Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz
Náhodné veličiny
Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor B P. Zobrazení prostoru elementárních jevů do množiny všech reálných čísel R nazýváme náhodnou veličinou právě tehdy dyž pro aždé reálné platí:. ; B Pro aždou náhodnou veličinu definujme její distribuční funci pro aždé reálné tato: F P ;
Vlastnosti distribuční funce Pro aždé reálné platí: 0 F istribuční funce F je nelesající v R. Platí že lim F 0 a lim. F istribuční funce je zleva spojitá v aždém bodě. Pro libovolná reálná čísla 2 platí že: P 2 F 2 F
isrétní a spojité náhodné veličiny U disrétních náhodných veličin je oborem hodnot onečná nebo spočetná množina. Zavádí se u nich tzv. pravděpodobnostní funce. U spojitých náhodných veličin je oborem hodnot interval reálných čísel. Zavádí se u nich tzv. hustota pravděpodobnosti.
Přílad disrétní náhodné veličiny Součet o na dvou hozených ostách 0 2 4 6 8 0 2 R atd. 6 5 4 3 2 2 3 4 5 6
Pravděpodobnostní funce 6 36 P A 0 2 4 6 8 0 2
istribuční funce 0 F A 05 0 2 4 6 8 0 2
Přílad spojité náhodné veličiny Součet dvou reálných čísel z intervalu 0 ; 0 2 R atd. 0
Výpočet distribuční funce b b 0 a 0 a
Graf distribuční funce 0 F B 05 0 2
Graf hustoty pravděpodobnosti f B 0 2
Náhodné vetory
Náhodným vetorem n-rozměrnou náhodnou veličinou nazýváme taové zobrazení pro teré eistuje sdružená distribuční funce: efinice Náhodné veličiny budeme nazývat nezávislé právě tehdy dyž platí: 3 2 n n R i i i n P F n 2 2 2 2 2 2 n n F F F F n n
Střední hodnota a rozptyl
efinice střední hodnoty náhodné veličiny Pro disrétní náhodné veličiny definujeme střední hodnotu tato: P Pro spojité náhodné veličiny definujeme střední hodnotu analogicy tato: f d Střední hodnota je číslo!
Přináší KOLO ŠTĚSTÍ zis? Na pouti hodláme provozovat hru KOLO ŠTĚSTÍ. Za možnost zatočit KOLM zaplatí zájemce 20 Kč. Jeho možné výhry jsou na obrázu. 50 0 0 00 0 Udělejme si předběžnou alulaci našeho zisu! 0 0 30 0 0 0 50
Pro střední hodnotu platí tyto vztahy: Vlastnosti střední hodnoty i i i i i i Střední hodnota je lineární operátor!
efinice rozptylu: Rozptyl náhodné veličiny 2 Vlastnosti rozptylu: 0 2 2 2 efinice směrodatné odchyly:
efinice ovariance: Kovariance náhodných veličin ále můžeme doázat: cov cov cov cov 2 cov 2
Pro nezávislé veličiny platí: Tvrzení o nezávislých veličinách 0 cov
Momenty Momentová vytvořující funce
Momenty náhodné veličiny: efinice momentů náhodné veličiny Centrované momenty náhodné veličiny: Normované momenty náhodné veličiny: M CM NM
Tvrzení o momentech Střední hodnota je prvním momentem. První centrální moment je vždy roven nule. ruhým centrálním momentem je rozptyl. První normovaný moment je roven nule a druhý normovaný moment je roven jedné. Třetí normovaný moment se nazývá oeficient šimosti. Čtvrtý normovaný moment zmenšený o číslo 3 se nazývá oeficient špičatosti.
Momentová vytvořující funce efinice: m z e z Platí: m z 0 z Pomocí derivací momentové vytvořující funce v bodě 0 můžeme zísat momenty náhodné veličiny. m z M z0
Vlastnosti momentové vytvořující funce Věta: Nechť a b a 0. Pa platí: m bz z e m az Věta: Nechť náhodné veličiny i jsou nezávislé a Pa platí: m n i i z m z i
ůležitá věta o onvergenci Věta: Nechť posloupnost náhodných veličin n má tu vlastnost že posloupnost jejich momentových vytvořujících funcí onverguje momentové vytvořující funci náhodné veličiny. Pa posloupnost distribučních funcí veličin n onverguje distribuční funci náhodné veličiny.
ěuji za pozornost