7 POČÍAČOVÉ MODELY SOCHASICKÉ. VORBA SIMULAČNÍCH MODELŮ VYUŽÍVAJÍCÍCH PRAVDĚPODOBNOSNÍ MEODU A MEODU EXODUS V SYSÉMU EXCEL Počítačové model stocastcké vužívaící numerckou pravděpodobnostní metodu a numerckou metodu Eodus. vorba smulačníc modelů tepelné úlo pravděpodobnostní metodou a metodou Eodus s vužtím kancelářskéo sstému Ecel. Modelování šíření tepla ve zednodušené úloze tepelnéo zdroe v obektu který e umístěn ve vněším prostředí. - -
ÚLOHA MODELOVÁNÍ ŠÍŘENÍ EPLA Z EPELNÉHO ZDROJE V OBJEKU KERÝ JE UMÍSĚN VE VNĚJŠÍM PROSŘEDÍ V úloze e řešeno šíření tepla a teplotní pole v uzavřeném prostoru které po odpovídaícím zednodušení může představovat smulac ořevu místnost topným tělesem uloženým v rou této místnost. Scéma úlo e na obr.. Okraová podmínka (teplota) Obvodová stěna Vněší prostor 3 Vntřní prostor 8 opné těleso (tloušťka) 0 Obr.: Geometre úlo. Podrobný pops úlo Je řešena D zednodušená úloa přestupu a šíření tepla z tepelnéo zdroe v obektu. Geometre obektu se skládá z obvodové stěn o tloušťce m a vněšíc rozměrec 0 a 8 m. Ve vntřním rou obektu e umístěno topné těleso o rozměrec m. ěleso e uvažováno omogenní (zednodušení) uprostřed tělesa e na eden uzel výpočetní sítě aplkován bodový tepelný zdro o celkovém výkonu 600 W. Na vněší obvodové zd e zadávána podmínka konstantní teplot odpovídaící teplotě vněšío prostředí vněší teplota e v rozmezí od 0 do -0 C podle zadání. Celý obekt včetně obvodovýc zdí topnéo tělesa a vntřnío prostoru e modelově tvořen edním materálem o tepelné vodvost W.m -.K -. ato úloa odpovídá úloze ze cvčení č. kde se řeší varanta staconární nestaconární a úloze ze cvčení č. 6 kde se řeší pouze staconární úloa. Zde e řešena pouze staconární úloa s prostorovým krokem sítě m. Ve cvčení č. e úloa modelována ve výpočetním sstému Cosmos/M s vužtím metod konečnýc prvků (MKP) ve cvčení č. 6 e úloa modelována v kancelářském sstému Ecel s vužtím metod konečnýc dferencí (MKD). - -
Zde e úloa modelována v kancelářském sstému Ecel s vužtím metod pravděpodobnostní a metod Eodus. Úkol. Vtvořt počítačový model vužívaící pravděpodobnostní metodu pro řešení staconární přímé úlo s okraovou podmínkou konstantní teplot na vněším plášt obvodové stěn. eplota stěn podle zadání.. Vtvořt počítačový model vužívaící metodu Eodus pro řešení staconární přímé úlo s okraovou podmínkou konstantní teplot na vněším plášt obvodové stěn. eplota stěn podle zadání. 3. Porovnat model vužívaící pravděpodobnostní metodu a metodu Eodus z ledska složtost postupu řešení časové náročnost výpočtu a dosaženýc výsledků. Jsou tř různé teplot stěn podle zadání: -0 C 0 C a 0 C. Vodnocení U přímé úlo řešené pravděpodobností metodou stanovte teplotu v obektu v místec 3 a. Dále vkreslete kontur rozložení teplotnío pole v celém obektu a průbě teplot po přímce procázeící místem od levéo vněšío krae obektu až po pravý vněší kra obektu. U přímé úlo řešené metodou Eodus stanovte teplotu v obektu v místec 3 a. Dále vpočtěte průměrnou teplotu obektu (pomocí vodnéo nastavení vektoru počátečníc pravděpodobností výsktu nosče). Postup řešení úlo stocastckým metodam. Záps matematckéo modelu.. Dskretzace řešené oblast. 3. vorba dferenčníc operátorů.. Formulace rovnce pro vntřní uzl oblast získání pravděpodobností přecodů vntřníc uzlů. 5. Formulace rovnce pro ranční uzl oblast získání pravděpodobností přecodů rančníc uzlů. 6. Sestavení matce pravděpodobnost přecodů P a vektoru příspěvků vntřníc zdroů u qv. - 3 -
7. Sestavení rovnce pro výpočet fundamentální matce N (příp. pouze řádku této matce) a matce pravděpodobnost přecodů do absorbuícíc uzlů B (příp. pouze řádku této matce). 8. Formulace rovnce pro přímou úlou. 9. vorba smulačnío modelu v sstému Ecel. (Výpočet matce pravděpodobnost přecodů vektoru příspěvků vntřníc zdroů fundamentální matce nebo pouze řádku této matce a matce pravděpodobnost přecodů do absorbuícíc uzlů nebo pouze řádku této matce. Výpočet rovnce pro přímou úlou.) Buňka v ecelovském lstu představue výpočetní element/uzel a obsaue příslušné nformace. Všecn potřebné vzorce e nutné uspořádat geometrck podle tvaru řešené oblast do lstu Ecelu (možno vodně rozdělt do více lstů vz. ukázka). Barevná mapa teplotnío pole se zobrazí příkazem Vložt -> Graf -> Povrcový -> Obrsový. (Povrcový graf zobrazený sora. Barv představuí rozsa odnot.) Graf proflu teplot podél přímk procázeící středem obektu lze zobrazt klasck Vložt -> Graf -> XY bodový. Výpočet se provádí teračně. Spouští se příkazem Nástroe -> Možnost -> Výpočt (Výpočet Ručně Iterace Nevšší počet terací (odnota) Mamální změna (odnota)). Poté příkazem Přepočet (F9) nebo Přepočítat lst(pokud z něakéo důvodu e potřeba přepočítat edenkrát pouze příslušný lst) se spouští výpočet. Podle ukázk vřešené úlo v sstému Ecel student sam vtvoří smulační model úlo a provedou řešení a následné vodnocení úlo. Protože celkový výkon tepelnéo zdroe e 600 W a tento zdro se dává do buňk výpočetní sítě o velkost (m ) platí pro plošný bodový zdro (W.m - ) vzta 600 W. - - Pokud e m vcází 600 W.m př 0 m se dostává 60000 W.m. q V q V q V qv Cílem tooto cvčení e vtvořt smulační model s vužtím metod pravděpodobnostní a metod Eodus v kancelářském sstému Ecel. Student proto dostanou přímo matematcký postup vedoucí k formulac rovnce pro vntřní a okraové uzl oblast sestavení matce pravděpodobnost přecodů a vektoru příspěvku vntřníc zdroů fundamentální matce a matce pravděpodobnost přecodu do absorbuícíc uzlů včetně výsledné rovnce pro řešení přímé úlo s vužtím metod pravděpodobnostní a metod Eodus. to rovnce moou přímo vužít k tvorbě smulačnío modelu. - -
MAEMAICKÝ POSUP VEDOUCÍ K FORMULACI VÝSLEDNÉ ROVNICE PRO ŘEŠENÍ PŘÍMÉ ÚLOHY S VYUŽIÍM MEODY PRAVDĚPODOBNOSNÍ A MEODY EXODUS MAEMAICKÝ MODEL Nestaconární teplotní pole e popsané obecně rovncí dv( grad ) ρ c ρcwgrad τ r q V t t kde první člen na pravé straně vadřue dfúzní šíření tepla další člen e pobový zarnuící pob zdroe oblast apod. třetí člen na pravé straně rovnce zarnue vlnové šíření tepla a dále e zde vntřní zdro tepla. Velčn v obecné rovnc sou následuící (zt) teplota (K) (z) tepelná vodvost (W.m -.K - ) ρ (z) ustota (kg.m -3 ) c (z) měrná tepelná kapacta (J.kg -.K - ) w (zt) rclost pobu prostředí (m.s - ) τ r (zt) koefcent respektuící konečnou rclost šíření tepla (s.m - ) q V (zt) vntřní zdro tepla obemový tepelný tok (W.m -3 ) (t) (t) z(t)... prostorové souřadnce (m) t... čas (s). Pro většnu procesů v klascké fzce e možné zanedbat vlnové šíření tepla které se proevue pouze př působení vsoce ntenzvníc zdroů tepla. V této úloze navíc nedocází k žádnému pobu tudíž e možné vnecat pobový člen. Rovnce nestaconárnío teplotnío pole se proto zednoduší na tvar dv ( grad ) ρc qv t v případě staconárnío teplotnío pole pak zůstává rovnce ve tvaru - 5 -
( grad ) q 0 dv. V Okraová podmínka. druu e vádřena rovncí kde velčna s vězdčkou představue předem známou odnotu okraové podmínk. DISKREIZACE ŘEŠENÉ OBLASI Dskretzace řešené oblast se provede strukturovanou čtvercovou výpočetní sítí s ranou čtverce (vzdálenost sousedníc uzlů strukturované čtvercové sítě e v ose v ose stená a e rovna ). VORBA DIFERENČNÍCH OPERÁORŮ Př použtí stocastckýc metod e nutné vtvořt dferenční operátor narazuící v původníc rovncíc operátor dervací. Omezíme se ž na D oblast s nezávsle proměnným. Pro první dervac () podle se dostává ( ( )... středová dference )... dopředná dference ( )... zpětná dference. Pro první dervac () podle se dostává ( ( )... středová dference )... dopředná dference ( )... zpětná dference. - 6 -
Pro druou dervac () podle se dostává ( ). Pro druou dervac () podle se dostává ( ). FORMULACE ROVNICE PRO VNIŘNÍ UZLY OBLASI ZÍSKÁNÍ PRAVDĚPO- DOBNOSI PŘECHODŮ VNIŘNÍCH UZLŮ Dferenční rovnce pro vntřní uzl oblast se formulue dosazením dferenčníc operátorů do základní rovnce. Použtím středové dference pro první dervace lze získat následuící soustavu rovnc pro vntřní uzl oblast. Pro D oblast platí 0 q V 0 q V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 V q. Z rovnce postupně vádříme člen a dostáváme - 7 -
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) V q ( )( ) 6 ( )( ) 6 ( ) V q. Protože však celá řešená oblast e tvořena steným materálem zednodušší se na tvar V q čímž sme získal dferenční rovnc pro vntřní uzel oblast včetně zdroovéo členu pro případ materálově omogenní oblast. Výslednou rovnc pro určení teplot ve vntřním uzlu (neabsorbuící uzel) pro případ materálově omogenní oblast včetně zdroovéo členu lze též zapsat ve tvaru qv s v z p p p p kde p z p v p p s sou pravděpodobnost přecodu do sousedníc uzlů a e příspěvek vntřnío zdroe v uzlu ( ) qv s v z p p p p. V q q V - 8 -
FORMULACE ROVNICE PRO HRANIČNÍ UZLY OBLASI ZÍSKÁNÍ PRAVDĚ- PODOBNOSI PŘECHODŮ HRANIČNÍCH UZLŮ Formulace rovnce pro ranční uzl oblast se provede dosazením dferenčníc operátorů do rovnce pro okraovou podmínku a získá se rovnce což e dferenční rovnce pro ranční uzel oblast v místě kde e defnována OP. druu. Př porovnání s obecným tvarem rovnce pro okraovou podmínku (levý kra oblast) podr p abs plne podr 0 pabs. Pak lze psát výslednou rovnc pro určení teplot v rančním uzlu s OP. druu (absorbuící uzel) ve tvaru p abs p abs kde e pravděpodobnost absorbce v uzlu e předepsaná odnota teplot v tomto p abs rančním uzlu. SESAVENÍ MAICE PRAVDĚPODOBNOSI PŘECHODŮ A VEKORU PŘÍSPĚVKŮ VNIŘNÍCH ZDROJŮ Matce pravděpodobnost přecodů P e tpu (n n) nebol (rs rs) kde r e počet absorbuícíc uzlů a s e počet neabsorbuícíc uzlů. Do řádku matce pravděpodobnost přecodů odpovídaícímu uzlu ( ) se zařadí pravděpodobnost p z p v p a p s vadřuící pravděpodobnost přecodu do sousedníc uzlů - 9 -
případně p abs pro pravděpodobnost absorbce v uzlu pravděpodobnost přecodu do ostatníc uzlů sou nulové. Vektor příspěvků vntřníc zdroů qv e sloupcový vektor ve tvaru kde s e počet neabsorbuícíc uzlů. ( ) qv qv qvs SESAVENÍ ROVNICE PRO VÝPOČE FUNDAMENÁLNÍ MAICE A MAICE PRAVDĚPODOBNOSI PŘECHODŮ DO ABSORBUJÍCÍCH UZLŮ A) PRAVDĚPODOBNOSÍ MEODA V pravděpodobnostní metodě se vadřue celá fundamentální matce N a celá matce pravděpodobnost přecodů do absorbuícíc uzlů B. Neprve se matce pravděpodobnost přecodů P tpu (rs rs) uspořádá do kanonckéo tvaru I 0 P R Q kde I e ednotková matce tpu (r r) matce R e tpu (s r) a matce Q e tpu (s s). Fundamentální matc N tpu (s s) lze vpočítat vztaem N ( I Q) kde I e ednotková matce tpu (s s). Prvek n matce N udává střední odnotu počtu průcodů nosče neabsorbuícím stavem než skončí v některém stavu absorbuícím bl-l na počátku v neabsorbuícím stavu. Matce pravděpodobnost přecodů do absorbuícíc stavů B tpu (s r) se spočítá ze vztau B N R. Prvek b matce B udává pravděpodobnost přecodu nosče do absorbuícío stavu bl-l na počátku v neabsorbuícím stavu. - 0 -
B) MEODA EXODUS V metodě Eodus se vadřue řádek fundamentální matce N a řádek matce pravděpodobnost přecodů do absorbuícíc uzlů B. Matce pravděpodobnost přecodů P tpu (rs rs) e ž přpravena. Z uzlu ve kterém se ledá řešení se nastartue proces bloudění. o se provede zadáním počáteční podmínk ve tvaru řádkovéo vektoru pravděpodobnost výsktu nosčů m (0) který vadřue rozdělení nosčů na počátku. Modelue-l se současné bloudění nosčů vcázeícíc z neabsorbuícío uzlu pak počáteční vektor výsktu obsaue samé nul kromě prvku m (0) což znamená že všecn nosče sou s pravděpodobností právě v uzlu. Pro k-tý krok bloudění se řeší rovnce (k) (0) k m m P a získává se vektor m (k) pravděpodobnost výsktu nosčů v k-tém kroce bloudění. Po dostatečném počtu kroků k může za určtýc podmínek nastat dnamcká rovnováa př které platí (k) b m A (k) kde vektor m A obsaue pravděpodobnost výsktu nosče v absorbuícíc uzlec př dnamcké rovnováze sstému za podmínk že nosč všel z počátečnío uzlu. Jným (k) slov vektor m A vadřue pravděpodobnost přecodu z neabsorbuícío uzlu do absorbuícíc uzlů a tím vadřue -tý řádek matce pravděpodobnost přecodů do absorbuícíc stavů B. Počet provedenýc kroků k bloudění určue přesnost výpočtu a též časovou náročnost výpočtu. Prvek n fundamentální matce N udává střední odnotu počtu průcodů nosče neabsorbuícím uzlem než skončí v některém absorbuícím uzlu bl-l na počátku v neabsorbuícím uzlu. Z too plne možnost určení řádku n matce N k (l) m N l n - -
kde součet vektorů výsktu nosče v neabsorbuícíc stavec provedené krok náodnéo bloudění nosčů. (l) m N se provádí přes všecn FORMULACE ROVNICE PRO PŘÍMOU ÚLOHU A) PRAVDĚPODOBNOSÍ MEODA Hledané odnot teplot v neabsorbuícíc uzlec se sestaví do sloupcovéo vektoru tpu (s ) ( ) s kde s e počet neabsorbuícíc uzlů. Předepsané odnot teplot se sestaví do sloupcovéo vektoru tpu (r ) v absorbuícíc uzlec ( ) r kde r e počet absorbuícíc uzlů. Sloupcový vektor ledanýc teplot lze vpočítat vztaem B N qv. Spoením vektoru ledanýc teplot a vektoru předepsanýc teplot vznká sloupcový vektor teplot v celé řešené oblast celk ( ) celk r s kde rs e počet všec uzlů výpočetní sítě. B) MEODA EXODUS Hledaná odnota teplot v neabsorbuícím uzlu se určí podle vztau b n qv - -
kde b e řádek matce B n e řádek matce N e sloupcový vektor předepsanýc odnot teplot v absorbuícíc uzlec a qv e sloupcový vektor příspěvků vntřníc zdroů. - 3 -