Řešení úloh 1. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů 1.a) Označme v a velikost rychlosti atleta, v t velikost rychlosti trenéra. Trenér do prvního setkání ušel dráhu s 1 = d v a t 1, kde v a = d t. (1) Po dosazení dostaneme b) Pro hledaný čas platí s 1 = d t t 1 t = 71 m. () t 3 = d v t, kde v t = s 1. t 1 Po dosazení a užití vztahu () dostaneme c) Dráha atleta je Dosazením vztahů (1) a (3) dostaneme t 3 = t 1t t t 1 = 446 s. (3) s = v a t 3. s = t 1 t t 1 d = 1 860 m..a) Ve vztažné soustavě spojené s kolotočem je chlapec přitlačován k sedačce silou F, která je složená z tíhové síly F G = mg a setrvačné odstředivé síly F s : F = F G + F s, F s F G. F s F G α F Obr. 1
Ze vztahu plyne cos α = F G F k = F F G = 1 cos α = 1,3. b) Pro velikost setrvačné odstředivé síly platí vztahy Z nich plyne c) Ze vztahů (1), () dále plyne kde Z rovnic dostaneme Kinetická energie chlapce pak je F s = ma d = mrω = mr 4π T, (1) F s = F G tgα = mgtgα. () r T = π gtgα a d = gtgα, a d = v r. = 4, s. 3 body v = grtgα. (3) E k = 1 mv = 1 mgrtgα = 640 J. d) Pro rovnoměrně zpomalený pohyb do zastavení platí s = 1 at 1, v = at 1. Vyloučením tečného zrychlení a dostaneme Opsaný úhel je s = vt 1. ϕ = s r = vt 1 r. Užitím vztahu (3) dostaneme ϕ = t 1 gtgα = 14 rad = 810. r body
3.a) Ve směru nakloněné roviny působí složka tíhové síly každého tělesa a proti pohybu třecí síla, která vzniká pouze u kvádru. Složka tíhové síly samotného kvádru má velikost F = m g sin α = 0,91 N, složka tíhové síly soustavy kvádru s vozíkem má velikost F 1 = (m 1 + m ) g sin α = 1,4 N. Velikost třecí síly působící proti pohybu kvádru je F t = fm g cos α = 1,0 N. Z důvodu F < F t < F 1 zůstane kvádr na nakloněné rovině v klidu, ale souprava kvádru s vozíkem se na nakloněné rovině neudrží a uvede se do rovnoměrně zrychleného pohybu. b) Samotný kvádr se ještě udrží v klidu při splnění podmínky m g sin α = fm g cos α. Z rovnice plyne sinα = tgα = f α = 17. cosα Soustava kvádru s vozíkem se ještě udrží v klidu při splnění podmínky (m 1 + m ) g sin α 1 = fm g cos α 1. Z rovnice plyne m tgα 1 = f α 1 = 11. m 1 + m c) Ve všech případech se tělesa budou pohybovat rovnoměrně zrychleným pohybem na stejné dráze s, ale s různou velikostí zrychlení. Z rovnic s = 1 at, v = at vyloučením času dostaneme v = as. Velikosti zrychlení vozíku, kvádru a soustavy jsou postupně a 1 = m 1g sin β m 1 = g sin β, a = m g sin β fm g cos β = g (sin β f cos β), m ( sin β f a 1 = (m 1 + m ) g sin β fm g cos β = g m 1 + m Velikosti rychlosti jsou postupně v 1 = a 1 s = gs sin β = 3,5 m s 1, m m 1 + m cos β ). v = a s = gs (sin β f cos β) =, m s 1,
v 1 = a 1 s = gs ( ) m sin β f cos β =,7 m s 1. m 1 + m 5 bodů 4.a) Velikost tahové síly nesmí překročit velikost třecí síly mezi záběrovými koly a vozovkou, proto platí: F tah = f mg = 4 800 N. (1) b) Platí P = F tah v 1 = f mg v 1. Ze vztahu plyne v 1 = P fmg = 4, m s 1. () c) Dosazením F tah = ma 1 do vztahu (1) dostaneme a 1 = fg = 3,4 m s. Ze vztahu P = F v = ma v plyne a = P = 0,64 m s. mv d) Z rovnice P t = 1 mv 1 mv 1 s použitím vztahu () plyne t = m ( ) [ v v1 = m ( ) ] P v = 17 s. P P fmg 5.a) Označme m hmotnost skateboardu a r poloměr čtvrtkružnice. Ze zákona zachování mechanické energie plyne mgr = 1 mv 1 r = v 1 g. (1) Čas rovnoměrného pohybu na dráze z bodu C do bodu D je t = d r v 1, kde po dosazení vztahu (1) dostaneme t = d v 1 v 1 g = 0,68 s. 3 body
A α = 45 h r a n a d a n B Obr. g a t C b) Označme h výšku, z níž se skateboard dostane z bodu A do bodu B. Ze zákona zachování mechanické energie mgh = 1 mv, kde h = r sin 45 = r, plyne Použitím rovnice (1) nakonec dostaneme v = gr sin 45 = gr. () v = v 1 sin 45 = v 1 = 6,7 m s 1. c) Tečné zrychlení je určeno složkou tíhového zrychlení v tečném směru. Pro velikost tečného zrychlení tak platí a t = g sin 45 = g = 6,9 m s. Velikost dostředivého zrychlení je dána vztahem Dosazením vztahu () dostaneme a d = v r. a d = g sin 45 = g = 13,9 m s. 6.a) Označme ještě V objem samotného ledu obklopujícího těleso v okamžiku vznášení. Podle Archimédova zákona platí: ( ) mt m t g + ρ v V v g = ρ v + V g, kde V = ρ v ρ t ρ V v. Dosazením a vyjádřením ρ dostaneme vztah (1).
b) Výsledky měření uvádí tabulka: Hustota vody ρ v = 1,000 g cm 3 (platí v rozmezí teplot 0 C až 11 C) 7.a) Průměrná hustota ledu z pěti různých měření vychází ρ = 0,897 g cm 3, tabulková hodnota je ρ tab = 0,917 g cm 3. Samotný rozptyl naměřených hodnot ρ max ρ min = 0,010 g cm 3 je menší než rozdíl mezi střední naměřenou a tabulkovou hodnotou ρ ρ tab = 0,00 g cm 3, což je, % z tabulkové hodnoty. Při pozorování ledu vyjmutého z plastové nádoby a při pozorování tání byly ve velkém počtu patrné drobné bublinky, které způsobí menší hodnotu hustoty použitého ledu, čímž lze menší naměřenou hodnotu částečně zdůvodnit. 8 bodů b) Velikosti zrychlení jsou a 1 = 1 5 m s =,4 m s, a = 0 m s, a 3 = 1 6 m s =,0 m s.
c) Ujetá dráha je s c = ( 1,4 5 + 1 4 + 1 ) 6 m = 114 m. Na jednotlivých úsecích jsme použili vzorce: s = 1 a 1t, kde t je proměnný čas 0 až 5 s měřený od začátku pohybu, s = s 0 + v 0 t, kde s 0 = 30 m, v 0 = 1 m s 1, t je proměnný čas 0 až 4 s měřený od začátku rovnoměrného pohybu, s = s 0 + v 0 t 1 a 3t, kde s 0 = 78 m, v 0 = 1 m s 1, t je proměnný čas 0 až 6 s měřený od začátku rovnoměrného pohybu. d) Velikosti rychlostí určené z grafu pomocí sestrojených tečen: v 1 = 100 4 14,4, m s 1 = 7,9 m s 1, v 114 6 = 13,8, m s 1 = 4,5 m s 1. Velikosti rychlostí určené z časových rovnic pohybu: v 1 = a 1 t 1 = 7,9 m s 1, v = v 0 a 3 (t 9 s) = 4,4 m s 1. V daném provedení se hodnoty liší nejvýše o jednotku u. platné číslice.