyne c k = 2 ϕ(x) sin πkx dx. b) Neumannovy okrajové podmínky: Opět postupně dosadíme do okrajových podmínek: vyděením T (t) dostáváme Dáe do druhé podmínky: T (t)x () = T (t) ( λa sin λ + λb cos λ ) =, postupným zjednodušením získáváme X () = λb = B =. T (t)x () = T (t) ( λa sin λ ) =, A sin λ =, 19

konečně tak dostáváme vztah pro λ Posoupnost funkcí má tvar λ = kπ λ = kπ, λ = k2 π 2 2. u k (x, t) = e k2 π 2 2 t cos kπ x. Řešení spňující i počáteční podmínku opět obdržíme jako ineární kombinaci funkcí u k u(x, t) = c k e k2 π 2 2 t cos kπ x, kde koeficienty c k dostaneme opět z počáteční podmínky u(x, ) = c k cos kπ = ϕ(x), odtud c = 1 ϕ(x) dx, c k = 2 ϕ(x) cos πkx dx. c) Newtonovy okrajové podmínky: Z první okrajové podmínky vypývá, že B λ = h 1 A, dosazením do funkce X(x) obdržíme X(x) = B h 1 (cos λx + h 1 sin λx). Činite B h 1 bude později zahrnut v posoupnosti konstant c k. Dáe dosazením funkce X(x) do druhé okrajové podmínky dostáváme rovnici pro určení vastních číse cotg λ = λ h 1h 2 λh1 +. λh 2 Pode Věty 4.2 existuje posoupnost vastních číse (tato čísa jsou kadná), dostáváme tak X k (x) = λ k cos λ k x + h 1 sin λ k x. Funkce T (t) má tvar T k (t) = e λkt. Cekově tedy u k (x, t) = e ( λ kt λk cos λ k x + h 1 sin λ k x ). Řešení má opět tvar u(x, t) = k c ku k, tj. u k (x, t) = c k e ( λ kt λk cos λ k x + h 1 sin λ k x ), 2

koeficienty c k pynou z počáteční podmínky u k (x, ) = pak pro c k patí ( c k λk cos λ k x + h 1 sin λ k x ) = c k = 1 X k 2 ϕ(x)x k (x) dx. c k X k (x) = ϕ(x), Příkad 4.5. Řešme úohu ochazování těesa, které je ohraničené dvěma kuovými pochami (se stejným středem) o pooměrech R 1 < R 2. Na vnějším i vnitřním povrchu nastává výměna tepa s prostředím s nuovou tepotou. Počáteční tepota závisí pouze na vzdáenosti od středu, tedy u(ϱ, ) = f(ϱ) pro R 1 < ϱ < R 2. Sestavíme matematický mode: κ u = u t v Ω : R 1 < x 2 + y 2 + z 2 < R 2, t > u n + hu = na Ω, t > u(x, y, z, ) = f( x 2 + y 2 + z 2 ) Rovnice je tedy pro obecný případ vedení tepa a okrajové podmínky dostaneme úpravou z Newtonova zákona ochazování. Mode ze transformací do sférických souřadnic x = ϱ cos ϕ sin ϑ, y = ϱ sin ϕ sin ϑ, z = ϱ cos ϑ, převést na jednorozměrnou úohu. Označíme u (ϱ, ϕ, ϑ, t) = u(ϱ cos ϕ sin ϑ, ϱ sin ϕ sin ϑ, ϱ cos ϑ, t). Lapaceův operátor má po transformaci do sférických souřadnic tvar u = u xx + u yy + u zz = 1 ϱ 2 (ϱ2 u ϱ) ϱ + Protože u (ϱ, ϕ, ϑ, t) nezávisí na ϕ a ϑ, obdržíme 1 ϱ 2 sin ϑ (sin 1 ϑu ϑ) ϑ + ϱ 2 sin ϑ u ϕϕ. u = 1 ϱ 2 (ϱ2 u ϱ) ϱ = 1 ϱ 2 (2ϱu ϱ + ϱ 2 u ϱϱ) = u ϱϱ + 2 ϱ u ϱ. Dáe na vnitřním povrchu u n = u ϱ a na vnějším u n = u ϱ, máme tak úohu u t = κ ( u ϱϱ + 2 ϱ ϱ) u, ϱ (R1, R 2 ), t > u ϱ(r 1, t) + hu (R 1, t) =, u ϱ(r 2, t) + hu (R 2, t) =, 21

u (ϱ, ) = f(ϱ), ϱ (R 1, R 2 ). Nyní zavedeme substituci v(ϱ, t) = ϱu (ϱ, t), dostáváme tak Po dosazení do rovnice konečně obdržíme v ϱ = u + ϱu ϱ, v ϱϱ = 2u ϱ + ϱu ϱϱ, v t = ϱu t. v t ϱ = κ( v ϱϱ ϱ 2 ϱ u ϱ + 2 ) v ϱϱ ϱ u ϱ = κ ϱ. Vynásobením rovnice ϱ a úpravou podmínek dostáváme úohu pro v(ϱ, t): v t = κv ϱϱ, ϱ (R 1, R 2 ), t > v ϱ (R 1, t) ( h + 1 R 1 ) v(r1, t) =, (4.1) v ϱ (R 2, t) + ( h 1 R 2 ) v(r2, t) =, (4.11) v(ϱ, ) = ϱf(ϱ). Jde o jednorozměrnou rovnici vedení tepa s Newtonovými okrajovými podmínkami. Úohu budeme opět řešit separací proměnných. Nejprve určíme funkce v k (ϱ, t) = X(ϱ)T (t) spňující rovnici a okrajové podmínky. Dosazením do rovnice a úpravou obdržíme Sturmova-Liouvieova úoha má tvar T (t) κt (t) = X (ϱ) X(ϱ) = λ. X + λx =, X ϱ (R 1 ) ( h + 1 R 1 ) X(R1 ) =, X ϱ (R 2 ) + ( h 1 R 2 ) X(R2 ) =. Řešení ze napsat ve tvaru s posunutým argumentem, který voíme z důvodu okrajových podmínek X(ϱ) = A cos λ(ϱ R 1 ) + B sin λ(ϱ R 1 ). Patí X (ϱ) = λa sin λ(ϱ R 1 ) + λb cos λ(ϱ R 1 ). Z okrajové podmínky (4.1) dostaneme B = ( h + 1 R 1 ) A λ. a zvome A = λ. Z druhé okrajové podmínky (4.11) obdržíme rovnici pro určení vastních číse tg [( ) ( )] λ h 1 R λ(r 2 R 1 ) = 2 + h + 1 R 1 λ ( )( ), (4.12) h 1 R 2 h + 1 R 1 22

která má kadná řešení λ k, k = 1, 2,... Dostáváme tak X k (ϱ) = λ k cos λ k (ϱ R 1 ) + ( h + 1 R 1 ) sin λk (ϱ R 1 ). Rovnice pro T (t) vede opět na řešení Cekově T + κt =, T (t) = e κλt. Protože v = ϱu, v k (ϱ, t) = e κλ kt [ λk cos λ k (ϱ R 1 ) + ( h + 1 R 1 ) sin λk (ϱ R 1 ) ]. u (ϱ, t) = c k e κλ kt ϱ[ 1 λk cos λ k (ϱ R 1 ) + ( h + 1 ) sin λk (ϱ R 1 ) ]. R 1 Koeficienty c k určíme z počáteční podmínky u (ϱ, ) = f(ϱ): u (ϱ, ) = 1[ c k λk cos λ k (ϱ R 1 )+ ( h+ 1 ) sin λk (ϱ R 1 ) ] = ϱ R 1 c k X k = ϱf(ϱ). Pro koeficienty c k tak patí c k = 1 X(ϱ) 2 R 2 R 1 ϱf(ϱ)x k (ϱ) dϱ. Rovnice kmitání struny V daším se zaměříme na rovnice kmitání, odvodii jsme je v části 3.2. Příkad 4.6. Řešme úohu kmitání struny déky pro rovnici u tt = u xx x (, ) t (, + ), se stejnými okrajovými podmínkami jako v příkadě 4.4 a počátečními podmínkami u(x, ) = ϕ(x), u t (x, ) = ψ(x) x (, ). Anaogicky vede separace proměnných na X + λx =, T + λt =. Řešením rovnice pro T (t) je T (t) = a cos λt + b sin λt. Tvar funkce X(x) je stejný jako v 4.4. Dosadíme do okrajových podmínek 23

a) Dirichetovy okrajové podmínky Postup je obdobný jako v 4.4. Posoupnost funkcí u k má tvar u k (x, t) = sin kπ x( a k cos kπ t + b k sin kπ t). Dosazením do počátečních podmínek určíme koeficienty a k, b k, patí a k = 2 ϕ(x) sin kπ x dx, b k = 2 kπ ψ(x) sin kπ x dx. b) Neumannovy okrajové podmínky Zde postupným dosazením do okrajových podmínek dostaneme u k (x, t) = cos kπ x( a k cos kπ t + b k sin kπ t). Koeficienty a k, b k dostaneme z počátečních podmínek: a = 1 ϕ(x) dx, a k = 2 ϕ(x) cos kπ x dx, b k = 2 kπ ψ(x) cos kπ x dx. c) Newtonovy okrajové podmínky Stejným postupem jako v 4.4 dostáváme u k (x, t) = ( λ k cos λ k x + h 1 sin λ k x)(a k cos λ k t + b k sin λ k t). Dosazením do okrajových podmínek obdržíme koeficienty a k, b k. Patí u(x, ) = a k ( λ k cos λ k x + h 1 sin λ k x) = a k X(x) = ϕ(x), odtud a k = 1 X k (x) 2 Obdobně z druhé počáteční podmínky pyne ϕ(x)x k (x) dx. b k = 1 λ k X k (x) 2 ψ(x) λ k X k (x) dx. 4.3 Konvergence řešení Doposud jsme se nezabývai konvergencí řešení. V případě rovnice vedení tepa (paraboické rovnice) konverguje řada pro t = bodově. Pro t > zaručí exponenciání čen stejnoměrnou konvergenci pode věty 2.9. Rozhodnutí o konvergenci je v případě hyperboické rovnice sožitější, funkce T (t) neobsahuje exponenciání čen. Má-i řešení konvergovat pode věty 2.1, požadujeme, aby funkce ϕ (2π-periodická funkce, která vznikne periodickým prodoužením funkce ϕ na funkci periodickou na R) bya hadká a ψ (periodické prodoužení funkce ψ) bya spojitá. To vyžaduje spnění podmínek souadu ϕ(+) = ψ(+) = a ϕ( ) = ψ( ) =. 24

4.4 Homogenní úoha s nehomogenními podmínkami Věta 4.7. (Princip superpozice) Nechť pro každé i = 1,..., n je funkce u i řešením úohy s pravou stranou f i a počátečními podmínkami ϕ i, ψ i. Pak ineární kombinace řešení u = k 1 u 1 + k 2 u 2 + + k n u n je řešením úohy se stejnou ineární kombinací pravých stran a počátečních podmínek, tedy f = k 1 f 1 +k 2 f 2 + +k n f n, ϕ = k 1 ϕ 1 +k 2 ϕ 2 + +k n ϕ n, ψ = k 1 ψ 1 +k 2 ψ 2 + +k n ψ n. Princip superpozice patí obecně u ineárních rovnic. Můžeme tedy postupovat tak, že vždy necháme jednu sadu podmínek nenuovou, ke které určíme partikuární řešení a násedně daná partikuární řešení sečteme. Příkad 4.8. Řešme úohu kmitání struny o déce. u tt = c 2 u xx, x (, ), t u(x, ) = ϕ(x), u t (x, ) = ψ(x), x (, ) u(, t) = u 1 (t), u(, t) = u 2 (t), t. Řešení u(x, t) budeme hedat ve tvaru součtu u(x, t) = v 1 (x, t) + w(x, t), požadujeme, aby funkce v 1 (x, t) spňovaa okrajové podmínky. Funkci v 1 voíme v 1 (x, t) = x u 1 (t) + x u 2(t). Funkce w(x, t) je pak řešením násedující úohy: w tt = c 2 w xx x u 1(t) x u 2(t), w(x, ) = ϕ(x) v 1 (x, ) = ϕ(x) x u 1 () x u 2() = ϕ(x), w t (x, ) = ψ(x) v 1 x (x, ) = ϕ(x) u t 1() x u 2() = ψ(x), w(, t) = w(, t) =. Funkci w(x, t) hedáme rovněž ve tvaru součtu: w(x, t) = R(x, t) + Q(x, t), kde R(x, t) je řešením okrajové homogenní úohy R tt = c 2 R xx, R(x, ) = ϕ(x), R t (x, ) = ψ(x), 25

Řešením úohy dostáváme tvar R(, t) = R(, t) =. R(x, t) = (C k cos ckπ t + D k sin ckπ t) sin kπ, kde C k = 2 ϕ(x) sin kπ dx, D k = 2 akπ Funkci Q(x, t) dostaneme jako řešení úohy: Řešení Q(x, t) má tvar přičemž kde f k (ϑ) = 2 Q tt = c 2 Q xx v 1 (x, t), ψ(x) sin kπ dx. Q(x, ) = Q t (x, ) =, Q(, t) = Q(, t) =. Q(x, t) = T k (t) = 1 λk 4.5 Nehomogenní úoha T k (t) sin kπ x, sin λ k (t ϑ)f k (ϑ)dϑ, f(x, ϑ) sin kπ xdx = 2 [ ( 1) k u kπ 2(ϑ) u 1(ϑ) ]. Podobně jako v předchozím odstavci, využijeme principu superpozice a převodu úohy na homogenní. Příkad 4.9. Řešme úohu vedení tepa v tyči déky, tyč rovnoměrně zahřívá topení spuštěné v čase t =. u t = u xx + f, x (, ), t u(, t) = u a u(, t) =, t u(, x) = ϕ(x), x (, ). a) Obecně ze využít tzv. Duhameův princip, pode kterého je řešením úohy funkce u(x, t) = kde funkce w s parametrem τ je řešením úohy t w(x, t, τ) dτ, w t = w xx w(, τ, τ) = u a w(, τ, τ) =, w(x, τ, τ) = ϕ(x, τ). 26

Tuto úohu řešíme obdobně jako v příkadu 4.4. b) V některých jednoduchých případech, napříkad když je pravá strana ve tvaru poynomu, ze postupovat jako u metody neurčitých koeficientů pro ineární obyčejné diferenciání rovnice s konstantními koeficienty. Řešení hedáme ve tvaru u(x, t) = u (x)+ + v(x, t), kde funkce u spňuje rovnici a okrajové podmínky. Pokud f = 1 (konstanta), voíme u (x) = Ax 2 + Bx + C, jinak musíme voit poynom vyššího stupně. Postupným dosazením do rovnice a okrajových podmínek dostaneme A = 1 2, B = 2 u a, C = u a. Takže u (x) = 1 2 x2 + ( 2 u a ) + ua. Funkci v(x, t) najdeme jako řešení homogenní úohy s posunutou počáteční podmínkou v t = v xx v(, t) = v(, t) = v(x, ) = ϕ(x) u (x). Postupujeme obdobně jako v příkadu 4.4, obdržíme tak kde pro c k patí v(x, t) = c k = 2 c k e k2 π 2 2 t sin kπ x, [ ϕ(x) u (x) ] sin kπ x dx. c) Lze-i pravá strana f rozvinout do Fourierovy řady pode vastních funkcí Sturmovy- Liouvieovy úohy, můžeme dostat řešení porovnáním přísušných koeficientů na evé a pravé straně rovnice. 5 Závěr Bakaářská práce bya rozvržena do někoika částí. Nejprve jsme shrnui zákadní výsedky z teorie Fourierových řad, které byy v práci užity. Dáe jsme se zaměřii na odvození vybraných parciáních diferenciáních rovnic modeujících fyzikání děje, konkrétně jsme věnovai pozornost rovnici vedení tepa a kmitání struny v jedné prostorové dimenzi. Daší část bya zaměřena na vastní řešení parciáních diferenciáních rovnic Fourierovou metodou. Princip metody je iustrován nejprve na homogenních úohách, rozřešena je i otázka homogenní rovnice s nehomogenními podmínkami a závěrem kompetně nehomogenní úoha. Práci by byo možno dopnit o obrázky částečných součtů přísušných řad, které aproximují řešení. Dáe nebya diskutována probematika ve vyšší prostorové dimenzi, rovnice vyšších řádů a otázka tzv. zobecněných řešení a anaýza spojité závisosti na datech úohy. 27

Reference [1] Arsenin, V.J.: Matematická fyzika, Zákadné rovnice a špeciáne funkcie, Afa, Bratisava, 1977. [2] Drábek, P., Houbová, G.: Parciání diferenciání rovnice, ZČÚ v Pzni, Pzeň, 21. [3] Franců, J.: Parciání diferenciání rovnice, skripta, FSI VUT v Brně, 23, ISBN 8-214-2334-X. [4] Haberman, R.: Eementary appied partia diferentia equations, Prentice-Ha, New Jersey, 1987. 28