MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
|
|
- Helena Němcová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
2
3 MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje na teoretický výklad látky z této knihy. Zároveň jsem se ale snažila uvést do této sbírky všechny důležité vzorce, které při řešení příkladů využívám, abyste po prostudování příslušných kapitol z knihy Matematika mohli sbírku používat i samostatně. Je zde řada příkladů řešených detailně, u dalších jsou uvedené výsledky, případně rady a návody. Studijní jednotky jsou navrženy tak, aby obsahovaly látku, která spolu úzce souvisí, a je možné je pochopit a nastudovat najednou jako celek. Předpokládám, že jste už úspěšně zvládli předmět Matematika, ovládáte základy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné, diferenciální počet funkce více proměnných a máte základní poznatky o řadách.
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah Diferenciální počet funkcí více proměnných 3. Parciální derivace funkce více proměnných Lokální extrémy funkce dvou proměnných Diferenciální rovnice prvního řádu 4. Základní pojmy Separovatelné diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice prvního řádu Diferenciální rovnice vyššího řádu 3 3. Homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu Nehomogenní diferenciální rovnice vyššího řádu Funkce komplexní proměnné Komplexní čísla Funkce komplexní proměnné Derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky Integrál funkce komplexní proměnné 4 5. Integrál komplexní funkce pomocí parametrizace křivky Cauchyův vzorec a Cauchyova věta Teorie reziduí 5 6. Laurentova řada Singulární body komplexní funkce, reziduová věta Laplaceova integrální transformace Definice a vlastnosti Laplaceovy transformace Zpětná Laplaceova transformace Řešení diferenciálních rovnic Laplaceovou transformaci Laplaceovy obrazy konečných impulsů Fourierovy řady Definice a vlastnosti Fourierovy řady Z-transformace Definice a vlastnosti Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic pomocí Z-transformace
5 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 STUDIJNÍ JEDNOTKA FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Cíle studijní jednotky. K zvládnutí této studijní jednotky potřebujete znát diferenciální počet funkce jedné proměnné. Zavedeme pojem funkce více proměnných a ukážeme, jak se počítají parciální derivace prvního, ale i vyššího řádu. Potom soustředíme naši pozornost na funkci dvou proměnných a naučíme se počítat rovnici tečné roviny k ploše. Na konci této jednotky najdete metodu na hledání lokálních extrémů funkcí dvou proměnných. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Parciální derivace funkce více proměnných Funkce n proměnných funkce f : R n R, která zobrazuje bod (x,..., x n ) R n do bodu y R. Značíme y = f(x,..., x n ). Definiční obor funkce n proměnných množina A R n bodů, pro které má definiční předpis funkce smysl. Funkce dvou proměnných funkce f : R R. Značíme z = f(x, y). Definičním oborem takové funkce je část roviny. Grafem je zpravidla plocha. Parciální derivace funkce n proměnných podle x i je derivace funkce jedné proměnné g(x) = f(x,..., x i, x, x i+,..., x n ). Značíme f nebo také f x x i. i Parciální derivace druhého řádu f x i x j (x,..., x n ) = (f x i (x,..., x n )) x j. Je to parciální derivace funkce f x f i (x,..., x n ), podle proměnné x j. Značíme také. x i x j Gradient funkce f v bodě A vektor gradf(a) = (f x (A),..., f x n (A)). Značíme také f(a). Je to směr, ve kterém funkce nejrychleji roste.
6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Poznámka. Při počítání parciálních derivací f x i považujeme za proměnnou pouze x i, na ostatní proměnné se díváme jako na konstanty. Pro výpočet parciálních derivací platí pravidla o derivování součtu, součinu a podílu funkcí. Poznámka. Můžeme počítat i parciální derivace vyšších řádů. Parciální derivace n - tého řádu je parciální derivace funkce, která sama vznikla jako (n )-ní derivace. Při počítání parciálních derivací vyšších řádů nezáleží na pořadí, v jakém počítáme derivace podle jednotlivých proměnných, jsou-li tyto derivace spojité. Tečná rovina k ploše Tak jako u funkce jedné proměnné jsme mohli využít derivaci v bodě k zapsání tečny v tomto bodě, můžeme využít parciálních derivací při hledání tečné roviny k ploše. Někdy se jedná o plochu, která je grafem funkce dvou proměnných z = f(x, y). V tomto případě říkáme, že plocha je daná explicitně. Někdy z rovnice plochy neumíme vyjádřit proměnnou z, například u kulové plochy. V tomto případě říkáme, že plocha je daná implicitně. Rovnice tečné roviny ρ k ploše z = f(x, y) v bodě T = [x, y, z = f(x, y )] : ρ : f x (T )(x x ) + f y (T )(y y ) (z z ) =. Tečná rovina k ploše dané implicitně rovnicí F (x, y, z) = v bodě T = [x, y, z ], pro který platí F (x, y, z ) =, má rovnici: ρ : F x (T )(x x ) + F y (T )(y y ) + F z (T )(z z ) =. Příklad... Najděte definiční obor funkce: a) f(x, y) = 4 x y b) f(x, y) = arcsin x + y 6 3 Řešení: a) Přirozený definiční obor této funkce tvoří body, pro které platí 4 x y, tedy D f = {[x, y] R x + y 4}, což je uzavřený kruh se středem v počátku a s poloměrem. Grafem funkce je horní polovina kulové plochy x + y + z = 4, z. b) Zde musí platit x + y 6 a x + y 6. Po úpravě dostaneme 3 3 definiční obor D f = {[x, y] R x + y 3 a x + y 9}, což je mezikruží ohraničené kružnicemi s poloměry 3 a 3 se středem v počátku.
7 MATEMATIKA Sbírka úloh 5 Příklad... Najděte parciální derivaci funkce z = y x + y. Řešení: Nejdříve spočítáme z. Při počítání považujeme y za konstantu a x derivujeme z jako funkci jedné proměnné x. z x (x + y) y y = = (x + y) (x + y). z Podobně při počítání y funkci jedné proměnné y. považujeme x za konstantu a derivujeme z jako z y = (x + y) y (x + y) = x (x + y). Příklad..3. Najděte parciální derivace funkce z podle jednotlivých proměnných a) z = x + y 3xy + 4x + 5y 7 b) z = y sin(x y) c) z = x cos(x + 3y) d) z = x y, x > e) z = arccos y x f) z = arctg x + y x y g) z = ln sin (x y) h) z = ln (x + x + y ) Řešení: a) z x = x 3y + 4, z y = y 3x + 5; b) z x = y cos(x y), z y = sin(x y) y cos(x y); c) z x = x cos(x + 3y) x sin(x + 3y), z y = 3x sin(x + 3y); d) z x = yx y, z y = x y ln x; e) z x y = z y = x ; f) y z x = y, z x +y y = x ; x +y z y = cotg (x y); h) z x = x +y, z y = g) z x = cotg (x y), y x +y +x x. +y x x, y Příklad..4. Dokažte, že funkce z = e x y vyhovuje rovnici x z x + y z y =. Řešení: Dosadíme do rovnice: z x = e x y y ; x e x y y xy y 3 e x y z y = e x y ( x y 3 ). ( = e x y x y x ) =. y
8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..5. Dokažte, že funkce z = ln( x + y) vyhovuje rovnici x z x + y z y =. Příklad..6. Dokažte, že funkce z = e x y ln y vyhovuje rovnici x z x + y z y = z ln y. Příklad..7. Dokažte, že funkce z = ln(x +xy+y ) vyhovuje rovnici x z z +y x y =. Příklad..8. Najděte parciální derivace funkce u podle jednotlivých proměnných a) u = x y yz 4xy + 6xz b) u = ze x3 cos(x y ) c) u = e sin (z xy) d) u = arctg ( x y ) z y e) u = ln f) u = x 3 y w z w + 5yzw x + z Řešení: a) u x = xy 4y + 6z, u y = x y z 4x, u z = yz + 6x; b) u x = x z e x3 cos(x y ) [3 cos(x y ) x sin(x y )], u z = e x3 cos(x y ), u y = yz sin(x y ) e x3 cos(x y ) ; c) u x = y e sin(z xy) cos(z xy), u y = x e sin(z xy) cos(z xy), u z = e sin(z xy) cos(z xy); d) u x = z, x +y +z xy u z y =, x +y +z xy u y x z = ; e) x +y +z xy u x = x, x +z u y =, y u z = z ; f) u x +z x = 3x, u y = yw + 5zw, u z = zw + 5yw, u w = y z w + 5yz. Příklad..9. Dokažte, že funkce u = x + x y y z vyhovuje rovnici u x + u y + u z =. Příklad... Najděte parciální derivace funkce f v bodě A podle všech proměnných a) f(x, y) = x + y x y, A = [3, ] b) f(x, y, z) = ln(x + y + z ), A = [3,, ] c) f(x, y) = x y + y x, A = [, ] d) f(x, y, z) = x y + y z z, A = [,, ] x Řešení: a) f x(a) = 4, f y(a) = 6; b) f x(a) = 3 7, f y(a) = 7, f z(a) = 7 ; c) f x(a) =, f y(a) = ; d) f x(a) =, f y(a) =, f z(a) =. Příklad... Najděte hodnotu součtu f(x, y, z) = ln( + x + y + z 3 ). u x + u y + u z v bodě A = [,, ] pro funkci Řešení: u x + u y + u z A = + x + y + z 3 + y + x + y + z 3 + 3z + x + y + z 3 A = 3.
9 MATEMATIKA Sbírka úloh 7 Příklad... Najděte gradient funkce f v bodě A a) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy, A = [, ] b) f(x, y, z) = x e z+y, A = [,, ] x c) f(x, y, z) =, A = [,, ] d) f(x, y, z) = xyz, A = [,, 3] x + y + z Řešení: a) f = 3x f 3y = 9, = 3y 3x = 3. x A A y A A Z toho gradient funkce v bodě A je vektor gradf(a) = (9, 3). b) f(a) = (,, ); c) f(a) = (7, 4, 4); d) f(a) = (6, 3, ). 8 Příklad..3. Napište rovnici tečné roviny k následujícím plochám v bodě T = [x, y, z ]: (a) z = x y, T = [,,?] (b) x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6 =, T = [,, ] (c) z = x + y xy, T = [3, 4,?] (d) 3x 4 4y 3 z + 4xyz 4z 3 x + =, T = [?,, ] (e) z = x 4y, T = [,,?] Řešení: a) Nejdříve spočítáme třetí souřadnici bodu T. Bod leží na ploše, a proto z = f(, ) =. Dále z x = x, z z (T ) = ; x y = y, z (T ) =. y Rovnice tečné roviny ρ k ploše z = x y v bodě T=[, -,]: ρ : (x ) + (y + ) (z ) =. Po úpravě dostaneme rovnici tečné roviny ρ : x + y z =. b) Plocha je daná implicitně. Bod T leží na dané ploše, protože souřadnice tohoto bodu splňují rovnici plochy: =. Spočítáme parciální derivace funkce F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6 : F x = 3x +yz, F y = 3y +xz, F z = 3z +xy; F x(t ) =, F y(t ) =, F z(t ) = 5. Potom ρ : (x ) + (y ) + 5(z + ) =. Po úpravě dostaneme rovnici tečné roviny ρ : x + y + 5z 8 =. c) T = [3, 4, 7] a ρ : 7x + y + 5z 6 = ; d) 3x x 4x + = 3x 4 = 3 x = anebo x = T = [,, ] a ρ : 3x y z+ = a také T = [,, ] a ρ : 3x y z + 7 = ; e) T = [,, 4] a ρ : 8x 8y z 4 =.
10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně f podle jed- Příklad..4. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce notlivých proměnných a) f(x, y) = x e y b) f(x, y) = x + y + xy x y c) f(x, y) = xy + cos(x y) d) f(x, y) = ln(x + y ) e) f(x, y, z) = xyz 3x + 7y + 5z ( ) y z f) f(x, y, z) = ln x Řešení: a) Nejdříve spočítáme parciální derivace prvního řádu dané funkce: f x = ey, Potom f x =, f y = x ey, b) f xx = y (x y) 3, f xy f y = x ey. f x y = f y x = ey. = xy (x y) 3, f yy = x (x y) 3 ; c) f xx = cos(x y), f xy = + cos(x y), f yy = cos(x y); d) f xx = y x (x +y ), f xy = 4xy (x +y ), f yy = x y ; e) f (x +y ) xx =, f yy =, f zz =, f xy = z, f xz = y, f yz = x; f) f xx =, f x yy =, f y zz =, f z xy =, f xz =, f yz =. Příklad..5. Dokažte, že funkce z = e x (x cos y y sin y) vyhovuje diferenciální rovnici z xx + z yy =. Příklad..6. Dokažte, že funkce z xx + z xy =. Příklad..7. Dokažte, že funkce f(x, y) = xy x y f xx + f xy + f yy = x y. Příklad..8. Dokažte, že funkce u = u xx + u yy + u zz =. Příklad..9. Najděte z (4) xxxy kde z = y ln(xy). Řešení: z x = y xy y = y x, z = arctg(x y) vyhovuje diferenciální rovnici z xx = y x, x + y + z Příklad... Najděte z xyy kde z = ln(x + y ). Řešení: z xyy = 4x(3y x ) (x +y ). vyhovuje diferenciální rovnici vyhovuje diferenciální rovnici z xxx = y x 3 z (4) xxxy = x 3. Příklad... Dokažte, že funkce z = x e y + y e x vyhovuje diferenciální rovnici z xxx + z yyy = xz xyy + yz xxy.
11 MATEMATIKA Sbírka úloh 9. Lokální extrémy funkce dvou proměnných Lokální maximum (resp. minimum) funkce z = f(x, y) je hodnota z = f(x, y ) v bodě T = [x, y ], jestliže v libovolném bodě nějakého okolí bodu T jsou funkční hodnoty funkce f menší (resp. větší) než z. Při hledání bodu extrému funkce proměnných postupujeme podobně jako při hledání extrému funkce jedné proměnné: Najdeme stacionární bod funkce f (bod ve kterém je gradient funkce rovný ), potom pomocí druhých parciálních derivaci zjistíme, zda v tomto bodě existuje maximum nebo minimum, ev. že v stacionárním bodě nemá funkce extrém. Hledání extrému funkce z = f(x, y) :. Spočítáme f x a f y a položíme je rovny nule.. Najdeme stacionární bod T = [x, y ], ve kterém f f (T ) = a zároveň (T ) =. x y 3. Spočítáme f x (T ), f (T ), y f (T ) a z těchto tří derivací vytvoříme jedno číslo: x y D(T ) = f x (T ) f y (T ) ( ) f x y (T ). 4. Podle znaménka D(T ) rozhodneme o existenci extrému v bodě T = [x, y ]. (a) Pokud D(T ) <, funkce nemá v tomto bodě lokální extrém. (b) Pokud D(T ) >, funkce má v bodě T extrém. V tomto případě ještě musíme rozhodnout, zda jde o maximum nebo minimum: (i) Je-li f x (T ) >, funkce f má v bodě T lokální minimum z = f(x, y ). (ii) Je-li f x (T ) <, funkce f má v bodě T lokální maximum z = f(x, y ). (c) Pokud D(T ) =, nemůžeme na základě této metody rozhodnout o existenci extrému v bodě T. Poznámka. Rovnice f f (T ) = a (T ) = vlastně tvrdí, že gradf(t ) =. x y Příklad... Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. Řešení: gradient: Hledáme stacionární body body, ve kterých má funkce nulový gradf = (3x 3y, 3y 3x) = { 3x 3y = y = x, 3y 3x = x = y.
12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Po dosazení za y do druhé rovnice máme x = x 4 x(x 3 ) =. Potom x = nebo x =. Dopočítáme příslušné hodnoty y a dostáváme dva stacionární body A = [, ], B = [, ]. Vypočítáme druhé parciální derivace funkce: f x = 6x, f x y = 3, f y = 6y. V bodě A = [, ] máme f (A) =, x f (A) = 3, x y f (A) =. y Potom D(A) = ( 3) = 9 <. Funkce nemá v bodě A lokální extrém. Teď vyšetříme bod B = [, ] : f (B) = 6, x f (B) = 3, x y f (B) = 6. y Z toho D(B) = 6 6 ( 3) = 7 >, a funkce má v bodě B lokální extrém. Vidíme, že f (B) = 6 >. V bodě B nastane minimum. x Ještě spočítáme hodnotu funkce v tomto bodě: f(b) = + 3 =. Příklad... Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = e x y. Řešení: gradf = ( ) e x y ( x), e x y ( y) = (, ) { x =, y =. Bod A = [, ] je jediný stacionární bod. Vypočítáme druhé parciální derivace: f y = e x (x ), x f x y y = 4xy e x, f y = e x (y ). y V bodě A = [, ] máme f (A) =, x D(A) = ( ) = 4 > a zároveň f x =. Funkce má v bodě A = [, ] lokální maximum; f(a) =. f (A) =, x y f (A) =. y Na obrázku je graf funkce v okolí stacinárního bodu. f(x, y) = e x y
13 MATEMATIKA Sbírka úloh Příklad..3. Zjistěte, zda funkce z = x 4 + y 4 x 4xy y má lokální extrémy v bodech A = [, ] a B = [, ]. Řešení: z x = 4x3 4x 4y, Dosadíme bod A = [, ] : z y = 4y3 4x 4y. z x (A) = =, a z y (A) = =. Bod A = [, ] je stacinární bod. Podobně můžeme dosadit i bod B = [, ] do prvních parciálních derivací a ukázat, že i bod B je stacionární bod. Druhé parciální derivace funkce jsou z x = x 4, z x y = 4. Tedy D = (x 4)(y 4) ( 4). z y = y 4, V bodě A = [, ] máme z (A) = a D(A) = 4 6 >. Funkce x má v bodě A = [, ] lokální minimum. V bodě B = [, ] máme také z (B) = a D(B) = 4 6 >. x Funkce má i v bodě B = [, ] lokální minimum. Příklad..4. Najděte lokální extrémy následujících funkcí z = f(x, y) (a) z = x xy + y y + (b) z = x + y + xy (c) z = x 3 + 3x + y 3 3y x (d) z = x 3 + xy 6x (e) z = x xy + y + 4x (f) z = 8 x + x y + y (g) z = x 4 + 8x + y 4y (h) z = xy x 3 y 3 (i) z = x + xy 3y + y + x (j) z = 5xy + 5 x + 8 y Řešení: (a) gradf = (x y, x + y ) = (, ) T = [, 4] stacionární 3 3 bod. Dále f xx =, f yy =, f xy = a D(T ) = ( ) = 3 >. Funkce má v bodě T lokální minimum. 3 (b) gradf = ( x y, xy ) = (, ) T = [, ] jediný stacionární bod. f xx = x 3 y, f yy = xy 3, f xy = x y ; D(T ) = = 3 >, f xx(t ) = >. Funkce má v bodě T = [, ] lokální minimum 3.
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně (c) gradf = (6x + 6x, 3y 3) = (, ) Potom x = nebo x = a y = nebo y =. { (x + )(x ) =, y =. Stacionární body jsou A = [, ], B = [, ], C = [, ] a D = [, ]. f xx = x + 6, f yy = 6y, f xy = a D(x, y) = 36 y (x + ). D(A) = 36 ( 3) < neexistuje extrém v bodě A = [, ]. D(B) = 36 ( 3) >, f xx(b) < v B = [, ] lokální maximum. D(C) = 36 (3) >, f xx(c) > v C = [, ] lokální minimum. D(D) = 36 (3) < neexistuje extrém v bodě D = [, ]. (d) gradf = (6x +y 6, xy) = (, ). Z druhé rovnice x = nebo y =. Je-li x = y = ± 6 = ±6 6. Je-li y = x = ±6. Stacionární body jsou A = [, 6 6], B = [, 6 6], C = [6, ] a D = [ 6, ]. f xx = x, f yy = x, f xy = y a D(x, y) = 4 (3x y ). D(A) = 4 ( 6) < neexistuje extrém v bodě A = [, 6 6]. D(B) = 4 ( 6) < neexistuje extrém v bodě B = [, 6 6]. D(C) = 4 (3 36) >, f xx(c) > v C = [6, ] lokální minimum. D(D) = 4 (3 36) >, f xx(d) < v D = [ 6, ] lokální maximum. e) minimum 8 v [ 4, ], f) minimum 5 v [4, ], g) minimum 4 v [, ], h) minimum 64 v [4, 4], i) nemá extrémy, j) minimum 3 v [ 5, 4 5 ]. Příklad..5. Najděte rozměry balíku tak, aby jeho kombinovaná délka, tzn. obvod podstavy plus výška, byla nanajvýš 8 cm a zároveň měl maximální objem. Řešení: Rozměry podstavy balíku označíme x, y a výšku z. Chceme aby objem byl maximální, a tak můžeme předpokládat, že kombinovaná délka je x + y + z = 8. Z toho z = 8 x y. Balík je kvádr a proto jeho objem je V = xyz = xy(8 x y). Navíc musí platit, že x, y, z >. Hledáme maximum funkce f(x, y) = xy(8 x y) = 8xy x y y x. gradf = (8y 4xy y, 8x x 4xy) = (, ) x = y. Stacionární body řeší rovnici 8x 6x =. Máme 6x(8 x) = x = nebo x = 8. Ale délka podstavy nemůže být. Zajímá nás jediný stacionární bod A = [8, 8]. Vypočítáme druhé parciální derivace: f x = 4y, f x y = 8 4x 4y, f y = 4x.
15 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 V bodě A = [8, 8] máme f xx(a) = 4 8, f xy(a) = 36, f yy(a) = 4 8. D(A) = >. Funkce má v bodě A lokální maximum. Rozměry hledaného balíku budou x = 8 cm, y = 8 cm a výška z = 36 cm. Příklad..6. Najděte rozměry otevřené obdélníkové krabice o objemu m 3 tak, aby její povrch byl minimální. Řešení: Hledáme minimum funkce f(x, y) = xy+x xy +y xy = xy+ y + x, kde x, y jsou rozměry podstavce balíku a z = je jeho výška. xy Tato funkce má lokální minimum v bodě A = [ 3, 3 ]. Rozměry hledané krabice jsou x = 3 m, y = 3 m a výška z = 3 m.
16 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně STUDIJNÍ JEDNOTKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU Cíle studijní jednotky. K této studijní jednotce potřebujete znát diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné. Začátek je krátký úvod do teorie diferenciálních rovnic. Procvičíte si základní pojmy jako diferenciální rovnice, obecné řešení, partikulární řešení. Potom se naučíte řešit dva typy rovnic prvního řádu: separovatelnou a lineární. Na konci této jednotky najdete různé úlohy, kde si můžete vyzkoušet, zda dokážete jednotlivé typy rovnic nejen řešit, ale také od sebe rozlišit. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy Obyčejná diferenciální rovnice rovnice, v níž se vyskytuje derivace neznámé funkce jedné proměnné. Řád diferenciální rovnice řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Řešit diferenciální rovnici najít všechny funkce, které vyhovují dané rovnici. Obecné řešení diferenciální rovnice n-tého řádu řešení, které závisí na n různých parametrech takovým způsobem, že všechna řešení rovnice můžeme získat vhodnou volbou těchto konstant. Partikulární řešení diferenciální rovnice n-tého řádu řešení, které dostaneme z obecního řešení konkrétní volbou všech n parametrů. Integrální křivka řešení diferenciální rovnice, graf řešení diferenciální rovnice. Počáteční úloha problém najít partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje tzv. počáteční podmínky. Může se stát, že diferenciální rovnice nemá žádné řešení. Diferenciální rovnice, s nimiž se zde setkáte, řešení mají. Obecné podmínky pro existenci řešení najdete v Matematice.
17 MATEMATIKA Sbírka úloh 5 Příklad... Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = 8 e 3x + sin x. Řešení: Je to obyčejná diferenciální rovnice třetího řádu, velmi speciální, protože pravá strana závisí pouze na x. Řešení dostaneme postupným integrováním. y = 8 e 3x + sin x y = (8 e 3x + sin x) dx = 6 e 3x cos x + C, y = (6 e 3x cos x + C ) dx = e 3x sin x + C x + C. A konečně obecné řešení bude y = ( e 3x sin x + C x + C ) dx = 3 e3x + cos x + C x + C x + C 3. Protože šlo o rovnici třetího řádu, jsou v obecném řešení tři parametry. Dosazením konkrétních hodnot za konstanty C, C, C 3 se dostanou partikulární řešení této rovnice. Příklad... Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice splňuje počáteční podmínky y() =, y () =. y = x 3 + 8, které Řešení: Je li y = x 3 + 8, potom y = ( x 3 + 8) dx = 3 x x + C. Obecné řešení bude y = (3 x 4 + 8x + C ) dx = 3 5 x5 + 4 x + C x + C. Konstanty budeme počítat dosazením počátečních podmínek do y a y : = y() = C + C = C ; = y () = C = C. Z této soustavy rovnic dostaneme C =, C =. Hledané partikulární řešení je y = 3 5 x5 + 4x + x. Příklad..3. Najděte integrální křivku rovnice y = tg x, která prochází bodem [,]. Řešení: Integrální křivka procházející daným bodem je partikulární řešení splňující počáteční podmínku y() =. sin x ( sin x) y = tg x y = tg x dx = cos x dx = dx = cos x (cos x) = dx = ln cos x + C. cos x Obecné řešení je y = ln cos x + C, x π + kπ, k celé. Dále = y() = ln cos + C = + C. Dostali jsme, že C =. Potom hledané řešení je y = ln cos x.
18 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..4. Ukažte, že funkce y = C + C x + C 3 e 3x je obecné řešení rovnice y 3 y =, a najděte partikulární řešení, pro které y() = 3, y () = 6, y () = 8. Řešení: y = C + 3 C 3 e 3x, y = 9 C 3 e 3x, y = 7 C 3 e 3x. Po dosazení y 3 y = 7 C 3 e 3x 3 9 C 3 e 3x =. Dále 3 = y() = C + C 3, 6 = y () = C + 3 C 3, 8 = y () = 9 C 3. Řešíme soustavu rovnic: C + C 3 = 3, C + 3 C 3 = 6, 9 C 3 = 8. Z toho C =, C =, C 3 =. Hledané partikulární řešení je y = + e 3x. Příklad..5. Ukažte, že funkce y = C (x + ) + C (x + (x + ) arctg x) je obecné řešení rovnice (x + ) y y =, a najděte partikulární řešení této rovnice, pro které platí y() =, y () =. ) Řešení: y = C x+c ( + x arctg x + x + = C x + x+c (+x arctg x), y = C + C ( arctg x + Po dosazení dostaneme: x x +). (x + ) y y = (x +)C +C ( ( x + ) arctg x + x ) C (x +) C ( x + ( x + ) arctg x ) =. Funkce řeší diferenciální rovnici. Dále dosadíme počáteční podmínky = y() = C + C = C =, = y () = C + C = C C =. Hledané partikulární řešení je y = x +. Příklad..6. Ukažte, že funkce y = C cos x + C sin x + e x je obecné řešení rovnice y + y = 5 e x, a najděte partikulární řešení, pro která platí a) y() = 6, y () = 6 b) y() =, y () = c) y() = 3, y () = 5 d) y( π ) = eπ, y ( π ) = eπ Řešení: a) y = 5 cos x + 4 sin x + e x ; b) y = e x 3 sin x; c) y = cos x + sin x + ex ; d) y = cos x + e x. Příklad..7. Ukažte, že funkce y = C e x + C xe x + C 3 e x je obecné řešení rovnice y 3y + y =, a najděte partikulární řešení rovnice, které splňuje počáteční podmínky y() =, y () =, y () =. Řešení: y = e x + 4xe x + e x Další část této jednotky bude věnovaná diferenciálním rovnicím prvního řádu. Naučíte se řešit dva typy rovnic prvního řádu.
19 MATEMATIKA Sbírka úloh 7. Separovatelné diferenciální rovnice Separovatelná diferenciální rovnice rovnice, která se dá upravit na tvar y = f(x) g(y). Pokud rozpoznáte separovatelnou rovnici postupujte při řešení následovně:. y nahraďte výrazem dy dx ;. celou rovnici vynásobte dx; 3. odseparujte proměnné, tzn. členy, které obsahují y, převeďte na levou stranu rovnice spolu s dy a členy, které obsahují x, převeďte na pravou stranu spolu s dx; 4. integrujte obě strany poslední rovnice. Příklad... Řešte separovatelnou diferenciální rovnici y = x y 3. Řešení: Postupujeme podle návodu:.) dy dx = x y 3.) dy = x y 3 dx 3.) y 3 dy = ( x) dx 4.) y 3 dy = ( x) dx Z toho po integrování dostaneme y4 + C = x 4 x + K, kde C a K jsou integrační konstanty. Převedeme-li konstantu C na pravou stranu, dostaneme řešení ve tvaru y4 = x x + K C. Označíme konstantu K C = c a 4 dostaneme obecné řešení rovnice y 4 4 = x x + c. Tuto úpravu s konstantami můžete udělat pokaždé, a proto stačí psát integrační konstantu pouze jednou (obyčejně ji píšeme do pravé strany). Řešení, která se dostanou při řešení separovatelné rovnice, jsou obvykle v implicitním tvaru. Úpravou se někdy podaří získat explicitní tvar řešení y = ϕ(x). Příklad... Řešte separovatelnou diferenciální rovnici ( + y ) dx + ( + x ) dy =. Řešení: Upravíme na ( + x ) dy = ( + y ) dx a pokračujeme 3. krokem: ( + y ) dy = ( + x ) dx; ( + y ) dy = ( + x ) dx; arctg y = arctg x + C. Obecné řešení bude arctg x + arctg y = C.
20 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..3. Řešte separovatelnou diferenciální rovnici y tg x = y. Řešení:.) tg x dy dx = y;.) tg x dy = y dx; 3.) y cos x (sin x) 4.) y dy = sin x dx; y dy = sin x dx. Po integrování dostaneme dy = cos x sin x dx; ln y = ln sin x + c. Získané řešení upravíme: y = e ln sin x +c = e ln sin x e c = e c sin x. Označíme C = ±e c. Obecně takové C. Někdy můžeme připustit i C =, jako v tomto příkladě. Můžeme tedy napsat obecné řešení naši rovnice ve tvaru y = C sin x. Příklad..4. Najděte partikulární řešení separovatelné diferenciální rovnice Řešení:.) ( + e x ) y dy dx = ex ; e x 3.) y dy = dx; 4.) ( + e x ) ( + e x ) y y = e x, y() =..) ( + e x ) y dy = e x dx; e x y dy = ( + e x ) dx. Dostali jsme obecné řešení ve tvaru y = ln( + ex ) + C. Hledáme partikulární řešení: Partikulární řešení je y = ln( + ex ) + ln. Po úpravě y = ln( + e x ) + ln 4. = ln( + e ) + C. Potom C = ln. Příklad..5. Řešte separovatelné diferenciální rovnice a) x y y = x b) y = y tg x c) y y + x = d) y = (y )(y ) e) y = e x+y f) (xy + x) dx + (y x y) dy = Řešení: a) y x = ln x + c, po úpravě x + y = ln Cx, C > ; b) y = C ; c) C = arcsin x+ arcsin y, y =, y = ; cos x d) integrál dle dy počítejte rozkladem na parciální zlomky. Řešení je ln y = x+c. Po úpravě y = y Cex (y ). Další řešení je y = ; e)využijte vztah e x+y = e x e y a e y =. Řešení bude e x + e y = C; e y f) ln(y + ) = ln x + c. Po úpravě y + = C(x ).
21 MATEMATIKA Sbírka úloh 9.3 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu Lineární diferenciální rovnice prvního řádu rovnice, která se dá upravit na tvar y + f(x) y = g(x). (LR) Homogenní lineární dif. rovnice prvního řádu rovnice tvaru y + f(x) y =. Metoda variace konstanty metoda na řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice. řádu, při které se nejdřív metodou separace proměnných najde řešení homogenní rovnice y + f(x) y =. Toto řešení se upraví na tvar y = C F (x). Potom se předpokládá, že C = C(x), tj. konstanta závisí na x, a řešení lineární rovnice hledáme ve tvaru y = C(x) F (x). Předpokládaný tvar řešení se dosadí do diferenciální rovnice (LR). Vznikne rovnice typu C (x) = φ(x). Z toho se vypočítá konkrétní funkce C(x). Příklad.3.. Řešte lineární diferenciální rovnici y + xy = e x. Řešení: Nejdřív vyřešíme homogenní rovnici y + xy = : y dy = xy; dx = xy; dy = x dx; y y dy = x dx; ln y = x +c. Potřebujeme vyjádřit y, a proto musíme dál upravovat: y = e x +c ; y = e x e c ; y = C e x, kde C = ±e c. Našli jsme obecné řešení lineární homogenní rovnice y + xy =. Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru y = C(x) e x. Abychom mohli určit C(x), musíme dosadit do diferenciální rovnice, a k tomu musíme nejdřív y derivovat. y = C(x) e x ; y = C (x) e x + C(x) e x ( x). Po dosazení dostaneme podmínku pro C (x) : C (x) e x + C(x) e x ( x) + x C(x) e x = e x. C (x) e x = e x ; C (x) =. Z toho integrováním dostaneme, že C(x) = dx = x + K. Zbývá už jenom dosadit za C(x). Hledané obecné řešení bude y = C(x) e x = (x + K) e x = K e x + x e x.
22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.3.. Řešte lineární diferenciální rovnici y Řešení: y = xy + x ; y dy = x + x dx. xy = x, y() =. + x ln y = ln( + x ) + c = ln + x + c, potom y = C + x. Variace konstanty: y = C(x) + x ; y = C (x) x + x +C(x). + x Po dosazení: C (x) + x = x; C (x) = x ; C(x) = + x Substituce + x = t vede na C(x) = + x + K. Obecné řešení dané rovnice je y = K + x + x +. Dosadíme počáteční podmínku: = y() = K + = K +. x + x dx. Z toho K = a hledané partikulární řešení bude y = + x + x +. Příklad.3.3. Najděte obecné řešení rovnice xy + y e x =. Řešení: Rovnice není ve tvaru lineární diferenciální rovnice. Nejdřív ji musíme upravit. Převedeme e x na pravou stranu a pak celou rovnici vydělíme x. Dostaneme y + y x = ex x. Tato rovnice už je ve tvaru (LR) a vyřešíme ji metodou variace konstanty. y + y x = ; y = y x ; y dy = x dx; ln y = ln x + c; y = C x. Variace konstanty: y = C(x) x ; y = C (x) x C(x). x C (x) Po dosazení: = ex x x ; C (x) = e x ; C(x) = e x +K. Pak y = ex + K x Příklad.3.4. Je dán elektrický RL obvod s cívkou o samoindukčnosti L, ohmickým odporem R a napětím E. Dle Kirchhoffova zákona závislost proudu I na čase t vyjadřuje diferenciální rovnice L di + IR = E. dt Najděte vzorec pro řešení I(t), jestliže víte, že na počátku byl proud nulový. Řešení: di dt + R L I =, Rovnici upravíme na tvar di dt + R L I = E L di dt = IR L, I di = R L dt, a řešíme jako (LR): I di = R L dt. Řešení homogenní rovnice bude ln I = R L t + c I = C e R L t..
23 MATEMATIKA Sbírka úloh Variace konstanty: I = C(t) e R L t, I = C (t) e R L t C(t) R L e R L t. Po dosazení C (t) e R L t = E L, C (t) = E L e R L t, C(t) = E R e R L t + K. ( ) E Obecné řešení je tedy I = R e R L t + K e R L t = K e R L t + E R. Z počáteční podmínky I() = dostaneme, že K = E R. Hledaný vzorec pro proud v elektrickém RL obvodu je I = E R ( e R L t ). Příklad.3.5. Kondenzátor o kapacitě C = 3 F je zapojen do série s odporem R = Ω a nabíjen ze sériově zapojeného zdroje o napětí E = V. Určete napětí na kondenzátoru jednu sekundu po zapojení zdroje za předpokladu, že v čase t = byl kondenzátor vybit. Řešení: Podle druhého Kirchhoffova zákona závislost proudu I na čase t vyjadřuje integrální rovnice t I(τ) dτ + RI = E. C Po dosazení vztahu I(t) = dq do této rovnice dostaneme rovnici pro náboj dt na kondenzátoru R dq dt + C Q = E. Dosadíme hodnoty za konstanty a dostaneme lineární diferenciální rovnici Q + 5Q =,6. Obecné řešení této rovnice je Q(t) = K e 5t +,. ) Partikulární řešení s počáteční podmínkou Q() = je Q(t) =, ( e 5t. Napětí na kondenzátoru v čase t se rovná E C (t) = ( C Q(t) = e ). 5t Z toho E C () = ( e 5 ) =,9. Kondenzátor je během jedné sekundy nabit téměř na maximální hodnotu V. Příklad.3.6. Řešte lineární diferenciální rovnice a) y + y x = 6x b) y + y tg x = cos x c) y + xy = xe x d) xy y x + = x e) ( + x )y xy = ( + x ) f) y + y cos x = sin x cos x
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Řešení: a) y = C + x x ; b) y = Ccos x + sin x; c) y = e x ( x + C); d) dostanete dy = dx. Použijte rozklad na parciální zlomky. y x(x+) Výsledek: y = x (C + x + ln x ); e) y = ( + x+ x )(C + x); f) dostanete C(x) = e sin x sin x cos x dx. Použijte nejdřív substituci a potom per partes. Výsledek: y = Ce sin x + sin x. Příklad.3.7. Najděte řešení y(x) počáteční úlohy ( π ) a) y cos x y sin x = x, y () = b) y = 6y 4e 6x cos 5x + 4, y = 4 c) y y x + = x, y() = d) y = y + 5x 5, y(6) = 4 x 5 Řešení: a) y = x ; b) y = ( 4 4 sin 5x 4e 6x) e 6x ; cos x 5 5 c) y = (x + ) (x ln x + ) ; d) y = (5x 6)(x 5) = 5x 4x + 8. Příklad.3.8. Řešte následující rovnice prvního řádu a) y y tg x = cos 3 x b) xy + y = y c) y x ln x y = 3 x 3 ln x d) y = x x y Řešení: a) lineární, řešení: y = tg x + K cos x ; b) separovatelná, řešení: y = a y = ; Kx c) lineární, řešení: y = (x 3 + K) ln x; d) lineární a také separovatelná, řešení: y = + K e x3 3.
25 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 STUDIJNÍ JEDNOTKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU Cíle studijní jednotky. Naučíte se řešit diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty. Nejdřív to budou homogenní rovnice, které se budou řešit pomoci charakteristické rovnice. Nehomogenní rovnice budeme řešit pouze v případě, je-li funkce na pravé straně ve speciálním tvaru. Budete využívat diferenciální počet funkce jedné proměnné a vzorec na řešení kvadratické rovnice. 3 Diferenciální rovnice vyššího řádu 3. Homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu Homogenní lineární dif. rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty rovnice, která má tvar a n y (n) + a n y (n ) a y + a y =, a,..., a n R, a n. Fundamentální systém řešení homogenní dif. rovnice n-tého řádu n lineárně nezávislých partikulárních řešení příslušné rovnice Charakteristická rovnice rovnice, která vznikne při hledání partikulárních řešení homogenní rovnice ve tvaru e λx K nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty je třeba vyřešit příslušnou charakteristickou rovnici a n λ n + a n λ n a λ + a =. Jde o algebraickou rovnici, která má n kořenů. Ke každému nalezenému kořenu se přiřadí jedno partikulární řešení a tak se dostane celý fundamentální systém. Na příkladu rovnice druhého řádu ukážeme jak toto přiřazení provést. Charakteristická rovnice homogenní lineární diferenciální rovnice. řádu je rovnice a λ + a λ + a =. Tuto rovnici vyřešíme (pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici). Mohou nastat tři případy (v závislosti na diskriminantu):
26 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně. Diskriminant je kladný, rovnice má dva navzájem různé reálné kořeny λ λ. Potom fundamentální systém rovnice je y = e λ x, y = e λ x.. Diskriminant je nulový, rovnice má dvojnásobný reálný kořen λ = λ = λ. Potom fundamentální systém rovnice je y = e λx, y = xe λx. 3. Diskriminant je záporný, rovnice má dva komplexně sdružené kořeny λ, = α + iβ, kde i označuje komplexní jednotku. Hledá se reálné řešení, a proto se zvolí (vzhledem k platnosti Eulerovy identity e iβx = cos βx + i sin βx) fundamentální systém: y = e αx cos βx, y = e αx sin βx. Obecné řešení pak bude (ve všech třech případech): y = C y + C y. V případě rovnic třetího a vyššího řádu k řešením charakteristické rovnice přiřazujeme fundamentální systém stejným způsobem jako v případě rovnice druhého řádu. Příklad 3... Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu a) y y y = b) 4y 4y + y = c) y + 4y = d) y 4y + 3y = Řešení: a) Napíšeme charakteristickou rovnici λ λ =. Tu vyřešíme λ, = ± + 8, =. Potom y = e x, y = e x, a ze vztahu y = C y + C y dostaneme obecné řešení y = C e x + C e x. b) Charakteristická rovnice je 4λ 4λ + = ; λ, = 4 ± =. Charakteristická rovnice má dvojnásobný kořen, a proto y = e x, y = xe x. Obecné řešení této rovnice je y = C e x + C x e x.
27 MATEMATIKA Sbírka úloh 5 c) Charakteristická rovnice je λ + 4 = a má komplexní kořeny λ, = ±i. Potom y = cos x, y = sin x. Obecné řešení bude y = C cos x + C sin x. d) Charakteristická rovnice je λ 4λ + 3 =. Dostaneme zase komplexní kořeny λ, = 4± 6 5 = 4± 36 = ± 3i. Z toho y = e x cos 3x, y = e x sin 3x a obecné řešení je y = C e x cos 3x + C e x sin 3x. Příklad 3... Najděte řešení Cauchyho úlohy a) y 4y =, y() = 3, y () = 8 b) y y + y =, y() =, y () = Řešení: a) Charakteristická rovnice λ 4λ = má reálné kořeny λ = a λ = 4. Potom y = e x =, y = e 4x a y = C + C e 4x. Spočítáme y = 4 C e 4x a dosadíme počáteční podmínky 3 = y() = C + C, 8 = y () = 4 C. Řešením této soustavy rovnic je C =, C =. Z toho partikulární řešení bude y = + e 4x. b) Charakteristická rovnice λ λ+ = má komplexní kořeny λ, = ±i. Potom y = e x cos x, y = e x sin x a y = C e x cos x + C e x sin x. Z toho y = C e x cos x C e x sin x + C e x sin x + C e x cos x. Po dosazení podmínek dostaneme soustavu C =, C + C =. Pak C =, C = a hledané řešení bude y = e x sin x. Příklad Najděte obecné řešení rovnic druhého řádu a) y 5y + 6y = b) y 4y + 4y = c) y y = d) y 4y + 5y = e) y + y + y = f) y + y = Řešení: a) y = C e x + C e 3x ; b) y = C e x + C xe x ; c) y = C e x + C e x ; d) y = C e x cos x + C e x sin x; e) y = C e x cos 3x + C e x sin 3x; f) y = C cos x + C sin x. Příklad Najděte řešení Cauchyho úlohy a) y 4y + 3y =, y() = 6, y () = b) 4y + y =, y() =, y () = c) y 6y + 3y =, y() =, y () = 6 Řešení: a) y = 4 e x + e 3x ; b) y = cos x + sin x ; c) y = e3x cos x.
28 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3. Nehomogenní diferenciální rovnice vyššího řádu Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a n y (n) + a n y (n ) a y + a y = f(x) je součtem obecného řešení homogenní rovnice (budeme ho značit y h ) a jednoho partikulárního řešení nehomogenní rovnice (budeme ho značit Y ), y = y h + Y. Metoda, pomocí které se dá určit jedno partikulární řešení Y v případě speciální pravé strany, se nazývá metoda neurčitých koeficientů. Tvar partikulárního řešení se odhadne z tvaru pravé strany diferenciální rovnice: Pravá strana f(x) f(x) = e αx P n (x) kde P n (x) je polynom n-tého stupně f(x) = e αx (M cos βx + N sin βx) Partikulární řešení Y Y = e αx x k Q n (x) α je k-násobný kořen char. rovnice Q n (x) je obecný polynom n-tého stupně Y = e αx x k (A cos βx + B sin βx) α + iβ je k-násobný kořen char. rovnice A, B jsou reálná čísla Poznámka. V případě, že α (resp. α + iβ) není kořen charakteristické rovnice, k =. Princip superpozice. stran Jestliže funkce na pravé straně je součtem speciálních pravých f(x) = f (x) f m (x), potom i partikulární řešení nehomogenní rovnice bude součtem partikulárních řešení pro jednotlivé speciální pravé strany, Y = Y Y m. Příklad 3... Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu se speciální pravou stranou a) y 4y = e 3x b) y + 4y = 8x 3x + 4 c) y + y 3y = (4x 3) e x d) 3y y = cos x Řešení: a) Vyřešíme homogenní rovnici y 4y =. Máme λ 4 =.
29 MATEMATIKA Sbírka úloh 7 Kořeny charakteristické rovnice jsou λ, = ± a y h = C e x + C e x. Pravá strana je tvaru f(x) = e 3x = e 3x P (x). Zde α = 3 není kořen charakteristické rovnice (3 ±), a proto k =. Obecný polynom nultého stupně je konstanta, označíme ji A. Potom partikulární řešení bude mít tvar Y = e 3x x A = A e 3x a musí splňovat rovnici Y 4Y = e 3x. Musíme Y dvakrát derivovat a dosadit do rovnice: Y = A e 3x, Y = 3A e 3x, Y = 9A e 3x. Po dosazení 9A e 3x 4A e 3x = e 3x. Rovnici nejdřív vydělíme e 3x a dostaneme 9A 4A = ; 5A = ; A =. Máme jedno partikulární řešení Y = e 3x a obecné řešení nehomogenní rovnice je y = y h + Y = C e x + C e x + e 3x. b) Vyřešíme homogenní rovnici y + 4y =. Charakteristická rovnice je λ + 4 = a její kořeny jsou λ, = ±i a y h = C cos x + C sin x. Pravá strana je tvaru f(x) = 8x 3x + 4 = e x (8x 3x + 4) = e x P (x). Zde α = není kořen charakteristické rovnice ( ±i), a proto k =. Obecný polynom druhého stupně je Ax + Bx + C. Potom partikulární řešení bude mít tvar Y = e x x (Ax + Bx + C) = Ax + Bx + C a musí splňovat rovnici Y +4Y = 8x 3x+4. Musíme Y dvakrát derivovat Y = Ax + Bx + C, Y = Ax + B, Y = A, a po dosazení A + 4Ax + 4Bx + 4C = 8x 3x + 4. Na obou stranách rovnice jsou polynomy druhého stupně. Aby platila rovnost musí se rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin (odtud pochází také název metoda neurčitých koeficientů). x : 4A = 8 x : 4B = 3 x : A + 4C = 4
30 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Dostali jsme soustavu rovnic. Po vyřešení máme A =, B = 8, C =. Získali jsme jedno partikulární řešení nehomogenní rovnice Y = x 8 x. Potom obecné řešení nehomogenní rovnice bude y = y h + Y = C cos x + C sin x + x 8 x. c) Vyřešíme homogenní rovnici y + y 3y =. Charakteristická rovnice je λ +λ 3 = a její kořeny jsou λ =, λ = 3 a y h = C e x +C e 3x. Pravá strana je tvaru f(x) = (4x 3)e x = e x P (x). Zde α = je jednonásobný kořen charakteristické rovnice, a proto k =. Obecný polynom prvního stupně je Ax + B, a partikulární řešení bude mít tvar Y = e x x (Ax + B) = e x (Ax + Bx) a musí splňovat rovnici Y + Y 3Y = (4x 3) e x. Musíme Y dvakrát derivovat (jako součin): Y = e x (Ax + Bx), Y = e x (Ax + Bx) + e x (Ax + B) = e x (Ax + Bx + Ax + B), Y = e x (Ax + Bx + Ax + B) + e x (Ax + B + A) = = e x (Ax +Bx+Ax+B +Ax+B +A) = e x (Ax +Bx+4Ax+B +A), a po dosazení e x (Ax +Bx+4Ax+B +A)+e x (Ax +Bx+Ax+B) 3e x (A x +Bx) = = (4x 3)e x. Rovnici nejdřív vydělíme e x a dostaneme Ax + Bx + 4Ax + B + A + Ax + Bx + 4Ax + B 3Ax 3Bx = 4x 3. Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin. x : A + A 3A = x : B + 4A + B + 4A 3B = 4 x : B + A + B = 3 Dostali jsme soustavu 8A = 4, A + 4B = 3. Potom A =, B =. ( ) x Partikulární řešení je Y = e x x. Potom obecné řešení bude ( ) x y = y h + Y = C e x + C e 3x + e x x.
31 MATEMATIKA Sbírka úloh 9 d) Vyřešíme homogenní rovnici 3y y =. Charakteristická rovnice je 3λ λ = a její kořeny jsou λ =, λ = 3 a y h = C + C e 3 x. Pravá strana je tvaru f(x) = cos x = e x ( cos x + sin x). Zde α + iβ = + i není kořen charakteristické rovnice, a proto k =. Partikulární řešení bude mít tvar Y = e x x (A cos x + B sin x) = A cos x + B sin x a musí splňovat rovnici 3Y Y = cos x. Musíme Y dvakrát derivovat: Y = A sin x + B cos x, Y = 4A cos x 4B sin x. Dosadíme 3( 4A cos x 4B sin x) ( A sin x + B cos x) = cos x, A cos x B sin x + 4A sin x 4B cos x = cos x. Aby rovnice platila, musí se rovnat koeficienty při cos x a sin x na obou stranách: cos x : A 4B = sin x : B + 4A = Zase jsme dostali soustavu rovnic: A 4B =, A 3B =. Odtud A = 3, B =. Partikulární řešení je Y = cos x sin x, 4 Obecné řešení nehomogenní rovnice bude y = y h + Y = C + C e 3 x 3 4 cos x sin x. 4 Příklad 3... Najděte partikulární řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu se speciální pravou stranou a) y + y + y = x, y() = 3, y () = 4 b) y + y = 8 sin x, y() =, y () = 3 Řešení: a) Vyřešíme homogenní rovnici y +y + =. Máme λ +λ+ =. Kořeny charakteristické rovnice jsou λ = λ = a y h = C e x +C x e x. Pravá strana je tvaru f(x) = x = e x (x ) = e x P (x). Zde α = není kořen charakteristické rovnice, a proto k =. Potom
32 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Y = e x x (Ax + B) = Ax + B, Y = A, Y = a po dosazení + A + Ax + B = x. Porovnáme koeficienty: x : A = x : A + B = a dostaneme A = a B = 5. Potom Y = x 5 a obecné řešení y = y h + Y = C e x + C x e x + x 5. Spočítáme ještě y, abychom mohli dosadit počáteční podmínky, y = C e x + C e x C x e x +. Z toho 3 = y() = C 5, 4 = y () = C +C +. Pak C = 8, C =. Hledané partikulární řešení bude y = 8 e x + x e x + x 5. b) Vyřešíme homogenní rovnici y + y =. Máme λ + =. Kořeny charakteristické rovnice jsou λ, = ±i a y h = C cos x + C sin x. Pravá strana je tvaru f(x) = 8 sin x = e x ( cos x + 8 sin x). Zde α + iβ = + i je kořen charakteristické rovnice, a proto k = a Y = e x x (A cos x + B sin x) = x(a cos x + B sin x). Spočítáme derivace a dosadíme do rovnice: Y = A cos x+b sin x+x( A sin x+b cos x) = (A+Bx) cos x+(b Ax) sin x, Y = (B Ax) cos x + ( A Bx) sin x, (B Ax) cos x + ( A Bx) sin x + Ax cos x + Bx sin x = 8 sin x. Musí se rovnat koeficienty při cos x a sin x na obou stranách: cos x : B Ax + Ax = sin x : A Bx + Bx = 8 Potom A = 4, B =, Y = 4x cos x a y = C cos x+c sin x 4x cos x. Spočítáme y = C sin x+c cos x 4 cos x+4x sin x a dosadíme počáteční podmínky: = y() = C, 3 = y () = C 4 C =, C =. Hledané řešení je y = cos x + sin x 4x cos x.
33 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 Příklad Je dán elektrický LC obvod, kde cívka o indukčnosti L = H má velmi malý ohmický odpor. Do série k ní je zařazen kondenzátor o kapacitě C =. F a zdroj, jehož napětí lineárně roste s časem podle vztahu E = t. Určete závislost proudu tekoucího obvodem na čase, je-li I() = a kondenzátor byl v čase t = vybit. Řešení: Pro tento obvod platí L di dt + C t I(τ) dτ = E. Po derivování a dosazení dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu d I + I =. dt Obecné řešení této rovnice je I(t) = C cos t + C sin t +. Partikulární řešení splňující dané počáteční podmínky I() = a I () = určíme z I() = C + =, I (t) = C sin t + C cos t a I () = C =. Řešení úlohy tedy je I(t) = cos t. Přestože napětí neomezeně roste, zůstává proud v takovém obvodu omezený. Příklad Principem superpozice vyřešte lineární diferenciální rovnici druhého řádu y + y = 5x + e x. Řešení: Kořeny charakteristické rovnice λ + λ = jsou λ =, λ = a y h = C + C e x. Partikulární řešení dostaneme jako součet partikulárních řešení dvou rovnic, které mají speciální pravé strany: y + y = 5x a y + y = e x. U první rovnice je pravá strana tvaru f (x) = 5x = e x 5x = e x P (x). Zde α = je jednoduchý kořen charakteristické rovnice, a proto k =. Potom Y = e x x (Ax+B) = Ax +Bx, Y = Ax+B, Y = A a po dosazení do rovnice Y + Y = 5x máme A + Ax + B = 5x. Porovnáme koeficienty: x : A = 5 x : A + B = Z toho A = 5 a B = 5. Dostali jsme Y = 5 x 5x. U druhé rovnice je pravá strana tvaru f (x) = e x = e x = e x P (x).
34 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Zde α = není kořen charakteristické rovnice, a proto k =. Potom píšeme Y = e x x A = Ae x, Y = Ae x, Y = Ae x a po dosazení do Y +Y = e x, Ae x + Ae x = e x, Ae x = e x, A =, A =. Potom Y = e x a jedno partikulární řešení původní rovnice dostaneme jako Y = Y + Y = 5 x 5x + e x. Hledané obecné řešení je y = C + C e x + 5 x 5x + e x. Příklad Najděte obecné řešení rovnic druhého řádu metodou neurčitých koeficientů a) y 5y 7y = 8e x b) y y 3y = x c) y + 3y = 9x d) y + 6y + 9y = 36xe 3x e) y + y + 5y = 7 sin x f) 3y 4y = 5 sin x Řešení: a) y = C e 7 x +C e x e x ; b) y = C e x +C e 3x + 9 (3x 5); c) y = C cos 3x + C sin 3x + 3x ; d) y = C e 3x + C xe 3x + e 3x (x ); 3 e) y = C e x cos x + C e x sin x 4 cos x + sin x; f) y = C + C e 4 3 x + 4 cos x 3 sin x. Příklad Najděte partikulární řešení rovnic metodou neurčitých koeficientů a) y y = x e x, y() =, y () = 5 b) y y = (x ), y() =, y () = c) y 7y + y = 6 sin x, y() = 3, y () = Řešení: a) y = + 9 ex +e x ( x 4); b) y = e x +e x x +x 5 ; c) y = 4e x + 7 cos x + 3 sin x.
35 MATEMATIKA Sbírka úloh 33 STUDIJNÍ JEDNOTKA FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Cíle studijní jednotky. V první části si můžete osvěžit své znalosti o komplexních číslech, které máte ze střední školy. Ke zvládnutí dalších kapitol je nutné, abyste uměli pracovat s komplexními čísly a zobrazovat je v komplexní rovině. Dále se seznámíte s pojmem komplexní funkce a holomorfní funkce, naučíte se tyto funkce derivovat. Předpokládám, že už umíte derivovat funkci jedné reálné proměnné a počítat parciální derivace funkce více proměnných. 4 Funkce komplexní proměnné 4. Komplexní čísla Komplexní jednotka číslo j, pro které platí j =, někdy se označuje také jako i. Algebraický tvar komplexního čísla komplexní číslo zapsané ve tvaru z = a + j b, a, b R, a = Re z, b = Im z. Číslo a nazýváme reálnou částí z, číslo b nazýváme imaginární částí z. Číslo komplexně sdružené k číslu z = a + j b je to číslo z = a j b. Absolutní hodnota komplexního čísla pro z = a + j b je to reálné číslo z = a + b. Argument komplexního čísla Arg z = ϕ je úhel mezi kladnou x-ovou poloosou a polopřímkou, spojující bod z s počátkem. Uvažujeme-li pouze ϕ, π), píšeme arg z = ϕ. Pro argument ϕ komplexního čísla z = a + j b platí cos ϕ = a a + b, sin ϕ = b a + b.
36 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Gaussova rovina rovina xy, ve které komplexní číslo z = a + j b je znázorněno bodem [a, b]. Absolutní hodnota čísla z se potom rovná vzdálenosti bodu [a, b] od počátku. Absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel se rovná jejich vzdálenosti v komplexní rovině. Goniometrický tvar komplexního čísla komplexní číslo zapsané ve tvaru z = z (cos ϕ + j sin ϕ), kde z je absolutní hodnota komplexního čísla a ϕ je argument čísla z. Eulerův tvar komplexního čísla komplexní číslo zapsané ve tvaru z = z e j ϕ, kde z a ϕ mají stejný význam jako u goniometrického tvaru. Pro a + j b a c + j d libovolná komplexní čísla se definuje sčítání a násobení takto: (a + j b) + (c + j d) = (a + c) + j (b + d), (a + j b) (c + j d) = (ac bd) + j (ad + bc). Při dělení komplexních čísel se využívá komplexně sdružené číslo jmenovatele: a + j b c + j d = a + j b c + j d c j d c j d Komplexní čísla se zjednodušují podle pravidel (k Z): ac + bd bc ad = + j ; a + j b, c + j d C; c + j d. c + d c + d j =, j 3 = j, j 4 =, j 5 = j,..., j 4k =, j 4k+ = j, j 4k+ =, j 4k+3 = j. Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru: uv = u v (cos (α + β) + j sin (α + β)); u v = u (cos (α β) + j sin (α β)), v kde u = u (cos α + j sin α) a v = v (cos β + j sin β) jsou dvě nenulová komplexní čísla. Pro umocňování platí Moivreova věta: z n = ( z (cos ϕ + j sin ϕ)) n = z n (cos nϕ + j sin nϕ), n N. Příklad 4... Vypočítejte komplexní číslo a) z = ( + j )(5 + j ) b) z = j + j 3 + j 5 + j 9 c) z = + j 3 4j Řešení: a) ( + j )(5 + j ) = + 5j + j = ( ) + j (5 + ) = 9 + 7j ; b) j + j 3 + j 5 + j 9 = j + j 3 + j 3 + j = j j j + j = ; c) + j 3 4j = ( + j )(3 + 4j ) 3 (4j ) = 3 + 4j + 6j + 8j 9 ( 6) = 5 + j 5 = j.
37 MATEMATIKA Sbírka úloh 35 Příklad 4... Určete absolutní hodnotu a argument komplexních čísel a) + j b) j c) d) + j Řešení: a) + j = ( ) + = ; sin ϕ =, cos ϕ =. Potom ϕ = 3 π + kπ, k celé. 4 b) j = + = ; sin ϕ =, cos ϕ =. Z toho ϕ = π + kπ. c) = ( ) + = ; sin ϕ =, cos ϕ =. Z toho ϕ = π + kπ. d) + j = + = 8, sin ϕ = = = 8, cos ϕ = = 8. Potom ϕ = π 4 + kπ. Příklad Najděte v Gaussově rovině čísla z, pro něž platí dané rovnice a) z + 3 5j = 3 b) z j = c) < z + j < d) z = j e) Re z = Im z f) Im z = j Řešení: a) z +3 5j = z ( 3+5j ) = 3. V Gaussově rovině z +3 5j vyjadřuje vzdálenost bodů z a 3 + 5j a tato vzdálenost musí být pro každé z rovna třem. Množina všech takových z je tedy kružnice se středem v bodě 3 + 5j a poloměrem 3. b) Kružnice se středem v bodě j a poloměrem. c) Vzdálenost bodu z od j musí být v rozmezí od do. Množina všech takových z je tedy vnitřek mezikruží se středem v bodě j. Poloměry hraničních kružnic jsou a. d) Absolutní hodnota komplexního čísla musí být reálné číslo. Daná rovnice nemá řešení. e) Vzdálenost čísla z od reálné osy musí být stejná jako vzdálenost čísla z od imaginární osy. Množina všech takových z je osa prvního a třetího kvadrantu. f) Imaginární část komplexního čísla musí být reálné číslo. Daná rovnice nemá řešení. Příklad Zapište v Eulerově tvaru z = z e j ϕ komplexní čísla a) j 3 b) j c) d) Řešení: a) e ( 3 +k)πj ; b) e ( 3 +k)πj ; c) e (+k)πj ; d) e kπj.
38 36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4. Funkce komplexní proměnné Funkce w = f(z) definovaná na oblasti Ω C s funkčními hodnotami v oboru komplexních čísel se nazývá funkce komplexní proměnné. Je-li ke každému z Ω přiřazeno právě jedno komplexní číslo w, pak říkáme, že funkce je jednoznačná, v opačném případě říkáme, že je mnohoznačná. Komplexní funkci w = f(z) můžeme napsat i v algebraickém tvaru f(z) = u(x, y) + j v(x, y), kde z = x + j y a u(x, y), v(x, y) jsou reálné funkce dvou proměnných. Funkci u(x, y) nazýváme reálnou částí f, píšeme Re f a v(x, y) nazýváme imaginární částí funkce f, značíme Im f. Přehled některých důležitých komplexních funkcí Název komplexní funkce Vzorec pro komplexní funkci Podmínky platnosti vzorce Exponenciální funkce e z = e x (cos y + j sin y) z = x + j y, z C Kosinus cos z = ej z +e j z z C Sinus Tangens sin z = ej z e j z j tg z = sin z cos z z C z (k+)π, k celé Kotangens cot z = cos z sin z z kπ, k celé Kosinus hyperbolický Sinus hyperbolický cosh z = ez +e z z C sinh z = ez e z z C Logaritmická funkce Ln z = ln z + j Arg z z C, z Mocninná funkce z α = e α Ln z z, α C, z Funkce e z, sinh z a cosh z jsou periodické s periodou πj, funkce sin z a cos z s periodou π. Funkce Ln z a z α jsou víceznačné, ke každému číslu je přiřazeno více komplexních čísel. Omezíme-li se na arg z, π) dostaneme tzv. hlavní větev logaritmu resp. hlavní hodnotu mocninné funkce.
MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VíceObyčejné diferenciální rovnice
1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více8.1. Separovatelné rovnice
8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Vícediferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceMatematika II: Pracovní listy do cvičení
Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
Více0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému
2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
VíceELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VícePetr Hasil
Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více